Teljesítmény axióma - Axiom of power set

Az { x , y , z } halmaz hatványkészletének elemei a befogadás szempontjából rendezve .

A matematika , a axiómája áramfejlesztőt egyik Zermelo-Fraenkel axiómák a axiomatikus halmazelmélet .

A Zermelo – Fraenkel axiómák hivatalos nyelvén az axióma így hangzik:

${\ displaystyle \ forall x \, \ pastāv y \, \ forall z \, [z \ in y \ iff \ forall w \, (w \ in z \ Rightarrow w \ in x)]}$

ahol y az áramfejlesztőt a x , . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$

Angolul ez áll:

Mivel minden beállított X , van egy sor olyan, hogy , adott semmilyen set Z , ez meg z tagja , ha, és csak akkor, ha minden egyes eleme a Z is eleme a x . ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$

Rövidebben: minden halmazhoz tartozik egy halmaz, amely pontosan a . ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$${\ displaystyle x}$

Ne feledje, hogy az alkészlet- relációt nem használják a formális definícióban, mivel a részhalmaz nem primitív reláció a formális halmazelméletben; inkább részhalmaza meghatározása szempontjából set-tagság , . Az extenzivitás axiómája alapján a készlet egyedi. ${\ displaystyle \ subseteq}$${\ displaystyle \ in}$${\ displaystyle {\ mathcal {P}} (x)}$

A halmazelmélet axiómája a halmazelmélet legtöbb axiomatizációjában jelenik meg. Általában vitathatatlannak tartják, bár a konstruktív halmazelmélet a gyengébb verziót részesíti előnyben a predikativitással kapcsolatos aggodalmak feloldása érdekében .

Következmények

A Power Set Axiom lehetővé teszi az egyszerű meghatározása a Descartes-szorzat a két és : ${\ displaystyle X}$${\ displaystyle Y}$

${\ displaystyle X \ times Y = \ {(x, y): x \ X-ben \ land y \ Y-ben \}.}$

Figyelje meg

${\ displaystyle x, y \ X \ csészében Y}$

${\ displaystyle \ {x \}, \ {x, y \} \ in {\ mathcal {P}} (X \ csésze Y)}$

és például egy Kuratowski rendezett pár használatával egy modellt figyelembe véve ,

${\ displaystyle (x, y) = \ {\ {x \}, \ {x, y \} \} \ in {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ csésze Y)) }$

és így a derékszögű termék halmaza azóta

${\ displaystyle X \ times Y \ subseteq {\ mathcal {P}} ({\ mathcal {P}} (X \ cup Y)).}$

Egy meghatározhatják a Descartes-szorzat bármely véges gyűjtemény készletek rekurzív:

${\ displaystyle X_ {1} \ times \ cdots \ times X_ {n} = (X_ {1} \ times \ cdots \ szor X_ {n-1}) \ szor X_ {n}.}$

Megjegyezzük, hogy a derékszögű termék létezése a teljesítménykészlet axiómájának használata nélkül bizonyítható, mint a Kripke – Platek halmazelmélet esetében .

Hivatkozások

• Halmos Paul , naiv halmazelmélet . Princeton, NJ: D. Van Nostrand Company, 1960. Újranyomta: Springer-Verlag, New York, 1974. ISBN   0-387-90092-6 (Springer-Verlag kiadás).
• Jech, Thomas, 2003. Halmazelmélet: A harmadik millenniumi kiadás, átdolgozva és kibővítve . Springer. ISBN   3-540-44085-2 .
• Kunen, Kenneth, 1980. Készletelmélet : Bevezetés a függetlenségi bizonyítékokba . Elsevier. ISBN   0-444-86839-9 .

Ez árucikk anyag axiómája áramfejlesztőt a PlanetMath , amely alatt licencelt Creative Commons Nevezd / Share-Alike License .