Közös értékű aukció - Common value auction

A közös értékű aukciókon az eladásra kerülő cikk értéke azonos az ajánlattevők között, de az ajánlattevők eltérő információkkal rendelkeznek a tétel értékéről. Ez ellentétben áll a magánértékű aukcióval, ahol minden ajánlattevőnek a tárgyra vonatkozó magánértékelése eltérő és független a társak értékelésétől.

A klasszikus példa a tiszta közös értékek aukció , amikor egy korsó tele negyedévekben elárverezik. Az üveg bárkinek ugyanannyit ér. Mindazonáltal minden ajánlattevőnek más a sejtése arról, hogy hány negyed van az edényben. A valós példák közé tartoznak a kincstári váltók aukciói, az első nyilvános ajánlatok, a spektrumárverések, a nagyon értékes festmények, műalkotások, régiségek stb.

A közös értékű aukciókon előforduló egyik fontos jelenség a győztes átka . Az ajánlattevők csak becslésekkel rendelkeznek az áru értékéről. Ha az ajánlattevők átlagosan helyesen becsülnek, akkor a legmagasabb ajánlatot általában valaki tette, aki túlbecsülte a termék értékét. Ez egy példa a kedvezőtlen szelekcióra , hasonlóan az Akerlof klasszikus " citrom " példájához . A racionális licitálók előre látják a kedvezőtlen választást, így annak ellenére, hogy információik túlzottan optimistaak lesznek, amikor nyernek, átlagosan nem fizetnek túl sokat.

Néha a nyertes átok kifejezést másképpen használják, arra az esetre utalva, amikor a naiv ajánlattevők figyelmen kívül hagyják a kedvezőtlen választást, és kellően többet ajánlanak, mint egy teljesen racionális ajánlattevő, hogy valójában többet fizetnek, mint amennyit a jó ér. Ez a használat elterjedt a kísérleti közgazdasági szakirodalomban, szemben az aukciókra vonatkozó elméleti és empirikus irodalommal.

Egymástól függő árverések

A közös értékű aukciók és a magánértékű aukciók két véglet. E két véglet között vannak egymástól függő értékű aukciók (más néven: kapcsolt értékű aukciók ), ahol az ajánlattevő értékelései (pl. ) Tartalmazhatnak közös értékkomponenst ( ) és privát értékű ( ) összetevőt. A két összetevő összekapcsolható, így az egyik ajánlattevő magánértékelése befolyásolhatja egy másik ajánlattevő értékelését. Az ilyen típusú aukciók a legtöbb valós aukciót tartalmazzák, és néha zavaros módon közös értékű aukciónak is nevezik őket. ${\ displaystyle \ theta _ {i} = \ theta +\ nu _ {i}}$ ${\ displaystyle \ theta}$ ${\ displaystyle \ nu _ {i}}$

Példák

A következő példákban egy közös értékű aukciót Bayes-játékként modelleznek . Megpróbálunk megtalálni egy Bayes -Nash -egyensúlyt (BNE), amely a játékos által birtokolt információk függvényében, annak a játékosnak az ajánlata. Egy szimmetrikus BNE -re (SBNE) összpontosítunk , amelyben minden ajánlattevő ugyanazt a funkciót használja.

Bináris jelek, első árú aukció

A következő példa Acemoglu és Özdağlar alapú .

Két ajánlattevő vesz részt az első árú, lezárt ajánlati árverésen egy olyan objektum esetében, amely mindkettőjüknek jó minőségű (V érték) vagy alacsony minőségű (0 érték). Minden ajánlattevő kap egy jelet, amely lehet magas vagy alacsony, valószínűsége 1/2. A jel a következőképpen kapcsolódik a valódi értékhez:

Ha legalább egy ajánlattevő alacsony jelzést kap, akkor a valódi érték 0.
Ha mindkettő magas jelet kap, akkor a valódi érték V.

Ez a játék nem rendelkezik SBNE-vel a tiszta stratégiákban.

BIZONYÍTÁS: Tegyük fel, hogy létezik ilyen egyensúly b . Ez egy függvény a jelzéstől az ajánlattételig, azaz az x jelű játékos b ( x ) licitál . Nyilvánvalóan b (alacsony) = 0, mivel az alacsony jelű játékos biztosan tudja, hogy a valódi érték 0, és semmit sem akar fizetni érte. Továbbá, b (magas) ≤ V, különben nem lesz nyereség a részvételben. Tegyük fel, hogy az 1. ajánlattevő b1 (magas) = B1> 0. A 2. ajánlattevőre keressük a legjobb választ, b2 (magas) = B2. Több eset is van:

A másik ajánlattevő B2 <B1 ajánlatot tesz. Ekkor várható nyeresége 1/2 (annak valószínűsége, hogy a 2. ajánlattevőnek alacsony a jele) -B2 (mivel ebben az esetben nyer egy értéktelen tételt, és b2 -t fizet (magas)), plusz 1/2 (annak valószínűsége, hogy az ajánlattevő 2 magas jelű) szoroz 0 -val (mivel ebben az esetben elveszíti a tételt). A teljes várható nyereség –B2/2, ami rosszabb, mint 0, így nem lehet a legjobb válasz.
A másik ajánlattevő B2 = B1 ajánlatot tesz. Ekkor a várható nyeresége 1/2 -−B2, plusz 1/2 -szerese 1/2 -szor [V− B2] (mivel ebben az esetben 1/2 valószínűséggel nyeri meg a tételt). A teljes várható nyereség (V - 3 B2)/4.
Az ajánlattevő b2 B2> B1 ajánlatot tesz. Ekkor várható nyeresége 1/2 -szeres –B2, plusz 1/2 -szerese [V− B2] (mivel ebben az esetben az 1 -es valószínűséggel nyeri meg a tételt). A teljes várható nyereség (2 V - 4 B2)/4.

Ez utóbbi kifejezés csak akkor pozitív, ha B2 <V/2. De ebben az esetben a #3 kifejezés nagyobb, mint a #2 kifejezés: mindig jobb valamivel többet ajánlani, mint a másik ajánlattevő. Ez azt jelenti, hogy nincs szimmetrikus egyensúly.

Ez az eredmény ellentétben áll a privát értékű esettel, ahol mindig van SBNE (lásd az első áras zárt ajánlati aukciót ).

Független jelzések, második árú aukció

A következő példa a következőkön alapul.

Két ajánlattevő vesz részt egy második árú, lezárt ajánlati aukción egy objektumra. Minden ajánlattevő jelzést kap ; a jelek függetlenek és folyamatosan egyenletes eloszlásúak [0,1]. Az értékelések a következők: ${\ displaystyle i}$ ${\ displaystyle s_ {i}}$

{\ displaystyle v_ {i} = a \ cdot s_ {i}+b \ cdot s _ {-i}}

hol vannak állandók ( magánértékeket jelent; közös értékeket jelent). ${\ displaystyle a, b}$ ${\ displaystyle a = 1, b = 0}$ ${\ displaystyle a = b}$

Itt van egy egyedi SBNE, amelyben minden játékos licitál:

{\ displaystyle b (s_ {i}) = (a+b) \ cdot s_ {i}}

Ez az eredmény ellentétben áll a privát értékű esettel, ahol az SBNE-ben minden játékos őszintén licitál az értékére (lásd a második árú, zárt ajánlati aukciót ).

Függő jelek, második árú aukció

Ezt a példát magyarázatként javasoljuk, hogy ugorjon az ajánlattételre az angol aukciókon .

Két ajánlattevő, Xenia és Yakov, egyetlen árverésen vesz részt. Az értékelések az AB -től és a C -től függenek - három független véletlen változó, amelyeket az egyenletes folyamatos eloszlásból vontak le [0,36]:

Xenia lát ; ${\ displaystyle X: = A+B}$
Jakov lát ; ${\ displaystyle Y: = B+C}$
Az elem közös értéke az . ${\ displaystyle V: = (X+Y)/2 = (A+2B+C)/2}$

Az alábbiakban több aukciós formátumot vizsgálunk meg, és mindegyikben találunk SBNE -t. Az egyszerűség kedvéért keressük az SBNE -t, amelyben minden ajánlattevő ajánlatot tesz szignáljának szorzataival : Xenia és Yakov licitál . Minden esetben megpróbáljuk megtalálni az értékét . ${\ displaystyle r}$ ${\ displaystyle r \ cdot X}$ ${\ displaystyle r \ cdot Y}$ ${\ displaystyle r}$

Egy lezárt ajánlattal rendelkező második árú aukción van egy SBNE , azaz minden ajánlattevő pontosan a saját jelzésével licitál. ${\ displaystyle r = 1}$

BIZONYÍTÁS: A bizonyítás Xenia szemszögéből néz ki. Feltételezzük, hogy tudja, hogy Jakov licitál , de nem tudja . Xenia legjobb válaszát találjuk Yakov stratégiájára. Tegyük fel, hogy Xenia licitál . Két eset van: ${\ displaystyle rY}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z \ geq rY}$ . Ekkor Xenia nyer és nettó nyereséget élvez . ${\ displaystyle V-rY = (X+Y-2rY)/2}$
${\ displaystyle Z <rY}$ . Ekkor Xenia veszít és nettó nyeresége 0.

Mindent összevetve, Xenia várható nyeresége (az X jelzés alapján):

{\ displaystyle \ int _ {Y = 0}^{Z/r} {X+Y-2rY \ over 2} \ cdot f (Y | X) dY}

ahol Y feltételes valószínűségi sűrűsége adott X-re. ${\ displaystyle f (Y | X)}$

A számítás alaptétele szerint ennek a kifejezésnek a származéka Z függvényében igazságos . Ez nulla, amikor . Tehát Xenia legjobb válasza az ajánlattétel . ${\ displaystyle {1 \ over r} {X+Z/r-2Z \ over 2} \ cdot f (Z/r | X)}$ ${\ displaystyle X = 2Z-Z/r}$ ${\ displaystyle Z = {rX \ over 2r-1}}$

Egy szimmetrikus BNE -ben Xenia licitál . Az utóbbi két kifejezés összehasonlítása azt sugallja . ${\ displaystyle Z = rX}$ ${\ displaystyle r = 1}$

Az árverező várható bevétele:

{\ displaystyle = E [\ min (X, Y)] = E [B+\ min (A, C)]}

{\ displaystyle = E [B]+E [\ min (A, C)]}

{\ displaystyle = 18+12 = 30}

Egy japán aukción az eredmény ugyanaz, mint a második áras aukción, mivel az információ csak akkor derül ki, amikor az egyik ajánlattevő kilép, de ebben az esetben az aukció véget ért. Így minden ajánlattevő kilép megfigyelésére.

Függő jelek, első áras aukció

A fenti példában az első árú, zárt ajánlattal rendelkező aukción van egy SBNE , azaz minden ajánlattevő a jelzésének 2/3-át teszi meg. ${\ displaystyle r = 2/3}$

BIZONYÍTÁS: A bizonyítás Xenia szemszögéből néz ki. Feltételezzük, hogy tudja, hogy Jakov licitál , de nem tudja . Xenia legjobb válaszát találjuk Yakov stratégiájára. Tegyük fel, hogy Xenia licitál . Két eset van: ${\ displaystyle rY}$ ${\ displaystyle Y}$ ${\ displaystyle Z}$

${\ displaystyle Z \ geq rY}$ . Ekkor Xenia nyer és nettó nyereséget élvez . ${\ displaystyle VZ = (X+Y-2Z)/2}$
${\ displaystyle Z <rY}$ . Ekkor Xenia veszít és nettó nyeresége 0.

Mindent összevetve, Xenia várható nyeresége (tekintettel X jelzésére és Z ajánlatára):

{\ displaystyle G (X, Z) = \ int _ {Y = 0}^{Z/r} {X+Y-2Z \ over 2} \ cdot f (Y | X) dY}

ahol Y feltételes valószínűségi sűrűsége adott X-re. ${\ displaystyle f (Y | X)}$

Mivel Y feltételes valószínűségi sűrűsége: ${\ displaystyle Y = X+CA}$

${\ displaystyle f (Y | X) = Y- (X-1)}$ amikor ${\ displaystyle X-1 \ leq Y \ leq X}$
${\ displaystyle f (Y | X) = (X+1) -Y}$ amikor ${\ displaystyle X \ leq Y \ leq X+1}$

Ha ezt a fenti képletbe helyettesíti, akkor a Xenia nyeresége:

{\ displaystyle G (X, Z) = {1 \ over r^{3}} (XZ^{2} r/2+Z^{3}/3-Z^{3} r)}

Ennek van maximum, amikor . De mivel szimmetrikus BNE -t akarunk, szeretnénk is . Ez a két egyenlőség együtt azt jelenti . ${\ displaystyle Z = {rX \ over 3r-1}}$ ${\ displaystyle Z = rX}$ ${\ displaystyle r = 2/3}$

Az árverező várható bevétele:

{\ displaystyle = E [\ max (fX, fY)] = (2/3) E [B+\ max (A, C)]}

{\ displaystyle = (2/3) (E [B]+E [\ max (A, C)])}

{\ displaystyle = (2/3) (18+24) = 28}

Vegye figyelembe, hogy itt a bevételi egyenértékűség elve NEM érvényes-az árverező bevétele alacsonyabb az első áras aukción, mint a második áras aukción (a bevétel egyenértékűsége csak akkor érvényes, ha az értékek függetlenek).

Kapcsolat a Bertrand versennyel

A közös értékű aukciók összehasonlíthatók a Bertrand versennyel . Itt a cégek az ajánlattevők, a fogyasztók pedig az árverezők. A cégek árakat ajánlanak a tétel valódi értékéig, de nem haladják meg azt. A vállalatok közötti versenynek nyereséget kell kihoznia. A cégek száma befolyásolja az árverési folyamat sikerét vagy más módon az árat a valódi érték felé. Ha a cégek száma kicsi, összejátszás lehetséges. Lásd: Monopoly , Oligopoly .

Languages

In other projects