Görbe vonalú koordináták - Curvilinear coordinates

Görbe vonalú (felső), affin (jobb) és derékszögű (bal) koordináták kétdimenziós térben

A geometria , görbe vonalú koordináták egy koordináta-rendszerben az euklideszi térben , ahol a koordináta vonalak lehetnek íveltek. Ezek a koordináták derékszögű koordinátakészletből származtathatók olyan transzformáció alkalmazásával, amely minden ponton lokálisan invertálható (egy-egy térkép). Ez azt jelenti, hogy a derékszögű koordinátarendszerben megadott pontot konvertálhatjuk görbére és vissza. A görbe vonalú koordináták neve , amelyet Lamé francia matematikus hozott létre , abból adódik, hogy a görbületi rendszerek koordináta felületei görbültek.

A háromdimenziós euklideszi térben ( R 3 ) görbe vonalú koordináta-rendszerek jól ismert példái hengeres és gömb alakú koordináták. Ebben a térben egy derékszögű koordinátafelület egy koordinátsík ; például z = 0 határozza meg az x - y síkot. Ugyanebben a térben az r = 1 koordinátafelület gömb alakú koordinátákban egy egységgömb felülete , amely görbült. A görbületi koordináták formalizmusa egységes és általános leírást nyújt a standard koordináta-rendszerekről.

Görbe vonalú koordinátákat gyakran használnak a fizikai mennyiségek elhelyezkedésének vagy eloszlásának meghatározására, amelyek lehetnek például skalárok , vektorok vagy tenzorok . Az ilyen mennyiségeket a vektorszámításban és a tenzoranalízisben bevonó matematikai kifejezések (például gradiens , divergencia , göndör és laplaciánusok ) transzformálhatók egyik koordináta-rendszerből a másikba, a skalárok, vektorok és tenzorok transzformációs szabályai szerint. Az ilyen kifejezések ekkor érvényesek lesznek bármely görbe vonalú koordinátarendszerre.

A görbe vonalú koordináta-rendszer egyes alkalmazásoknál egyszerűbb lehet, mint a derékszögű koordináta-rendszer. A részecskék mozgása a központi erők hatására általában könnyebben megoldható gömb alakú koordinátákban, mint derékszögű koordinátákban; ez igaz az R 3-ban definiált sok gömbszimmetriás fizikai problémára . Egy adott görbe vonalú koordináta-rendszer koordinátafelületeit követő határfeltételekkel rendelkező egyenletek könnyebben megoldhatók ebben a rendszerben. Míg leírhatjuk egy részecske mozgását egy téglalap alakú dobozban derékszögű koordináták segítségével, a gömb mozgása könnyebb a gömb koordinátáival. A gömb koordináták a leggyakoribb görbe vonalú koordinátarendszerek, amelyeket a földtudományokban , a térképészetben , a kvantummechanikában , a relativitáselméletben és a mérnöki tudományokban használnak .

Ortogonális görbületi koordináták 3 dimenzióban

Koordináták, bázis és vektorok

1. ábra - Koordináta felületek, koordinátavonalak és általános görbe vonalú koordináták koordinátatengelyei.
2. ábra - Koordináta felületek, koordinátavonalak és gömbkoordináták koordinátatengelyei. Felületek: r - gömbök, θ - kúpok, φ - félsíkok; Vonalak: r - egyenes gerendák, θ - függőleges félkörök, φ - vízszintes körök; Tengelyek: r - egyenes gerendák, θ - a függőleges félkörök érintői, φ - a vízszintes körök érintői

Egyelőre vegye fontolóra a 3D-s helyet . A 3D térben lévő P pont (vagy annak r pozícióvektora ) derékszögű koordinátákkal ( x , y , z ) [egyenértékűen írva ( x 1 , x 2 , x 3 )] határozható meg , ahol e x , e y , e z a standard bázis vektorok .

Azt is meg lehet által meghatározott görbe vonalú koordinátáit ( q 1 , q 2 , q 3 ) ha ez a hármas szám határoz meg egy pont egyértelmű módon. Ekkor a koordináták közötti kapcsolatot megadják az invertálható transzformációs függvények:

A q 1 = konstans, q 2 = konstans, q 3 = konstans felületeket koordinátafelületeknek nevezzük ; és a metszésük által párban képzett térgörbéket koordinátagörbéknek nevezzük . A koordinátatengelyeket a koordinátagörbék érintőivel határozzuk meg három felület metszéspontjában. Nem általában rögzített irányok vannak a térben, ami történhet az egyszerű derékszögű koordináták esetében, és így általában nincs természetes globális alapja a görbületű koordinátáknak.

A derékszögű rendszerben a standard bázisvektorok a P pont helyének a helyi koordinátához viszonyított deriváltjából származtathatók.

Ugyanezeket a származékokat a görbületre helyileg alkalmazva a P pontban meghatározzuk a természetes bázisvektorokat:

Az ilyen bázist, amelynek vektorai pontról pontra változtatják irányukat és / vagy nagyságukat, helyi alapnak nevezzük . A görbületi koordinátákkal társított összes bázis szükségszerűen lokális. Az alapvektorok, amelyek minden pontban azonosak, globális bázisok , és csak lineáris vagy affin koordinátarendszerekkel társíthatók .

Ehhez a cikkhez e a standard bázisra van lefoglalva (derékszögű), h vagy b pedig a görbe vonalra.

Ezek nem lehetnek egységhosszúak, és nem lehetnek ortogonálisak sem. Abban az esetben, ha azok derékszögűek minden ponton, ahol a deriváltak jól definiálhatók, meghatározzuk a Lamé-együtthatókat( Gabriel Lamé után )

és a görbe vonalú ortonormális alapú vektorokat

Ezek az alapvektorok jól függhetnek P helyzetétől ; ezért szükséges, hogy ne feltételezzük, hogy állandóak egy régióban. (Ezek technikailag alapját képezik a érintőnyalábbal az a P , és így a helyi és P ).

Általánosságban elmondható, hogy a görbe vonalú koordináták lehetővé teszik, hogy a h i természetes bázis vektorok ne legyenek mind egymásra merőlegesek, és ne legyenek egységnyi hosszúságúak: tetszőleges nagyságúak és irányúak lehetnek. Az ortogonális alap használata egyszerűbbé teszi a vektor-manipulációkat, mint a nem ortogonális esetében. A fizika és a mérnöki tudomány egyes területein , különös tekintettel a folyadékmechanikára és a kontinuummechanikára , nem ortogonális alapokra van szükség a deformációk és a folyadéktranszport leírására, hogy figyelembe vegyék a fizikai mennyiségek bonyolult irányfüggéseit. Az általános eset tárgyalása később ezen az oldalon jelenik meg.

Vektor számológép

Differenciálelemek

A ortogonális görbe vonalú koordinátákat, hiszen a teljes eltérés változás R jelentése

tehát skála tényezők

Nem ortogonális koordinátákban a hossza a pozitív négyzetgyöke ( Einstein-összegzési konvencióval ). A hat független skaláris szorzat g ij = h i . h j a természetes alap vektorok általánosítjuk a három skálafaktorok megadott ortogonális koordinátákat. A kilenc g ij a metrikus tenzor alkotóeleme , amelynek csak három nem nulla komponense van ortogonális koordinátákban: g 11 = h 1 h 1 , g 22 = h 2 h 2 , g 33 = h 3 h 3 .

Kovariáns és ellentmondásos alapok

Egy v ( piros ) vektor, amelyet • egy vektor alap ( sárga , bal: e 1 , e 2 , e 3 ) képvisel, érintő vektorok a görbék koordinálására ( fekete ) és • egy kovektor alap vagy kobázis ( kék , jobb: e 1 , e 2 , e 3 ), normál vektorok a felületek koordinálására ( szürke ) általában (nem feltétlenül ortogonális ) görbületi koordináták ( q 1 , q 2 , q 3 ). Az alap és a kobázis nem esik egybe, hacsak a koordinátarendszer nem merőleges.

A térbeli gradienseket, távolságokat, időszármazékokat és léptéktényezőket a bázisvektorok két csoportja kapcsolja össze a koordinátarendszeren belül:

  1. bázisvektorok, amelyek lokálisan érintenek a hozzájuk tartozó koordináta-vonalon:
    amely átalakul, mint kovariáns vektorok (amelyeket alacsonyabb indexekkel jelölünk), vagy
  2. bázisvektorok, amelyek lokálisan normálisak a többi koordináta által létrehozott izofelületre nézve:
    amely átalakul, mint kontravariantikus vektorok (emelt indexekkel jelölve), ∇ a del operátor .

Következésképpen egy általános görbe vonalú koordinátarendszer minden pontra két alapvektorkészlettel rendelkezik: { b 1 , b 2 , b 3 } a kovariáns alap, és { b 1 , b 2 , b 3 } az ellentmondásos (más néven reciprok) alapján. A kovariáns és kontravariáns bázistípusok azonos irányúak az ortogonális görbe vonalú koordinátarendszereknél, de szokásosan egymáshoz képest fordított egységekkel rendelkeznek.

Vegye figyelembe a következő fontos egyenlőséget:

ahol az általánosított Kronecker-delta .

A v vektor bármelyik alapon megadható, azaz

Az Einstein-összegzési egyezmény felhasználásával az alapvektorok a komponensekhez kapcsolódnak

és

ahol g a metrikus tenzor (lásd alább).

Egy vektor megadható kovariáns koordinátákkal (csökkent indexek, írott v k ) vagy kontravariant koordinátákkal (emelt indexek, írott v k ). A fenti vektorösszegekből látható, hogy a kontravariáns koordináták a kovariáns bázisvektorokkal, a kovariáns koordináták pedig a kontravariáns bázisvektorokkal társulnak.

A vektorok és a tenzorok indexelt komponensek és bázisvektorok ábrázolásának egyik fő jellemzője az invariancia abban az értelemben, hogy a kovariáns módon (vagy kontravarian módon) átalakuló vektor-komponensek párosulnak az ellentmondásos módon átalakuló bázisvektorokkal (vagy kovariáns módon).

Integráció

Kovariáns alap kialakítása egy dimenzióban

3. ábra - Helyi kovariáns bázis transzformációja általános görbe vonalú koordináták esetén

Tekintsük a egydimenziós görbével. 3. pontban a P , tekintsék a származási , x az egyik derékszögű koordináták, és q 1 egyike a görbe vonalú koordinátákat. A lokális (nem egység) bázisvektor b 1 ( fent h 1 jelöléssel , b-vel az egység vektorok számára fenntartva), és a q 1 tengelyre épül, amely a P pont koordinátavonalának érintője . A q 1 tengely és így a b 1 vektor szöget képez a derékszögű x tengellyel és az e 1 derékszögű vektorral .

A PAB háromszögből látható, hogy

ahol | e 1 |, | b 1 | a két alapvektor nagysága, vagyis a skalár elfogja a PB-t és a PA-t . A PA egyben a b 1 vetülete az x tengelyre.

Ez a módszer az alapvektor-transzformációkhoz irányított koszinuszok alkalmazásával azonban nem alkalmazható görbületi koordinátákra a következő okok miatt:

  1. A P- től való távolság növelésével a q 1 görbe vonal és az x derékszögű tengely közötti szög egyre inkább eltér .
  2. A PB távolságnál a valódi szög az, amelyet a C pont érintője az x tengellyel alkot, és ez utóbbi szög egyértelműen eltér .

A szögek, hogy a q 1 vonal és a tengelyre formában a x tengelyű közelebb érték a közelebbi felé halad pontot a P és vált pontosan megegyezik a P .

Legyen az E pont nagyon közel a P-hez , olyan közel, hogy a PE távolság végtelenül kicsi legyen. Ezután , polietilén mért q 1 tengely szinte egybeesik PE mért q 1 vonal. Ugyanakkor a PD / PE arány ( PD a PE vetülete az x tengelyen) majdnem pontosan megegyezik .

A végtelenül kicsi metszeteket PD és PE jelöljük dx-nek és d q 1-nek . Azután

.

Így az irányított koszinuszok transzformációkban helyettesíthetők a végtelenül kicsi koordináta-elfogások közötti pontosabb arányokkal. Ebből következik, hogy b 1 komponense (vetülete) az x tengelyen

.

Ha q i = q i ( x 1 , x 2 , x 3 ) és x i = x i ( q 1 , q 2 , q 3 ) sima (folyamatosan differenciálható) függvények, akkor az átalakítási arányok és ésként írhatók . Vagyis ezek az arányok az egyik rendszerhez tartozó koordináták részleges deriváltjai a másik rendszerhez tartozó koordinátákhoz képest.

Kovariáns alap kialakítása három dimenzióban

Ugyanezt téve a többi 2 dimenzió koordinátáira, b 1 kifejezhető:

Hasonló egyenletek érvényesek a b 2 és b 3 esetében is, így az { e 1 , e 2 , e 3 } standard alapot helyi (rendezett és normalizált ) bázissá alakítják { b 1 , b 2 , b 3 } a következő rendszerrel: egyenletek:

Analóg érveléssel meg lehet szerezni az inverz transzformációt helyi bázisról standard bázisra:

Jacobian az átalakulásról

A fenti lineáris egyenletrendszerek felírhatók mátrix formában az Einstein összegzési egyezmény felhasználásával

.

A lineáris rendszer ezen együtthatómátrixa az átalakítás Jacob-mátrixa (és annak inverze). Ezek az egyenletek használhatók a derékszögű alap görbe vonalúvá alakítására, és fordítva.

Három dimenzióban ezek a mátrixok kibővített formái

Az inverz transzformációban (második egyenletrendszer) az ismeretlenek a görbe vonalú vektorok. Bármely meghatározott helyre csak egy és csak egy bázisvektor-készlet létezhet (különben az alap nem pontosan definiált ezen a ponton). Ez a feltétel akkor és akkor teljesül, ha az egyenletrendszernek egyetlen megoldása van. A lineáris algebrában a lineáris egyenletrendszernek egyetlen megoldása van (nem triviális), ha a rendszermátrixának determinánsa nem nulla:

amely bemutatja az inverz jakobiai determinánsra vonatkozó fenti követelmény mögött meghúzódó indoklást.

N dimenziós általánosítás

A formalizmus minden véges dimenzióra kiterjed az alábbiak szerint.

Tekintsük a valós euklideszi n dimenziós tér, vagyis R n = R × R × ... × R ( n -szer), ahol R jelentése a halmaza a valós számok és × jelöli a Descartes-szorzat , amely egy vektor teret .

Ennek a térnek a koordinátáit jelölhetjük: x = ( x 1 , x 2 , ..., x n ). Mivel ez egy vektor (a vektortér eleme), így írható:

ahol e 1 = (1,0,0 ..., 0), e 2 = (0,1,0 ..., 0), e 3 = (0,0,1 ..., 0) ,. .., e n = (0,0,0 ..., 1) az R n tér vektorainak standard alapkészlete , és i = 1, 2, ... n indexkomponenseket jelöl. Minden vektornak pontosan egy komponense van minden dimenzióban (vagy "tengelyben"), és kölcsönösen merőlegesek ( merőlegesek ) és normalizáltak ( egységnyi nagyságúak ).

Általánosabban definiálhatjuk a b i bázisvektort úgy, hogy q = ( q 1 , q 2 , ..., q n ) függjenek , azaz pontról pontra változnak: b i = b i ( q ). Ebben az esetben meghatározzuk ugyanazt az x pontot ennek az alternatív alapnak a alapján: a koordináták ehhez az alaphoz v i szintén szükségszerűen függenek x-től , vagyis v i = v i ( x ). Ekkor az ebben a térben található v vektor ezen alternatív koordináták és bázisvektorok vonatkozásában lineáris kombinációként kibővíthető ezen az alapon (ami egyszerűen azt jelenti, hogy minden e i bázisvektort megszorozzunk v i számmal - skaláris szorzással ):

Az új bázisban v- t leíró vektorösszeg különböző vektorokból áll, bár maga az összeg ugyanaz marad.

Koordináták átalakítása

Általánosabban és absztraktabb perspektívából nézve a görbe vonalú koordinátarendszer egyszerűen egy koordinátafolt a differenciálható E n sokaságon (n-dimenziós euklideszi tér ), amely diffeomorf a sokszorosban lévő derékszögű koordinátafolthoz képest. A differenciálcsatornán található két diffeomorf koordinátafoltnak nem kell egymást átfedni. A görbe vonalú koordinátarendszer ilyen egyszerű meghatározásával az alábbiakban felsorolt ​​összes eredmény egyszerűen a standard tételek alkalmazása a differenciál topológiában .

Az átalakítási függvények olyanok, hogy egy-egy kapcsolat van a "régi" és az "új" koordináták pontjai között, vagyis ezek a függvények bijekciók , és a következő követelményeknek felelnek meg tartományukon belül :

  1. Ezek sima függvényekkel : q i = q i ( x )
  2. Az inverz jakobiai meghatározó

    nem nulla; vagyis az átalakítás megfordíthatatlan : x i ( q ).

    az inverz függvénytétel szerint . Az a feltétel, hogy a jakobiai determináns nem nulla, azt a tényt tükrözi, hogy három különböző családból származó felület egy és csak egy pontban keresztezi egymást, és így egyedülálló módon meghatározza ennek a pontnak a helyzetét.

Vektor és tenzor algebra háromdimenziós görbe vonalú koordinátákban

Megjegyzés: Az alábbiakban az ismételt indexek összegzésének Einstein-összegzési konvencióját alkalmazzuk.

A görbe vonalú koordinátákban elemi vektor és tenzor algebra a mechanika és a fizika régebbi tudományos irodalmában található, és nélkülözhetetlen lehet az 1900-as évek elejétől és közepétől származó munka megértéséhez, például Green és Zerna szövege. Néhány hasznos összefüggést a vektorok és a másodrendű tenzorok görbe vonalú koordinátáinak algebrájában adunk meg ebben a szakaszban. A jelölés és tartalom elsősorban Ogden, Naghdi, Simmonds, Green és Zerna, Basar és Weichert, valamint Ciarlet.

Tenzorok görbe vonalú koordinátákban

Másodrendű tenzor kifejezhető

ahol a tenzor szorzatot jelöli . A komponenseket S ij nevezik kontravariáns komponenseket, S i j a vegyes jobb kovariáns komponenseket, S i j a vegyes bal-kovariáns komponenseket, és S ij a kovariáns komponensei a másodrendű tenzor. A másodrendű tenzor összetevőit az

A metrikus tenzor ortogonális görbe vonalú koordinátákban

Minden pontban fel lehet építeni egy kis d x egyenes elemet , tehát a vonal elemének hossza a négyzet a d x • d x skaláris szorzat, és a tér metrikájának hívjuk :

.

A fenti egyenlet következő része

egy szimmetrikus tenzor úgynevezett alapvető (vagy mutató) tenzor az euklideszi térben a görbe vonalú koordináta.

Az indexeket a metrika emelheti és csökkentheti :

Kapcsolat a Lamé-együtthatókkal

Meghatározó léptéktényezőjének h i által

- kapcsolatot ad a metrikus tenzor és a Lamé együtthatók között, és

ahol h ij a Lamé-együtthatók. Ortogonális alapon:

Példa: Poláris koordináták

Ha figyelembe vesszük az R 2 polárkoordinátáit ,

(r, θ) a görbe vonalú koordináták, és az ( r , θ) → ( r cos θ, r sin θ) transzformáció jakobiai meghatározója r .

Az ortogonális alapvektorok b r = (cos θ, sin θ), b θ = (−r sin θ, r cos θ). A skála tényezők h r = 1 és h θ = r . Az alaptenzor g 11 = 1, g 22 = r 2 , g 12 = g 21 = 0.

A váltakozó tenzor

Ortonormális jobbkezes alapon a harmadrendű váltakozó tenzor definíciója:

Általános görbe vonalú alapon ugyanazt a tenzort fejezhetjük ki

Az is kimutatható

Christoffel szimbólumok

Az első típusú Christoffel szimbólumok

ahol a vessző részleges származékot jelöl (lásd Ricci calculus ). Γ kij kifejezése g ij kifejezéssel ,

Mivel

ezek felhasználásával a fenti összefüggések átrendezéséhez ad

A második típusú Christoffel-szimbólumok

Ez arra utal

mivel .

A következő kapcsolatok az alábbiak

Vektor műveletek

  1. Pontos termék :

    Két vektor görbe vonalú koordinátájú skaláris szorzata:

  2. Kereszt termék :

    A kereszt termék a két vektor adják

    ahol a permutációs szimbólum és egy derékszögű vektor. Görbe vonalú koordinátákban az ekvivalens kifejezés az

    hol van a harmadrendű váltakozó tenzor .

Vektor- és tenzorszámítás háromdimenziós görbe vonalú koordinátákban

Megjegyzés: Az alábbiakban az ismételt indexek összegzésének Einstein-összegzési konvencióját alkalmazzuk.

A vonal , a felület és a térfogat integráljainak kiszámításakor kiigazításokat kell végrehajtani . Az egyszerűség kedvéért az alábbiak három dimenzióra és merőleges görbe vonalú koordinátákra korlátozódnak. Ugyanezek az érvek érvényesek az n- dimenziós terekre is. Ha a koordináta-rendszer nem derékszögű, akkor a kifejezésekben vannak további kifejezések.

Simmonds a tenzorelemzésről szóló könyvében Albert Einstein mondását idézi

Ennek az elméletnek a varázsa aligha fog rákényszeríteni senkit, aki valóban megértette; a Gauss, Riemann, Ricci és Levi-Civita által alapított abszolút differenciálszámítási módszer valódi diadalát jelenti.

A vektor és a tenzor számítását az általános görbületi koordinátákban a tenzoranalízis során négydimenziós görbületű sokaságokon, az általános relativitáselméletben , az ívelt héjak mechanikájában , a Maxwell-egyenletek invarianciatulajdonságainak vizsgálatában használjuk, amelyek érdekesek voltak a metamaterialokban és sok más területen .

Néhány hasznos összefüggést a vektorok és a másodrendű tenzorok görbe vonalú koordinátáinak számításában ebben a szakaszban adunk meg. A jelölés és tartalom elsősorban Ogden, Simmonds, Green és Zerna, Basar és Weichert, valamint Ciarlet.

Legyen φ = φ ( x ) jól definiált skaláris mező és v = v ( x ) jól definiált vektormező, és λ 1 , λ 2 ... legyenek a koordináták paraméterei

Geometriai elemek

  1. Érintő vektor : Ha x ( λ ) egy C görbétderékszögű koordinátákbanparaméterez, akkor

    a C érintővektora görbe vonalú koordinátákban (a láncszabály alkalmazásával ). A Lamé-együtthatók definícióját felhasználva, és hogy a g ij = 0 metrikához, amikor ij , a nagysága:

  2. Tangenssík elem: Ha x ( λ 1 , λ 2 )derékszögű koordinátákbanparaméterez egy S felületet, akkor az érintő vektorok következő keresztterméke egy normális vektor S- re, végtelenül kis sík elem nagyságával, görbe koordinátákban. A fenti eredmény felhasználásával

    hol van a permutációs szimbólum . Meghatározó formában:

Integráció

Operátor Skaláris mező Vektor mező
Vonal integrál
Felületi integrál
Hangerő-integrál

Különbségtétel

A gradiens, a divergencia és a Laplacian kifejezései közvetlenül kiterjeszthetők n- dimenziókra, azonban a göndörítést csak 3D-ben határozzák meg.

A b i vektormező érintőleges a q i koordináta görbével, és természetes alapot képez a görbe minden pontján. Ezt az alapot, amint a cikk elején tárgyaltuk, kovariáns görbe alapúnak is nevezzük . Meghatározhatunk reciprok vagy kontravariantív görbe vonalú alapot is, b i . Az alapvektorok közötti összes algebrai kapcsolat, amint azt a tenzoralgebra szakaszban tárgyaltuk, vonatkozik a természetes alapra és annak kölcsönösségére az x egyes pontokban .

Operátor Skaláris mező Vektor mező 2. rendű tenzor mező
Gradiens
Eltérés N / A

ahol a tetszőleges állandó vektor. Görbe vonalú koordinátákban,

Laplacian
Becsavar N / A Csak vektoros mezők 3D-ben,

hol van a Levi-Civita szimbólum .

Lásd : egy tenzormező hullámzása

Fiktív erők általában görbe vonalú koordinátákban

Definíció szerint, ha egy részecske, amelyre nem hat rá erő, inerciális koordináta-rendszerben fejeződik ki ( x 1x 2x 3t ), akkor ott nem lesz gyorsulása (d 2 x j / d t 2  = 0). Ebben az összefüggésben a koordinátarendszer nem lehet „inerciális” akár nem egyenes időtengely, akár nem egyenes tértengely (vagy mindkettő) miatt. Más szavakkal, a koordináták bázisvektorai időben változhatnak a rögzített pozíciókban, vagy változhatnak a rögzített időpontokban, vagy mindkettőben. Amikor a mozgásegyenleteket bármilyen nem inerciális koordinátarendszerben fejezzük ki (ebben az értelemben), akkor extra kifejezések jelennek meg, Christoffel-szimbólumok. Szigorúan véve ezek a kifejezések az abszolút gyorsulás összetevőit képviselik (a klasszikus mechanikában), de dönthetünk úgy is, hogy továbbra is a d 2 x j / d t 2 -t tekintjük gyorsulásnak (mintha a koordináták inerciák lennének), és az extra feltételeket kezeljük. mintha erők lennének, ilyenkor fiktív erőknek hívják őket. Az ilyen fiktív erő részecskéjét, amely normális a részecske útjára és az út görbületének síkjában, centrifugális erőnek nevezzük .

Ez az általánosabb kontextus egyértelművé teszi a centrifugális erő fogalmainak megfelelését a forgó koordinátarendszerekben és az álló görbe vonalú koordinátarendszerekben. (Mindkét fogalom jelenik gyakran az irodalomban.) Egy egyszerű példa, tekintsünk egy tömegű részecske m mozgó sugarú kör r a szögsebességet w viszonyítva rendszer polárkoordináták forog szögsebességgel W . A mozgás radiális egyenlete mr ”=  F r  +  mr ( w  +  W ) 2 . Így a centrifugális erő mr- szerese a részecske A  =  w  +  W abszolút forgási sebességének négyzetének . Ha a részecske sebességén forgó koordináta-rendszert választunk, akkor W  =  A és w  = 0, ekkor a centrifugális erő mrA 2 , míg ha egy álló koordinátarendszert választunk, akkor W  = 0 és w  =  A , ebben az esetben a centrifugális erő ismét mrA 2 . Ennek az eredményegyenlőségnek az az oka, hogy mindkét esetben a részecske helyén lévő bázisvektorok időben ugyanúgy változnak. Ezért ezek valójában csak ugyanazon dolog leírásának két különböző módját jelentik: az egyik leírás a forgó koordinátákra vonatkozik, a másik pedig a helyhez kötött görbületi koordinátákra vonatkozik, amelyek mindkettő nem inerciális a kifejezés elvontabb jelentése szerint. .

Az általános mozgás leírásakor a részecskére ható tényleges erőket gyakran a mozgás útját érintő pillanatnyi oszculáló körre utaljuk, és ez a kör általában nem rögzített helyen van központosítva, így a centrifugálissá és a Corioliszra bomlás alkatrészek folyamatosan változnak. Ez függetlenül attól, hogy a mozgást álló vagy forgó koordinátákban írják le.

Lásd még

Hivatkozások

További irodalom

  • Spiegel, MR (1959). Vektorelemzés . New York: Schaum vázlatos sorozata. ISBN 0-07-084378-3.
  • Arfken, George (1995). Matematikai módszerek fizikusoknak . Academic Press. ISBN 0-12-059877-9.

Külső linkek