De Rham cohomology - De Rham cohomology

Vektormező, amely a lyukasztott sík differenciálformájának felel meg , amely zárt, de nem pontos, és azt mutatja, hogy ennek a térnek a de Rham-i kohomológiája nem triviális.

A matematika , de Rham kohomológia (elnevezett Georges de Rham ) egy olyan eszköz tartozó mind algebrai topológia és differenciál topológia , kifejezésére képes alapvető topológiai információkat sima sokaságok olyan formában igényeihez igazított számítás és a konkrét ábrázolása cohomology osztályok . Ez egy cohomology elmélet, amely az előírt tulajdonságokkal rendelkező differenciális formák létezésén alapul .

Minden pontos forma zárva van, de a fordítottja nem feltétlenül igaz. Másrészt összefüggés van a pontatlanság és a "lyukak" létezése között. A De Rham cohomology csoportok sima sokaságú változatlanok halmaza, amelyek mennyiségileg teszik a fent említett összefüggést, és ebben a cikkben tárgyaljuk.

A formák integrálása alapvető fontosságú a differenciál topológiában, a geometriában és a fizikában, és a kohomológia egyik legfontosabb példáját is adja , nevezetesen a de Rham cohomology -t , amely (nagyjából) pontosan méri, hogy az alaptétel milyen mértékben a számítás nem sikerül magasabb méretekben és általános elosztókon.
-  Terence Tao , Differenciálformák és integráció

Meghatározás

A de Rham komplexum a cochain komplex a differenciál formák néhány sima sokrétű M , a külső-származék , mint a differenciál:

ahol Ω 0 ( M ) a sima függvények tere az M -en , Ω 1 ( M ) az 1 -formák térfogata stb. Azokat az űrlapokat, amelyek a külső derivált alatti más formák képmása , valamint az Ω 0 ( M ) állandó 0 függvénye, pontosnak nevezzük, és azokat a formákat, amelyek külső deriváltja 0 , zártnak nevezzük (lásd Zárt és pontos differenciálformák ); a d 2 = 0 összefüggés ekkor azt mondja, hogy a pontos formák zárva vannak.

Ezzel szemben a zárt formák nem feltétlenül pontosak. Egy szemléltető eset egy kör, mint elosztó, és az 1 -alak megfelel a szög deriváltjának a középpontjában lévő referenciapontból, tipikusan -ként írva (a Zárt és pontos differenciálformáknál ). Nincs olyan θ függvény az egész körben, hogy a származéka; a kör 2 körüli pozitív irányba történő meghaladása 2 π -vel többértékű függvényt jelent θ . A kör egyik pontjának eltávolítása ezt kiküszöböli, ugyanakkor megváltoztatja az elosztó topológiáját.

A de Rham cohomology mögött meghúzódó ötlet az, hogy a zárt formák ekvivalenciaosztályait sokféleképpen határozzák meg. Egy osztályozza két zárt formában a- , β ∈ ohm k ( M ) , mint cohomologous ha eltérnek egy pontos formája, azaz, ha α - β egzakt. Ez a besorolás ekvivalencia relációt indukál a zárt formák terén Ω k ( M ) -ben . Ezután az egyik meghatározza, hogy a k -dik de Rham cohomology csoport az ekvivalenciaosztályok halmaza, vagyis a zárt formák halmaza Ω k ( M ) modulo a pontos formákhoz.

Megjegyezzük, hogy minden olyan M elosztóegységnél, amely m szétkapcsolt alkatrészből áll, és mindegyik csatlakoztatva van , ez megvan

Ez abból a tényből következik, hogy az M minden sima függvénye nulla deriváltval mindenhol külön állandó az M minden csatlakoztatott komponensén .

De Rham cohomology kiszámítva

Gyakran előfordulhat, hogy a sokaság általános de Rham -kohomológiái megtalálhatók a fenti tényt felhasználva a nulla kohomológiáról és egy Mayer -Vietoris szekvenciáról . Egy másik hasznos tény, hogy a de Rham cohomology egy homotópia változatlan. Bár a számítás nincs megadva, az alábbiakban néhány általános topológiai objektumra vonatkozóan kiszámítjuk a Rham -kohomológiákat :

Az n -gömb

Az n -gömbhöz , és a nyílt intervallumok szorzatával együtt véve a következőket kapjuk. Legyen n > 0, m ≥ 0 és I nyílt valós intervallum. Azután

Az n -tórus

A -torus a Descartes-szorzat: . Hasonlóképpen, itt lehetővé téve , megkapjuk

A tórusz de Rham -kohomológiájához kifejezetten generátorokat is találhatunk közvetlenül differenciálformák használatával. Adott egy hányados sokrétű és differenciális alakja azt mondhatjuk, hogy az -invariant ha adott semmilyen diffeomorphism által kiváltott , van . Különösen a pullback bármilyen formában is -invariant. Ezenkívül a visszahúzás injektív morfizmus. A mi esetünkben a differenciális formák vannak -invariant óta . De vegye figyelembe, hogy ez nem változatlan alak. Ez az injektivitással azt jelenti

Mivel a tórusz cohomology gyűrűjét az okozza , az ilyen formák külső termékeinek átvétele a tórusz de Rham kohomológiájának minden egyértelmű képviselőjét adja .

Lyukas euklideszi űr

A lyukasztott euklideszi tér egyszerűen eltávolítja az eredetet.

A Möbius szalag

Ebből arra a következtetésre juthatunk , hogy a Möbius -szalag , M , deformálódhat az 1 -es gömbre (azaz a valós egységkörre), hogy:

De Rham tétele

Stokes tétele egy kifejezés a kettősség közötti de Rham kohomológia és a homológia a láncok . Azt mondja, hogy a különböző formák és láncok párosítása az integráció révén homomorfizmust kölcsönöz a de Rham -i kohomológiától az egyes cohomology -csoportoknak. De Rham -tétel , amelyet Georges de Rham 1931 -ben bizonyított , kimondja, hogy a sima sokrétű M esetében ez a térkép valójában egy izomorfizmus .

Pontosabban, vegye figyelembe a térképet

az alábbiak szerint definiálva: bármelyik esetében legyen I ( ω ) az elem, amely a következőképpen működik:

A de Rham tétele azt állítja, hogy ez izomorfizmus a de Rham kohomológia és az egyedülálló cohomology között.

A külső termék e csoportok közvetlen összegét gyűrűs struktúrával ruházza fel . A tétel további eredménye, hogy a két cohomology gyűrű izomorf ( osztályozott gyűrűként ), ahol az egyedülálló cohomology analóg terméke a csészetermék .

Kötéselméleti de Rham izomorfizmus

A de Rham kohomológia az izomorf a Čech cohomology , ahol a kéve az Abel-csoportok által meghatározott valamennyi csatlakoztatott nyitott készletek , és a nyílt halmazok úgy, hogy a csoport morfizmus által adott identitás térképet , és ha van egy jó nyitott fedél of (azaz a nyitott borítóban lévő összes nyitott halmaz összehúzható egy ponttal, és a halmazok minden véges metszéspontja üres vagy összehúzható egy ponttal). Más szavakkal , az állandó köteg , amelyet az állandó előtörés hozzárendelése okoz .

Másképpen fogalmazva , ha egy kompakt C m +1 dimenziós sokaság , akkor mindegyiknek van izomorfizmusa

ahol a bal oldal a- de Rham cohomology csoport, a jobb oldal pedig a Čech cohomology a rostos köteg számára

Bizonyíték

Hagyja jelöli a kéve csírák a -izomer formájában létezhet az (a a kéve funkciók ). A Poincaré -lemma szerint a következő kézi sorrend pontos ( a kézi kategóriában ):

Ez a szekvencia most rövid, pontos sorozatokra bomlik

Ezek mindegyike hosszú, pontos szekvenciát indukál a cohomológiában. Mivel a sokaság funkcióinak kötege elismeri az egység felosztását , a köteg-cohomology eltűnik . Tehát maguk a hosszú, pontos cohomology szekvenciák végül izomorfizmusok láncolatára különülnek el. A lánc egyik végén a Čech cohomology, a másikban a de Rham cohomology áll.

Kapcsolódó ötletek

A de Rham cohomology számos matematikai ötletet inspirált, beleértve a Dolbeault cohomology -t , a Hodge -elméletet és az Atiyah -Singer index tételt . Azonban még klasszikusabb összefüggésekben is a tétel számos fejleményt inspirált. Először is, a Hodge -elmélet bizonyítja, hogy izomorfizmus van a harmonikus formákból álló kohomológia és a zárt formákból álló modem pontos formákból álló de Rham -kohomológia között. Ez a harmonikus formák és a Hodge -tétel megfelelő meghatározására támaszkodik. További részletekért lásd a Hodge elméletet .

Harmonikus formák

Ha M egy kompakt Riemann-gyűjtőcső , majd mindegyik ekvivalencia osztály tartalmaz pontosan egy harmonikus formában . Vagyis a zárt formák adott ekvivalenciaosztályának minden tagja írható

ahol pontos és harmonikus: .

Bármely harmonikus funkció egy kompakt Riemann -elosztón állandó. Így ez a sajátos reprezentatív elem úgy értelmezhető, mint egy extremum (minimum) az összes kohomológiailag ekvivalens formánál az elosztón. Például, egy 2 - tórusz , az egyik lehet elképzelni állandó 1 -forma, mint az egyik, ahol az összes „szőr” fésült szépen ugyanabban az irányban (és az összes „szőr”, amelyek azonos hosszúságú). Ebben az esetben két kohomológiai szempontból különálló fésülés van; az összes többi lineáris kombináció. Különösen ez azt jelenti, hogy az 1. Betti számát a 2 -torus kettő. Általánosságban elmondható, hogy egy -dimenziós tóruson figyelembe lehet venni a -formák különböző kombinációit a tóruszon. Vannak választani , mint fésülés, hogy lehet használni, hogy az alapot vektorok ; Az -ik Betti számát de Rham cohomology csoport az -torus tehát választani .

Pontosabban, az M differenciál -elosztó esetében fel lehet szerelni néhány segéd -Riemann -mutatóval . Ekkor a lappiai meghatározása

azzal a külső származékot és a codifferential . A Laplacian egy homogén ( osztályozásban ) lineáris differenciál operátor, amely a differenciálformák külső algebrájára hat : külön -külön tekinthetjük annak hatását a fokozat minden összetevőjére .

Ha van kompakt és orientált , a dimenziója a kernel a Laplace eljárva a tere k -izomer formájában létezhet ezután egyenlő (a Hodge elmélet ) az, hogy a de Rham cohomology csoport fokozat : a Laplace veszi ki egy egyedi harmonikus formában a zárt formák minden cohomology osztálya . Különösen az összes felharmonikus alakú tér izomorf a Minden ilyen tér dimenziója véges, és a -es Betti szám adja meg .

Hodge bomlás

Legyen egy kompakt orientált Riemann -elosztó . A Hodge -bontás kimondja, hogy a tetszőleges alakzat egyedileg három L 2 komponens összegére oszlik :

ahol pontos, együtt pontos és harmonikus.

Az egyik azt mondja, hogy a forma társ-zár, ha és társ-pontos, ha valamilyen formában , és hogy harmonikus, ha a Laplace nulla, . Ebből következik az a megjegyzés, hogy a pontos és együtt pontos formák ortogonálisak; az ortogonális komplement akkor zárt és együtt zárt formákból áll: azaz harmonikus formákból. Itt az ortogonalitást az L 2 belső termék tekintetében határozzák meg :

A Sobolev -terek vagy -eloszlások használatával a bomlás kiterjeszthető például egy teljes (orientált vagy nem) Riemann -elosztóra.

Lásd még

Idézetek

Hivatkozások

Külső linkek