Dupla inga - Double pendulum

Egy kettős inga két ingák csatolt végeiknél.

A fizikában és a matematikában a dinamikus rendszerek területén a kettős inga olyan inga , amelynek végére egy másik inga van csatlakoztatva, ez egy egyszerű fizikai rendszer , amely gazdag dinamikus viselkedést mutat , és erősen érzékeny a kezdeti feltételekre . A kettős inga mozgását a csatolt rendes differenciálegyenletek halmaza szabályozza, és kaotikus .

Elemzés és értelmezés

A kettős inga több változatát is figyelembe lehet venni; a két végtag egyenlő vagy egyenlőtlen hosszúságú és tömegű lehet, lehet egyszerű inga vagy összetett inga (más néven összetett inga), és a mozgás lehet három dimenziós vagy függőleges síkra korlátozott. A következő elemzésben, a végtagok veszik, hogy azonosak vegyületet ingával hosszúságú L és tömeges m , és a mozgás korlátozódik két dimenzióban.

Kettős vegyületű inga

A kettős vegyületű inga mozgása (a mozgási egyenletek numerikus integrációjából )

Kettős inga pályái

Összetett inga esetén a tömeg eloszlik a hosszában. Ha a masszát egyenletesen oszlik, akkor a tömegközéppontja az egyes végtag középpontjánál, és a végtag egy tehetetlenségi nyomatéka a I = 1/12ml ² kb.

Kényelmes az egyes végtagok és a függőleges közötti szögeket használni a rendszer konfigurációját meghatározó általános koordinátákként . Ezeket a szögeket θ ₁ és θ ₂ jelöljük . Az egyes rudak tömegközéppontjának helyzetét e két koordinátával lehet leírni. Ha a derékszögű koordináta -rendszer eredetét az első inga felfüggesztési pontjának tekintjük, akkor ennek az inga tömegközéppontja:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x_ {1} & = {\ frac {l} {2}} \ sin \ theta _ {1} \\ y_ {1} & =-{\ frac {l} {2 }} \ cos \ theta _ {1} \ end {aligned}}}$

és a második inga tömegközéppontja a

${\ displaystyle {\ begin {aligned} x_ {2} & = l \ left (\ sin \ theta _ {1}+{\ tfrac {1} {2}} \ sin \ theta _ {2} \ right) \ \ y_ {2} & =-l \ balra (\ cos \ theta _ {1}+{\ tfrac {1} {2}} \ cos \ theta _ {2} \ right) \ end {aligned}}}$

Ez elég információ ahhoz, hogy kiírjuk a lagrangiát.

Lagrangian

A Lagrangian az

${\ displaystyle {\ begin {aligned} L & = {\ text {kinetic energy}}-{\ text {potenciális energia}} \\ & = {\ tfrac {1} {2}} m \ left (v_ {1} ^{2}+v_ {2}^{2} \ jobb)+{\ tfrac {1} {2}} I \ balra ({{\ dot {\ theta}} _ {1}}^{2}+ {{\ dot {\ theta}} _ {2}}^{2} \ jobb) -mg \ bal (y_ {1}+y_ {2} \ jobb) \\ & = {\ tfrac {1} {2 }} m \ bal ({{\ dot {x}} _ {1}}^{2}+{{\ dot {y}} _ {1}}^{2}+{{\ pont {x}} _ {2}}^{2}+{{\ dot {y}} _ {2}}^{2} \ jobb)+{\ tfrac {1} {2}} I \ bal ({{\ dot { \ theta}} _ {1}}^{2}+{{\ dot {\ theta}} _ {2}}^{2} \ jobb) -mg \ left (y_ {1}+y_ {2} \ jobb) \ end {igazítva}}}$

Az első tag a testek tömegközéppontjának lineáris mozgási energiája , a második pedig az egyes rudak tömegközéppontja körüli forgási mozgási energia. Az utolsó kifejezés a testek potenciális energiája az egységes gravitációs mezőben. A dot-jelölés jelzi idő szerinti deriváltja a változó a kérdéses.

A fenti koordináták helyettesítése és az egyenlet átrendezése ad

${\ displaystyle L = {\ tfrac {1} {6}} ml^{2} \ left ({{\ dot {\ theta}} _ {2}}^{2} +4 {{\ dot {\ theta }} _ {1}}^{2} +3 {{\ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ cos (\ theta _ {1} -\ theta _ {2}) \ right)+{\ tfrac {1} {2}} mgl \ left (3 \ cos \ theta _ {1}+\ cos \ theta _ {2} \ right).}$

Csak egy konzervált mennyiség van (az energia), és nincs konzervált momentum. A két általánosított mozzanat így írható

${\ displaystyle {\ begin {aligned} p _ {\ theta _ {1}} & = {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {{\ dot {\ theta}} _ {1}}}} = {\ tfrac {1} {6}} ml^{2} \ balra (8 {{\ dot {\ theta}} _ {1}}+3 {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ cos ( \ theta _ {1}-\ theta _ {2}) \ right) \\ p _ {\ theta _ {2}} & = {\ frac {\ részleges L} {\ részleges {{\ pont {\ theta}} _ {2}}}} = {\ tfrac {1} {6}} ml^{2} \ left (2 {{\ dot {\ theta}} _ {2}}+3 {{\ dot {\ theta }} _ {1}} \ cos (\ theta _ {1}-\ theta _ {2}) \ right). \ End {aligned}}}$

Ezeket a kifejezéseket fordítva lehet megkapni

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {{\ dot {\ theta}} _ {1}} & = {\ frac {6} {ml^{2}}} {\ frac {2p _ {\ theta _ {1 }}-3 \ cos (\ theta _ {1}-\ theta _ {2}) p _ {\ theta _ {2}}} {16-9 \ cos ^{2} (\ theta _ {1}-\ theta _ {2})}} \\ {{\ dot {\ theta}} _ {2}} & = {\ frac {6} {ml^{2}}} {\ frac {8p _ {\ theta _ { 2}}-3 \ cos (\ theta _ {1}-\ theta _ {2}) p _ {\ theta _ {1}}} {16-9 \ cos ^{2} (\ theta _ {1}- \ theta _ {2})}}. \ end {igazított}}}$

A fennmaradó mozgási egyenleteket úgy írjuk fel

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {{\ dot {p}} _ {\ theta _ {1}}} & = {\ frac {\ részleges L} {\ részleges \ téta _ {1}}} =- {\ tfrac {1} {2}} ml^{2} \ balra ({{\ dot {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ sin (\ theta _ {1}-\ theta _ {2})+3 {\ frac {g} {l}} \ sin \ theta _ {1} \ right) \\ {{\ dot {p}} _ {\ theta _ {2}}} & = {\ frac {\ részleges L} {\ részleges \ theta _ {2}}} =-{\ tfrac {1} {2}} ml^{2} \ bal (-{{ \ pont {\ theta}} _ {1}} {{\ dot {\ theta}} _ {2}} \ sin (\ theta _ {1}-\ theta _ {2})+{\ frac {g} {l}} \ sin \ theta _ {2} \ right). \ end {aligned}}}$

Ez az utolsó négy egyenlet kifejezett képletek a rendszer időbeli alakulására, tekintettel a jelenlegi állapotára. Nem lehet tovább menni és integrálni ezeket az egyenleteket egy zárt formájú kifejezésbe, hogy θ ₁ és θ ₂ képleteket kapjunk az idő függvényeként. Lehetséges azonban ezt az integrációt numerikusan elvégezni a Runge Kutta módszerrel vagy hasonló technikákkal.

Kaotikus mozgás

Grafika az inga megfordulásának idejéről a kezdeti feltételek függvényében

Kaotikus mozgást mutató kettős inga hosszú expozíciója ( LED -del követhető )

A kettős inga kaotikus mozgáson megy keresztül , és érzékeny függést mutat a kezdeti feltételektől . A jobb oldali kép azt mutatja, hogy mennyi idő telt el az inga megfordulása előtt, a nyugalmi állapotban történő kioldás kezdeti helyzetének függvényében. Itt a θ ₁ kezdeti értéke az x -irány mentén -3,14 és 3,14 között mozog. A θ ₂ kezdeti érték az y -irány mentén mozog, -3,14 és 3,14 között. Az egyes képpontok színe azt jelzi, hogy az egyik inga belül forog -e:

• ${\ displaystyle {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (fekete)
• ${\ displaystyle 10 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (piros)
• ${\ displaystyle 100 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (zöld)
• ${\ displaystyle 1000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (kék) vagy
• ${\ displaystyle 10000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$ (lila).

Három kettős inga, amelyek közel azonos kezdeti feltételekkel válnak el az idő múlásával, jelezve a rendszer kaotikus jellegét.

Azok a kezdeti feltételek, amelyek nem vezetnek flip -hez, fehér színnel vannak ábrázolva. ${\ displaystyle 10000 {\ sqrt {\ frac {l} {g}}}}$

A középső fehér régió határát részben az energiatakarékosság határozza meg a következő görbével:

${\ displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1}+\ cos \ theta _ {2} = 2.}$

A görbe által meghatározott régión belül, ha

${\ displaystyle 3 \ cos \ theta _ {1}+\ cos \ theta _ {2}> 2,}$

akkor energetikailag lehetetlen, hogy bármelyik inga megforduljon. Ezen a régión kívül az inga megfordulhat, de összetett kérdés annak eldöntése, hogy mikor fordul el. Hasonló viselkedés figyelhető meg egy kettős inga, amely két pont tömegek helyett két rúd elosztott tömeg.

A természetes gerjesztési frekvencia hiánya kettős ingarendszerek használatához vezetett az épületek szeizmikus ellenállási tervezésében , ahol maga az épület az elsődleges fordított inga, és másodlagos tömeg van csatlakoztatva a kettős inga befejezéséhez.

Lásd még

• Dupla fordított inga
• Inga (matematika)
• A 20. század közepi fizika tankönyvekben a "kettős inga" kifejezést egyetlen bobra függesztik, amely egy zsinórra van felfüggesztve, és egy V alakú húrra. Ezt az ingatípust , amely Lissajous -görbéket állít elő , ma Blackburn -inga néven emlegetik .

Megjegyzések

Hivatkozások

• Meirovitch, Leonard (1986). A vibrációelemzés elemei (2. kiadás). McGraw-Hill Tudomány/Mérnöki tudomány/Matematika. ISBN 0-07-041342-8.
• Eric W. Weisstein, Kettős inga (2005), ScienceWorld (tartalmazza az érintett bonyolult egyenletek részleteit) és Rob Morris " Dupla inga ", Wolfram Demonstrations Project , 2007 (ezen egyenletek animációi).
• Peter Lynch , Kettős inga , (2001). (Java applet szimuláció.)
• Northwestern University, Double Pendulum , (Java applet szimuláció.)
• Elméleti nagy energiájú asztrofizikai csoport az UBC-nél, Double inga , (2005).

Külső linkek

• A kettős inga és a fizikai kettős inga (két négyzet alakú lemez) animációi és magyarázatai Mike Wheatland (Univ. Sydney)

• Interaktív nyílt forráskódú fizika JavaScript szimuláció részletes egyenletekkel dupla inga
• Kettős inga interaktív Javascript szimulációja
• Dupla ingafizikai szimuláció a www.myphysicslab.com webhelyről nyílt forráskódú JavaScript -kód használatával
• Rott inga szimulációja, egyenletei és magyarázata
• Összehasonlító videók egy dupla ingáról, azonos kezdeti feltételekkel a YouTube -on
• Dupla inga szimulátor - Nyílt forráskódú szimulátor, C ++ nyelven írva a Qt eszköztár segítségével .
• Az Imaginary kiállítás online Java szimulátora .