Felix Hausdorff - Felix Hausdorff

Felix Hausdorff
Született	( 1868-11-08 )1868. november 8 Breslau , Porosz Királyság (most Wrocław , Lengyelország )
Meghalt	1942. január 26. (1942-01-26)(73 éves) Bonn , Németország
Állampolgárság	német
alma Mater	Lipcsei Egyetem
Ismert
Házastárs (ok)	Charlotte Hausdorff (1873-1942)
Tudományos karrier
Mezők	Matematika
Intézmények	Bonni Egyetem , University of Greifswald , a Lipcsei Egyetem
Tézis	Zur Theorie der astronomischen Strahlenbrechung  (1891)
Doktori tanácsadó

Felix Hausdorff (1868. november 8. - 1942. január 26.) német matematikus, akit a modern topológia egyik alapítójának tartanak, és aki jelentős mértékben hozzájárult a halmazelmélethez , a leíró halmazelmélethez , a mértékelmélethez és a funkcionális elemzéshez .

Hausdorff és családja élete nehézzé vált 1938 -ban, Kristallnacht után. A következő évben kezdeményezi az Egyesült Államokba való emigrációt, de nem tudott intézkedni a kutatói ösztöndíj megszerzéséről. 1942. január 26-án Felix Hausdorff feleségével és sógornőjével együtt öngyilkosságban halt meg azzal, hogy túladagolták a veronálisokat , ahelyett, hogy eleget tettek volna az endenichi táborba költözésre vonatkozó német parancsnak, és ennek valószínű következményei vannak, amelyről nem tartott illúziókat.

Élet

Gyermekkor és ifjúság

Hausdorff apja, Louis Hausdorff zsidó kereskedő (1843–1896) 1870 őszén fiatal családjával Lipcsébe költözött, és idővel különböző vállalatoknál dolgozott, köztük egy vászon- és pamutárugyárban. Művelt ember volt, és 14 éves korában Morenu lett. Tollából több értekezés is található, köztük egy hosszú munka a Biblia arámi fordításairól a talmudi törvény szemszögéből .

Hausdorff édesanyja, Hedwig (1848–1902), akit különböző dokumentumokban Johanna néven is emlegetnek, a zsidó Tietz családból származott. E család másik ágából származott Hermann Tietz , az első áruház alapítója, később a "Hermann Tietz" nevű áruházlánc társtulajdonosa. A náci diktatúra időszakában a nevet Hertie -nek "árianizálták" .

Felix Hausdorff 1878 és 1887 között a lipcsei Nicolai Iskolába járt, amely intézmény a humanista nevelés melegágyaként híresült el. Kiváló tanuló, osztályvezető volt sok éven át, és gyakran szavalt saját maga írt latin vagy német verseket az iskolai ünnepségeken. Az 1887 -es érettségi során (két Oberprimennel) ő volt az egyetlen, aki elérte a legmagasabb fokozatot.

Hausdorff számára nem volt könnyű a témaválasztás. Magda Dierkesmann, aki 1926–1932 között Bonni diákjaként gyakran volt vendég Hausdorff otthonában , 1967 -ben arról számolt be, hogy:

Sokoldalú zenei tehetsége olyan nagy volt, hogy csak apja ragaszkodása késztette arra, hogy feladja a zenetanulási tervét és zeneszerzővé váljon.

Úgy döntöttek, hogy a természettudományokat középiskolában tanulják.

Fokozat, doktori fokozat és habilitáció

Hausdorff az 1887 -es nyári időszaktól az 1891 -es nyári félévig matematikát és csillagászatot tanult , főleg szülővárosában, Lipcsében, amelyet egy félév megszakított Freiburgban (1888. nyári félév) és Berlinben (1888/1889. Téli félév). Más hallgatók túlélő tanúvallomásai rendkívül sokoldalú érdeklődő fiatalemberként mutatják be őt, aki a matematikai és csillagászati ​​előadásokon kívül fizika , kémia és földrajz előadásokon vett részt , valamint filozófiáról és filozófiatörténetről , valamint nyelv , irodalom és társadalomtudományok . Lipcsében hallotta előadások a zenetörténet származó zenetudós Paul. Korai zeneszeretete egy életen át tartott; Hausdorff házában lenyűgöző zenei esték voltak a házigazdával a zongoránál, a különböző résztvevők tanúvallomása szerint. Már lipcsei diákként is Richard Wagner zenéjének csodálója és ismerője volt .

Tanulmányai későbbi féléveiben Hausdorff közel állt Heinrich Brunshoz (1848–1919). Bruns csillagászati ​​professzor és a lipcsei egyetem obszervatóriumának igazgatója volt. Alatt Hausdorff 1891 -ben végzett a légkörben a fény csillagászati ​​fénytörésének elméletével foglalkozó munkával. Két azonos témájú publikáció következett, és 1895 -ben habilitációja is következett egy tézissel a fény abszorbanciájáról a légkörben. Hausdorff e korai csillagászati ​​munkái - kiváló matematikai feldolgozásuk ellenére - nem nyertek jelentőséget. Először is, Bruns alapgondolata nem bizonyult életképesnek (a csillagászati ​​horizont közelében fénytörési megfigyelésekre volt szükség, amelyeket - mint Julius Bauschinger egy kicsit később kimutathatott - elvileg nem lehet a szükséges pontossággal megszerezni). Másrészt a légköri adatok ( időjárási ballon emelkedések) közvetlen mérésének előrehaladása azóta feleslegessé tette ezen adatok fénytörési megfigyelésekből származó fáradságos pontosságát. A PhD és a habilitáció közötti időben Hausdorff teljesítette az önkéntes katonai követelményeket, és két évig dolgozott emberi számítógépként a lipcsei obszervatóriumban .

Docens Lipcsében

Habilitációjával Hausdorff a lipcsei egyetem oktatója lett, és széleskörű oktatásban kezdett különféle matematikai területeken. A matematika oktatása és kutatása mellett irodalmi és filozófiai hajlamaival ment. Különféle érdeklődési körű, művelt, rendkívül érzékeny és kifinomult gondolkodású, érző és tapasztalt ember, lipcsei korszakában számos híres író, művész és kiadó társaságában járt, mint Hermann Conradi , Richard Dehmel , Otto Erich Hartleben , Gustav Kirstein , Max Klinger , Max Reger és Frank Wedekind . Az 1897 és 1904 közötti évek jelentik irodalmi és filozófiai kreativitásának csúcspontját, ezalatt 22 álnév -művéből 18 jelent meg, köztük egy verseskönyv, egy darab, egy ismeretelméleti könyv és egy aforizmákból álló kötet.

Hausdorff 1899 -ben feleségül vette Charlotte Goldschmidtet, Zigismund Goldschmidt zsidó orvos lányát. Mostohaanyja a híres szufragista és óvodapedagógus, Henriette Goldschmidt volt. Hausdorff egyetlen gyermeke, Lenore (Nora) lánya 1900 -ban született; túlélte a nemzetiszocializmus korszakát, és hosszú életet élt, 1991 -ben halt meg Bonnban.

Első professzor

1901 decemberében Hausdorffot a Lipcsei Egyetem adjunktusává nevezték ki. A gyakran ismételt állítás, miszerint Hausdorff hívást kapott Göttingenből, és elutasította azt, nem ellenőrizhető, és valószínűleg téves. Lipcsei jelentkezése során Dean Kirchner kollégáinak igen pozitív szavazatára késztette Heinrich Bruns írását, amelyet továbbra is a következő szavak kísértek:

A tantestület azonban kötelességének tartja, hogy jelentést tegyen a királyi minisztériumnak, hogy a fenti kérelemre ez év novemberében a kari értekezleten sor került, nem mindenki fogadta el, hanem 22 szavazattal 7 ellenében. A kisebbség ellenezte, mert Dr. Hausdorff a mozaik hitű.

Ez az idézet a leplezetlen antiszemitizmus jelenlétét hangsúlyozza , amely különösen az 1873-as Gründerkrach után éles fellendülést hozott az egész Német Birodalomban. Lipcse az antiszemita mozgalom központja volt, különösen a diákság körében. Ez lehet az oka annak, hogy Hausdorff nem érezte jól magát Lipcsében. Egy másik ok talán a lipcsei professzorok hierarchikus posztolásából adódó stressz volt.

Hausbitálása után Hausdorff újabb munkát írt az optikáról , a nem-euklideszi geometriáról és a hiperkomplex számrendszerekről , valamint két dolgozatot a valószínűségelméletről . Fő munkaterülete azonban hamar a halmazelmélet lett, különösen a rendezett halmazok elmélete . Ez kezdetben filozófiai érdeklődés volt, ami miatt 1897 körül Georg Cantor munkásságát tanulmányozta . Hausdorff már 1901 nyári félévében előadást tartott a halmazelméletről. Ez volt az egyik első halmazelméleti előadás; Ernst Zermelo előadásai a Göttingeni Főiskolán az 1900/1901 -es téli félévben valamivel korábban voltak. Ebben az évben tette közzé első, a megbízástípusokról szóló tanulmányát, amelyben megvizsgálta a jól megrendelések általánosítását, az úgynevezett osztályozott megbízástípusokat , ahol a lineáris sorrendet akkor minősítik, ha nincs két szegmense azonos megbízástípussal . Ő generalizált a Cantor-Bernstein tétel , amely szerint a gyűjtemény a megszámlálható érdekében típus rendelkezik a számossága a kontinuum , és megmutatta, hogy a gyűjtemény minden osztályozott fajta egy idempotens számosságú m van számossága 2 ^m .

A nyári félévre 1910 -ben Hausdorffot a bonni egyetem professzorává nevezték ki . Bonnban előadást kezdett a halmazelméletről, amelyet 1912 nyári félévében ismételgetett, lényegesen átdolgozva és kibővítve.

1912 nyarán elkezdte dolgozni a magnum opusán, a halmazelmélet alapjai című könyvön is . Greifswaldban fejeződött be, ahol 1913 -ban Hausdorffot a nyári félévre kinevezték rendes professzornak, és 1914 áprilisában szabadították fel.

A Greifswaldi Egyetem volt a legkisebb porosz egyetem. A matematikai intézet is kicsi volt; a nyári félévben 1916 és a téli félévben 1916/17 Hausdorff volt az egyetlen matematikus Greifswaldban. Ez magával hozta, hogy szinte teljesen elfoglalta az alapszakok oktatását. Hausdorffot 1921 -ben Bonnba nevezték ki, ez jelentősen javította tanulmányi helyzetét. Itt tematikusan széles körű tanítást fejleszthetett ki, és mindig előadást tartott a legújabb kutatásokról. Különösen figyelemre méltó előadást tartott a valószínűségelméletről (NL Hausdorff: 21. kapszula: Fasz 64) az 1923. évi nyári félévben, amelyben ezt az elméletet mértékelméleti axiomatikus elméletre alapozta, és ez tíz évvel azelőtt történt, hogy AN Kolmogorov "Basic" valószínűségelméleti fogalmak "(teljes egészében újranyomtatva az összegyűjtött művekben, V. kötet). Bonnban Hausdorffon Eduard Study , később Otto Toeplitzzel kiváló matematikusok, valamint kollégák és barátok dolgoztak .

A náci diktatúra és az öngyilkosság alatt

A nemzetiszocialista párt állami doktrínája megalapozta az antiszemitizmust és a hatalomátvételt. Hausdorffot eredetileg nem érintette az 1933 -ban elfogadott " Törvény a hivatásos közszolgálat helyreállításáról ", mert 1914 előtt német tisztviselő volt. Azonban nem kímélték meg teljesen, mivel egyik előadását félbeszakította Náci diákok. November 20 -tól leállította az 1934/1935 -ös téli félév Calculus III tanfolyamát. Ezalatt a Bonn Egyetemen a Nemzetiszocialista Német Diákszövetség (NSDStB) munkamenete volt, amely a "Faj és nemzetiség" témát választotta a félévben. A feltételezés szerint ez az esemény a Hausdorff -féle óra lemondásával függ össze, mert különben soha, egyetemi tanári pályafutása során soha nem állított le egy osztályt.

1935. március 31 -én, némi oda -vissza járás után, Hausdorff végre emeritus státuszt kapott. Nem köszönetet mondtak a német felsőoktatási rendszer 40 éves sikeres munkájáért. Fáradhatatlanul dolgozott, és halmazelméleti munkájának kibővített kiadása mellett hét, topológiával és leíró halmazelmélettel kapcsolatos művet tett közzé, amelyek mindegyike lengyel magazinokban jelent meg: az egyik a Studia Mathematica , a többi a Fundamenta Mathematicae -ban .

Ő Nachlass azt mutatja, hogy Hausdorff még mindig működik matematikailag ezekben egyre nehezebb időkben és az azt követő jelenlegi fejlemények az érdeklődés. Ebben az időben önzetlenül támogatta őt Erich Bessel-Hagen , a Hausdorff család hű barátja, aki könyveket és folyóiratokat szerzett az intézet könyvtárából, ahová Hausdorff már nem léphetett be zsidóként.

Azokról a megaláztatásokról, amelyeknek Hausdorff és családja különösen ki volt téve az 1938-as Kristallnacht után , sok ismeretes és sok különböző forrásból, például Bessel-Hagen leveleiből.

Hiába, Hausdorff 1939 -ben Richard Courant matematikustól kért kutatói ösztöndíjat, hogy kivándorolhasson az USA -ba.

Közepén 1941-ben a bonni zsidókat kezdték deportálták a kolostor „örökös imádás” a Endenich , ahonnan az apácák már kiutasították. A szállítások a keleti haláltáborokba később történtek. Miután Hausdorff, felesége és felesége nővére, Edith Pappenheim (aki velük élt) 1942 januárjában elrendelték, hogy költözzenek az endenichi táborba, 1942. január 26 -án öngyilkosságban meghaltak a veronal túladagolásával . Utolsó nyughelyük a bonni Poppelsdorfer temetőben található. Az ideiglenes táborokban való elhelyezésük és öngyilkossága között kézzel írott Nachlass -ját Hans Bonnet egyiptológusnak és presbiternek adta , aki a lehető legtöbbet megmentette, annak ellenére, hogy házát bombával rombolták le.

Néhány zsidótársának lehettek illúziói az Endenich táborról, de nem Hausdorffnak. E. Neuenschwander Bessel-Hagen birtokán fedezte fel azt a búcsúlevelet, amelyet Hausdorff írt ügyvédjének, Hans Wollsteinnek, aki szintén zsidó volt. Íme a levél eleje és vége:

Kedves Wollstein barátom!

Ha megkapja ezeket a sorokat, mi (hárman) más módon oldottuk meg a problémát - ahogyan Ön folyamatosan próbált lebeszélni minket. Az a biztonságérzet, amelyet megjósoltál nekünk, miután legyőztük a lépés nehézségeit, még mindig elkerül minket; ellenkezőleg, Endenich talán nem is a vég!

Ami az elmúlt hónapokban a zsidók ellen történt, jogos félelmet kelt, hogy nem hagynak minket élni, hogy elviselhetőbb helyzetet lássunk.

Miután megköszönte barátainak, és nagy nyugalommal kifejezte utolsó kívánságait a temetésével és akaratával kapcsolatban, Hausdorff ezt írja:

Sajnálom, hogy mi okozhatja, még több erőfeszítést a halál után, és meg vagyok győződve, hogy Ön mit csinál, ha lehet csinálni (ami talán nem túl sok). Bocsásd meg elhagyatottságunkat! Kívánjuk Önnek és minden barátunknak, hogy jobb időket éljenek át.

Igazán odaadó

Felix Hausdorff

Sajnos ez a vágy nem teljesült. Hausdorff ügyvédjét, Wollsteint meggyilkolták Auschwitzban .

Hausdorff könyvtárát veje és egyedüli örököse, Arthur König adta el. A kézzel írott Nachlass -ot egy családi barátja, Hans Bonnet bonni egyiptológus fogadta örökbe. Jelenleg a bonni egyetemen és az állami könyvtárban található. A Nachlass katalógusban van.

Munka és recepció

Hausdorff filozófus és író (Paul Mongré)

Hausdorff 1897 -ben megjelent aforizmákból álló kötete volt az első műve, amely Paul Mongré álnéven jelent meg. Sant 'Ilario a címe . Gondolatok Zarathustra tájáról . Sant 'Ilario alcíme: "Gondolatok Zarathustra tájáról" először azzal játszik, hogy Hausdorff a könyvet Genova liguriai partvidékén végzett helyreállítási ideje alatt fejezte be, és hogy ugyanezen a területen Friedrich Nietzsche írta az első kettőt. az Így beszélt Zarathustra részei; utal Nietzschéhez való lelki közelségére is. A Die Zukunft című hetilapban Sant 'Ilario -ról szóló cikkében Hausdorff expresis verbis elismerte tartozását Nietzschével szemben.

Hausdorff nem akarta Nietzschét másolni, sőt meghaladni. "A Nietzsche -utánzatnak nyoma sincs" - mondja egy korabeli recenzió. Nietzschét követi, hogy megkísérelje felszabadítani az egyéni gondolkodást, felvenni a szabadságot az elavult normák megkérdőjelezésére. Hausdorff kritikus távolságot tartott Nietzsche késői műveitől. A hatalom akarata című könyvről írt esszéjében a Nietzsche Archívumban maradt jegyzetekből azt mondja:

Nietzschében fanatikus izzik. A tenyésztési erkölcse a tudás jelenlegi biológiai és fiziológiai alapjaira épült: ez világtörténeti botrány lehet, amely ellen az inkvizíció és a boszorkányperek ártalmatlan aberrációkká fakadnak.

Kritikai mércéjét magától Nietzschétől vette,

A kedves, szerény, megértő Nietzschétől és a hűvös, dogmatikus, rendszertelen szkeptikus Nietzsche szabad szellemétől ...

1898 -ban jelent meg - szintén Paul Mongré álnév alatt - Hausdorff ismeretelméleti kísérlete, a Káosz a kozmikus kiválasztásban . A könyvben előterjesztett metafizikai kritika kiindulópontja Hausdorff szembesítése volt Nietzsche örök megismétlődési elképzelésével. Végül elpusztít mindenféle metafizikát. Magáról a világról, a transzcendens világmagból - ahogy Hausdorff kifejezte - semmit nem tudunk és semmit sem tudunk. Fel kell tételeznünk „magát a világot”, mint meghatározatlant és meghatározhatatlanot, puszta káoszt. Tapasztalataink világa, a kozmoszunk a kiválasztás eredménye, a kiválasztás, amelyet mindig ösztönösen a megértés és a teremtés lehetőségei szerint hajtottunk végre. Ebből a káoszból más rendek, más kosmóiak is elképzelhetők. A kozmoszunk világából mindenesetre nem vonhatjuk le a transzcendens világ létezését.

1904-ben a The New Rundschau folyóiratban megjelent Hausdorff színdarabja, az orvos egyszereplős színdarabja tiszteletére . Nyers szatíra a párbajról, valamint a porosz tisztikar becsületének és nemességének hagyományos fogalmairól, amelyek a fejlődő polgári társadalomban egyre inkább anakronisztikusak voltak. Az orvos tiszteletére Hausdorff legnagyobb irodalmi sikere volt. 1914–1918 -ban számos előadás volt több mint harminc városban. Hausdorff később írt egy epilógust a darabból, de akkor még nem adták elő. Ennek az utószónak csak 2006 -ban volt a premierje a német matematikai társaság bonni éves találkozóján.

A fent említett művek mellett Hausdorff számos esszét írt, amelyek megjelentek az akkori idők vezető irodalmi folyóirataiban, valamint verseskönyvet, az Ecstasyt (1900). Néhány versét Joseph Marx osztrák zeneszerző zenésítette meg .

A rendezett halmazok elmélete

Hausdorff részvételét a megrendelt halmazok alapos tanulmányozásában részben Cantor folytonossági problémája késztette: a sarkalatos szám melyik helyet foglalja el a sorozatban . 1904. szeptember 29 -én Hilberthez intézett levelében beszél erről a problémáról, "ez szinte monomániának tűnik". A készletben új stratégiát látott a probléma megtámadására. Cantor gyanakodott , de csak megmutatta . a „szám” a lehetséges jól megrendeléseknek egy megszámlálható halmaz  ; most az összes lehetséges ilyen összegű megrendelés "számaként" jelent meg. Természetes volt tehát, hogy olyan rendszereket tanulmányoztak, amelyek különlegesebbek, mint az általános rendelések, de általánosabbak, mint a jól elrendeltek. Hausdorff ezt tette 1901 -es első kötetében az "osztályozott halmazok" elméleti tanulmányainak közzétételével. Kurt Gödel és Paul Cohen eredményeiből tudjuk , hogy ez a folyamat a folytonossági probléma megoldására ugyanolyan hatástalan, mint Cantor stratégiája, amelynek célja a zárt halmazokra vonatkozó Cantor – Bendixson elv általános megszámlálhatatlan halmazokra való általánosítása volt. ${\ displaystyle \ aleph = 2^{\ aleph _ {0}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ mathrm {card} (T (\ aleph _ {0})) = \ aleph}$${\ displaystyle \ aleph = \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph \ geq \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph}$

1904 -ben Hausdorff közzétette a róla elnevezett rekurziót:

Minden nem korlátos sorrendünk van${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ aleph _ {\ mu}^{\ aleph _ {\ alpha}} = \ aleph _ {\ mu} \; \ aleph _ {\ mu -1}^{\ aleph _ {\ alpha}}. }$

Ez a képlet, a Hausdorff által bevezetett későbbi kofinalitásfogalommal együtt, az összes további eredmény alapja az Aleph -kitevéshez . Hausdorff kiváló ismereteit az ilyen típusú szekvenciák problémáiról az is megerősítette, hogy igyekezett feltárni a hibát Julius König 1904. évi heidelbergi Nemzetközi Kongresszusán tartott előadásában . Ott König azzal érvelt, hogy a kontinuum nem rendezett jól, tehát a kardinális nem Aleph, és így nagy kavarodást váltott ki. Különös súlya van annak az állításnak, hogy Hausdorff tisztázta a hibát, mert hamis kép rajzolódott ki a történelmi irodalomban több mint 50 éve a heidelbergi eseményekről.

Az 1906–1909 közötti években Hausdorff alapvető munkáját a megrendelt díszleteken végezte. Csak néhány pont érhető el röviden. Az egész elmélet szempontjából alapvető fontosságú a Hausdorff által bevezetett kofinalitás fogalma . Egy sorrendet akkor nevezünk szabályosnak, ha minden kisebb sorrenddel végleges; különben szinguláris. Hausdorff kérdése, hogy vannak -e olyan szabályos számok, amelyeknek határértéke határértékű, kiindulópontja volt a hozzáférhetetlen bíborosok elméletének. Hausdorff már észrevette, hogy az ilyen számoknak, ha léteznek, "túlzott méretűnek" kell lenniük.

Alapvető fontosságú a következő Hausdorff -tétel: minden korlátlan rendezett sűrű halmazhoz két egyedileg meghatározott szabályos kezdő szám tartozik, tehát a végleges és a coinitial (* Fordított sorrendet jelöl). Ez a tétel például egy technikát biztosít a rendezett halmazok elemeinek és hiányosságainak jellemzésére. Így Hausdorff az általa bevezetett réskaraktereket és elemkaraktereket használta fel. ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi}, \ omega _ {\ eta}}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle \ omega _ {\ xi}}$${\ displaystyle \ omega _ {\ eta}^{*}}$

Ha egy előre meghatározott karakterkészlet (elem- és réskarakter), felmerül a kérdés, hogy vannak -e olyan rendezett halmazok, amelyek karakterkészlete pontosan . Könnyen megtalálható a szükséges feltétel . Hausdorff be tudta mutatni, hogy ez a feltétel is elegendő. Ehhez a megrendelt készletek gazdag tárolója szükséges; Hausdorff ezt az általános termékek és hatalmak elméletével hozta létre. Ebben a tározóban olyan érdekes szerkezetek találhatók, mint a Hausdorff normál típusok, amelyekkel kapcsolatban Hausdorff először megfogalmazta az általánosított kontinuum hipotézist . Hausdorff halmazai képezték a kiindulópontot a telített szerkezet fontos modellelméletének tanulmányozásához . ${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle W}$${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}$${\ displaystyle \ eta _ {\ alpha}}$

Hausdorff általános termékei és kardinális hatáskörei a részben megrendelt készlet koncepciójához vezettek. Arra a kérdésre, hogy a részben rendezett halmaz bármely rendezett részhalmaza szerepel-e a maximális rendezett részhalmazban, Hausdorff a jólrendező tételt használva pozitív választ adott. Ez a Hausdorff maximális elv . Ez nem csak a jól rendező tételből következik (vagy a választott (ezzel egyenértékű) axiómából), hanem-mint kiderült-még a választott axiómával is egyenértékű.

Már 1908 -ban Arthur Moritz Schoenflies a halmazelméletről szóló jelentésének második részében megállapította, hogy a rendezett halmazok újabb elmélete (vagyis az, ami Cantor kiterjesztése után történt) szinte kizárólag Hausdorffnak köszönhető.

A "Magnum Opus": "Halmazelmélet alapelvei"

A korábbi elképzelések szerint a halmazelmélet nemcsak az általános halmazelméletet és a ponthalmazok elméletét foglalta magában, hanem a dimenzió- és mértékelméletet is. Hausdorff munkája volt az első olyan tankönyv, amely szisztematikusan és teljes bizonyításokkal bemutatta a halmazelméletet ebben a tág értelemben. Hausdorff tisztában volt vele, hogy az emberi elme milyen könnyen tévedhet, miközben a szigorra és az igazságra is törekszik. Tehát a munka előszavában ezt javasolta:

A tévedés emberi kiváltságából, hogy a lehető leggazdaságosabban használják fel.

Ez a könyv messze túlmutatott az ismert mesteri ábrázolásán. A szerző fontos eredeti hozzászólásait is tartalmazta, amelyekre csak utalni lehet a következőkben.

Az első hat fejezet az általános halmazelmélet alapfogalmaival foglalkozik. Az elején a Hausdorff részletes halmazalgebrát mutat be néhány úttörő új fogalommal (különbségi láncok, halmazgyűrűk és halmazmezők , - és -rendszerek). Ezek a halmazokra és azok összefüggéseire vonatkozó bevezető bekezdések tartalmazták például a függvények modern halmazelméleti fogalmát. Ezt követi a 3–5. Fejezetben a bíboros számok, a sorrendek és az ordinálok klasszikus elmélete. A hatodik fejezetben, a "Rendelt és jól rendezett halmazok kapcsolatai" című fejezetben Hausdorff többek között bemutatja a rendezett halmazokkal kapcsolatos saját kutatásainak legfontosabb eredményeit. ${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle \ sigma}$

A „ponthalmazokról” szóló fejezetekben - a topológiai fejezetekben - Hausdorff először dolgozta ki az ismert szomszédsági axiómák alapján a topológiai terek szisztematikus elméletét, ahol ezenkívül hozzáadta a később róla elnevezett elválasztási axiómát. Ez az elmélet más matematikusok korábbi megközelítéseinek átfogó szintéziséből és Hausdorff saját gondolataiból adódik a tér problémájából. A klasszikus ponthalmaz-elmélet fogalmai és tételei -amennyire csak lehetséges-átkerülnek az általános esetbe, és így az újonnan létrehozott általános vagy halmazelméleti topológia részévé válnak. De Hausdorff nemcsak ezt a "fordítási munkát" végezte, hanem kidolgozta a topológia alapvető konstrukciós módszerét is, mint a nukleáció (belső, sűrű mag) és a héjképzés (lezárás), és dolgozik a nyitott fogalom alapvető fontosságán. és a Fréchet által bevezetett tömörség. Ő is megalapozta és kifejlesztette az összekapcsolt halmaz elméletét, különösen a "komponens" és a "kvázi komponens" kifejezések bevezetésével. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$

Az első és végül a második Hausdorff -számlálható axiómával a szóban forgó terek fokozatosan tovább specializálódtak. A megszámlálható első axiómát kielégítő terek nagy osztálya metrikus terek . Őket 1906 -ban mutatta be Fréchet "osztályok (E)" néven. A "metrikus tér" kifejezés Hausdorffból származik. A Principles című könyvben kifejlesztette a metrikus terek elméletét, és szisztematikusan gazdagította azt egy sor új fogalommal: Hausdorff metrika , teljes , teljes korlátosság , -kapcsolat, redukálható halmazok. Fréchet munkáját alig vették észre; csak Hausdorff elvei révén váltak a metrikus terek a matematikus közös tulajdonává. ${\ displaystyle \ rho}$

Az illusztrációkkal foglalkozó fejezetet és az Alapelvek utolsó fejezetét a mértékről és az integrációelméletről gazdagítja az anyag általánossága és a bemutatás eredetisége. Hausdorff említése a mértékelmélet valószínűségének fontosságáról nagy történelmi hatást gyakorolt, annak lakonikus rövidsége ellenére. Egy leletek az ebben a fejezetben az első helyes bizonyítéka erős nagy számok törvénye az Émile Borel . Végül a függelék tartalmazza az egész könyv egyetlen leglátványosabb eredményét, nevezetesen Hausdorff tételét, amely szerint nem lehet kötetet definiálni a (z) számára . A bizonyítás Hausdorff paradox golyóbontásán alapul, amelynek előállítása megköveteli a választás axiómáját. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle n \ geq 3}$

A 20. század folyamán szabvány lett, hogy matematikai elméleteket építenek az axiomatikus halmazelméletre. Az axiomatikailag megalapozott általánosított elméletek, például az általános topológia megalkotása többek között arra szolgált, hogy a különböző szerkezeti esetek vagy régiók közös szerkezeti magját kiemeljék, majd egy absztrakt elméletet állítsanak fel, amely ezeket a részeket speciális esetként tartalmazta. Ez nagy sikert hozott egyszerűsítés és harmonizáció formájában, és végül magával hozta a gondolatgazdaságosságot. Hausdorff maga is kiemelte ezt a szempontot az alapelvekben . A topológiai fejezet alapfogalmai módszertanilag úttörő erőfeszítések, és utat mutattak a modern matematika fejlődésének.

A halmazelmélet alapelvei az első világháború előestéjén már feszült időben jelentek meg. 1914 augusztusában a háború, amely drámai módon befolyásolta az európai tudományos életet is. Ilyen körülmények között aligha lehetett hatékony Hausdorff könyve a megjelenését követő első öt -hat évben. A háború után a fiatal kutatók új generációja nekilátott, hogy kiterjessze azokat a javaslatokat, amelyek ebben a munkában ilyen bőségesen szerepeltek, és kétségtelenül a topológia volt a figyelem középpontjában. A Fundamenta Mathematicae folyóirat különleges szerepet játszott az 1920 -ban Lengyelországban alapított Hausdorff ötleteinek fogadásában. Ez volt az egyik első matematikai folyóirat, amely különös hangsúlyt fektetett a halmazelméletre, a topológiára, a valós függvények elméletére, a mérték- és integrációelméletre, a funkcionális elemzésre. , a matematika logikája és alapjai. Ebben a spektrumban különös hangsúlyt kapott az általános topológia. Hausdorff alapelvei figyelemre méltó gyakorisággal jelen voltak a Fundamenta Mathematicae -ben az első kötetben. Az 1920 -tól 1933 -ig az első húsz kötetben megjelent 558 mű közül (Hausdorff saját három műve nincs kiszámítva), 88 idézi az Alapelveket . Még azt is figyelembe kell venni, hogy mivel Hausdorff felfogásai egyre inkább általánossá váltak, ezért számos olyan műben is használták őket, amelyek nem említették őket kifejezetten.

Az orosz topológiai iskola által alapított Paul Alexandroff és Paul Urysohn , alapult erősen Hausdorff azon elvek . Ezt mutatja a Hausdorff -féle Nachlass -ban fennmaradt levelezés Urysohnnal, és különösen Alexandroff és Urysohn Mémoire sur les multiplicités Cantoriennes című könyvnyi munkája, amelyben Urysohn kifejlesztett dimenzióelméletet és elveket nem kevesebb, mint 60 -szor idézik.

A második világháború után jóval komolyabb igény mutatkozott Hausdorff könyve iránt, és a Chelsea -nél három újbóli kiadás történt 1949 -ben, 1965 -ben és 1978 -ban.

Leíró halmazelmélet, mértékelmélet és elemzés

1916 -ban Alexandroff és Hausdorff önállóan megoldotta a Borel halmazok folytonossági problémáját: Minden Borel halmaz egy teljes, elkülöníthető metrikus térben vagy megszámolható, vagy megvan a kontinuum kardinalitása. Ez az eredmény általánosítja a Cantor – Bendixson -tételt, amelyet egy ilyen állítás érvényes a zárt halmazokra . A lineáris halmazoknál William Henry Young 1903 -ban bizonyította az eredményt, a sorozatoknál Hausdorff 1914 -ben kapott megfelelő eredményt az alapelvekben . Alexandroff és Hausdorff tétele erős lendületet adott a leíró halmazelmélet továbbfejlesztéséhez. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle G _ {\ delta}}$${\ displaystyle G _ {\ delta \ sigma \ delta}}$

Hausdorff publikációi közül Greifswald idejében különösen kiemelkedő az 1919 -es Dimenzió és külső mérték című mű . Továbbra is nagyon aktuális, és a későbbi években valószínűleg a legtöbbet idézett matematikai eredeti mű volt az 1910 és 1920 közötti évtizedből. Ebben a munkában vezették be azokat a fogalmakat, amelyeket ma Hausdorff -mértéknek és a Hausdorff -dimenziónak neveznek .

A Hausdorff -dimenzió fogalma hasznos a "nagyon durva mennyiségek" jellemzésére és összehasonlítására. A dimenzió és a külső mérték fogalmai számos területen alkalmaztak és továbbfejlesztettek, mint például a dinamikus rendszerek elmélete, a geometriai méréselmélet, az önhasonló halmazok és fraktálok elmélete, a sztochasztikus folyamatok elmélete, harmonikus elemzés, potenciálelmélet és a számelmélet.

Hausdorff jelentős elemző munkája második alkalommal történt Bonnban. Az Összefoglalási módszerek és pillanatszekvenciák I -ben 1921 -ben az összegző módszerek egész osztályát dolgozta ki a divergens sorozatokhoz, amelyeket ma Hausdorff -módszereknek neveznek . A Hardy „s klasszikus eltérő sorozat , egy egész fejezetet szentel a Hausdorff módszer. Hölder és Cesàro klasszikus módszerei különleges Hausdorff -módszernek bizonyultak. Minden Hausdorff -metódust egy momentumsorozat ad meg; ebben az összefüggésben Hausdorff véges intervallumra adott elegáns megoldást a pillanatfeladatra, megkerülve a folytonos törtek elméletét. A Moment problémák véges intervallumban az 1923 kezelt több különleges pillanat problémákra, mint például bizonyos korlátozásokkal generáló sűrűség , például . A megoldhatóság kritériumai és a pillanatnyi problémák meghatározása sok éven át foglalkoztatta Hausdorffot, amint Nachlass tanúsága szerint több száz oldalnyi tanulmány foglalkozik vele . ${\ displaystyle \ varphi (x)}$${\ displaystyle \ varphi (x) \ in L^{p} [0,1]}$

A huszadik években kialakuló funkcionális elemzéshez jelentős mértékben hozzájárult, hogy Hausdorff a Riesz-Fischer-tételt kiterjesztette a terekre 1923-ban, a Parseval tétele a Fourier-sorozatról című művében . Bebizonyította a most róla és WH Youngról elnevezett egyenlőtlenségeket . A Hausdorff – Young egyenlőtlenségek a legfontosabb új fejlemények kiindulópontjává váltak. ${\ displaystyle L^{p}}$

Hausdorff Set Theory című könyve 1927 -ben jelent meg. Ezt az Elvek második kiadásaként nyilvánították , de valójában teljesen új könyv volt. Mivel a skála jelentősen csökkent a Goschen tankönyvtárában való megjelenése miatt, a rendezett halmazok és mérések elméletének nagy részét és az integrációs elméletet eltávolították. "Többet, mint ezek a törlések, az olvasó talán sajnálni fogja" (mondta Hausdorff az előszóban), "hogy én, hogy még több helyet takarítsak meg a ponthalmaz -elméletben, elhagytam azt a topológiai nézőpontot, amely révén az első kiadás nyilvánvalóan sok barátot szerzett a metrikus terek könnyebb elméletére szorítkoztam. "

Valójában ez kifejezetten sajnálta a mű néhány bírálóját. Egyfajta kompenzációként Hausdorff először mutatta meg a leíró halmazelmélet akkori jelenlegi állapotát. Ez a tény szinte ugyanolyan intenzív fogadtatást biztosított a könyv számára, mint az Alapelvek , különösen a Fundamenta Mathematicae -ban. Tankönyvként nagyon népszerű volt. 1935 -ben bővített kiadás jelent meg, és ezt Dover 1944 -ben újranyomta. 1957 -ben jelent meg angol fordítás, 1962 -ben és 1967 -ben.

Volt orosz kiadás is (1937), bár csak részben volt hű fordítás, részben pedig Alexandroff és Kolmogorov átdolgozása . Ebben a fordításban a topológiai nézőpont ismét előtérbe került. 1928 -ban Hans Hahn tollából megjelent a Halmazelmélet áttekintése . Talán Hahnnak a német antiszemitizmus veszélye járt a fejében, amikor a következő mondattal zárta ezt a vitát:

Példaértékű ábrázolás minden tekintetben egy nehéz és tüskés területre, egyenrangú munka azokkal, amelyek a német tudomány hírnevét hordozták a világról, és olyanok, amelyekre minden német matematikus büszke lehet.

Az utolsó művek

Hausdorff 1938 -ban, Erweiterung einer stetigen Abbildung című utolsó munkájában kimutatta, hogy a metrikus tér zárt részhalmazából származó folytonos funkció kiterjeszthető mindenre (bár a kép kiterjesztése szükséges lehet). Mint egy különleges eset, minden homeomorfizmus re bővíthető a homeomorfizmus származó . Ez a munka a korábbi évek eredményeit mutatta be. Hausdorff 1919 -ben, az Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung című könyvében többek között a Tietze kiterjesztési tétel újabb bizonyítékát adta . 1930 -ban az Erweiterung einer Homöomorphie -ban (A homeomorfizmus kiterjesztése) a következőket mutatta be: Legyen metrikus tér, zárt részhalmaz. Ha új metrikát kap a topológia megváltoztatása nélkül, akkor ez a mutató kiterjeszthető a teljes térre a topológia megváltoztatása nélkül. A Gestufte Räume című mű 1935 -ben jelent meg. Itt Hausdorff olyan terekről beszélt, amelyek teljesítették a Kuratowski -bezárási axiómákat, egészen az idempotencia axiómájáig. Osztályozott tereknek nevezte őket (gyakran zárótereknek is nevezik őket), és felhasználta őket a Fréchet -határvonalak és a topológiai terek közötti kapcsolatok tanulmányozásakor . ${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle E}$${\ displaystyle F \ subseteq E}$${\ displaystyle F}$

Hausdorff névadónak

A Hausdorff név az egész matematikában megtalálható. Többek között ezeket a fogalmakat nevezték el róla:

• Hausdorff tér
• Hausdorff -mérték
• Hausdorff dimenzió
• Hausdorff befejezése
• Hausdorff konvergencia
• Hausdorff metrika
• Hausdorff maximális elv
• Hausdorff - Fiatal egyenlőtlenség
• Baker – Campbell – Hausdorff képlet
• Hausdorff paradoxon

A bonni és a greifswaldi egyetemen ezeket a dolgokat nevezték el tiszteletére:

• a bonni Hausdorff Matematikai Központ ,
• a bonni Hausdorff Matematikai Kutatóintézet , és
• a Felix Hausdorff Internationale Begegnungszentrum Greifswaldban.

Ezeken kívül Bonnban található a Hausdorffstraße (Hausdorff utca), ahol először élt. (Haus-Nr. 61.). Greifswaldban található a Felix-Hausdorff – Straße, ahol többek között a Biokémiai és Fizikai Intézetek találhatók. 2011 óta van egy "Hausdorffweg" (Hausdorff-Way) a Lipcsei Ortsteil Gohlis közepén .

A 24947 Hausdorff aszteroidát róla nevezték el.

Írások

Mint Paul Mongré

Itt csak a szövegben megjelent esszék válogatása látható.

• Sant'Ilario. Gedanken aus der Landschaft Zarathustras. Verlag CG Naumann, Lipcse 1897.
• Das Chaos in kosmischer Auslese - Ein erkenntniskritischer Versuch. Verlag CG Naumann, Lipcse 1898; Újranyomva Max Bense előszavával: Baden-Baden: Agis-Verlag 1976, ISBN  3-87007-013-7
• Massenglück und Einzelglück. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (1), (1898), S. 64–75.
• Das irreinliche Jahrhundert. Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 9 (5), (1898), S. 443–452.
• Ekstasen. A verseskötet. Verlag H. Seemann Nachf., Lipcse 1900.
• Der Wille zur Macht. In: Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 13 (12) (1902), S. 1334–1338.
• Max Klingers Beethoven. Zeitschrift für bildende Kunst, Neue Folge 13 (1902), S. 183–189.
• Sprachkritik Neue Deutsche Rundschau (Freie Bühne) 14 (12), (1903), S. 1233–1258.
• Der Arzt seiner Ehre, Groteske. In: Die neue Rundschau (Freie Bühne) 15 (8), (1904), S. 989-1013. Új kiadás: Der Arzt seiner Ehre. Komödie in einem Akt mit einem Epilog. Hans Alexander Müller 7 portréjával és fametszetével Walter Tiemann rajzai alapján, 10 Bl., 71 S. Leipziger ötödik nyomtatása Bibliophilen-Abends, Lipcse 1910. Új kiadás: S. Fischer, Berlin 1912, 88 S.

Ahogy Felix Hausdorff

• Beiträge zur Wahrscheinlichkeitsrechnung . Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Lipcse. Math.-fiz. Classe 53 (1901), S. 152–178.
• Über eine gewisse Art geordneter Mengen. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Lipcse. Math.-fiz. Classe 53 (1901), S. 460–475.
• Das Raumproblem ( Megnyitó előadás a Lipcsei Egyetemen 1903. július 4 -én). Ostwald Annals of Natural Philosophy 3 (1903), S. 1–23.
• Der Potenzbegriff in der Mengenlehre . A DMV éves jelentése 13 (1904), S. 569–571.
• Untersuchungen über Ordnungstypen I, II, III. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Lipcse. Math.-phys. \ Klasse 58 (1906), S. 106–169.
• Untersuchungen über Ordnungstypen IV, V. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Lipcse. Math.-fiz. Klasse 59 (1907), S. 84–159.
• Über dichte Ordnungstypen . A DMV éves jelentése 16 (1907), S. 541–546.
• Grundzüge einer Theorie der geordneten Mengen . Math. Annalen 65 (1908), S. 435–505.
• Die Graduierung nach dem Endverlauf. Proceedings of the Royal Saxon Society for the Sciences at Lipcse. Math.-fiz. Klasse 31 (1909), S. 295–334.
• Grundzüge der Mengenlehre . Verlag Veit & Co, Lipcse. 476 S. mit 53 ábra. További nyomtatványok: Chelsea Pub. Rt. 1949, 1965, 1978.
• Die Mächtigkeit der Borelschen Mengen . Math. Annalen 77 (1916), S. 430–437.
• Dimension und äußeres Maß . Math. Annalen 79 (1919), S. 157–179.
• Über halbstetige Funktionen und deren Verallgemeinerung . Math. Zeitschrift 5 (1919), S. 292–309.
• Summationsmethoden und Momentfolgen I , II. Math. Zeitschrift 9 (1921), I: S. 74-109, II: S. 280–299.
• Eine Ausdehnung des Parsevalschen Satzes über Fourierreihen . Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 163–169.
• Momentprobleme für ein endliches Intervall . Math. Zeitschrift 16 (1923), S. 220–248.
• Mengenlehre , második átdolgozott kiadás. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 285 S. 12 ábrával.
• Erweiterung einer Homöomorphie (PDF; 389 kB) Fundamenta Mathematicae 16 (1930), S. 353–360.
• Mengenlehre , harmadik kiadás. Egy további fejezettel és számos melléklettel. Verlag Walter de Gruyter & Co., Berlin. 307 S. mit 12 ábra. Nachdruck: Dover Pub. New York, 1944. Angol kiadás: Halmazelmélet . A németből fordította: J. R. Aumann et al. Chelsea Pub. Co., New York 1957, 1962, 1967.
• Gestufte Räume. (PDF; 1,2 MB) Fundamenta Mathematicae 25 (1935), S. 486–502.
• Erweiterung einer stetigen Abbildung (PDF; 450 kB) Fundamenta Mathematicae 30 (1938), S. 40–47.
• Nachgelassene Schriften . 2 kötet. Szerk .: G. Bergmann, Teubner, Stuttgart 1969. A Nachlass , I. kötet tartalmazza fascicles 510-543, 545-559, 561-577, Volume II fascicles 578-584, 598-658 (összes fascicles megadott telefax).

Hausdorff a megrendelt készletekről . Trans. és szerk .: Jacob M. Plotkin, Amerikai Matematikai Társaság 2005.

Összegyűjtött művek

A "Hausdorff-kiadás", szerkesztette E. Brieskorn (†), F. Hirzebruch (†), W. Purkert (minden Bonn), R. Remmert (†) (Münster) és E. Scholz (Wuppertal) az együttműködéssel több mint húsz matematikusból, történészből, filozófusból és tudósból áll, az Észak-Rajna-Vesztfáliai Tudományos, Bölcsészettudományi és Művészeti Akadémia folyamatos projektje, amely Hausdorff műveit kívánja bemutatni kommentárral és sok további anyaggal. A köteteket a Springer-Verlag , Heidelberg kiadta . Kilenc kötet jelent meg, az I. kötetet IA és IB kötetre bontva. További információkért tekintse meg a Hausdorff Project (német) Hausdorff Project weboldalát . A kötetek a következők:

• IA sáv: Allgemeine Mengenlehre. 2013, ISBN  978-3-642-25598-4 .
• Zenekar IB: Felix Hausdorff - Paul Mongré (Életrajz). 2018, ISBN  978-3-662-56380-9 .
• Zenekar II: Grundzüge der Mengenlehre (1914) . 2002, ISBN  978-3-540-42224-2
• III. Sáv: Mengenlehre (1927, 1935); Leírás Mengenlehre und Topologie . 2008, ISBN  978-3-540-76806-7
• IV. Sáv: Elemzés, Algebra és Zahlentheorie . 2001, ISBN  978-3-540-41760-6
• V. sáv: Astronomie, Optik und Wahrscheinlichkeitstheorie . 2006, ISBN  978-3-540-30624-5
• VI. Zenekar: Geometrie, Raum und Zeit . 2020. ISBN  978-3-540-77838-7
• Zenekar VII: Philosophisches Werk . 2004, ISBN  978-3-540-20836-5
• Zenekar VIII: Literarisches Werk . 2010, ISBN  978-3-540-77758-8
• IX . Sáv: Korrespondenz. 2012, ISBN  978-3-642-01116-0 .

Hivatkozások

• Alexandroff, P .; Hopf, H .: Topológia. Springer-Verlag , Berlin 1935.
• Brieskorn, E .: Gustav Landauer und der Mathematiker Felix Hausdorff. In: H. Delf, G. Mattenklott: Gustav Landauer im Gespräch - Symposium zum 125. Geburtstag. Tübingen 1997, S. 105–128.
• Brieskorn, E. (Hrsg.): Felix Hausdorff zum Gedächtnis. Aspekte kerítőháló Werkes. Vieweg , Braunschweig/Wiesbaden 1996.
• Brieskorn, E .; Purkert, W .: Felix Hausdorff-Biographie. (Band IB der Edition), Springer, Heidelberg 2018.
• Eichhorn, E .; Thiele, E.-J .: Vorlesungen zum Gedenken and Felix Hausdorff , Heldermann Verlag  [ de ] , Berlin 1994, ISBN  3-88538-105-2 .
• Koepke, P., Kanovei V., Deskriptive Mengenlehre in Hausdorffs Grundzügen der Mengenlehre , 2001, uni-bonn.de (pdf)
• Lorentz, GG: Das mathematische Werk von Felix Hausdorff. Jahresbericht der DMV 69 (1967), 54 (130) -62 (138).
• Purkert, Walter: Felix Hausdorff kettős élete/Paul Mongré. Mathematical Intelligencer, 30 (2008), 4, S. 36 és később.
• Purkert, Walter: Felix Hausdorff - Paul Mongré. Matematikus - filozófus - Betűk embere . Hausdorff Matematikai Központ, Bonn, 2013.
• Stegmaier, W .: Ein Mathematiker in der Landschaft Zarathustras. Felix Hausdorff és a filozófus. Nietzsche-Studien 31 (2002), 195–240.
• Vollhardt, F .: Von der Sozialgeschichte zur Kulturwissenschaft? Die literarisch-essayistischen Schriften des Mathematikers Felix Hausdorff (1868–1942): Vorläufige Bemerkungen in systematischer Absicht. In: Huber, M .; Lauer, G. (Hrsg.): Nach der Sozialgeschichte - Konzepte für eine Literaturwissenschaft zwischen Historischer Anthropologie, Kulturgeschichte und Medientheorie. Max Niemeier Verlag, Tübingen 2000, S. 551–573.
• Wagon, S .: A Banach – Tarski paradoxon . Cambridge Univ. Press, Cambridge 1993.
• Lexikon deutsch-jüdischer Autoren  [ de ] , Band 10, Saur, München 2002, S. 262–268

Lásd még

• Gromov – Hausdorff konvergencia
• Hausdorff távolság
• Hausdorff -rés
• Maurice René Fréchet
• Hausdorff -érmet

Hivatkozások

Külső linkek

• Felix Hausdorff , a Matematika Genealógiai Projektben
• O'Connor, John J .; Robertson, Edmund F. , "Felix Hausdorff" , MacTutor Matematikatörténeti archívum , St Andrews Egyetem
• A Hausdorff kiadás honlapja (német)
• Hausdorff Findbuch
• Hausdorff Matematikai Központ Bonnban