Fourier-analízis -Fourier analysis
Fourier transzformációk |
---|
A matematikában a Fourier-analízis ( / ˈf ʊr i eɪ , -i ər / ) annak tanulmányozása, hogy az általános függvények hogyan ábrázolhatók vagy közelíthetők egyszerűbb trigonometrikus függvények összegeivel . A Fourier-elemzés a Fourier-sorok tanulmányozásából nőtt ki , és Joseph Fourier- ról kapta a nevét , aki kimutatta, hogy egy függvényt trigonometrikus függvények összegeként ábrázolva nagyban leegyszerűsíti a hőátadás vizsgálatát .
A Fourier-analízis tárgya a matematika széles spektrumát öleli fel. A tudományban és a mérnöki tudományokban a függvény oszcilláló komponensekre bontásának folyamatát gyakran Fourier-analízisnek nevezik, míg a függvények ezekből a darabokból történő újraépítését Fourier-szintézisnek nevezik . Például annak meghatározása, hogy milyen komponens- frekvenciák vannak jelen egy hangjegyben, egy mintavételezett hangjegy Fourier-transzformációjának kiszámításával járna. Ezután ugyanazt a hangot újra szintetizálni lehet a frekvenciakomponensek bevonásával, amint azt a Fourier-analízis kimutatta. A matematikában a Fourier-analízis kifejezés gyakran mindkét művelet tanulmányozására utal.
Magát a bomlási folyamatot Fourier-transzformációnak nevezzük . Kimenetét, a Fourier-transzformációt gyakran konkrétabb nevet adnak, ami a transzformált függvény tartományától és egyéb tulajdonságaitól függ. Ezenkívül a Fourier-analízis eredeti koncepcióját az idők során kiterjesztették, hogy egyre több elvont és általános helyzetre vonatkozzon, és az általános területet gyakran harmonikus elemzésnek nevezik . Minden elemzéshez használt transzformáció (lásd a Fourier-vel kapcsolatos transzformációk listáját ) rendelkezik egy megfelelő inverz transzformációval, amely felhasználható a szintézishez.
A Fourier-analízis használatához az adatokat egyenlő távolságban kell elhelyezni. Különböző megközelítéseket fejlesztettek ki az egyenlőtlenül elosztott adatok elemzésére, nevezetesen a legkisebb négyzetek spektrumanalízisének (LSSA) módszereit, amelyek a Fourier-analízishez hasonlóan a szinuszok legkisebb négyzetes illesztését használják az adatmintákhoz. A Fourier-analízis, a tudomány leggyakrabban használt spektrális módszere, általában növeli a hosszú periódusos zajt a hosszú hézagokkal rendelkező rekordokban; Az LSSA enyhíti az ilyen problémákat.
Alkalmazások
A Fourier-analízisnek számos tudományos alkalmazása van – a fizika , a parciális differenciálegyenletek , a számelmélet , a kombinatorika , a jelfeldolgozás , a digitális képfeldolgozás , a valószínűségszámítás , a statisztika , a kriminalisztika , az opcióárazás , a kriptográfia , a numerikus elemzés , az akusztika , az óceánográfia , a szonár , a diffrakciós optika területén , geometria , fehérjeszerkezet -elemzés és egyéb területek.
Ez a széles körű alkalmazhatóság az átalakítások számos hasznos tulajdonságából fakad:
- A transzformációk lineáris operátorok , és megfelelő normalizálással unitárisak is (ez a tulajdonság Parseval-tételként vagy általánosabban Plancherel-tételként ismert , és legáltalánosabb a Pontryagin-dualitáson keresztül ).
- A transzformációk általában invertálhatók.
- Az exponenciális függvények a differenciálódás sajátfüggvényei , ami azt jelenti , hogy ez a reprezentáció állandó együtthatójú lineáris differenciálegyenleteket alakít át közönséges algebrai egyenletekké . Ezért egy lineáris időinvariáns rendszer viselkedése minden frekvencián függetlenül elemezhető.
- A konvolúciós tétel alapján a Fourier-transzformációk a bonyolult konvolúciós műveletet egyszerű szorzássá alakítják, ami azt jelenti, hogy hatékony módszert biztosítanak a konvolúció alapú műveletek, például jelszűrés, polinomiális szorzás és nagy számok szorzása kiszámítására .
- A Fourier-transzformáció diszkrét változata (lásd alább) gyorsan kiértékelhető számítógépeken gyors Fourier-transzformációs (FFT) algoritmusok segítségével.
A kriminalisztika területén a laboratóriumi infravörös spektrofotométerek Fourier-transzformációs analízist használnak annak a fényhullámhossznak a mérésére, amelyen egy anyag elnyeli az infravörös spektrumot. Az FT módszert a mért jelek dekódolására és a hullámhossz adatok rögzítésére használják. Számítógép használatával ezek a Fourier-számítások gyorsan végrehajthatók, így a számítógéppel működtetett FT-IR műszer pillanatok alatt egy prizmás műszeréhez hasonló infravörös abszorpciós mintát tud előállítani.
A Fourier-transzformáció a jelek kompakt ábrázolásaként is hasznos. Például a JPEG- tömörítés a Fourier-transzformáció ( diszkrét koszinusz-transzformáció ) egy változatát használja egy digitális kép kis négyzet alakú darabjaira. Az egyes négyzetek Fourier-összetevőit alacsonyabb számtani pontosságra kerekítik , és a gyenge összetevőket teljesen kiiktatják, így a többi komponens nagyon kompaktan tárolható. A képrekonstrukció során minden képnégyzetet újra összeállítanak a megőrzött közelítő Fourier-transzformált komponensekből, amelyeket azután inverz transzformációval állítanak elő az eredeti kép közelítése érdekében.
A jelfeldolgozás során a Fourier-transzformáció gyakran egy idősort vagy a folytonos idő függvényét veszi fel, és egy frekvenciaspektrumba képezi le . Vagyis egy függvényt visz az időtartományból a frekvenciatartományba ; ez egy függvény felbontása különböző frekvenciájú szinuszokra ; Fourier-sor vagy diszkrét Fourier-transzformáció esetén a szinuszosok az elemzett függvény alapfrekvenciájának harmonikusai .
Ha egy függvény az idő függvénye, és egy fizikai jelet képvisel , a transzformáció szabványos értelmezése a jel frekvenciaspektruma. Az eredményül kapott komplex értékű függvény frekvencián mért nagysága egy olyan frekvenciakomponens amplitúdóját jelenti , amelynek kezdeti fázisát a (poláris koordináták) szöge adja meg .
A Fourier-transzformációk nem korlátozódnak az idő függvényeire és az időbeli frekvenciákra. Ugyanígy alkalmazhatók térbeli frekvenciák elemzésére, sőt szinte bármilyen funkciótartományra. Ez indokolja alkalmazásukat olyan változatos ágakban, mint a képfeldolgozás , a hővezetés és az automatikus vezérlés .
Jelek, például hang , rádióhullámok , fényhullámok, szeizmikus hullámok , sőt képek feldolgozásakor a Fourier-analízis képes elkülöníteni egy összetett hullámforma keskeny sávú összetevőit, és koncentrálni a könnyebb észlelés vagy eltávolítás érdekében. A jelfeldolgozási technikák nagy családja a jel Fourier-transzformációjából, a Fourier-transzformált adatok egyszerű kezeléséből és a transzformáció megfordításából áll.
Néhány példa:
- Hangfelvételek kiegyenlítése sáváteresztő szűrőkkel ;
- Digitális rádióvétel szuperheterodin áramkör nélkül, mint egy modern mobiltelefonban vagy rádiós szkennerben ;
- Képfeldolgozás időszakos vagy anizotróp műtermékek eltávolítására, mint például szaggatottság a váltottsoros videóból , szalagos műtermékek szalagos légifotózásból vagy hullámmintázatok a rádiófrekvenciás interferenciából egy digitális fényképezőgépben;
- Hasonló képek keresztkorrelációja a társigazítás érdekében;
- Röntgen-krisztallográfia kristályszerkezet rekonstrukciója annak diffrakciós mintázatából;
- Fourier-transzformációs ionciklotron-rezonancia tömegspektrometria az ionok tömegének meghatározására a ciklotronok mágneses térben való mozgásának frekvenciájából;
- A spektroszkópia sok más formája, beleértve az infravörös és a magmágneses rezonancia spektroszkópiákat;
- Hangspektrogramok generálása hangok elemzésére;
- Passzív szonár , amellyel a gépek zaja alapján osztályozzák a célokat.
A Fourier-analízis változatai
(Folyamatos) Fourier transzformáció
Leggyakrabban a minősíthetetlen Fourier-transzformáció egy folytonos valós argumentum függvényeinek transzformációjára utal , és egy folytonos frekvenciafüggvényt állít elő, amelyet frekvenciaeloszlásnak nevezünk . Az egyik függvény egy másikká alakul, és a művelet visszafordítható. Ha a bemeneti (kezdeti) függvény tartománya az idő ( t ), a kimeneti (végső) függvény tartománya pedig közönséges frekvencia , az s ( t ) függvény f frekvencián történő transzformációját a komplex szám adja:
Ennek a mennyiségnek az f összes értékére történő kiértékelése a frekvenciatartomány függvényt eredményezi. Ekkor s ( t ) az összes lehetséges frekvenciájú összetett exponenciális rekombinációjaként ábrázolható :
amely az inverz transzformációs képlet. Az S ( f ) komplex szám az f frekvencia amplitúdóját és fázisát egyaránt közvetíti .
További információért lásd a Fourier-transzformációt , többek között:
- konvenciók az amplitúdó normalizálására és a frekvenciaskálázásra/egységekre
- tulajdonságok átalakítása
- adott függvények táblázatos transzformációi
- többdimenziós funkciók, például képek kiterjesztése/általánosítása.
Fourier sorozat
A P periódusú, s P ( t ) periodikus függvény Fourier-transzformációja Dirac-fésűs függvény lesz , amelyet komplex együtthatók sorozata modulál :
- (ahol ∫ P bármely P hosszúságú intervallum integrálja ).
A Fourier-sorként ismert inverz transzformáció az s P ( t ) reprezentációja potenciálisan végtelen számú harmonikusan kapcsolódó szinusz vagy összetett exponenciális függvény összegeként , amelyek mindegyikének amplitúdója és fázisa az egyik együtthatóval meghatározott:
Bármely s P ( t ) kifejezhető egy másik függvény, s ( t ) periodikus összegeként :
és az együtthatók arányosak az S ( f ) mintáival diszkrét időközönként 1/P:
Vegyük észre, hogy bármely s ( t ) , amelynek transzformációja azonos diszkrét mintaértékekkel rendelkezik, használható a periodikus összegzésben. Elegendő feltétele s ( t ) (és így S ( f ) ) kinyerésének csak ezekből a mintákból (azaz a Fourier-sorból), hogy s ( t ) nem nulla része egy ismert P időtartamú intervallumra korlátozódjon , amely a Nyquist–Shannon mintavételezési tétel frekvenciatartomány duálisa .
Lásd a Fourier-sorozatot további információkért, beleértve a történelmi fejlődést.
Diszkrét idejű Fourier transzformáció (DTFT)
A DTFT az időtartomány Fourier sorozatának matematikai kettőse. Így a frekvenciatartományban konvergens periodikus összegzés egy Fourier-sorral reprezentálható, amelynek együtthatói egy kapcsolódó folytonos időfüggvény mintái:
amely DTFT néven ismert. Így az s [ n ] sorozat DTFT-je egyben a modulált Dirac fésűfüggvény Fourier-transzformációja is .
A Fourier-soros együtthatókat (és inverz transzformációt) a következők határozzák meg:
A T paraméter a mintavételi intervallumnak felel meg, és ez a Fourier-sor most a Poisson-összegzési képlet egyik formájaként ismerhető fel . Így azt a fontos eredményt kapjuk, hogy amikor egy diszkrét adatsorozat, s [ n ] , arányos egy mögöttes folytonos függvény, s ( t ) mintáival , megfigyelhető a folytonos Fourier-transzformáció, S ( f ) periodikus összegzése . Megjegyezzük, hogy bármely s ( t ) azonos diszkrét mintaértékekkel ugyanazt a DTFT-t produkálja, de bizonyos idealizált körülmények között elméletileg pontosan vissza lehet állítani S ( f ) és s ( t ) . A tökéletes helyreállítás elégséges feltétele, hogy S ( f ) nem nulla része egy ismert szélességű frekvenciaintervallumra korlátozódjon.1/T. Amikor ez az intervallum [−1/2 T,1/2 T] , az alkalmazható rekonstrukciós képlet a Whittaker–Shannon interpolációs képlet . Ez egy sarokköve a digitális jelfeldolgozás alapjainak .
Az S 1/ T ( f ) iránti érdeklődés másik oka az, hogy gyakran betekintést nyújt a mintavételi folyamat által okozott aliasing mennyiségébe .
A DTFT alkalmazásai nem korlátozódnak a mintavételezett funkciókra. Lásd a Diszkrét idejű Fourier-transzformációt további információkért erről és más témákról, beleértve:
- normalizált frekvenciaegységek
- ablakozás (véges hosszúságú sorozatok)
- tulajdonságok átalakítása
- adott függvények táblázatos transzformációi
Diszkrét Fourier transzformáció (DFT)
Hasonlóan a Fourier-sorokhoz, a periodikus sorozat DTFT-je, periódussal , Dirac-fésűfüggvénnyel válik, amelyet összetett együtthatók sorozata modulál (lásd DTFT § Periodikus adatok ):
- (ahol Σ n bármely N hosszúságú sorozat összege ).
Az S [ k ] sorozat az, amit általában s N egy ciklusának DFT- jeként ismernek . Ez is N -periodikus, ezért soha nem szükséges N- nél több együtthatót kiszámítani. Az inverz transzformációt, amelyet diszkrét Fourier-sornak is neveznek , a következő képlet adja meg:
- ahol Σ k bármely N hosszúságú sorozat összege .
Ha s N [ n ] egy másik függvény periodikus összegeként van kifejezve :
- és
az együtthatók arányosak az S 1/ T ( f ) mintáival diszrét időközönként1/P=1/NT:
Megfordítva, ha egy folytonos DTFT egy ciklusának tetszőleges számú ( N ) diszkrét mintáját akarjuk kiszámítani , S 1/ T ( f ) , akkor ez megtehető az s N [ n ] viszonylag egyszerű DFT-jének kiszámításával , amint fent meghatározott. A legtöbb esetben N-t egyenlőnek választjuk az s [ n ] nullától eltérő részének hosszával . Az N növelése , amelyet zéró-kitöltésnek vagy interpolációnak neveznek , az S 1/ T ( f ) egy ciklusának közelebbi mintáit eredményezi . Az N csökkenése átfedést (hozzáadást) okoz az időtartományban (a aliasing analógja ), ami a frekvenciatartomány tizedelésének felel meg. (lásd: Diszkrét idejű Fourier transzformáció § L=N×I ) A legtöbb gyakorlati érdeklődésre számot tartó esetben az s [ n ] sorozat egy hosszabb sorozatot jelöl, amelyet véges hosszúságú ablakfüggvény vagy FIR szűrőtömb alkalmazásával csonkoltunk .
A DFT egy gyors Fourier-transzformációs (FFT) algoritmussal számítható ki , ami praktikus és fontos transzformációvá teszi a számítógépeken.
További információért lásd: Diszkrét Fourier transzformáció , többek között:
- tulajdonságok átalakítása
- alkalmazások
- adott függvények táblázatos transzformációi
Összegzés
Periodikus függvényeknél mind a Fourier-transzformáció, mind a DTFT csak a frekvenciakomponensek diszkrét halmazát tartalmazza (Fourier-sor), és a transzformációk ezeken a frekvenciákon divergálnak. Az egyik általános gyakorlat (a fent nem tárgyalt) az, hogy ezt az eltérést a Dirac delta és a Dirac fésű funkciókon keresztül kezelik . De ugyanaz a spektrális információ a periodikus függvény egyetlen ciklusából is kivehető, mivel az összes többi ciklus azonos. Hasonlóképpen, a véges időtartamú függvények ábrázolhatók Fourier-sorként, tényleges információvesztés nélkül, kivéve, hogy az inverz transzformáció periodicitása puszta műtermék.
A gyakorlatban elterjedt, hogy az s (•) időtartamát a P vagy N periódusra korlátozzák . De ezek a képletek nem követelik meg ezt a feltételt.
Folyamatos frekvencia | Diszkrét frekvenciák | |
---|---|---|
Átalakítani | ||
Inverz |
Folyamatos frekvencia | Diszkrét frekvenciák | |
---|---|---|
Átalakítani |
|
|
Inverz |
|
|
Szimmetriai tulajdonságok
Ha egy komplex függvény valós és képzetes részeit páros és páratlan részekre bontjuk , négy összetevőből áll, amelyeket alább RE, RO, IE és IO indexekkel jelölünk. És van egy-egy leképezés egy komplex időfüggvény négy komponense és a komplex frekvenciatranszformáció négy komponense között:
Ebből különböző kapcsolatok derülnek ki, például:
- Egy valós értékű függvény ( s RE + s RO ) transzformációja a páros szimmetrikus S RE + i S IO függvény . Ezzel szemben a páros szimmetrikus transzformáció valós értékű időtartományt jelent.
- Egy képzeletbeli értékű függvény ( i s IE + i s IO ) transzformációja az S RO + i S IE páratlan szimmetrikus függvény , és ennek fordítva igaz.
- Egy páros szimmetrikus függvény ( s RE + i s IO ) transzformációja az S RE + S RO valós értékű függvény , és ennek fordítottja igaz.
- Egy páratlan szimmetrikus függvény ( s RO + i s IE ) transzformációja az i S IE + i S IO imaginárius értékű függvény , és ennek az ellenkezője igaz.
Történelem
A harmonikus sorozatok egy korai formája az ókori babiloni matematikából származik , ahol efemeridek (csillagászati helyzetek táblázatai) kiszámítására használták őket .
A ptolemaioszi csillagászatrendszerben a deferens és epiciklus klasszikus görög fogalmai a Fourier-sorokhoz kapcsolódtak (lásd Deferent és epiciklus § Matematikai formalizmus ).
A modern időkben a diszkrét Fourier-transzformáció változatait Alexis Clairaut használta 1754-ben a pálya kiszámítására, amelyet a DFT első képleteként írtak le, 1759-ben pedig Joseph Louis Lagrange egy trigonometrikus sorozat együtthatóinak kiszámításához. rezgő húrnak. Technikailag Clairaut munkája csak koszinuszos sorozat volt (a diszkrét koszinusz transzformáció egyik formája ), míg Lagrange munkája csak szinuszos sorozat (a diszkrét szinusz transzformáció egyik formája ); Valódi koszinusz+szinusz DFT-t Gauss használt 1805 - ben aszteroidapályák trigonometrikus interpolálására . Euler és Lagrange is diszkretizálta a vibrációs húrproblémát a ma minták segítségével.
A Fourier-analízis irányába mutató kora újkori fejlemény volt Lagrange 1770-ben megjelent Reflexions sur la résolution algébrique des equations című dolgozata, amely a Lagrange-rezolvensek módszerében komplex Fourier-felbontást alkalmazott egy köbös megoldásának tanulmányozására: Lagrange transzformálta a gyököket x 1 , x 2 , x 3 az oldószerekbe:
ahol ζ az egység köbgyöke , ami a 3-as rendű DFT.
Számos szerző, köztük Jean le Rond d'Alembert és Carl Friedrich Gauss trigonometrikus sorozatokat használt a hőegyenlet tanulmányozására , de az áttörést Joseph Fourier 1807- es Mémoire sur la propagation de la chaleur dans les corps solides című tanulmánya jelentette . A döntő betekintés az volt, hogy az összes függvényt trigonometrikus sorozatokkal modellezzük , bevezetve a Fourier-sort.
A történészek megosztottak abban a tekintetben, hogy mennyit köszönhetnek Lagrange-nak és másoknak a Fourier-elmélet kidolgozásában: Daniel Bernoulli és Leonhard Euler bevezette a függvények trigonometrikus ábrázolását, Lagrange pedig a Fourier-soros megoldást adta a hullámegyenlethez, így Fourier hozzájárulása elsősorban a félkövér állítás, miszerint egy tetszőleges függvény reprezentálható Fourier-sorral.
A terület későbbi fejlődését harmonikus elemzésnek nevezzük , és egyben a reprezentációelmélet korai példája is .
Az első gyors Fourier-transzformációs (FFT) algoritmust a DFT-hez Carl Friedrich Gauss fedezte fel 1805 körül a Juno és a Pallas aszteroidák pályaméréseinek interpolálásakor , bár ezt a bizonyos FFT-algoritmust gyakrabban a modern Cooley és Tukey újrafelfedezőinek tulajdonítják .
Idő-frekvencia transzformációk
A jelfeldolgozásban az idő függvénye egy tökéletes időfelbontású jel reprezentációja , de nincs frekvenciainformáció, míg a Fourier-transzformáció tökéletes frekvenciafelbontással rendelkezik , de nincs időinformáció.
A Fourier-transzformáció alternatívájaként az idő-frekvencia analízisben idő-frekvencia transzformációt használunk a jelek olyan formában történő megjelenítésére, amely bizonyos időinformációkkal és bizonyos frekvenciainformációkkal rendelkezik – a bizonytalanság elve szerint ezek között kompromisszum van. Ezek lehetnek a Fourier-transzformáció általánosításai, mint például a rövid idejű Fourier-transzformáció , a Gabor-transzformáció vagy a tört Fourier-transzformáció (FRFT), vagy különböző függvényeket használhatnak a jelek reprezentálására, például a wavelet-transzformációnál és a csiriplet-transzformációnál a wavelet-analógnál. a (folyamatos) Fourier transzformáció a folytonos wavelet transzformáció .
Fourier transzformációk tetszőleges lokálisan kompakt Abel topológiai csoportokon
A Fourier-változatok tetszőleges lokálisan kompakt Abeli- topológiai csoportokon is általánosíthatók Fourier-transzformációkra , amelyeket harmonikus elemzéssel vizsgálunk ; ott a Fourier-transzformáció egy csoport függvényeit a duális csoport függvényeivé veszi. Ez a kezelés lehetővé teszi a konvolúciós tétel általános megfogalmazását is , amely a Fourier-transzformációkra és a konvolúciókra vonatkozik . Lásd még a Pontryagin-kettősséget a Fourier-transzformáció általánosított alapjaihoz.
Konkrétabban, a Fourier-analízis elvégezhető koszeteken, sőt diszkrét koszeteken is.
Lásd még
- Konjugált Fourier sorozat
- Általánosított Fourier sorozat
- Fourier–Bessel sorozat
- Fourier-vel kapcsolatos transzformációk
- Laplace transzformáció (LT)
- Kétoldalas Laplace transzformáció
- Mellin átalakul
- Nem egyenletes diszkrét Fourier transzformáció (NDFT)
- Quantum Fourier transzformáció (QFT)
- Számelméleti transzformáció
- Alapvektorok
- Bispektrum
- Karakterisztikus függvény (valószínűségszámítás)
- Ortogonális függvények
- Schwartz tér
- Spektrális sűrűség
- Spektrális sűrűségbecslés
- Spektrális zene
- Walsh függvény
- Hullámocska
Megjegyzések
Hivatkozások
További irodalom
- Howell, Kenneth B. (2001). A Fourier-analízis alapelvei . CRC Press. ISBN 978-0-8493-8275-8.
- Kamen, EW; Heck, BS (2000. március 2.). A jelek és rendszerek alapjai a web és a Matlab használatával (2. kiadás). Prentiss-Hall. ISBN 978-0-13-017293-8.
- Müller, Meinard (2015). A Fourier-transzformáció dióhéjban (PDF) . Springer. In Fundamentals of Music Processing , 2.1. szakasz, 40–56. doi : 10.1007/978-3-319-21945-5 . ISBN 978-3-319-21944-8. S2CID 8691186 . Archivált (PDF) az eredetiből 2016. április 8-án.
- polianin, AD; Manzhirov, AV (1998). Integrálegyenletek kézikönyve . Boca Raton: CRC Press. ISBN 978-0-8493-2876-3.
- Smith, Steven W. (1999). The Scientist and Engineer's Guide to Digital Signal Processing (Második kiadás). San Diego: California Technical Publishing. ISBN 978-0-9660176-3-2.
- Stein, EM; Weiss, G. (1971). Bevezetés az euklideszi terek Fourier-analízisébe . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-08078-9.
Külső linkek
- Integráltranszformációk táblázatai az EqWorldnél: A matematikai egyenletek világa.
- A Fourier-elmélet intuitív magyarázata, Steven Lehar.
- Előadások a képfeldolgozásról: 18 előadásból álló gyűjtemény pdf formátumban a Vanderbilt Egyetemtől. A 6. előadás az 1- és 2-D Fourier-transzformációról szól. A 7–15. előadások ezt használják ki. , szerző: Alan Peters
- Moriarty, Philip; Bowley, Roger (2009). "Σ Összegzés (és Fourier-analízis)" . Hatvan szimbólum . Brady Haran a Nottinghami Egyetemről .