Geodéziai - Geodesic

A geometria , a geodéziai ( / ˌ dʒ i ə d ɛ s ɪ k , ˌ dʒ I oʊ -, - d i -, - Z ɪ k / ) általában egy görbe képviselő bizonyos értelemben a legrövidebb út ( ív ) egy felület két pontja között , vagy általánosabban egy Riemann -gyűjtőben . A kifejezésnek jelentése is van minden differenciálható sokaságban , amely összefüggéssel rendelkezik . Ez az " egyenes vonal " fogalmának általánosabb általánosításra való általánosítása.

A geodéziai főnév és a geodéziai melléknév a geodéziából , a Föld méretének és alakjának mérésének tudományából származik , míg az alapelvek közül sok minden ellipszoid geometriára alkalmazható. Eredeti értelemben a geodézia volt a legrövidebb út a Föld felszínének két pontja között . A gömb alakú Föld számára ez egy nagy kör szegmense (lásd még a nagy kör távolságát ). A kifejezést általánosították, hogy sokkal általánosabb matematikai terekben is tartalmazzák a méréseket; a gráfelméletben például egy gráf két csúcsa /csomópontja közötti geodézist tekinthetünk meg .

A Riemann -féle elosztóban vagy részcsatornában a geodetikákat az a tulajdonság jellemzi, hogy eltűnő geodéziai görbületük van . Általánosabban, affin kapcsolat jelenlétében a geodézist olyan görbének nevezzük, amelynek érintővektorai párhuzamosak maradnak, ha mentén szállítják őket. Ha ezt egy riemann-i metrika Levi-Civita kapcsolatára alkalmazzuk , visszanyerjük a korábbi elképzelést.

A geodézia különösen fontos az általános relativitáselméletben . Az időszerű geodézia az általános relativitáselméletben leírja a szabadon eső vizsgálati részecskék mozgását .

Bevezetés

Egy lokálisan legrövidebb út két adott pontot egy görbült tér, feltételezzük, hogy a Riemann sokrétű , lehet meghatározni segítségével egyenlet a hossza egy görbe (függvény f egy nyitott intervallum az R , hogy a tér), majd minimalizálva ezt a hosszúságot a pontok között a variációk számításával . Ennek néhány kisebb technikai problémája van, mert a legrövidebb út paraméterezésének végtelen dimenziós tere van. Egyszerűbb korlátozni a görbék halmazát azokra, amelyek "állandó sebességgel" 1 vannak paraméterezve, ami azt jelenti, hogy a görbe mentén az f ( s ) és f ( t ) közötti távolság egyenlő | s - t |. Hasonlóképpen más mennyiség is használható, amelyet görbe energiájának neveznek; az energia minimalizálása ugyanazokhoz az egyenletekhez vezet egy geodézia esetében (itt az "állandó sebesség" a minimalizálás következménye). Intuitív módon megérthetjük ezt a második megfogalmazást azzal, hogy észrevesszük, hogy a két pont közé húzott rugalmas szalag összehúzza a hosszát, és ezzel minimálisra csökkenti az energiáját. A kapott sáv alakja geodéziai.

Lehetséges, hogy két pont közötti több különböző görbe minimalizálja a távolságot, mint például egy gömb két, egymással ellentétes pontja esetén. Ebben az esetben e görbék bármelyike ​​geodéziai.

A geodézia szomszédos szegmense ismét geodézia.

Általában a geodézia nem azonos a két pont közötti "legrövidebb görbékkel", bár a két fogalom szorosan összefügg. A különbség az, hogy a geodézia csak helyileg a legrövidebb távolság a pontok között, és paraméterezése "állandó sebességgel" történik. A "hosszú utat" megtenni egy nagy körön egy gömb két pontja között geodéziai, de nem a legrövidebb út a pontok között. A valódi számegyenes egységintervallumának térképe önmagához adja a legrövidebb utat 0 és 1 között, de nem geodetikus, mert a pont megfelelő mozgásának sebessége nem állandó. ${\ displaystyle t \ to t^{2}}$

A geodéziát általában a riemann -i geometria és általában a metrikus geometria tanulmányozása során látják . Az általános relativitáselmélet , geodetikusok a téridő leírására a mozgás pont részecskék hatása alatt a gravitáció egyedül. Különösen a hulló kőzet, a keringő műhold vagy a bolygópálya alakja által megtett út mind geodézia a görbe téridőben. Általánosságban elmondható, hogy a szub-Riemann-i geometria témája azokkal az utakkal foglalkozik, amelyeket az objektumok járhatnak, ha nem szabadok, és mozgásukat különböző módon korlátozzák.

Ez a cikk bemutatja a matematikai formalizmust, amely a geodézia meghatározásában, megtalálásában és létezésének bizonyításában rejlik, a riemann -i sokaságok esetében . A cikk Levi-Civita tárgyalja az általánosabb esetben, ha a pszeudo-Riemann sokrétű és geodéziai (az általános relativitáselmélet) tárgyalja a speciális esete az általános relativitáselmélet részletesebben.

Példák

A geodéziai egy triaxiális ellipszoid .

Ha egy rovarot egy felületre helyeznek, és folyamatosan "előre" jár, definíció szerint geodézist fog felkutatni.

A legismertebb példák az euklideszi geometria egyenesei . Egy gömbön a geodézia képei a nagy körök . A legrövidebb utat az A pontból a B pontba egy gömbön az A és B áthaladó nagy kör rövidebb íve adja . Ha A és B jelentése antipodális pont van, akkor végtelen sok legrövidebb utak között. A geodézia ellipszoidon bonyolultabban viselkedik, mint egy gömbön; különösen nem zárnak be általában (lásd az ábrát).

Háromszögek

Geodéziai háromszög a gömbön.

Egy geodéziai háromszög úgy jön létre, hogy a geodézia egyes párokat egyesít egy adott felület három pontjából. A gömbön a geodézia nagy körívek, gömb alakú háromszöget alkotnak .

Geodéziai háromszögek pozitív (felső), negatív (középső) és nulla (alsó) görbületű terekben.

Metrikus geometria

A metrikus geometria , geodéziai egy görbe, amely mindenhol helyben a távolság minimizer. Pontosabban, egy görbe γ  : I → M egy intervallumot I a valós számok, hogy a metrikus tér M jelentése geodéziai , ha van egy állandó v ≥ 0 úgy, hogy minden t ∈ I van egy szomszédságában J a t az I ilyen hogy bármelyik t ₁ ,  t ₂ ∈ J esetén megvan

${\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = v \ left | t_ {1} -t_ {2} \ right |.}$

Ez általánossá teszi a geodézia fogalmát a riemann -i gyűjtők számára. A metrikus geometriában azonban a vizsgált geodézia gyakran természetes paraméterezéssel van felszerelve , azaz a fenti azonosságban v  = 1 és

${\ displaystyle d (\ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2})) = \ bal | t_ {1} -t_ {2} \ jobb |.}$

Ha az utolsó egyenlőség teljesül minden t ₁ , t ₂ ∈ I esetén , akkor a geodézist minimalizáló geodéziai vagy legrövidebb útnak nevezzük .

Általánosságban elmondható, hogy a metrikus térben nem lehet geodézia, kivéve az állandó görbéket. A másik végletben a hosszúságú metrikus tér bármely két pontját összekapcsolja az egyenirányítható utak minimalizáló szekvenciája, bár ennek a minimalizáló szekvenciának nem kell konvergálnia egy geodéziaihoz.

Riemann -i geometria

Egy Riemann sokrétű M a metrikus tenzor g , a hossza L egy folyamatosan differenciálható görbe γ: [ a , b ] →  M határozza

${\ displaystyle L (\ gamma) = \ int _ {a}^{b} {\ sqrt {g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma }} (t))}} \, dt.}$

A távolság d ( p ,  q ) két pont között p és q az M definiáljuk infimum hosszának átvett folytonos, szakaszonként folytonosan differenciálható görbék γ: [ a , b ] →  M olyan, hogy γ ( a ) =  p és γ ( b ) =  q . A riemann-i geometriában minden geodézia helyileg távolságot minimalizáló út, de ez fordítva nem igaz. Valójában csak azok az utak, amelyek lokálisan távolságot minimalizálnak, és az ívhosszal arányosan paraméterezhetők, geodetikusak. Egy másik egyenértékű módszer a geodézia definiálására a Riemann -elosztón, ha ezeket a következő művelet vagy energiafüggvény minimumaként határozzuk meg

${\ displaystyle E (\ gamma) = {\ frac {1} {2}} \ int _ {a}^{b} g _ {\ gamma (t)} ({\ dot {\ gamma}} (t), {\ pont {\ gamma}} (t)) \, dt.}$

Az összes E minimum egyben az L minimuma is , de az L nagyobb halmaz, mivel az L minimumának megfelelő utak tetszőlegesen újra paraméterezhetők (hosszuk megváltoztatása nélkül), míg az E minimumok nem. A darabonkénti görbékhez (általában görbékhez) a Cauchy -Schwarz egyenlőtlenség ad ${\ displaystyle C^{1}}$${\ displaystyle W^{1,2}}$

${\ displaystyle L (\ gamma)^{2} \ leq 2 (ba) E (\ gamma)}$

egyenlőséggel akkor és csak akkor, ha egyenlő konstans ae -val ; az utat állandó sebességgel kell bejárni. Előfordul, hogy a minimalizátorok is minimalizálják , mert affinikusan paraméterezettnek bizonyulnak, és az egyenlőtlenség egyenlőség. Ennek a megközelítésnek az a haszna, hogy az E minimalizálóinak keresésének problémája erősebb variációs probléma. Valójában az E „konvex függvénye” , így az „ésszerű függvények” minden izotóposztályán belül el kell várni a minimalizátorok létezését, egyediségét és szabályosságát. Ezzel szemben a funkció "minimalizálói" általában nem túl szabályosak, mert tetszőleges átparaméterezés megengedett. ${\ displaystyle g (\ gamma ', \ gamma')}$${\ displaystyle E (\ gamma)}$${\ displaystyle L (\ gamma)}$${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle L (\ gamma)}$

A funkcionális E Euler – Lagrange mozgásegyenleteit ezután helyi koordinátákban adja meg

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} x^{\ lambda}} {dt^{2}}}+\ Gamma _ {\ mu \ nu}^{\ lambda} {\ frac {dx^{\ mu}} {dt}} {\ frac {dx^{\ nu}} {dt}} = 0,}$

hol vannak a metrika Christoffel -szimbólumai . Ez a geodéziai egyenlet , amelyet alább tárgyalunk . ${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu}^{\ lambda}}$

Variációk számítása

A klasszikus variációszámítás technikái alkalmazhatók az energiafunkciós E vizsgálatára . Az energia első variációját a helyi koordináták határozzák meg

${\ displaystyle \ delta E (\ gamma) (\ varphi) = \ left. {\ frac {\ partial} {\ partal t}} \ right | _ {t = 0} E (\ gamma +t \ varphi). }$

Az első variáció kritikus pontjai pontosan a geodézia. A második variációt a

${\ displaystyle \ delta ^{2} E (\ gamma) (\ varphi, \ psi) = \ bal. {\ frac {\ részleges ^{2}} {\ részleges s \, \ részleges}} \ jobb | _ {s = t = 0} E (\ gamma +t \ varphi +s \ psi).}$

Megfelelő értelemben a második variáció nullái egy geodéziai γ mentén Jacobi mezők mentén keletkeznek . A Jacobi -mezőket tehát a geodetika által okozott variációknak tekintik.

Alkalmazásával variációs technikákat a klasszikus mechanika , az egyik is tekinthetjük geodesics mint Hamilton folyik . Ezek a kapcsolódó Hamilton-egyenletek megoldásai , a (pszeudo-) Riemann-féle metrikát Hamilton- ként .

Affine geodézia

A geodéziai egy sima sokrétű M egy affin kapcsolat ∇ úgy definiáljuk, mint egy görbe γ ( t ) olyan, hogy a párhuzamos közlekedés a görbe mentén megőrzi a tangens vektor a görbe, így

${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0}$

( 1 )

a görbe mentén minden ponton, hol van a derivált a . Pontosabban, annak kovariáns származékának meghatározásához először ki kell terjedni egy nyílt halmazban egy folyamatosan differenciálható vektormezőre . Az ( 1 ) eredmény azonban független a kiterjesztés választásától. ${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$${\ displaystyle t}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

Segítségével helyi koordinátákat a M , tudjuk írni a geodéziai egyenlet (a összegzés egyezmény ), mint

${\ displaystyle {\ frac {d^{2} \ gamma^{\ lambda}} {dt^{2}}}+\ Gamma _ {\ mu \ nu}^{\ lambda} {\ frac {d \ gamma ^{\ mu}} {dt}} {\ frac {d \ gamma ^{\ nu}} {dt}} = 0 \,}$

ahol a koordinátái a görbe γ ( t ), és a Christoffel szimbólumok a kapcsolat ∇. Ez a koordináták szokásos differenciálegyenlete . Egyedi megoldással rendelkezik, tekintettel a kezdeti pozícióra és a kezdeti sebességre. Ezért a klasszikus mechanika szempontjából a geodéziát úgy lehet elképzelni, mint egy szabad részecskék pályáját az elosztóban. Valójában az egyenlet azt jelenti, hogy a görbe gyorsulási vektorának nincsenek összetevői a felület irányában (és ezért merőleges a felület érintő síkjára a görbe minden pontján). Tehát a mozgást teljesen meghatározza a felület hajlítása. Ez az általános relativitáselmélet gondolata is, ahol a részecskék geodetikán mozognak, és a hajlítást a gravitáció okozza. ${\ displaystyle \ gamma ^{\ mu} = x ^{\ mu} \ circ \ gamma (t)}$${\ displaystyle \ Gamma _ {\ mu \ nu}^{\ lambda}}$${\ displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} {\ dot {\ gamma}} = 0}$

Létezés és egyediség

A geodézia helyi létezési és egyediségi tétele kimondja, hogy a geodéziák egy sima elosztón, affin kapcsolattal léteznek, és egyediek. Pontosabban:

Minden pont p a M és bármilyen vektor V a T _p M (a érintőtér hogy M a p ) létezik egy egyedülálló geodéziai  : I → M olyan, hogy ${\ displaystyle \ gamma \,}$

${\ displaystyle \ gamma (0) = p \,}$ és

${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} (0) = V,}$

ahol I egy maximális nyitott intervallum R -ben, amely 0 -t tartalmaz.

Ennek a tételnek a bizonyítása a közönséges differenciálegyenletek elméletéből következik , észrevéve, hogy a geodéziai egyenlet másodrendű ODE. A létezés és az egyediség következik a Picard – Lindelöf -tételből az előírt kezdeti feltételekkel rendelkező ODE -megoldásokra. γ függ simán mindkét p és  V .

Általánosságban elmondható, hogy lehet, hogy nem én vagyok az összes R, mint például az R ² nyitott lemezénél . Bármilyen γ kiterjed egész ℝ akkor és csak akkor, ha M jelentése geodesically teljes .

Geodéziai áramlás

Geodéziai áramlás egy helyi R - fellépés a érintőnyalábbal TM egy sokrétű M meghatározott a következő módon

${\ displaystyle G^{t} (V) = {\ dot {\ gamma}} _ {V} (t)}$

ahol t  ∈  R , V  ∈  TM és a geodézist jelöli kezdeti adatokkal . Így ( V ) = exp ( tV ) a tV vektor exponenciális térképe . A geodéziai áramlás zárt pályája megfelel az  M zárt geodézisének . ${\ displaystyle \ gamma _ {V}}$${\ displaystyle {\ dot {\ gamma}} _ {V} (0) = V}$${\ displaystyle G^{t}}$

Egy (pszeudo-) Riemann-elosztón a geodéziai áramlást a kotangens kötegen lévő Hamilton-áramlással azonosítják . A Hamilton- értéket ezután a (pszeudo-) Riemann-metrika inverze adja, a kanonikus egyformához képest . Az áramlás különösen megőrzi a (pszeudo-) Riemann-metrikát , azaz ${\ displaystyle g}$

${\ displaystyle g (G^{t} (V), G^{t} (V)) = g (V, V). \,}$

Különösen, ha V mértékegységvektor , az egységsebesség mindvégig megmarad, így a geodéziai áramlás érintő az egység érintőkötegéhez . Liouville tétele magában foglalja a kinematikai mérték invarianciáját az egység érintőkötegén. ${\ displaystyle \ gamma _ {V}}$

Geodéziai spray

A geodéziai áramlás görbék családját határozza meg az érintőkötegben . Ezek származékait görbék meghatározásához egy vektor mező a teljes terület a érintőnyalábbal, ismert, mint a geodéziai permet .

Pontosabban, az affin csatlakozás a TT M kettős érintőköteget vízszintes és függőleges kötegekre bontja :

${\ displaystyle TTM = H \ oplus V.}$

A geodéziai spray az egyedi W vízszintes vektormező, amely kielégíti

${\ displaystyle \ pi _ {*} W_ {v} = v \,}$

minden pontban v  ∈ T M ; itt π _∗  : TT M  → T M az érintőköteghez tartozó π: T M  →  M vetület mentén a tolást (differenciál) jelöli .

Általánosságban elmondható, hogy ugyanez a konstrukció lehetővé teszi vektormező létrehozását az érintőköteg bármely Ehresmann -kapcsolatához . Ahhoz, hogy a kapott vektormező spray legyen (a törölt  érintőkötegen T M \ {0}), elegendő, ha a kapcsolat pozitív ekvivalensek esetén ekvivalens lesz: nem kell lineáris. Vagyis (vö. Ehresmann -kapcsolat#vektorkötegek és kovalens származékok ) elég, ha a vízszintes eloszlás kielégíti

${\ displaystyle H _ {\ lambda X} = d (S _ {\ lambda}) _ {X} H_ {X} \,}$

minden X  ∈ T M  \ {0} és λ> 0. esetén itt d ( S _λ ) a skaláris homotézis mentén való előrehaladás . Az ilyen módon felmerülő nemlineáris kapcsolat egy speciális esete egy Finsler-elosztó . ${\ displaystyle S _ {\ lambda}: X \ mapsto \ lambda X.}$

Affin és projektív geodézia

Az ( 1 ) egyenlet invariáns az affin újraparaméterezések során; vagyis az űrlap paraméterezése

${\ displaystyle t \ mapsto at+b}$

ahol a és b állandó valós számok. Így a beágyazott görbék egy bizonyos osztályának megadásán kívül a geodéziai egyenlet meghatározza az egyes görbék paramétereinek preferált osztályát is. Ennek megfelelően az ( 1 ) megoldásait affin paraméterű geodetikának nevezzük .

Az affin kapcsolatot az affinálisan paraméterezett geodéziai családja határozza meg , egészen a torzióig ( Spivak 1999 , 6. fejezet, I. függelék). Maga a torzió valójában nincs hatással a geodéziai családra, mivel a geodéziai egyenlet csak a kapcsolat szimmetrikus részétől függ. Pontosabban, ha két kapcsolat olyan, hogy a különbség tenzor ${\ displaystyle \ nabla, {\ bar {\ nabla}}}$

${\ displaystyle D (X, Y) = \ nabla _ {X} Y-{\ bar {\ nabla}} _ {X} Y}$

jelentése ferdeség-szimmetrikus , akkor és ugyanolyan geodetikusokat, ugyanazzal a affin parametrizációk. Ezenkívül létezik egy egyedülálló kapcsolat, amelynek geodetikája megegyezik , de eltűnő torzióval. ${\ displaystyle \ nabla}$${\ displaystyle {\ bar {\ nabla}}}$${\ displaystyle \ nabla}$

A speciális paraméterezés nélküli geodetikákat projektív kapcsolat írja le .

Számítási módszerek

Kimmel és mások javasoltak hatékony megoldókat a minimális geodéziai probléma megoldására eikonális egyenletként felületeken .

Szalag teszt

A szalagpróba Michael Stevens, a Vsauce tulajdonosa által

A szalagteszt segítségével megrajzolt ívelt vonal egyenes vonal sík felületen. Ez azért van, mert a kúpból 2-es félkör készíthető.

A szalag "teszt" egy módja annak, hogy geodézist találjunk háromdimenziós ívelt alakzaton.

Amikor egy szalagot a kúp köré tekerünk, a szalag egy része nem érinti a kúp felületét. Ha a szalagot egy másik ívelt pálya köré tekerjük, és a szalagban lévő összes részecske hozzáér a kúp felületéhez, akkor az út geodetikus .

Alkalmazások

A geodézia alapul szolgál a következők kiszámításához:

• geodéziai repülőgépek; lásd a geodéziai repülőgépvázat vagy a geodéziai repülőgépvázat
• geodéziai szerkezetek - például geodéziai kupolák
• vízszintes távolságok a Földön vagy annak közelében; lásd a Föld geodetikáját
• képek feltérképezése felületeken, rendereléshez; lásd az UV leképezést
• részecskék mozgása a molekuláris dinamika (MD) számítógépes szimulációiban
• robot mozgástervezése (pl. autóalkatrészek festésekor); lásd: Legrövidebb út probléma

Lásd még

Megjegyzések

Hivatkozások

• Spivak, Michael (1999), A differenciálgeometria átfogó bevezetése (2. kötet) , Houston, TX: Publish or Perish, ISBN 978-0-914098-71-3

További irodalom

• Adler, Ronald; Bazin, Maurice; Schiffer, Menahem (1975), Bevezetés az általános relativitáselméletbe (2. kiadás), New York: McGraw-Hill , ISBN 978-0-07-000423-8. Lásd a 2. fejezetet .
• Ábrahám, Ralph H .; Marsden, Jerrold E. (1978), Mechanika alapjai , London: Benjamin-Cummings, ISBN 978-0-8053-0102-1. Lásd a 2.7 .
• Jost, Jürgen (2002), Riemannian Geometry and Geometric Analysis , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-42627-1. Lásd az 1.4 szakaszt .
• Kobayashi, Shoshichi; Nomizu, Katsumi (1996), Foundations of Differential Geometry , Vol. 1 (Új szerk.), Wiley-Interscience, ISBN 0-471-15733-3 |volume=extra szöveggel rendelkezik ( segítség ) .
• Landau, LD ; Lifshitz, EM (1975), Classical Theory of Fields , Oxford: Pergamon, ISBN 978-0-08-018176-9. Lásd a 87. részt .
• Misner, Charles W .; Thorne, Kip ; Wheeler, John Archibald (1973), Gravitation , WH Freeman, ISBN 978-0-7167-0344-0
• Ortín, Tomás (2004), Gravitáció és húrok , Cambridge University Press , ISBN 978-0-521-82475-0. Különösen vegye figyelembe a 7. és 10. oldalt.
• Volkov, Yu.A. (2001) [1994], "Geodéziai vonal" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press.
• Weinberg, Steven (1972), Gravitáció és kozmológia: az általános relativitáselmélet elvei és alkalmazása , New York: John Wiley & Sons , ISBN 978-0-471-92567-5. Lásd a 3. fejezetet .

Külső linkek

• Geodesics Revisited - Bevezetés a geodetikába, beleértve a geodézia egyenletének kétféle levezetési módját a geometria (gömb és tórusz geodéziai ), mechanika ( brachisztokron ) és optika (fénysugár inhomogén közegben) alkalmazásával.
• Teljesen geodéziai alosztály a gyűjtőatlaszban