Hilbert tizenegyedik problémája - Hilbert's eleventh problem

Hilbert tizenegyedik problémája David Hilbert azon nyílt matematikai problémák egyik felsorolása, amelyeket az 1900-as párizsi Matematikusok Nemzetközi Kongresszusán vetettek fel. A kvadratikus formák elméletének továbbfejlesztésével a következőképpen fogalmazott meg a probléma:

Jelenlegi ismereteink a másodfokú számmezők elméletéről olyan helyzetbe hoznak minket, hogy sikeresen megtámadjuk a kvadratikus formák elméletét tetszőleges számú változóval és bármilyen algebrai numerikus együtthatóval. Ez különösen az érdekes problémához vezet: egy adott másodfokú egyenlet megoldása algebrai numerikus együtthatókkal tetszőleges számú változóban, az együtthatók által meghatározott algebrai racionalitás területéhez tartozó integrális vagy tört számokkal.

Ahogy Kaplansky kijelentette: "A 11. probléma egyszerűen ez: osztályozza a másodfokú formákat algebrai számmezők fölé ." Pontosan ezt tette Minkowski a kvadratikus formában, tört együtthatókkal. Négyzetes forma (nem másodfokú egyenlet) minden olyan polinom , amelyben az egyes tagok változói pontosan kétszer jelennek meg. Az ilyen egyenlet általános alakja ax ² + bxy + cy ² . (Minden együtthatónak egész számnak kell lennie.)

Egy adott kvadratikus alak azt mondta, hogy képviselje a természetes szám , ha ebben az esetben konkrét számok a változók számát adja meg. Gauss és az őket követők azt tapasztalták, hogy ha a változókat bizonyos módon megváltoztatjuk, az új másodfokú forma ugyanazokat a természetes számokat képviseli, mint a régi, de más, könnyebben értelmezhető formában. Ezt az egyenértékű másodfokú formák elméletét használta a számelméleti eredmények igazolására. Lagrange például megmutatta, hogy bármely természetes szám kifejezhető négy négyzet összegeként. Gauss ezt az ekvivalencia-kapcsolatok elmélete segítségével bizonyította , megmutatva, hogy a másodfok minden természetes számot képvisel. Mint korábban említettük, Minkowski hasonló elméletet hozott létre és bizonyított a másodfokú formák esetében, amelyeknél a törtek együtthatók. Hilbert tizenegyedik problémája hasonló elméletet kér. Azaz osztályozási mód, így meg tudjuk állapítani, hogy az egyik forma egyenértékű-e a másikkal, de abban az esetben, ha az együtthatók algebrai számok lehetnek . Helmut Hasse ezt bizonyította a helyi-globális elvével, és azzal a ténnyel, hogy az elmélet 1920 októberében viszonylag egyszerű a p- adikus rendszerek számára. 1923-ban és 1924.-ben publikálta munkáját. Lásd Hasse-elv , Hasse – Minkowski tétel . A lokális-globális elv szerint egy racionális számra vagy akár az összes racionális számra vonatkozó általános eredmény gyakran megállapítható annak ellenőrzésével, hogy az eredmény igaz-e a p- adikus számrendszerek mindegyikére . ${\ displaystyle w ^ {2} + x ^ {2} + y ^ {2} + z ^ {2}}$

Van egy újabb munka Hilbert tizenegyedik problémájával kapcsolatban, amely azt kutatja, hogy egy egész szám másodfokú alakkal ábrázolható-e. Példa erre Cogdell, Piatetski-Shapiro és Sarnak munkája .

Lásd még

• Hilbert problémái

Megjegyzések

Hivatkozások

• Yandell, Benjamin H. A kitüntetések osztálya: Hilbert problémái és megoldóik. Natik: K Peters. Nyomtatás.