Logaritmus - Logarithm

Logaritmusfüggvények, három általánosan használt alappal. A log b b = 1 speciális pontokat szaggatott vonalak jelzik, és az összes görbe metszi egymást a log b  1 = 0 -ban .

A matematika , a logaritmus az inverz függvény a hatványozás . Ez azt jelenti, hogy egy adott x szám logaritmusa  az a kitevő , amelyre egy másik rögzített számot, a b bázist  kell emelni az x szám előállításához  . A legegyszerűbb esetben a logaritmus megszámolja ugyanazon tényező előfordulásainak számát ismételt szorzásban; pl. mivel 1000 = 10 × 10 × 10 = 10 3 , az 1000 -es "logaritmusalap" 3, vagy log 10  (1000) = 3 . A logaritmusa x a bázis b jelöljük log b  ( x ) , illetve zárójelek nélkül, log b X , vagy akár anélkül, hogy a explicit bázis, log  x , ha nincs zavart lehetséges, vagy ha a bázis nem számít, mint például a nagy O jelölés .  

Általánosságban elmondható, hogy a hatványozás lehetővé teszi, hogy bármely pozitív valós számot bázisként bármely valódi hatványra emeljünk, amely mindig pozitív eredményt ad, így a log b ( x ) bármely két pozitív b és  x valós számra  , ahol  b nem egyenlő 1 -gyel  , mindig egyedi valós y szám  . Kifejezettebben a hatványozás és a logaritmus közötti összefüggés a következő:

pontosan ha és és és .

Például, log 2  64 = 6 , mint 2 6 = 64 .

A 10 logaritmusalapot (azaz b = 10 ) tizedes vagy közös logaritmusnak nevezik, és általában használják a tudományban és a mérnöki tudományban. A természetes alapú logaritmus van a számát  e (azaz b ≈ 2,718 ), mint az alap; használata széles körben elterjedt a matematikában és a fizikában , egyszerűbb integrálja és származéka miatt . A bináris logaritmus a 2. bázist használja (azaz b = 2 ), és gyakran használják az informatikában .

A logaritmusokat John Napier vezette be 1614 -ben a számítások egyszerűsítésére. A navigátorok, tudósok, mérnökök, felmérők és mások gyorsan elfogadták őket a nagy pontosságú számítások egyszerűbb elvégzése érdekében. A logaritmus táblázatok használatával az unalmas többjegyű szorzási lépések helyettesíthetők táblázatkeresésekkel és egyszerűbb összeadással. Ez azért lehetséges, mert az a tény, fontos a saját jobb, hogy a logaritmusa a termék az összeg logaritmusainak tényezők:

feltéve, hogy b , x és y mindegyike pozitív, és b ≠ 1 . A logarléc , szintén a logaritmusok lehetővé teszi a gyors számítások nélkül asztalok, de alacsonyabb pontossággal. A logaritmusok mai fogalma Leonhard Euler- től származik , aki a 18. században az exponenciális függvényhez kapcsolta őket , és aki az e betűt is bevezette a természetes logaritmusok alapjául.

A logaritmikus skálák a széles körű mennyiségeket apró hatókörökké csökkentik. Például a decibel (dB) egy egység, amelyet az arány logaritmusként történő kifejezésére használnak , főleg a jel teljesítményére és amplitúdójára (amelyek közül a hangnyomás gyakori példa). A kémiában, pH logaritmikus intézkedés a savassága egy vizes oldat . A logaritmusok gyakoriak a tudományos képletekben , valamint az algoritmusok és a fraktáloknak nevezett geometriai objektumok összetettségének mérésében . Segítenek leírni a zenei intervallumok gyakorisági arányait , megjelennek a prímszámokat számoló vagy a faktorokat közelítő képletekben , tájékoztatnak néhány modellt a pszichofizikában , és segíthetnek a törvényszéki számvitelben .

Ugyanígy a logaritmus megfordítja hatványozás , a komplex logaritmus az inverz függvény az exponenciális függvény, attól függetlenül, hogy a valós számok , illetve komplex számok . A moduláris diszkrét logaritmus egy másik változat; a nyilvános kulcsú kriptográfia területén használható .

Motiváció és meghatározás

A logaritmikus görbét ábrázoló grafikon, amely x = 1-nél keresztezi az x tengelyt, és az y tengely mentén a mínusz végtelenhez közelít.
A grafikon a logaritmus alap 2 keresztezi a x -tengely a x = 1 , és áthalad a pontokon (2, 1) , (4, 2) , és a (8, 3) , ábrázoló, pl, log 2 (8) = 3 és 2 3 = 8 . A gráf tetszőlegesen az y tengely közelébe kerül , de nem találkozik vele .

Az összeadás , a szorzás és a kitevés a három legalapvetőbb számtani művelet. Emellett a legegyszerűbb ezek közül visszavonja kivonással: ha hozzáad 5 az x , hogy x + 5 , visszafordítani ezt a műveletet meg kell kivonni 5 honnan x + 5 . Szorzás következő legegyszerűbb művelet visszavonja a körzet : ha megszorozzuk x által 5 kap 5 x , akkor majd lehet osztani 5 x által 5 , hogy visszatérjen az eredeti kifejezés x . A logaritmusok szintén visszavonnak egy alapvető számtani műveletet, a kitevőt. A hatványozás az, amikor egy számot egy bizonyos hatványra emelünk. Például, ha 2 -t 3 -ra emelünk , az 8 :

Az általános eset az, amikor egy b számot y hatványra emelve  x -et kapunk :

Ennek a kifejezésnek az alapja a b szám  . A bázis az a szám, amely fel van emelve, hogy egy adott teljesítmény-a fenti példában, a bázis az expressziós 2 3 = 8 jelentése 2 . Könnyű az alapot a kifejezés tárgyává tenni: mindössze annyit kell tennie, hogy mindkét oldal y -edik gyökerét veszi. Ez ad

Ez kevésbé könnyen elkészíthető y tárgya a kifejezés. A logaritmusok lehetővé teszik ezt:

Ez a kifejezés azt jelenti, hogy y egyenlő azzal a hatalommal, amelyre b -t emelne , hogy x -et kapjon . Ez a művelet visszavonja a hatványozást, mert az x logaritmusa azt a kitevőt mondja meg, amelyre a bázist felemelték.

Hatványozás

Ez az alfejezet rövid áttekintést tartalmaz a hatványozási műveletről, amely alapvető fontosságú a logaritmusok megértéséhez. A b -t az n -edik hatványra emeljük , ahol n természetes szám , és n  tényezőt megszorozva egyenlő b -vel . A n -edik ereje b van írva b n , úgy, hogy

A hatványozás kiterjeszthető b y -ra , ahol b pozitív szám, y kitevője pedig bármely valós szám . Például, b -1 a kölcsönös a b , azaz 1 / b . Emelése b , hogy a hatalom  1/2 a négyzetgyöke a b .

Általánosabban emelése b egy racionális teljesítmény  p / q , ahol p és q egész számok, adják

a b p q -dik gyöke .

Végül bármely irracionális szám (valós szám, amely nem racionális) y tetszőleges pontossághoz közelíthető racionális számokkal. Ezzel kiszámítható a b y -edik hatványa : például, és egyre jobban közelítik a b 1 , b 1,4 , b 1,41 , b 1,414 , ... értékeket . Részletesebb magyarázatot, valamint a b m + n = b m · b n képletet a hatványozásról szóló cikk tartalmazza .

Meghatározás

Az x pozitív valós szám logaritmusa a b bázishoz képest  az a kitevő, amellyel b -t fel kell emelni, hogy x -et kapjunk . Más szóval, a logaritmusa x a bázis  b a megoldást  y , hogy az egyenlet

A logaritmusát jelöljük „ log b x ” (ejtik „a logaritmusa x a bázis  b ”, „a bázis- b logaritmusát x ”, vagy leggyakrabban „a napló, bázis  b , az X ”).

Az egyenletben y = log b x értéke  y a válasz arra a kérdésre, hogy „milyen erő kell b emelni annak érdekében, hogy így x ?”.

Példák

  • log 2  16 = 4 , mivel 2 4 = 2 × 2 × 2 × 2 = 16 .
  • A logaritmusok lehetnek negatívak is: mivel
  • log 10  150 megközelítőleg 2,176, ami 2 és 3 között van, ahogy 150 is 10 2 = 100 és 10 3 = 1000 között van .
  • Bármely b alap  esetén log b b = 1 és log b  1 = 0 , mivel b 1 = b és b 0 = 1 .

Logaritmikus azonosságok

Számos fontos képlet, amelyeket néha logaritmikus identitásoknak vagy logaritmikus törvényeknek neveznek, logaritmusokat kapcsol egymáshoz.

Termék, hányados, hatalom és gyök

Egy termék logaritmusa a szorozandó számok logaritmusainak összege; két szám arányának logaritmusa a logaritmusok különbsége. A logaritmusa p -edik hatalom egy szám p  -szerese logaritmusát magát a számot; a p -edik gyök logaritmusa a szám logaritmusa osztva p -vel . A következő táblázat ezeket az azonosságokat sorolja fel példákkal. Mindegyik azonosság levezethető a logaritmus definíciók helyettesítése után vagy a bal oldalon.

Képlet Példa
Termék
Hányados
Erő
Gyökér

Báziscsere

A b x logaritmus log x és b logaritmusából számítható ki tetszőleges k bázisra  a következő képlet segítségével:

Az átváltási tényező származtatása tetszőleges bázisú logaritmusok között

A meghatározó identitásból kiindulva

a log k -t alkalmazhatjuk ennek az egyenletnek mindkét oldalára, hogy megkapjuk

.

Megoldás a hozamokra:

,

bemutatva az átváltási tényezőt az adott értékekről a megfelelő értékekre

A tipikus tudományos számológépek a logaritmusokat a 10 és e bázisokra számítják . A logaritmusok bármely b alap vonatkozásában  meghatározhatók e két logaritmus bármelyikével az előző képlet szerint:

Ha egy x számot és annak logaritmusát y = log b x adunk egy ismeretlen b bázishoz  , az alapot a következőképpen adjuk meg:

ami a meghatározó egyenletnek a hatványába vételéből látható

Különleges bázisok

A logaritmus görbéi a 0,5, 2 és e alapokhoz

A bázis összes választása közül három különösen gyakori. Ezek b = 10 , b = e ( irracionális matematikai állandó ≈ 2,71828) és b = 2 (a bináris logaritmus ). A matematikai elemzésben az e logaritmusalap széles körben elterjedt az alább ismertetett analitikai tulajdonságok miatt. Másrészről a bázis-10 logaritmusok könnyen használhatóak kézi számításokhoz a tizedes számrendszerben:

Így a log 10  ( x ) összefüggésben áll egy pozitív x egész szám tizedesjegyével : a számjegyek száma a legkisebb egész szám, amely szigorúan nagyobb, mint a log 10  ( x ) . Például a log 10 (1430) körülbelül 3,15. A következő egész szám 4, ami az 1430 számjegyek száma. Mind a természetes, mind a kettes alapú logaritmus az információelméletben használatos, ami megfelel a nats vagy bitek használatának, mint alapvető információegységeknek. A bináris logaritmusokat az informatikában is használják , ahol a bináris rendszer mindenütt jelen van; a zeneelméletben , ahol a kettős hangmagasság-arány ( oktáv ) mindenütt jelen van, a cent pedig a bináris logaritmus (1200-as skálával) az európai klasszikus zene két szomszédos, azonos tempójú hangmagasságának arányában ; és a fotózásban az expozíciós értékek mérésére .

Az alábbi táblázat felsorolja az ezekhez az alapokhoz tartozó logaritmusok általános jelöléseit és azokat a mezőket, ahol használják. Számos tudományág levelet log  x helyett log b x , amikor a tervezett bázis lehet meghatározni összefüggésben. Előfordul a b log  x jelölés is. Az "ISO jelölés" oszlop a Nemzetközi Szabványügyi Szervezet ( ISO 80000-2 ) által javasolt megnevezéseket sorolja fel . Mivel az x jelölési naplót mindhárom bázishoz használták (vagy ha az alap határozatlan vagy lényegtelen), a tervezett alapra gyakran kontextus vagy fegyelem alapján kell következtetni. Számítástechnika, jelentkezzen általában utal log 2 , és a matematika jelentkezzen általában utal jelentkezzen e . Más összefüggésekben a log gyakran log 10 -et jelent .

Bázis b Napló neve b x ISO jelölés Egyéb jelölések Használt
2 bináris logaritmus lb x ld x , log x , lg x , log 2 x számítástechnika , információelmélet , bioinformatika , zeneelmélet , fényképészet
e természetes logaritmus ln x log x
(matematikában és sok programozási nyelvben ), log e x
matematika, fizika, kémia,
statisztika , közgazdaságtan , információelmélet és mérnöki tudomány
10 közös logaritmus lg x log x , log 10 x
(mérnöki, biológiai, csillagászati)
különböző mérnöki területek (lásd decibel és lásd alább),
logaritmus táblázatok , kézi számológépek , spektroszkópia
b logaritmus bázishoz b log b x matematika

Történelem

A logaritmusok története a tizenhetedik századi Európában egy új funkció felfedezése, amely kiterjesztette az elemzés területét az algebrai módszerek körén kívülre. A logaritmus módszerét John Napier nyilvánosan terjesztette elő 1614 -ben, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( A logaritmusok csodálatos szabályának leírása ) című könyvében . Napier feltalálása előtt léteztek más, hasonló hatókörű technikák is, mint például a prosztatafarézis vagy a progresszió táblázatok használata, amelyeket Jost Bürgi 1600 körül alaposan kifejlesztett . Napier megalkotta a közép -latin nyelvű logaritmus kifejezést, a „logaritmus” kifejezést. a görög, szó szerint „arány-szám”, ettől logók „aránya, az arány, szó” + arithmosz „szám”.

A számok közös logaritmusa a tízes hatvány indexe, amely megegyezik a számmal. Ha arról beszélünk, hogy egy számnak annyi számadatra van szüksége, az durva utalás a közös logaritmusra, és Archimedes a „szám sorrendjének” nevezte. Az első valódi logaritmusok heurisztikus módszerek voltak, amelyekkel a szorzást összeadássá alakították, megkönnyítve ezzel a gyors számítást. Ezen módszerek némelyike ​​trigonometrikus azonosságokból származó táblázatokat használt. Az ilyen módszereket prosthaphaeresisnek nevezik .

Találmány a funkció már ismert, mint a természetes logaritmus kezdett, mint egy kísérlet elvégzésére kvadratúra- téglalap hiperbola által Grégoire de Saint-Vincent , a belga jezsuita tartózkodó Prágában. Arkhimédész írt A Quadrature a parabola a harmadik században, de a merőleges a hiperbola elkerülte minden erőfeszítést, amíg Saint-Vincent publikálta eredményeit a 1647. Az összefüggés, hogy a logaritmus biztosít közötti mértani annak érv és számtani sorozat Az értékek alapján AA de Sarasa arra késztette a Saint-Vincent-féle kvadratúra és a logaritmusok prosthaphaeresis-i hagyományának összekapcsolását , ami a „hiperbolikus logaritmus” kifejezéshez vezetett, amely a természetes logaritmus szinonimája. Hamarosan Christiaan Huygens és James Gregory értékelte az új funkciót . A Log y jelölést Leibniz 1675 -ben fogadta el , és a következő évben összekapcsolta az integrállal

Mielőtt Euler kifejlesztette volna az összetett természetes logaritmusokról alkotott modern felfogását, Roger Cotes majdnem egyenértékű eredményt ért el, amikor 1714 -ben kimutatta, hogy

.

Logaritmus táblázatok, diaszabályok és történelmi alkalmazások

Az 1797 -es Encyclopædia Britannica magyarázat a logaritmusokra

A számítások egyszerűsítésével, mielőtt a számológépek és számítógépek elérhetővé váltak, a logaritmusok hozzájárultak a tudomány, különösen a csillagászat fejlődéséhez . Kritikusak voltak a földmérés , az égi navigáció és más területek fejlődésében . Pierre-Simon Laplace logaritmusnak nevezte

"... [a] n csodálatra méltó mesterség, amely néhány napra csökkentve a hónapok munkáját megkétszerezi a csillagász életét, és megkíméli őt a hosszú számításoktól elválaszthatatlan hibáktól és undortól."

Mivel az f ( x ) = b x függvény a log b x inverz függvénye , ezt antilogaritmusnak neveztük . Manapság ezt a függvényt gyakrabban exponenciális függvénynek nevezik .

Napló táblázatok

A logaritmusok gyakorlati felhasználását lehetővé tevő kulcsfontosságú eszköz a logaritmusok táblázata volt . Az első ilyen táblázatot Henry Briggs állította össze 1617 -ben, közvetlenül Napier találmánya után, de azzal az újítással, hogy 10 -et használtak alapként. Briggs első táblázata tartalmazza az 1 és 1000 közötti egész számok közös logaritmusát , 14 számjegy pontossággal. Ezt követően egyre nagyobb terjedelmű táblázatokat írtak. Ezek a táblázatok felsorolták a log 10 x értékeit bármely x számra  egy bizonyos tartományban, egy bizonyos pontossággal. A bázis-10 logaritmusokat univerzálisan használták a számításhoz, innen a közös logaritmus elnevezés, mivel a 10-szeres faktoroktól eltérő számok logaritmusai egész számokban különböznek egymástól. Az x közös logaritmusa egész és töredék részekre bontható , amelyeket karakterisztikának és mantissának neveznek . A logaritmustábláknak csak a mantissát kell tartalmazniuk, mivel a jellemző könnyen meghatározható a tizedesjegyből számjegyek számolásával. A 10 · x karakterisztikája egy plusz az x karakterisztikája , és a mantiszaik megegyeznek. Így egy háromjegyű naplótábla segítségével a 3542-es logaritmusát közelítjük

Nagyobb pontosság érhető el interpolációval :

A 10 x érték fordított kereséssel határozható meg ugyanabban a táblázatban, mivel a logaritmus monoton függvény .

Számítások

Két c és d pozitív szám szorzatát és hányadosát rutinszerűen logaritmusuk összege és különbsége alapján számítottuk ki. A cd termék  vagy a c / d hányados  az összeg vagy különbség antilogaritmusának megkereséséből származik, ugyanazon a táblázaton keresztül:

és

A kézi számításokhoz, amelyek minden érzékelhető pontosságot igényelnek, a két logaritmus lekérdezése, összegük vagy különbségük kiszámítása és az antilogaritmus megkeresése sokkal gyorsabb, mint a szorzás végrehajtása korábbi módszerekkel, például a trigonometrikus azonosságokra támaszkodó prosztataferézissel .

A hatványok és gyök számításai szorzásra vagy osztásra és keresésre redukálódnak

és

A trigonometriai számításokat megkönnyítették a trigonometrikus függvények közös logaritmusait tartalmazó táblázatok .

Dia szabályok

Egy másik kritikus alkalmazás a dia szabály , a számításhoz használt pár logaritmikusan osztott skála. A csúszásmentes logaritmikus skálát, Gunter szabályát , nem sokkal Napier feltalálása után találták fel. William Oughtred továbbfejlesztette a diaszabály létrehozását - egy pár logaritmikus skálát, amelyek egymáshoz képest mozgathatók. A számokat a csúszó skálákra kell helyezni a logaritmusuk közötti különbséggel arányos távolságokra. A felső skála megfelelő csúsztatása a logaritmusok mechanikus hozzáadását jelenti, ahogy az itt látható:

Csúsztatási szabály: két téglalap, logaritmikusan kipipált tengelyekkel, elrendezés az 1 és 2 közötti távolság és az 1-3 közötti távolság hozzáadásához, a termék 6 jelzésére.
Diaszabály sematikus ábrázolása. Az alsó skála 2 -től kezdve adja hozzá a távolságot 3 -hoz a felső skálán, hogy elérje a 6 -os terméket. A csúszka szabály azért működik, mert úgy van megjelölve, hogy az 1 és x közötti távolság arányos az x logaritmusával .

Például, ha az alsó skála 1 és 2 közötti távolságát hozzáadja a felső skála 1 és 3 közötti távolságához, akkor 6 -os szorzatot kap, amelyet az alsó résznél olvasnak le. A csúszkaszabály a mérnökök és tudósok számára alapvető számítási eszköz volt az 1970 -es évekig, mert lehetővé teszi a pontosság rovására sokkal gyorsabb számítást, mint a táblázatokon alapuló technikák.

Analitikus tulajdonságok

A logaritmusok mélyebb tanulmányozása megköveteli a függvény fogalmát . A függvény olyan szabály, amely adott szám esetén egy másik számot állít elő. Példa erre a függvény, amely bármely x valós számból  előállítja b x -edik hatványát , ahol a b bázis  fix szám. Ez a függvény ki van írva: f ( x ) = b x .

Logaritmikus függvény

A logaritmusok meghatározásának igazolásához meg kell mutatni, hogy az egyenlet

van x megoldása, és ez a megoldás egyedi, feltéve, hogy y pozitív, és b pozitív és nem egyenlő az 1 -vel. Ennek bizonyítása megköveteli az elemi számítás közbenső érték tételét . Ez a tétel azt állítja, hogy egy folytonos függvény , amely két m és n értéket állít elő, bármilyen m és n közötti értéket is előállít . Egy függvény akkor folyamatos, ha nem "ugrik", vagyis ha a grafikonja a toll felemelése nélkül rajzolható meg.

Ez a tulajdonság kimutatható, hogy az f ( x ) = b x függvényre érvényes . Mivel f veszi tetszőlegesen nagy és tetszőlegesen kis pozitív értékek, bármilyen számú y > 0 között van f ( x 0 ) és f ( x 1 ) a megfelelő x 0 és x 1 . Ennélfogva a köztes érték tétel biztosítja, hogy az f ( x ) = y egyenletnek legyen megoldása. Sőt, csak egy megoldás erre egyenletnek, mert a függvény  f van szigorúan növekvő (a b > 1 ), vagy a szigorúan monoton csökken (a 0 < b <1 ).

Az egyedülálló megoldás x a logaritmusa y a bázis  b , log b y . A logaritmusát y -nek hozzárendelő függvényt logaritmusfüggvénynek vagy logaritmikus függvénynek (vagy csak logaritmusnak ) nevezzük .

A log b x függvényt lényegében a termék képlet jellemzi

Pontosabban, a logaritmus bármely b > 1 alaphoz az egyetlen növekvő f függvény a pozitív reáloktól az f ( b ) = 1 és

Fordított függvény

Két függvény grafikonja.
A grafikon a logaritmus függvény log b  ( x ) (kék) úgy kapjuk meg, tükrözve a függvény grafikonját b x (piros) a átlós vonal ( x = y ).

Egy hatvány logaritmusának képlete különösen azt mondja, hogy bármely x szám  esetén

Prózában, figyelembe véve a x -edik ereje b , majd a bázis- b logaritmus adja vissza x . Fordítva, ha pozitív y számot kapunk  , a képlet

azt mondja, hogy először a logaritmus felvétele, majd a hatványozás visszaadja y -t . Így a logaritmusok és hatványozás kombinálásának (vagy összeállításának ) két lehetséges módja visszaadja az eredeti számot. Ezért a alapú logaritmus  b a inverz függvény az f ( x ) = b x .

Az inverz függvények szorosan kapcsolódnak az eredeti függvényekhez. A grafikonok megfelelnek egymásnak való cseréje az X - és az Y -coordinates (vagy után reflexió az átlós vonal x = y ), az ábrán látható módon a megfelelő: egy pont ( t , u = b t ) a grafikonon az F pontot ad ( u , t = log b u ) a logaritmus grafikonján és fordítva. Ennek eredményeképpen a log b  ( x ) végtelenségig eltér (minden számnál nagyobb lesz), ha x a végtelenhez nő, feltéve, hogy b nagyobb, mint egy. Ebben az esetben, log b ( x ) egy növekvő függvény . A b <1 , log b  ( x ) hajlamos arra, hogy mínusz végtelen helyett. Amikor X nullához közelít, log b x megy mínusz végtelen a b > 1 (plusz végtelenig a b <1 , rendre).

Származékos és antiderivatív

A logaritmusfüggvény grafikonja és az azt egy pontban érintő egyenes.
A természetes logaritmus grafikonja (zöld) és érintője x = 1,5 -nél (fekete)

A függvények analitikus tulajdonságai átkerülnek inverzeikre. Így, mivel f ( x ) = b x folytonos és differenciálható függvény , így log b y is . Nagyjából a folytonos függvény differenciálható, ha grafikonjának nincsenek éles "sarkai". Továbbá, mivel a származékot a F ( x ) kiértékeli ln ( b ) b x a tulajdonságait a exponenciális függvény , a lánc a szabály azt jelenti, hogy a származék log b x adják

Azaz, a meredeksége a tangens érjen a grafikont a bázis- b logaritmusát a ponton ( x , log b  ( x )) egyenlő 1 / ( X  ln ( b )) .

A származék ln ( x ) jelentése 1 / X ; ez azt jelenti, hogy a ln ( x ) az egyedülálló antiderivált az 1 / x , hogy az értéke 0, az x = 1 . Ez az nagyon egyszerű képlet motivált arra, hogy a természetes logaritmus "természetesnek" minősüljön; ez is az egyik fő oka annak, hogy fontos az állandó  e .

Az f ( x ) általánosított funkcionális argumentummal rendelkező derivált az

A hányados a jobb oldali az úgynevezett logaritmikus származékot az F . Az f ' ( x ) kiszámítását ln ( f ( x )) származékával logaritmikus differenciálásnak nevezzük . Az ln ( x ) természetes logaritmus antidivativitása :

Ebből az egyenletből rokon képletek , például a logaritmusok más bázisokkal szembeni származékai származtathatók a bázisok cseréjének használatával.

A természetes logaritmus integrált ábrázolása

Hiperbola, alatta lévő terület egy részével szürkén.
A természetes alapú logaritmusa a t jelentése az árnyékolt terület a grafikon alatt a függvény F ( x ) = 1 / x (reciproka X ).

A természetes alapú logaritmusa a t lehet meghatározni, mint a határozott integrál :

Ennek a definíciónak az az előnye, hogy nem támaszkodik az exponenciális függvényre vagy a trigonometriai függvényekre; a definíció az egyszerű kölcsönös integráljának az integrálja. Integrálként ln ( t ) egyenlő az x tengely és az 1/ x függvény grafikonja közötti területtel , x = 1 és x = t között . Ez annak a következménye, a alapvető tétel a fogkő és az a tény, hogy a származék ln ( x ) jelentése 1 / X . Ebből a definícióból származtathatók a termék- és teljesítmény -logaritmus képletei. Például az ln ( tu ) = ln ( t ) + ln ( u ) termékképletet a következőképpen kell levezetni:

Az egyenlőség (1) két részre osztja az integrált, míg az egyenlőség (2) a változó változása ( w = x / t ). Az alábbi ábrán a felosztás a terület sárga és kék részekre való felosztásának felel meg. Ha a bal kék területet függőlegesen átméretezi a t tényezővel,  és ugyanezzel a tényezővel vízszintesen zsugorítja, akkor nem változik a mérete. Megfelelő mozgatással a terület ismét illeszkedik az f ( x ) = 1/ x függvény grafikonjához . Ezért, a bal oldali kék terület, amely integrálja az f ( x ) a t a tu jelentése ugyanaz, mint a szerves 1 és u . Ez az egyenlőséget (2) geometrikusabb igazolással indokolja.

A hiperbola kétszer ábrázolt.  Az alatta lévő terület különböző részekre oszlik.
Vizuális bizonyíték a természetes logaritmus termékképletére

Az ln ( t r ) = r ln ( t ) hatványképlet hasonló módon származtatható:

A második egyenlőség a változók változását használja ( helyettesítéssel történő integráció ), w = x 1/ r .

A természetes számok kölcsönös értékeinek összege,

harmonikus sorozatnak hívják . Szorosan kötődik a természetes logaritmushoz : mivel n hajlik a végtelenbe , a különbség,

konvergál (vagyis kap tetszőlegesen közel) számos úgynevezett Euler-Mascheroni állandó γ = 0,5772 ... . Ez az összefüggés segíti az algoritmusok, például a quicksort teljesítményének elemzését .

A logaritmus transzcendenciája

A valódi számokat , amelyek nem algebraiak , transzcendentálisnak nevezzük ; például π és e ilyen számok, de nem az. Szinte minden valós szám transzcendentális. A logaritmus egy példa a transzcendentális funkciókra . A Gelfond -Schneider -tétel azt állítja, hogy a logaritmusok általában transzcendentális, azaz "nehéz" értékeket vesznek fel.

Számítás

A logaritmus billentyűk (LOG a 10. bázishoz és az LN az e alaphoz  ) egy TI-83 Plus grafikus számológépen

A logaritmusokat bizonyos esetekben könnyű kiszámítani, például log 10  (1000) = 3 . Általánosságban elmondható, hogy a logaritmusok kiszámíthatók hatványsorokkal vagy aritmetikai -geometriai átlaggal , vagy lekérhetők egy előre kiszámított logaritmus táblázatból , amely rögzített pontosságot biztosít. A logaritmus kiszámításához a Newton -módszer , az iteratív módszer az egyenletek közelítő megoldására is használható, mivel fordított függvénye, az exponenciális függvény hatékonyan kiszámítható. A keresőtáblázatok segítségével CORDIC -szerű módszerek használhatók a logaritmusok kiszámítására, csak az összeadás és a biteltolások műveleteinek használatával . Ezenkívül a bináris logaritmus algoritmus rekurzívan számítja ki az lb ( x ) értéket , az x ismételt négyzetek alapján , kihasználva a relációt

Power sorozat

Taylor sorozat
Egy animáció, amely a logaritmusgráf egyre jobb közelítéseit mutatja.
A Taylor ln ( z ) sorozat z = 1 középpontban . Az animáció az első 10 közelítést mutatja, a 99. és a 100. mellett. A közelítések nem közelednek a központtól 1 -es távolságon túl.

Bármely z valós számra, amely kielégíti a 0 < z ≤ 2 értéket , a következő képlet érvényes:

Ez a rövidítés arra utal, hogy az ln ( z ) a következő kifejezésekkel egyre pontosabb értékhez közelíthető:

Például, ha z = 1,5, a harmadik közelítés 0,4167 -et ad, ami körülbelül 0,011 -rel nagyobb, mint ln (1,5) = 0,405465 . Ez a sorozat tetszőleges pontossággal közelíti az ln ( z ) értéket , feltéve, hogy az összehívások száma elég nagy. Elemi számításban tehát ln ( z ) ennek a sorozatnak a határa . Ez a természetes logaritmus Taylor -sorozata z = 1 -nél . A Taylor ln ( z ) sorozat különösen hasznos közelítést ad az ln (1 + z ) értékhez, ha z kicsi, | z | <1 , azóta

Például, ha z = 0,1, az elsőrendű közelítés ln (1,1) ≈ 0,1 értéket ad , ami kevesebb, mint 5% a 0,0953 helyes értékhez képest.

Hatékonyabb sorozat

Egy másik sorozat a terület hiperbolikus érintőfüggvényén alapul :

bármely z > 0 valós számra . A szigma jelöléssel ezt is úgy írjuk

Ez a sorozat a fenti Taylor sorozatból származtatható. Gyorsabban konvergál, mint a Taylor -sorozat, különösen akkor, ha z közel 1 -hez. Például, ha z = 1,5 , akkor a második sorozat első három tagja megközelítőleg ln (1,5) , kb.3 × 10 −6 . Az 1-hez közeli z gyors konvergenciáját a következő módon lehet kihasználni: adott alacsony pontosságú y ≈ ln ( z ) közelítés és

z logaritmusa :

Minél jobb a kezdeti közelítését Y jelentése, minél közelebb A jelentése 1, így annak logaritmusát számítható hatékonyan. A kiszámítható az exponenciális sorozat segítségével , amely gyorsan konvergál, feltéve, hogy y nem túl nagy. Kiszámítása logaritmusa nagyobb Z lehet csökkenteni, hogy a kisebb értékek z írásával Z = egy · 10 b , úgy, hogy ln ( Z ) = ln ( a ) + b · ln (10) .

Egy szorosan kapcsolódó módszer használható az egész számok logaritmusának kiszámítására. A fenti sorozatot összefoglalva az alábbiak következnek:

Ha ismert egy nagy n egész logaritmusa  , akkor ez a sorozat gyors konvergáló sorozatot eredményez a log ( n +1) számára , konvergencia mértéke .

Aritmetikai – geometriai átlag közelítése

A számtani -geometriai átlag nagy pontosságú közelítéseket ad a természetes logaritmushoz . Sasaki és Kanada 1982 -ben kimutatta, hogy különösen gyors a 400 és 1000 tizedes közötti pontosságoknál, míg a Taylor -sorozat módszerei általában gyorsabbak, ha kisebb pontosságra van szükség. Munkájukban az ln ( x ) értéket 2 - p (vagy p  pontos bit) pontossággal közelítik a következő képlettel ( Carl Friedrich Gauss miatt ):

Itt M ( x , y ) az x és y számtani -geometriai átlagát jelöli . Úgy kapjuk meg ismételt kiszámítása az átlagos ( x + y ) / 2 ( számtani átlag ) és ( geometriai átlag ) a x és y majd hagyja a két számot lesz a következő x és y . A két szám gyorsan konvergál egy közös határértékhez, amely az M ( x , y ) értéke . m -et úgy választják meg

a szükséges pontosság biztosítása érdekében. Nagyobb m esetén az M ( x , y ) számítás több lépést tesz szükségessé (a kezdeti x és y távolabb vannak egymástól, tehát több lépést igényel a konvergencia), de nagyobb pontosságot ad. A π és ln (2) állandókat gyorsan konvergáló sorokkal lehet kiszámítani.

Feynman algoritmusa

Míg a Los Alamos Nemzeti Laboratóriumban dolgozott a Manhattan-projekten , Richard Feynman kifejlesztett egy bitfeldolgozó algoritmust, amely hasonló a hosszú osztáshoz, és amelyet később a Connection Machine- ben használtak . Az algoritmus azt a tényt használja, hogy minden 1 < x <2 valós szám reprezentálható az 1 + 2 - k alakú, különböző tényezők szorzataként . Az algoritmus szekvenciálisan épül, hogy a termék  P : ha P · (1 + 2 - k ) < x , majd módosítja a P a P · (1 + 2 - k ) . Ettől függetlenül eggyel nő . Az algoritmus leáll, ha k elég nagy ahhoz, hogy megadja a kívánt pontosságot. Mivel log ( x ) az összege a feltételeket a forma log (1 + 2 - k ) , amelyek megfelelnek a k , amelyek esetében a faktor 1 + 2 - k felvették a termék  P , log ( x ) ki lehet számítani egyszerű összeadás, naplótábla (1 + 2 - k ) használatával minden k számára . A logaritmus táblázathoz bármilyen alap használható.

Alkalmazások

Egy nautilus héjának fényképe.
Egy nautilus, amely logaritmikus spirált mutat

A logaritmusoknak számos alkalmazása van a matematikán belül és kívül. Ezen események némelyike ​​összefügg a skála invarianciájának fogalmával . Például egy nautilus héjának minden kamrája a következő hozzávetőleges másolata, állandó tényezővel méretezve. Ez logaritmikus spirált eredményez . Benford törvénye a vezető számjegyek eloszlásáról a skála invarianciájával is magyarázható. A logaritmusok az ön-hasonlósághoz is kapcsolódnak . Például a logaritmusok olyan algoritmusok elemzésében jelennek meg, amelyek megoldják a problémát úgy, hogy két hasonló kisebb problémára osztják fel, és javítják azok megoldásait. Az önmagukhoz hasonló geometriai alakzatok, vagyis azoknak az alakzatoknak a mérete, amelyek részei hasonlítanak az összképhez, szintén logaritmusokon alapulnak. A logaritmikus skálák hasznosak az érték relatív változásának számszerűsítéséhez, szemben az abszolút különbséggel. Ezenkívül, mivel a logaritmikus függvénynapló ( x ) nagyon lassan növekszik nagy x esetén , a logaritmikus skálákat nagyszabású tudományos adatok tömörítésére használják. A logaritmusok számos tudományos képletben is előfordulnak, például a Csiolkovszkij rakétaegyenletben , a Fenske -egyenletben vagy a Nernst -egyenletben .

Logaritmikus skála

Grafikon egy jel értékéről az idő múlásával.  Az értékét mutató sor nagyon gyorsan növekszik, még logaritmikus skálával is.
A logaritmikus diagram ábrázolja értéke egy Goldmark a Papiermarks során német hiperinfláció az 1920

A tudományos mennyiségeket gyakran más mennyiségek logaritmusaként fejezik ki, logaritmikus skála használatával . Például, a decibel egy mértékegység társított logaritmikus léptékű mennyiségeket . Az arányok közös logaritmusán alapul - 10 -szerese a teljesítmény -arány közös logaritmusának, vagy 20 -szorosa a feszültséghányados közös logaritmusának . Arra használják, hogy számszerűsítsék az elektromos jelek átvitelében fellépő feszültségkiesést, leírják az akusztika hangjainak teljesítményszintjét , valamint a fényelnyelést a spektrometria és az optika területén . A nem kívánt zaj mennyiségét leíró jel-zaj arányt (értelmes) jelhez viszonyítva szintén decibelben mérik. Hasonló módon a csúcs jel-zaj arányt általában a hangminőség és a képtömörítési módszerek logaritmus szerinti értékeléséhez használják.

A földrengés erősségét a rengés során kibocsátott energia közös logaritmusának mérésével mérik. Ezt a pillanatnyi vagy a Richter -skála skálán használják . Például egy 5,0 -es földrengés 32 -szer (10 1,5 ) , a 6,0 pedig 1000 -szer (10 3 ) adja a 4,0 -es energiát. A látszólagos nagyság logaritmikusan méri a csillagok fényességét. A kémiában a tizedes logaritmus negatívját, a tizedes cologaritmust p betű jelzi. Például, a pH a decimális cologarithm az aktivitását a oxónium -ionok (formájában hidrogén ionok H+
vizet felvenni). A aktivitását hidróniumionok a semleges vízben 10 -7  Moll -1 , így a pH-ja 7. Vinegar tipikusan pH-ja körülbelül 3 A különbség 4 megfelel egy aránya 10 4 a tevékenység, amely , ecet a hidrónium ionok aktivitása körülbelül 10 -3 Moll -1 .

A szemilog (napló -lineáris ) gráfok a logaritmikus skála fogalmát használják a vizualizációhoz: az egyik tengely, jellemzően a függőleges, logaritmikusan méretezhető. Például a jobb oldali diagram a meredek növekedést 1 millióról 1 billióra sűríti ugyanabba a térbe (a függőleges tengelyen), mint az 1 millióról 1 millióra. Az ilyen gráfokban az f ( x ) = a · b x alakú exponenciális függvények egyenes vonalként jelennek meg, amelynek meredeksége megegyezik a b logaritmusával . A napló-napló grafikonok mindkét tengelyt logaritmikusan méretezik, ami azt eredményezi, hogy az f ( x ) = a · x k alakú függvényeket egyenes vonalként ábrázolják, amelynek meredeksége egyenlő a k kitevővel  . Ezt alkalmazzák a hatalmi törvények megjelenítésében és elemzésében .

Pszichológia

A logaritmusok több, az emberi észlelést leíró törvényben is előfordulnak : Hick törvénye logaritmikus összefüggést javasol az egyének alternatívája kiválasztásához szükséges idő és a választási lehetőségek között. Fitts törvénye azt jósolja, hogy a célterülethez való gyors mozgáshoz szükséges idő a cél távolságának és méretének logaritmikus függvénye. A pszichofizikában a Weber – Fechner -törvény logaritmikus összefüggést javasol az inger és az érzés között, mint például az adott tárgy tényleges és a vélt súlya. (Ez a "törvény" azonban kevésbé reális, mint az újabb modellek, például Stevens hatalmi törvénye .)

Pszichológiai tanulmányok kimutatták, hogy a kevés matematikai végzettségű egyének hajlamosak logaritmikusan becsülni a mennyiségeket, vagyis egy számot jelöletlen vonalra helyeznek a logaritmusa szerint, így 10 a 100 -hoz közel helyezkedik el, a 100 pedig az 1000 -hez képest. lineáris becslésre (1000 -szer 10 -szer távolabb elhelyezve) bizonyos körülmények között, míg logaritmusokat használnak, ha a ábrázolni kívánt számokat nehéz lineárisan ábrázolni.

Valószínűségelmélet és statisztika

Három aszimmetrikus PDF görbe
Három valószínűségi sűrűség függvény (PDF) véletlenszerű változókból log-normális eloszlással. A  μ helyparaméter , amely mindhárom megjelenített PDF esetében nulla, a véletlen változó logaritmusának átlaga, nem maga a változó átlaga.
Sávdiagram és egymásra helyezett második diagram.  A kettő kissé eltér, de mindkettő hasonló módon csökken.
Az első számjegyek megoszlása ​​( %-ban, piros sávban) a világ 237 országának lakosságában . A fekete pontok a Benford törvénye által megjósolt eloszlást jelzik.

A valószínűség-elméletben logaritmusok merülnek fel : a nagy számok törvénye azt diktálja, hogy a tisztességes érmék esetében , amikor az érmefeldobások száma a végtelenségig nő, a fejek megfigyelt aránya a feléhez közelít . Ennek az aránynak a felére vonatkozó ingadozásait az iterált logaritmus törvénye írja le .

A logaritmusok log-normal eloszlásokban is előfordulnak . Ha a logaritmus egy véletlen változó egy normális eloszlást , a változó azt mondta, hogy a log-normális eloszlás. A log-normális eloszlások számos területen előfordulnak, bárhol is alakul ki változó sok független pozitív véletlen változó szorzataként, például a turbulencia vizsgálatánál.

A logaritmusokat a paraméteres statisztikai modellek maximális valószínűségű becslésére használják . Egy ilyen modell esetében a valószínűségi függvény legalább egy paramétertől függ, amelyet meg kell becsülni. A valószínűségi függvény maximuma ugyanazon paraméterértéknél fordul elő, mint a valószínűség logaritmusának maximális értéke (" log likelihood "), mivel a logaritmus növekvő függvény. A napló-valószínűség könnyebben maximalizálható, különösen a független véletlen változók többszörös valószínűségei esetén.

Benford törvénye írja le a számjegyek előfordulását sok adathalmazban , például az épületek magasságában. A Benford törvénye szerint annak valószínűsége, hogy az adatmintában szereplő elem első tizedesjegye d (1-től 9-ig), egyenlő log 10  ( d + 1)-log 10  ( d ) értékkel , függetlenül a mértékegységtől. Így az adatok körülbelül 30% -ánál várható, hogy az első számjegy 1, 18% -a 2 -vel kezdődik, stb.

Számítási komplexitás

Az algoritmusok elemzése a számítástechnika egyik ága, amely az algoritmusok (egy bizonyos problémát megoldó számítógépes programok) teljesítményét tanulmányozza . A logaritmusok értékesek olyan algoritmusok leírásához, amelyek egy problémát kisebbekre osztanak , és összekapcsolják az alproblémák megoldásait.

Például egy szám kereséséhez a rendezett listában a bináris keresési algoritmus ellenőrzi a középső bejegyzést, és folytatja a középső bejegyzés előtti vagy utáni felével, ha a szám még mindig nem található. Ez az algoritmus átlagosan log 2  ( N ) összehasonlítást igényel, ahol N a lista hossza. Hasonlóképpen, az összevonás rendezési algoritmusa rendezi a nem rendezett listát úgy, hogy felosztja a listát, és ezeket először az eredmények összevonása előtt rendezi. Az összevonási rendezési algoritmusok jellemzően az N · log ( N ) -vel arányos időt igényelnek . A logaritmus alapja itt nincs megadva, mert az eredmény csak akkor változik állandó tényezővel, ha másik bázist használunk. Az állandó tényezőt általában figyelmen kívül hagyják a szabványos egységes költségmodell algoritmusainak elemzésekor .

Egy f ( x ) függvényről  azt mondják, hogy logaritmikusan növekszik, ha f ( x ) (pontosan vagy megközelítőleg) arányos x logaritmusával . (A szervezet növekedésének biológiai leírásai azonban ezt a kifejezést exponenciális függvényre használják.) Például bármely N természetes szám  bináris formában legfeljebb log 2 N + 1 bitben ábrázolható . Más szóval, az összeg a memória tárolásához szükséges N növekszik logaritmikusan N .  

Entrópia és káosz

Ovális forma két részecske pályájával.
Biliárd ovális biliárdasztalon . Két részecske, amelyek a középpontból indulnak, egy fokkal eltérő szöggel , a határon való visszaverődések miatt kaotikusan eltérő utakat járnak be.

Az entrópia nagyjából valamilyen rendszer zavara. A statisztikai termodinamikában néhány fizikai rendszer S entrópia  a következőképpen van definiálva

Az összeg a szóban forgó rendszer összes lehetséges i állapotára  vonatkozik, például a tartályban lévő gázrészecskék helyzetére. Továbbá, p i annak a valószínűsége, hogy az állam  i elérjük, és k jelentése a Boltzmann állandó . Hasonlóképpen, az információelmélet entrópia az információ mennyiségét méri. Ha egy üzenet fogadója számíthat bármelyike N lehetséges üzenetek azonos valószínűsége, akkor az összeg által közölt információ, hogy ezek bármelyike üzenet számszerűsíthető log 2 N bit.

Ljapunov kitevői logaritmusok segítségével mérik fel a dinamikus rendszer kaotikusságának mértékét . Például egy ovális biliárdasztalon mozgó részecske esetében a kezdeti feltételek kis változásai is nagyon eltérő útvonalakat eredményeznek. Az ilyen rendszerek kaotikus egy determinisztikus módon, mert a kis mérési hibák az eredeti állapot kiszámíthatóan vezet nagymértékben eltérő végső állapot. Egy determinisztikusan kaotikus rendszer legalább egy Ljapunov -exponense pozitív.

Fraktálok

A háromszög egyes részeit iterált módon távolítják el.
A Sierpinski háromszög (jobb oldalon) úgy épül fel, hogy az egyenlő oldalú háromszögeket háromszor kicserélik .

A logaritmusok a fraktálok dimenziójának meghatározásában fordulnak elő . A fraktálok olyan geometriai tárgyak, amelyek önmagukhoz hasonlóak : a kis részek legalább nagyjából reprodukálják a teljes globális szerkezetet. A Sierpinski -háromszöget (a képen) három példány fedheti el, mindegyik oldala fele az eredeti hosszának. Ez teszi ennek a szerkezetnek a Hausdorff -dimenzióját ln (3)/ln (2) ≈ 1.58 . Egy másik logaritmusalapú dimenziófogalmat úgy kapunk, hogy megszámoljuk a szóban forgó fraktál lefedéséhez szükséges dobozok számát .

Zene

Négy különböző oktáv lineáris skálán.
Négy különböző oktáv logaritmikus skálán.
Négy különböző oktáv lineáris skálán, majd logaritmikus skálán (ahogy a fül hallja őket).

A logaritmusok zenei hangokhoz és intervallumokhoz kapcsolódnak . Az egyenletes temperálás , a frekvencia arány függ csak a között eltelt két hang, nem a speciális frekvenciát vagy szurok , az egyes hangokat. Például, a feljegyzés  A frekvenciája 440  Hz és a B-lapos frekvenciája 466 Hz. A közötti intervallum A és B-sík egy fél hanggal , mint az, amely a B-sík és a B (frekvencia 493 Hz). Ennek megfelelően a gyakorisági arányok megegyeznek:

Ezért, logaritmus lehet használni, hogy leírja az intervallumok: időközzel mérjük félhangokban azáltal, hogy a bázis- 2 1/12 logaritmusa frekvencia arányt, míg a bázis- 2 1/1200 logaritmusa frekvencia arány kifejezi azt az intervallumot cent , félszázadok. Ez utóbbit finomabb kódoláshoz használják, mivel szükség van nem egyenlő temperamentumokra.

Intervallum
(a két hang egyszerre szólal meg)
1/12 hangszín lejátszásErről a hangról  Félhangos játékErről a hangról Csak a harmadik nagyjátékErről a hangról Harmadik főjátékErről a hangról Tritone játékErről a hangról Octave játékErről a hangról
Frekvenciaarány r
Ennek megfelelő számú félhang
Megfelelő számú cent

Számelmélet

A természetes logaritmusok szorosan kapcsolódnak a prímszámok számlálásához (2, 3, 5, 7, 11, ...), ami a számelmélet fontos témája . Bármely integer  x , mennyisége prímszámokat kevesebb vagy egyenlő, mint x jelöli π ( x ) . A prímszám -tétel azt állítja, hogy π ( x ) megközelítőleg az

abban az értelemben, hogy π ( x ) aránya és ez a tört megközelíti az 1 -et, amikor x hajlik a végtelenbe. Következésképpen annak valószínűsége, hogy az 1 és x közötti véletlenszerűen kiválasztott szám prímszám, fordítottan arányos az x tizedesjegy számával . Egy sokkal jobb becslést π ( X ) által adott eltolás logaritmikus integrál függvény Li ( x ) , által meghatározott

A Riemann -hipotézis , az egyik legrégebbi nyílt matematikai sejtés , a π ( x ) és a Li ( x ) összehasonlításával fogalmazható meg . A különálló prímtényezők számát leíró Erdős – Kac -tétel magában foglalja a természetes logaritmust is .

Az n faktoriális logaritmusa , n ! = 1 · 2 · ... · n , megadja

Ez felhasználható Stirling képletének , n közelítésének megszerzésére ! nagy n .

Általánosítások

Összetett logaritmus

A poláris forma szemléltetése: egy pontot nyíl vagy ezzel egyenértékű hosszúság és szög írja le az x tengelyhez.
Z = x + iy poláris alakja . A φ és a φ ' is z érvei .

Minden a komplex szám , amely megoldja az egyenletet

nevezzük komplex logaritmusai a Z , ha Z jelentése (tekinthető) a komplex szám. Egy komplex számot általában z = x + iy néven ábrázolnak , ahol x és y valós számok, és i egy képzeletbeli egység , amelynek négyzete −1. Egy ilyen szám látható a komplex sík egy pontján , ahogy a jobb oldalon látható. A poláris formájú kódol egy nem nulla komplex szám  Z annak abszolút értéke , azaz a (pozitív, valós) távolsága  R a származási , és egy szög között a valódi ( x ) tengely Re és a átmenő mind a származási és z . Ezt a szöget nevezzük az érv a z .  

Az abszolút értéke r a z adják

A szinusz és a koszinusz geometriai értelmezését és azok periodicitását 2 π -ben használva bármely z komplex szám  jelölhető

bármely k egész számra  . Nyilvánvaló, hogy a z argumentuma nincs egyedileg megadva: φ és φ ' = φ + 2 k π egyaránt érvényes z argumentumai minden k egész  számnak , mert 2 k π  radián vagy k ⋅360 ° hozzáadása φ -nak megfelel a " tekerésnek " az origót az óramutató járásával ellentétes irányban k  fordulattal . A kapott komplex szám mindig z , amint azt k = 1 esetén a jobb oldali ábra mutatja . Egy kiválaszthat pontosan egy a lehetséges érvek a Z , mint az úgynevezett fő érve , jelöljük Arg ( Z ) , a tőke  Egy , megkövetelésével φ , hogy tartoznak az egyik, célszerűen kiválasztott viszont, pl - π < φπ vagy 0 ≤ φ <2 π . Ezeket a régiókat, ahol a z argumentuma egyedileg meghatározott , az argumentum függvény ágainak nevezzük .

Sűrűségi ábrázolás.  Középen van egy fekete pont, a negatív tengelynél az árnyalat élesen ugrik, és ellenkező esetben simán fejlődik.
A komplex logaritmus fő ága (- π , π ), Log ( z ) . A z = 1 -es fekete pont a nulla abszolút értéknek felel meg, a világosabb, telítettebb színek pedig a nagyobb abszolút értékeket jelentik. A színárnyalat kódolja a Log ( z ) argumentumát .

Euler formulája összeköti a szinusz és a koszinusz trigonometrikus függvényeit a komplex exponenciálissal :

Ezt a képletet és ismét a periodicitást használva a következő azonosságok érvényesek:

ahol ln ( r ) az egyedi valódi természetes logaritmus, a k a z komplex logaritmusát jelöli , és k tetszőleges egész szám. Ezért, a komplex logaritmusai Z , amelyek mind azok komplex értékek a k , amelyek esetében a a k -edik  ereje e megegyezik Z , a végtelen sok

tetszőleges egész számokra  k .

Figyelembe k úgy, hogy φ + 2 K π jelentése a megadott intervallumon belül a főbb érveket, majd a k az úgynevezett legfőbb értéke a logaritmus, jelöljük Log ( Z ) , ismét a tőke  L . Bármely x pozitív valós szám fő argumentuma  0; így a Log ( x ) valós szám, és megegyezik a valós (természetes) logaritmussal. Azonban a fenti képletek logaritmusa termékek és hatásköre nem nem általánosítható a legfőbb értéke az összetett logaritmus.

A jobb oldali ábra Log ( z ) -et ábrázol , a z argumentumait a (−π, π) intervallumra korlátozza . Így a komplex logaritmus megfelelő ágának folytonossága van a negatív valós x  tengely mentén, ami látható a folytatásban a színárnyalat van. Ez a diszkontinuitás fakad ugrás a másik határ az azonos ág, amikor átlépik a határt, azaz nem változik a megfelelő k -érték a folyamatosan szomszédos ág. egy ilyen helyre hívják ág vágott . A tartománykorlátozások elhagyása az argumentumon a relációkat „ z argumentumává ”, következésképpen „ z logaritmusává ” teszi, többértékű függvényekké .

Más exponenciális függvények inverzei

A hatványozás a matematika számos területén előfordul, és fordított funkcióját gyakran logaritmusnak nevezik. Például egy mátrix logaritmusa a mátrix exponenciális (többértékű) inverz függvénye . Egy másik példa a p -adic logaritmus , a p -adic exponenciális fordított függvénye . Mindkettő a valós esethez hasonló Taylor -sorozaton keresztül van definiálva. Az összefüggésben differenciál geometria , a exponenciális leképezés térképek a pontbeli egy ponton egy sokrétű , hogy a környéken a ponton. Inverzét logaritmikus (vagy log) térképnek is nevezik.

A véges csoportok kontextusában a hatványozást úgy kapjuk meg, hogy egy b csoportelemet ismételten megszorozunk  önmagával. A diszkrét logaritmus jelentése egész szám,  n megoldása az egyenlet

ahol x a csoport eleme. A hatványozás hatékonyan elvégezhető, de a diszkrét logaritmus egyes csoportokban nagyon nehezen kiszámítható. Ennek az aszimmetriának fontos alkalmazási területei vannak a nyilvános kulcsú titkosításban , például a Diffie – Hellman kulcscserében , amely rutin lehetővé teszi a titkosítási kulcsok biztonságos cseréjét a nem biztonságos információs csatornákon. Zech logaritmusa a diszkrét logaritmushoz kapcsolódik egy véges mező nullától eltérő elemeinek multiplikatív csoportjában .

További logaritmusszerű inverz függvények közé tartozik a ln (ln ( x )) kettős logaritmus  , a szuper- vagy hiper-4-logaritmus (amelynek enyhe eltérését iterált logaritmusnak nevezik az informatikában), a Lambert W függvény és a logit . Ezek a kettős exponenciális függvény , a tetráció , az f ( w ) = we w és a logisztikai függvény fordított függvényei .

Kapcsolódó fogalmak

Szemszögéből csoport elmélet , a személyazonosságát log ( cd ) = log ( c ) + log ( d ) expresszál egy csoport izomorfizmus közötti pozitív valós számok alatt szorzás és valós számok az összeadásra. A logaritmikus függvények az egyetlen folyamatos izomorfizmus ezen csoportok között. Révén, hogy izomorfizmus, a Haar intézkedés ( Lebesguedx a valós számok megfelel a Haar intézkedés  DX / X a pozitív valós számok. A nemnegatív reálok nemcsak szorzással rendelkeznek, hanem összeadással is rendelkeznek, és egy féligét képeznek , az úgynevezett valószínűségi szemiring ; ez valójában félmező . A logaritmus ezután szorzást ad összeadáshoz ( naplószorzás ), és hozzáadja a napló összeadását ( LogSumExp ), így a féliggyűrűk izomorfizmusát adja a valószínűségi félbevitel és a napló -féligézés között .

Logaritmikus egy-formák  df / f jelennek meg komplex elemzése , és algebrai geometria , mint differenciálformák logaritmikus pólusok .

A polilogaritmus az által definiált függvény

Ez kapcsolatos a természetes logaritmusa által Li 1  ( Z ) = -ln (1 - z ) . Ezenkívül Li s  (1) megegyezik a Riemann -féle eta ( s ) függvénnyel .

Lásd még

Megjegyzések

Hivatkozások

Külső linkek