p -exponenciális függvény - p-adic exponential function

A matematika , különösen p -adic elemzés , a p -adic exponenciális függvény egy p -adic analóg a szokásos exponenciális függvény a komplex számok . A komplex esethez hasonlóan fordított függvénye van, a p -adic logaritmus .

Meghatározás

A C szokásos exponenciális függvényét a végtelen sorozat határozza meg

${\ displaystyle \ exp (z) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {z^{n}} {n!}}.}$

Teljesen analóg módon az egyik meghatározza a C _p exponenciális függvényét , a Q _p algebrai zárásának befejezését ,

${\ displaystyle \ exp _ {p} (z) = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {z^{n}} {n!}}.}$

Azonban az exp -val ellentétben, amely az összes C -re konvergál, az exp _p csak a lemezen konvergál

${\ displaystyle | z | _ {p} <p^{-1/(p-1)}.}$

Ez azért van, mert a p -adic sorozatok akkor és csak akkor konvergálnak, ha az összehívások hajlamosak a nullára, és mivel az n ! az egyes összegezők nevezőjében hajlamosak arra, hogy nagyon nagy legyenek p -adikailag, inkább kis z értékre van szükség a számlálóban.

p -adic logaritmus függvény

Az erő sorozat

${\ displaystyle \ ln (1+x) = \ sum _ {n = 1}^{\ infty} {\ frac {(-1)^{n+1} x^{n}} {n}},}$

konvergál az X a C _p kielégítő | x | _p  <1 és így határozza meg a p -ad logaritmus függvény log _p ( z ) a | z  - 1 | _p  <1 kielégítve a szokásos tulajdonságnaplót _p ( zw ) = log _p z  + log _p w . A _p függvénynapló kiterjeszthető az összes C -re ×
p (a készlet nem nulla elemeinek C _p ) azáltal, hogy továbbra is eleget ennek utolsó tulajdonság és a beállítási log _p ( p ) = 0. Különösen, minden eleme W a C ×
p w  =  p ^r · ζ · z alakban írható, és r egy racionális számmal, ζ egységgyökével és | z  - 1 | _p  <1, ebben az esetben log _p ( w ) = log _p ( z ). Ez a funkció a C -n ×
p néha Iwasawa logaritmusnak nevezik, hogy hangsúlyozzák a log _p ( p ) = 0. választását . Valójában van egy kiterjesztése a logaritmusnak a | z  - 1 | _p  <1 minden C -re ×
p a log _p ( p ) minden egyes választásánál a C _p .

Tulajdonságok

Ha z és w mind exp _p konvergencia sugarában vannak , akkor az összegük is, és a szokásos összeadási képletünk van: exp _p ( z  +  w ) = exp _p ( z ) exp _p ( w ).

Hasonlóképpen, ha z és w a C _p nulla elemei, akkor log _p ( zw ) = log _p z  + log _p w .

Az exp _p tartományában lévő z esetén exp _p (log _p (1+ z )) = 1+ z és log _p (exp _p ( z )) =  z .

Az iwasawa logaritmus log _p ( z ) gyökei pontosan a p ^r · ζ alakú C _p elemei, ahol r racionális szám, ζ pedig egységgyök.

Vegyük észre, hogy nincs analóg a C _p az Euler személyazonosságát , e ^{2 πi}  = 1. Ez egy következménye Strassmann tétel .

Egy másik nagy különbség a C helyzethez képest az, hogy az exp _p konvergencia tartománya sokkal kisebb, mint a log _pé . Ehelyett módosított exponenciális függvény - az Artin – Hasse exponenciális - használható, amely a | z | _p  <1.

Megjegyzések

Hivatkozások

• Cassels, 12. fejezet , JWS (1986). Helyi mezők . London Mathematical Society Hallgatói szövegek . Cambridge University Press . ISBN 0-521-31525-5.
• Cohen, Henri (2007), Számelmélet, I. kötet: Eszközök és diofantin egyenletek , Graduate Texts in Mathematics , 239 , New York: Springer, doi : 10.1007/978-0-387-49923-9 , ISBN 978-0-387-49922-2, MR  2312337

Külső linkek

• p-adic exponenciális és p-adic logaritmus