Nullák és oszlopok - Zeros and poles

A komplex elemzésben (a matematika egyik ága) a pólus egy bizonyos típusú szingularitás , amelynek közelében a függvény viszonylag rendszeresen viselkedik, ellentétben az alapvető szingularitásokkal , például 0 a logaritmusfüggvénnyel , és elágazási pontok , mint pl. 0 a komplex négyzetgyök függvényhez .

Egy függvény $f$ egy komplex változó $Z$ jelentése Meromorf a szomszédságában egy pont $Z 0$ , ha akár $f$ , vagy annak reciproka függvény $1 / f$ jelentése Holomorf néhány szomszédságában $z 0$ (azaz, ha $f$ vagy $1 / f$ jelentése komplex differenciálható a $z 0$ szomszédsága ).

A nulla egy Meromorf függvény $f$ egy komplex szám $Z$ olyan, hogy $f (z) = 0$ . A pólus az $F$ egy nulla az $1 / f$ .

Ez kettősséget vált ki a nullák és a pólusok között , amelyet úgy kapunk, hogy az $f$ függvényt kölcsönös $1 / f helyettesítjük$ . Ez a kettősség alapvető a meromorf funkciók tanulmányozásában. Például, ha egy függvény Meromorf az egész komplex síkon , beleértve a pont a végtelenben , akkor az összeg a multiplicitásukkal annak oszlopok összegével egyenlő a sokszorozód a nullák.

Definíciók

Egy függvény a komplex változó $Z$ jelentése Holomorf egy nyitott tartomány $U$ ha differenciálható tekintetében $z$ minden pontján $U$ . Ennek megfelelően holomorf, ha analitikus , vagyis ha Taylor-sora létezik az $U$ minden pontján , és konvergál a pont valamely szomszédságában lévő funkcióhoz . A függvény Meromorf az $U$ , ha minden pontján $U$ van egy környéken, hogy vagy $f$ vagy $1 / f$ jelentése Holomorf benne.

A nulla egy Meromorf függvény $f$ egy komplex szám $Z$ olyan, hogy $f (z) = 0$ . A pólus az $F$ nulla az $1 / f$ .

Ha $f$ olyan függvény, amely meromorf a komplex sík egy pontjának szomszédságában , akkor létezik olyan $n$ egész szám , amely ${\ displaystyle z_ {0}}$

{\ displaystyle (z-z_ {0}) ^ {n} f (z)}

holomorf és nem nulla a szomszédságában (ez az analitikai tulajdonság következménye). Ha $n$ $> 0$ , akkor egy pólusa a sorrendben (vagy multiplicitás) $n$ a $f$ . Ha $n$ $<0$ , akkor az $f$ nagysága nulla . Egyszerű nulla és egyszerű pólus van használt kifejezések nullák és pólusai rend fokozat néha szinonimaként használjuk a sorrendben. ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle z_ {0}}$ ${\ displaystyle | n |}$ ${\ displaystyle | n | = 1.}$

A nullák és pólusok ilyen jellemzése azt jelenti, hogy a nullák és a pólusok el vannak különítve , vagyis minden nulla vagy pólus szomszédsága nem tartalmaz más nulla és pólust.

Mivel a nullák és pólusok sorrendjét nem negatív $n$ számként definiálják, és a közöttük lévő szimmetria miatt gyakran hasznos, ha az $n$ sorrendű pólust nullának tekintjük $- n-nek$ és $n-$ t $n-$ nek rend $- n$ . Ebben az esetben egy olyan pontot, amely nem sem pólus, sem nulla, a 0. sorrendű pólusnak (vagy nulla) tekintünk.

Egy meromorf függvénynek végtelen sok nulla és pólusa lehet. Ez a helyzet a gamma funkcióval (lásd a képet az infoboxban), amely az egész komplex síkban meromorf, és minden nem pozitív egész számnál egyszerű pólusú. A Riemann-zéta függvény szintén meromorf az egész komplex síkban, egyetlen 1-es sorrendű pólus $z = 1-nél$ . A bal félsík nullái mind negatív páros egészek, és a Riemann-hipotézis az a sejtés, hogy az összes többi nulla $Re (z) = 1/2$ mentén helyezkedik el .

Egy pont szomszédságában az $f$ nem nullás meromorf függvény egy legfeljebb egy véges fő részű Laurent-sorozat összege (negatív indexértékű kifejezések): ${\ displaystyle z_ {0},}$

{\ displaystyle f (z) = \ sum _ {k \ geq -n} a_ {k} (z-z_ {0}) ^ {k},}

ahol $n$ jelentése egész szám, és Ismét, ha $n$ $> 0$ (az összeg kezdődik , a fő résznek van $n$ kifejezések), az egyik egy pólusa a rend $n$ , és ha $n$ $\leq 0$ (az összeg kezdődik , nincs elsődleges rész), az egyiknek nulla a rendje . ${\ displaystyle a _ {- n} \ neq 0.}$ ${\ displaystyle a _ {- | n |} (z-z_ {0}) ^ {- | n |}}$ ${\ displaystyle a_ {| n |} (z-z_ {0}) ^ {| n |}}$ ${\ displaystyle | n |}$

A végtelenben

A függvény akkor meromorf a végtelenben, ha meromorf a végtelenség valamely szomszédságában (ez valamilyen lemezen kívül van ), és van olyan $n$ egész szám , amely ${\ displaystyle z \ mapsto f (z)}$

{\ displaystyle \ lim _ {z \ to \ infty} {\ frac {f (z)} {z ^ {n}}}}

létezik és nem nulla komplex szám.

Ebben az esetben a végtelen pont egy $n$ nagyságú pólus, ha $n > 0$ , és nulla nagyságrendű, ha $n$ $<0$ . ${\ displaystyle | n |}$

Például, egy polinom foka $n$ van egy pólusa fokú $N$ végtelenben.

A végtelen ponttal meghosszabbított komplex síkot Riemann-gömbnek nevezzük .

Ha $f$ olyan függvény, amely meromorf az egész Riemann-gömbön, akkor véges száma van nullákról és pólusokról, és pólusainak sorrendjeinek összege megegyezik a nullák sorrendjének összegével.

Minden racionális függvény meromorf az egész Riemann-szférában, és ebben az esetben a nullák vagy a pólusok sorrendjének összege a számláló és a nevező fokainak maximuma.

Példák

9. fokú pólus a végtelenben, a 9. fokú polinom komplex függvényhez , mint pl

{\ displaystyle f (z) = z ^ {9}}

A funkció

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {3} {z}}}

meromorf az egész Riemann-szférában. Ennek 1. vagy egyszerű pólusa van , a végtelenségnél pedig egyszerű nulla.

{\ displaystyle z = 0,}

A funkció

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z + 2} {(z-5) ^ {2} (z + 7) ^ {3}}}}

meromorf az egész Riemann-szférában. Ennek pólusa 2 és 3 sorrendű . Egyszerű nulla van a végén és négyszeres nulla a végtelenben.

{\ displaystyle z = 5,}

{\ displaystyle z = -7}

{\ displaystyle z = -2,}

A funkció

{\ displaystyle f (z) = {\ frac {z-4} {e ^ {z} -1}}}

meromorf az egész komplex síkon, de nem a végtelenben. 1 pólusú pólusai vannak . Ez látható az írás a Taylor-sor az origó körül.

{\ displaystyle z = 2 \ pi ni {\ text {for}} n \ in \ mathbb {Z}}

{\ displaystyle e ^ {z}}

A funkció

{\ displaystyle f (z) = z}

egyetlen pólusa van az 1. nagyságrendű végtelenben, és az origója egyetlen nulla.

Az összes fenti példa a harmadik kivételével racionális függvény . Az ilyen függvények nulláinak és pólusainak általános megvitatásához lásd: Pole – zero plot § Folyamatos idejű rendszerek .

Funkció egy görbén

A nullák és pólusok fogalma természetesen kiterjed a komplex görbe függvényeire is , vagyis az első dimenzió komplex analitikus sokaságára (a komplex számok fölé). Az ilyen görbék legegyszerűbb példái a komplex sík és a Riemann-felület . Ez a kiterjesztés a struktúrák és tulajdonságok diagramokon keresztüli átvitelével történik , amelyek analitikai izomorfizmusok .

Pontosabban, legyen $f$ függvény az $M$ komplex görbétől a komplex számokig. Ez a funkció Holomorf (ill. Meromorf) a szomszédságában egy pont $Z$ az $M$ , ha van egy diagram olyan, hogy van Holomorf (ill. Meromorf) a szomszédságában Ezután, $Z$ jelentése egy rúdra vagy nulla rendű $n$ , ha a ugyanez igaz a ${\ displaystyle \ phi}$ ${\ displaystyle f \ circ \ phi ^ {- 1}}$ ${\ displaystyle \ phi (z).}$ ${\ displaystyle \ phi (z).}$

Ha a görbe kompakt , és az $f$ függvény meromorf az egész görbén, akkor a nullák és pólusok száma véges, és a pólusok sorrendjének összege megegyezik a nullák sorrendjének összegével. Ez az egyik alapvető tény, amely részt vesz a Riemann – Roch tételben .

Lásd még

Hivatkozások

Conway, John B. (1986). Függvények egy komplex változó I . Springer. ISBN 0-387-90328-3 .
Conway, John B. (1995). Egy komplex változó funkciói II . Springer. ISBN 0-387-94460-5 .
Henrici, Peter (1974). Alkalmazott és számítási komplex elemzés 1 . John Wiley és Sons .

Külső linkek

Weisstein, Eric W. "Pole" . MathWorld .

Languages

In other projects