Kvantummező elmélet - Quantum field theory

Kvantummező elmélet
Feynman diagram
Történelem
Háttér Terepelmélet Elektromágnesesség Gyenge erő Erős erő Kvantummechanika Speciális relativitás Általános relativitáselmélet Mérőelmélet
Szimmetriák Szimmetria a kvantummechanikában C-szimmetria P-szimmetria T-szimmetria Térfordítási szimmetria Időfordítási szimmetria Forgásszimmetria Lorentz szimmetria Poincaré szimmetria Mérő szimmetria Kifejezett szimmetriatörés A spontán szimmetria megszakad Yang – Mills elmélet Noether töltés Topológiai töltés
Eszközök Rendellenesség Átkelés Hatékony terepelmélet Várható érték Faddejev – Popov szellemek Feynman diagram Rácsmérő elmélet LSZ csökkentési képlet Partíció funkció Szaporító Kvantálás Szabályozás Renormalizáció Vákuum állapot Wick -tétel Wightman axiómái
Egyenletek Dirac -egyenlet Klein -Gordon egyenlet Proca egyenletek Wheeler – DeWitt egyenlet Bargmann – Wigner egyenletek
Standard modell Kvantum elektrodinamika Elektromos gyenge kölcsönhatás Kvantum -kromodinamika Higgs -mechanizmus
Hiányos elméletek Topológiai kvantumtér -elmélet Húrelmélet Szuperszimmetria Technicolor Mindennek elmélete Kvantum gravitáció
Tudósok CD Anderson PW Anderson Legyél a Bjorken Bogoliubov Brout Callan Coleman DeWitt Dirac Dyson Englert Fermi Feynman Fierz Fock Fröhlich Glashow Gell-Mann Bruttó Guralnik Heisenberg Higgs Haag Hagen nem Hooft Jordánia Kendall Vödör Bárány Hintó Lee Majorana Mills Nambu Nishijima Parisi Poljakov Salam Schwinger Skyrme Sudarshan Tomonaga Veltman Ward Weinberg Weisskopf Weyl Wilczek Wilson Yang Yukawa
v t e

Az elméleti fizika , kvantumtérelméletben ( QFT ) egy elméleti keret, amely egyesíti a klasszikus térelmélet , a speciális relativitáselmélet és a kvantummechanika . QFT használják részecskefizikai építésére fizikai modellek a szubatomi részecskék és a kondenzált anyagok fizikája építésére modellek quasiparticles .

QFT a részecskéket gerjesztett állapotok (más néven kvantum ) az alapul szolgáló kvantum mezők , amelyek sokkal alapvetőbb, mint a részecskék. A részecskék közötti kölcsönhatásokat a Lagrangian -féle interakciós kifejezések írják le, beleértve a megfelelő kvantummezőket. Mindegyik interakció vizuálisan ábrázolható Feynman -diagramokkal a kvantummechanikai zavarok elmélete szerint .

Történelem

A kvantummező elmélet a 20. század nagy részét átfogó elméleti fizikusok generációinak munkájából alakult ki. Fejlődése az 1920 -as években kezdődött a fény és az elektronok közötti kölcsönhatások leírásával , melynek csúcspontja az első kvantumtér -elmélet - a kvantum -elektrodinamika . Hamarosan jelentős elméleti akadályt jelentett a különböző végtelenségek megjelenése és kitartása a perturbatív számításokban, ez a probléma csak az 1950 -es években oldódott meg a renormalizációs eljárás feltalálásával . A második fő akadály az volt, hogy a QFT látszólag képtelen volt leírni a gyenge és erős kölcsönhatásokat addig a pontig, ahol néhány teoretikus felszólított a terepelméleti megközelítés felhagyására. A szelvényelmélet kifejlesztése és a standard modell befejezése az 1970 -es években a kvantumtér elméletének reneszánszához vezetett.

Elméleti háttér

A kvantummező elmélet a klasszikus mezőelmélet , a kvantummechanika és a speciális relativitáselmélet kombinációjának eredménye . Ezen elméleti prekurzorok rövid áttekintése a következő:

A legkorábbi sikeres klasszikus terepelmélet az egyik, amely Newton univerzális gravitációs törvényéből származik , annak ellenére, hogy 1687 -ben, a Philosophiæ Naturalis Principia Mathematica című értekezéséből teljesen hiányzik a mezők fogalma . A Newton által leírt gravitációs erő „ távolságból való cselekvés ” - a távoli tárgyakra gyakorolt ​​hatása pillanatok alatt, függetlenül a távolságtól. A Richard Bentleyvel folytatott levélváltásban azonban Newton kijelentette, hogy "elképzelhetetlen, hogy az élettelen nyersanyag más, nem anyagi közvetítés nélkül kölcsönös érintkezés nélkül működjön és befolyásolja más ügyet". A matematikai fizikusok csak a 18. században fedezték fel a gravitáció kényelmes leírását a mezők alapján - egy számszerű mennyiséget ( vektort ), amely a tér minden pontjához van rendelve, és jelzi a gravitáció hatását bármely részecskére abban a pontban. Ezt azonban csak matematikai trükknek tekintették.

A mezők önálló létet kezdtek ölteni az elektromágnesesség kialakulásával a 19. században. Michael Faraday 1845 -ben megalkotta az angol "mező" kifejezést. Bevezette a mezőket, mint a tér tulajdonságait (még akkor is, ha nincs anyag), amelyek fizikai hatással bírnak. A "távoli cselekvés" ellen érvelt, és azt javasolta, hogy a tárgyak közötti kölcsönhatások térkitöltő "erővonalakon" keresztül történjenek. Ez a mezők leírása a mai napig megmarad.

A klasszikus elektromágnesesség elméletét 1864 -ben fejezték be Maxwell egyenleteivel , amelyek az elektromos mező , a mágneses mező , az elektromos áram és az elektromos töltés közötti kapcsolatot írták le . Maxwell egyenletei elektromágneses hullámok létezésére utaltak , ez a jelenség az, hogy az elektromos és mágneses mezők véges sebességgel terjednek egyik térbeli pontból a másikba, ami fénysebességnek bizonyul . A távoli cselekvést tehát végérvényesen cáfolták.

A klasszikus elektromágnesesség óriási sikere ellenére nem volt képes figyelembe venni az atomspektrumokban lévő diszkrét vonalakat , sem a fekete test sugárzásának különböző hullámhosszúságú eloszlását . Max Planck tanulmánya a fekete test sugárzásáról a kvantummechanika kezdetét jelentette. Az elektromágneses sugárzást elnyelő és kibocsátó atomokat apró oszcillátorokként kezelte azzal a döntő tulajdonsággal, hogy energiájuk csak diszkrét, nem pedig folyamatos értékek sorozatát veheti fel. Ezeket kvantumharmonikus oszcillátoroknak nevezik . Ezt az energiák diszkrét értékekre való korlátozásának folyamatát kvantálásnak nevezik. Erre az ötletre építve Albert Einstein 1905 -ben magyarázatot javasolt a fotoelektromos hatásra , miszerint a fény egyes energiacsomagokból áll, amelyeket fotonoknak (a fény kvantumainak) neveznek . Ez azt jelentette, hogy az elektromágneses sugárzás, bár hullámok a klasszikus elektromágneses mezőben, részecskék formájában is létezik.

1913 -ban Niels Bohr bevezette az Atomi szerkezet Bohr -modelljét , ahol az atomokon belüli elektronok csak diszkrét, nem pedig folyamatos energiák sorát vehetik fel. Ez egy másik példa a kvantálásra. A Bohr -modell sikeresen megmagyarázta az atomi spektrális vonalak diszkrét jellegét. 1924-ben Louis de Broglie felvetette a hullám-részecske kettősség hipotézisét , miszerint a mikroszkopikus részecskék hullámszerű és részecskeszerű tulajdonságokat mutatnak különböző körülmények között. Ezeket a szétszórt ötleteket egyesítve egy koherens tudományág, a kvantummechanika fogalmazódott meg 1925 és 1926 között, Max Planck , Louis de Broglie , Werner Heisenberg , Max Born , Erwin Schrödinger , Paul Dirac és Wolfgang Pauli közreműködésével .

Ugyanebben az évben, amikor a fotoelektromos hatásról szóló dolgozatát közölte, Einstein publikálta Maxwell elektromágnesességére épülő speciális relativitáselméletét . Lorentz -transzformációnak nevezett új szabályokat adtak arra, ahogyan az esemény idő- és térkoordinátái megváltoznak a megfigyelő sebességében, és az idő és a tér közötti különbség elmosódott. Azt javasolták, hogy minden fizikai törvénynek azonosnak kell lennie a különböző sebességű megfigyelők számára, azaz hogy a fizikai törvények változatlanok legyenek Lorentz -transzformációk során.

Két nehézség maradt. Megfigyelés szerint a kvantummechanika alapjául szolgáló Schrödinger -egyenlet megmagyarázhatja az atomok sugárzásának stimulált kibocsátását , ahol egy elektron új fotont bocsát ki egy külső elektromágneses mező hatására, de nem tudta megmagyarázni a spontán emissziót , ahol az elektron spontán csökken és fotont bocsát ki külső elektromágneses mező hatása nélkül is. Elméletileg a Schrödinger -egyenlet nem tudta leírni a fotonokat, és összeegyeztethetetlen volt a speciális relativitáselmélettel - az időt közönséges számként kezeli, miközben a térbeli koordinátákat lineáris operátorokká emeli .

Kvantum elektrodinamika

A kvantumtér -elmélet természetesen az elektromágneses kölcsönhatások tanulmányozásával kezdődött, mivel az 1920 -as években az elektromágneses mező volt az egyetlen ismert klasszikus mező.

Born, Heisenberg és Pascual Jordan 1925–1926 -os munkáin keresztül a szabad elektromágneses mező kvantumelméletét (az anyaggal nem kölcsönhatásba lépő) kanonikus kvantálás útján fejlesztették ki úgy, hogy az elektromágneses mezőt kvantumharmonikus oszcillátorok csoportjaként kezelték . Az interakciók kizárásával azonban egy ilyen elmélet még képtelen volt mennyiségi előrejelzéseket tenni a valós világgal kapcsolatban.

A sugárzás kibocsátásának és elnyelésének kvantumelmélete című 1927 -es tanulmányában Dirac megalkotta a kvantum -elektrodinamika (QED) kifejezést, amely elmélet a szabad elektromágneses mezőt leíró kifejezésekhez hozzáad egy további kölcsönhatási kifejezést az elektromos áramsűrűség és az elektromágneses vektor között potenciált . Az elsőrendű perturbációelmélet segítségével sikeresen elmagyarázta a spontán emisszió jelenségét. A kvantummechanika bizonytalansági elve szerint a kvantumharmonikus oszcillátorok nem maradhatnak álló helyzetben, de minimális energiájuk nulla, és mindig oszcillálniuk kell, még a legalacsonyabb energiaállapotban is ( alapállapotban ). Ezért még tökéletes vákuumban is marad egy rezgő elektromágneses mező, amelynek energiája nulla . Ez a vákuumban lévő elektromágneses mezők ez a kvantumingadozása az, ami "stimulálja" az atomok elektronjainak spontán sugárzását. Dirac elmélete óriási sikert aratott azzal, hogy megmagyarázta az atomok sugárzását és sugárzását; másodrendű perturbációs elmélet alkalmazásával számolni tudott a fotonok szóródásával , a rezonancia fluoreszcenciával , valamint a nem relativisztikus Compton szórással . Mindazonáltal a magasabb rendű zavarok elméletének alkalmazását a számítások során problémás végtelenségek sújtották.

1928-ban Dirac írta le egy hullám egyenlet írja le relativisztikus elektronok-a Dirac-egyenlet . Ennek a következő fontos következményei voltak: egy elektron spinje 1/2; az elektron g -tényezője 2; ez vezetett a hidrogénatom finom szerkezetének helyes Sommerfeld -képletéhez ; és ebből lehetne származtatni a relativisztikus Compton -szórás Klein – Nishina képletét . Bár az eredmények gyümölcsözőek voltak, az elmélet nyilvánvalóan magában foglalta a negatív energiaállapotok létezését is, amelyek az atomok instabilitását okozzák, mivel a sugárzás kibocsátásával mindig alacsonyabb energiaállapotokba bomolhatnak.

Abban az időben az uralkodó nézet az volt, hogy a világ két nagyon különböző összetevőből áll: anyagi részecskékből (például elektronok) és kvantummezőkből (például fotonokból). Az anyagi részecskéket öröknek tekintették, fizikai állapotukat azzal a valószínűséggel írják le, hogy az egyes részecskéket megtalálják a tér bármely adott tartományában vagy sebességtartományban. Másrészt a fotonokat csak az alatta lévő kvantált elektromágneses mező gerjesztett állapotának tekintették, és szabadon létrehozhatók vagy megsemmisíthetők. 1928 és 1930 között Jordan, Eugene Wigner , Heisenberg, Pauli és Enrico Fermi felfedezték, hogy az anyagi részecskék kvantummezők gerjesztett állapotának is tekinthetők. Ahogy a fotonok a kvantált elektromágneses mező gerjesztett állapotai, úgy minden részecsketípusnak megvan a megfelelő kvantummezője: egy elektronmező, egy protonmező stb. Ha elegendő energia van, most már lehetséges lesz anyagi részecskék létrehozása. Erre az ötletre építve Fermi 1932 -ben magyarázatot javasolt a béta -bomlásra, amelyet Fermi kölcsönhatásának neveznek . Atommagok nem tartalmaznak elektronok önmagában , de a folyamat a pusztulás, egy elektron alakítottak ki a környező elektrontér, amely analóg a foton létre a környező elektromágneses mező a sugárzásos bomlása a gerjesztett atom.

1929 -ben Dirac és mások felismerték, hogy a Dirac -egyenletből adódó negatív energiaállapotokat el lehet távolítani, ha feltételezzük, hogy az elektronokkal azonos tömegű, de ellentétes elektromos töltésű részecskék léteznek. Ez nemcsak az atomok stabilitását biztosította, hanem az antianyag létezésének első javaslata is volt . Valóban, a pozitronokra vonatkozó bizonyítékokat Carl David Anderson fedezte fel 1932 -ben kozmikus sugarakban . Elegendő energiával, például egy foton elnyelésével elektron-pozitron pár jöhet létre, ezt a folyamatot úgy hívják, hogy páros ; fordított folyamat, a megsemmisülés is előfordulhat foton kibocsátásával. Ez megmutatta, hogy a részecskék számát nem kell rögzíteni egy interakció során. Történelmileg azonban a pozitronokat először a végtelen elektrontenger "lyukainak" gondolták, nem pedig újfajta részecskéknek, és ezt az elméletet Dirac -lyukelméletnek nevezték . A QFT természetesen beépítette az antirészecskéket formalizmusába.

Végtelenség és renormalizáció

Robert Oppenheimer 1930-ban kimutatta, hogy a QED magasabb rendű perturbatív számításai mindig végtelen mennyiségeket eredményeztek, mint például az elektron önenergiája és az elektron- és fotonmezők vákuum nulla pont energiája, ami arra utal, hogy az akkori számítási módszerek nem megfelelően kezelni a rendkívül nagy momentumú fotonokat érintő kölcsönhatásokat. Csak 20 évvel később dolgoztak ki szisztematikus megközelítést az ilyen végtelenségek eltávolítására.

Ernst Stueckelberg 1934 és 1938 között számos cikket publikált, amelyek a QFT relativisztikailag változatlan megfogalmazását hozták létre. 1947 -ben Stueckelberg önállóan is kifejlesztett egy teljes renormalizációs eljárást. Sajnos az ilyen eredményeket az elméleti közösség nem értette és nem ismerte el.

Ezekkel a végtelenségekkel szembesülve, John Archibald Wheeler és Heisenberg 1937-ben, illetve 1943-ban javasolta, hogy a problémás QFT-t helyettesítsék az úgynevezett S-mátrix elméletével . Mivel a mikroszkopikus kölcsönhatások konkrét részletei nem érhetők el a megfigyelésekhez, az elméletnek csak az interakcióban megfigyelhető megfigyelhető elemek ( pl. Az atom energiája) közötti kapcsolatok leírására kell törekednie , nem pedig a kölcsönhatás mikroszkopikus részleteire. . 1945-ben Richard Feynman és Wheeler merészen azt javasolták, hogy hagyják abba a QFT-t, és a részecskék kölcsönhatásának mechanizmusaként javasolták a távolságon belüli cselekvést.

1947 -ben Willis Lamb és Robert Retherford megmérték a hidrogénatom ² S _1/2 és ² P _1/2 energiaszintjének perckülönbségét , más néven Lamb eltolódását . Ha figyelmen kívül hagyja azoknak a fotonoknak a hozzájárulását, amelyek energiája meghaladja az elektrontömeget, Hans Bethe sikeresen becsülte meg a Bárány eltolódás számértékét. Ezt követően Norman Myles Kroll , Lamb, James Bruce French és Victor Weisskopf ismét megerősítették ezt az értéket egy olyan megközelítés alkalmazásával, amelyben a végtelenek megszüntettek más végteleneket, hogy véges mennyiségeket eredményezzenek. Ez a módszer azonban ügyetlen és megbízhatatlan volt, és nem lehetett általánosítani más számításokra.

Az áttörés végül 1950 körül következett be, amikor Julian Schwinger , Richard Feynman , Freeman Dyson és Shinichiro Tomonaga kifejlesztett egy robusztusabb módszert a végtelenek kiküszöbölésére . A fő ötlet az, hogy a végtelen tömegű tömeg és töltés számított értékeit lecseréljék véges mért értékeikre. Ezt a szisztematikus számítási eljárást renormalizálásnak nevezik, és tetszőleges sorrendben alkalmazható a perturbációelméletben. Ahogy Tomonaga mondta Nobel -előadásában:

Mivel a módosított tömeg és töltés részei a térreakciók következtében [végtelenné válnak], lehetetlen számítani őket az elmélet alapján. A kísérletekben megfigyelt tömeg és töltés azonban nem az eredeti tömeg és töltés, hanem a térreakciókkal módosított tömeg és töltés, és végesek. Másrészt az elméletben megjelenő tömeg és töltés… a terepi reakciókkal módosított értékek. Mivel ez így van, és különösen, mivel az elmélet nem tudja kiszámítani a módosított tömeget és töltést, elfogadhatjuk azt az eljárást, hogy a kísérleti értékeket fenomenológiailag helyettesítjük ... Ezt az eljárást a tömeg és a töltés renormalizálásának nevezik… Schwingerénél kevésbé ügyes számításokkal olyan eredményt kaptunk ... ami megegyezett az amerikaiakkal.

A renormalizálási eljárás alkalmazásával végül számításokat végeztek az elektron anomális mágneses momentumának (az elektron g -faktor 2 -től való eltérése ) és a vákuum polarizáció magyarázatára . Ezek az eredmények figyelemre méltó mértékben egyeztek a kísérleti mérésekkel, és ezzel a "végtelenek elleni háború" végét jelentették.

Ugyanakkor, Feynman bevezette a pályaintegrál készítmény kvantummechanika és Feynman diagramok . Ez utóbbi használható vizuális és intuitív rendszerezésre, valamint a zavaró bővítésben a kifejezések kiszámításának elősegítésére. Mindegyik diagram úgy értelmezhető, mint a kölcsönhatásban lévő részecskék útvonala, minden csúcsnak és egyenesnek megfelelő matematikai kifejezése van, és ezeknek a kifejezéseknek a szorzata adja meg a diagram által képviselt interakció szórási amplitúdóját .

A renormalizációs eljárás és a Feynman -diagramok feltalálásával jött létre végül a QFT, mint teljes elméleti keret.

Operátormező

Míg a renormalizációt a legtöbb fizikus elfogadta jogosnak és szükségesnek, Schwinger nem volt boldog. A részecskefizika történetéről szóló nemzetközi szimpóziumon, Fermilabban 1980 -ban tartott előadásán elmondta:

A [kísérleti] eredmények figyelembevételére irányuló nyomás bizonyos elméleti struktúrát hozott létre, amely tökéletesen megfelelt az eredeti feladatnak, de egyszerűsítést és általánosítást igényelt; új látásmódra volt szükség… Az elmúlt évek szilícium -chipjéhez hasonlóan a Feynman -diagram is számításokat hozott a tömegekhez… De végül újra össze kell rakni az egészet, és akkor a darabos megközelítés elveszíti vonzerejének egy részét… Kvantummező -elmélet a Bose-Einstein és a Fermi-Dirac mezőkkel teljes mértékben egyenértékű alapon kell foglalkozni ... Ott volt a kihívásom. - "A kvantumalektrodinamika renormalizációs elmélete: egyéni nézet", Julian Schwinger

Ez a kihívás hat dolgozathoz vezetett, amelyek 1951–54-ben a Physical Review-ban publikáltak „A kvantált mezők elmélete” című cikket. Schwinger úgy érezte, hogy ez az új elmélet sokkal fontosabb, mint a renormalizációs munka, amelyért Nobel -díjat kapott. Valójában 1965 -ben Nobel -beszédét ennek a munkának a leírására szentelte, mint ahogy Einstein Nobel -beszédében a relativitásról beszélt, és nem a díjazott fotoelektromos hatáselméletről.

A mezők relativisztikus kvantumelmélete mintegy harmincöt éve született Dirac, Heisenberg, Pauli és mások apai erőfeszítései révén. Ez azonban kissé retardált fiatal volt, és tizenhét évvel később érte el először a serdülőkort, ezt az eseményt itt ünnepeljük össze. De a téma későbbi fejlődési és érettebb szakaszáról szeretnék ma röviden beszélni.

A Schwinger QFT verziójában a mezőket nem egyszerű számok írják le; vektorok írják le őket egy végtelen dimenziós Hilbert-térben, és minden mezőhöz tartozik egy megfelelő operátor, amely ezekre a vektorokra hat-innen Schwinger neve "Operator Field Theory". A Hilbert -tér ilyen használata a mezei kvantumok fogalmához vezet:

... ez a két különálló klasszikus fogalom [részecskék és hullámok] összeolvad és túllép valamiben, aminek nincs klasszikus megfelelője - a kvantált mezőben, amely egy új felfogás, egység, amely felváltja a klasszikus kettősséget.

A quantákat néha izgalmaknak nevezik egy területen, de ez nem árulja el a teljes történetet. Minden kvantum egy holisztikus mezőegység, amelyet nem lehet felosztani.

Az elektron az elektronkvantummező kvantált hullámzása, amely részecskeként működik, mert holisztikusan halad, és konzervált mennyiségei mindig egységben maradnak.

A kvantumnak minden vagy semmi jellege van: teljesen jelen van vagy teljesen hiányzik. Nem lehet csak egy része a fotonnak. Ez a minden vagy semmi karakter magában foglalja, hogy azonnal hozzá kell adnia vagy el kell távolítania egy teljes kvantumot ... még akkor is, ha sok kilométerre kiterjed. Nem változtathatja meg a kvantum egy részét, mert nincsenek részei; ez egyetlen dolog.

Annak ellenére, hogy Schwinger elmélete sikeresen válaszolt a kvantummechanika paradoxonjaira és rejtélyeire, mára nagyrészt figyelmen kívül hagyják vagy elfelejtik. Ennek egyik oka az, hogy a pillanatnyi összeomlás gondolata sok fizikus számára aggasztó, beleértve Einsteint is, aki kísérteties cselekvésnek nevezte a távolból. Ez azonban kísérleti tény, és nem sérti a relativitás elvét, mert a folyamat során semmilyen információ nem kerül továbbításra. A mező eltávolítása, mielőtt bármire lehetősége lett volna, vagy a mező pörgetésének (vagy más tulajdonságának) megváltoztatása, mielőtt bármi megváltozott volna, nem ugyanaz, mint a már megtörtént dolog megváltoztatása.

Egy másik ok az, hogy Schwinger későbbi munkáját nem értették jól a fizika közösségében.

És így történt egy tragédia. [Schwinger] szükségletei szerint cselekedni kényszerítette saját nyelvét, saját megközelítéseit és technikáit ... Ahogy egyre elszigetelődött, egyre kevesebb ember értette és beszélt az általa létrehozott újabb nyelvekről… hozzájárulva további elszigeteltségéhez ... kölcsönös veszteség, hiszen mind Schwinger, mind a közösség volt a vesztes.

Nem renormalizálhatóság

Tekintettel a QED óriási sikerére, sok teoretikus az 1949 utáni néhány évben úgy vélte, hogy a QFT hamarosan megértheti az összes mikroszkopikus jelenséget, nemcsak a fotonok, elektronok és pozitronok kölcsönhatását. Ezzel az optimizmussal szemben a QFT újabb depressziós időszakba lépett, amely majdnem két évtizedig tartott.

Az első akadály a renormalizációs eljárás korlátozott alkalmazhatósága volt. A QED perturbatív számításaiban minden végtelen mennyiséget ki lehet küszöbölni egy kis (véges) számú fizikai mennyiség (nevezetesen az elektron tömege és töltése) újradefiniálásával. Dyson 1949 -ben bebizonyította, hogy ez csak az elméletek egy kis csoportja esetében lehetséges, az úgynevezett "renormalizálható elméletek", amelyekre példa a QED. Azonban a legtöbb elmélet, beleértve a Fermi-elmélet a gyenge kölcsönhatás , a „nem-renormalizable”. Bármilyen zavaró számítás ezekben az elméletekben az első sorrenden túl, végtelenségeket eredményezne, amelyeket nem lehet eltávolítani véges számú fizikai mennyiség újradefiniálásával.

A második fő probléma a Feynman -diagram módszerének korlátozott érvényességéből fakadt, amely a perturbációelmélet sorozatbővítésén alapul. Annak érdekében, hogy a sorozatok konvergáljanak, és az alacsony rendű számítások jó közelítések legyenek, a kapcsolási állandónak , amelyben a sorozatot kibővítik, kellően kis számnak kell lennie. A QED kapcsolóállandója az α ≈ 1/137 finomszerkezetű állandó , amely elég kicsi ahhoz, hogy csak a legegyszerűbb, legalacsonyabb rendű Feynman-diagramokat kell figyelembe venni a reális számítások során. Ezzel szemben az erős kölcsönhatásban a csatolási állandó nagyjából egy nagyságrendű, így a bonyolult, magasabb rendű Feynman -diagramok ugyanolyan fontosak, mint az egyszerűek. Így nem volt mód megbízható kvantitatív előrejelzések levezetésére az erős kölcsönhatásra perturbatív QFT módszerek alkalmazásával.

Ezekkel a nehézségekkel fenyegetve sok teoretikus kezdett elfordulni a QFT -től. Néhányan a szimmetria elveire és a természetvédelmi törvényekre összpontosítottak , míg mások a Wheeler és Heisenberg régi S-mátrix elméletét vették alapul. A QFT -t heurisztikusan használták vezérelvként, de nem a mennyiségi számítások alapjául.

Schwinger azonban más utat választott. Több mint egy évtizede ő és tanítványai voltak szinte az egyetlen elméletei a mezőelméletnek, 1966 -ban azonban egy új módszerrel, amelyet forráselméletnek nevezett, megtalálta a megoldást a végtelenek problémája körül. A pionikus fizika fejlődése, amelyben az új nézőpontot a legsikeresebben alkalmazták, meggyőzte őt a matematikai egyszerűség és a fogalmi egyértelműség nagy előnyeiről, amelyeket annak alkalmazása ad.

A forráselméletben nincsenek eltérések és nincs renormalizáció. A mezőelmélet számítási eszközének tekinthető, de általánosabb. A forráselmélet felhasználásával Schwinger ki tudta számítani az elektron anomális mágneses momentumát, amit 1947 -ben meg is tett, de ezúttal nem „zavaró megjegyzésekkel” a végtelen mennyiségekről.

Schwinger a QFT gravitációs elméletére is alkalmazta a forráselméletet, és képes volt reprodukálni Einstein mind a négy klasszikus eredményét: a gravitációs vörös eltolódást, a fény gravitációs elhajlását és lassulását, valamint a Merkúr perihelionos precesszióját. Schwinger számára nagy csalódás volt, hogy a fizikai közösség elhanyagolta a forráselméletet:

E tények mások általi elismerésének hiánya lehangoló volt, de érthető (J. Schwinger

Standard modell

1954-ben Yang Chen-Ning és Robert Mills általánosították a QED lokális szimmetriáját , ami nem abeli nyomtávú elméletekhez vezetett (más néven Yang – Mills elméletek), amelyek bonyolultabb helyi szimmetriacsoportokon alapulnak . A QED-ben a (elektromosan) töltött részecskék a fotonok cseréjén keresztül lépnek kölcsönhatásba, míg a nem Abel-szelvényes elméletben az új típusú " töltést " hordozó részecskék a tömeget nem ismerő bozonok cseréjén keresztül lépnek kölcsönhatásba . A fotonokkal ellentétben ezek a mérőbozonok maguk hordozzák a töltést.

Sheldon Glashow 1960-ban kifejlesztett egy nem abeli mérőeszközt, amely egyesítette az elektromágneses és gyenge kölcsönhatásokat. 1964-ben Abdus Salam és John Clive Ward más úton jutottak el ugyanahhoz az elmélethez. Ez az elmélet azonban nem volt újraformálható.

Peter Higgs , Robert Brout , François Englert , Gerald Guralnik , Carl Hagen és Tom Kibble híres Physical Review Letters cikkeikben azt javasolták, hogy a Yang – Mills elméletben a mérőszimmetriát megtörheti egy spontán szimmetriatörésnek nevezett mechanizmus , amelyen keresztül eredetileg tömeges a szelvényes bozonok tömeget szerezhettek.

Steven Weinberg a Glashow, Salam és Ward korábbi elméletének ötvözésével a spontán szimmetria megtörésének gondolatával 1967 -ben leírt egy elméletet, amely leírja az összes lepton és a Higgs -bozon hatása közötti elektromos gyenge kölcsönhatásokat . Elméletét először többnyire figyelmen kívül hagyták, amíg 1971-ben Gerard 't Hooft bizonyítéka nem hozta napvilágra, hogy a nem abeli mérőeszközök elméletek újraformálhatók. A elektrogyenge elmélet Weinberg és Salam kiterjesztették a leptonok a kvarkok 1970 Glashow, John Iliopoulos , és Luciano Maiani , jelölés annak befejezését.

Harald Fritzsch , Murray Gell-Mann és Heinrich Leutwyler 1971-ben felfedezték, hogy bizonyos jelenségek, amelyek magukban foglalják az erős kölcsönhatást, megmagyarázhatók a nem Abel-szelvényelmélettel is. Megszületett a kvantum -kromodinamika (QCD). 1973-ban David Gross , Frank Wilczek és Hugh David Politzer kimutatták, hogy a nem abeli mérőelméletek " aszimptotikusan mentesek ", vagyis a renormalizáció során az erős kölcsönhatás csatolási állandója csökken az interakciós energia növekedésével. (Hasonló felfedezéseket már többször is megtettek, de ezeket nagyrészt figyelmen kívül hagyták.) Ezért legalább a nagy energiájú kölcsönhatásokban a QCD kapcsolási állandója elég kicsi lesz ahhoz, hogy zavaró sorozatbővítést indokoljon, mennyiségi előrejelzéseket téve az erős kölcsönhatásra lehetséges.

Ezek az elméleti áttörések reneszánszot hoztak a QFT -ben. A teljes elméletet, amely magában foglalja az elektromos gyengeség elméletét és a kromodinamikát, ma az elemi részecskék standard modelljének nevezik . A standard modell sikeresen leírja az összes alapvető kölcsönhatást, kivéve a gravitációt , és számos előrejelzése figyelemre méltó kísérleti megerősítést nyert a következő évtizedekben. A Higgs -bozont , amely központi szerepet játszik a spontán szimmetriatörés mechanizmusában, végül 2012 -ben észlelték a CERN -en , ezzel a Standard Modell összes összetevőjének teljes ellenőrzését jelölték meg .

Egyéb fejlemények

Az 1970-es években nem zavaró módszerek fejlődtek ki a nem abeli mérőeszközök elméleteiben. A 'T Hooft-Polyakov monopol fedezte elméletileg' t Hooft és Alexander Polyakov , fluxus csövek által Holger Bech Nielsen és Poul Olesen , és instantons által Polyakov és coauthors. Ezek az objektumok a perturbációelmélet révén nem érhetők el.

Ugyanebben az időszakban megjelent a szuperszimmetria is. Az első négydimenziós szuperszimmetrikus QFT -t Yuri Golfand és Evgeny Likhtman építtette 1970 -ben, de eredményük nem váltott ki széles körű érdeklődést a vasfüggöny miatt . A szuperszimmetria csak az elméleti közösségben lendült fel Julius Wess és Bruno Zumino 1973 -as munkája után .

A négy alapvető kölcsönhatás közül a gravitáció az egyetlen, amely nem rendelkezik következetes QFT leírással. A kvantumgravitáció elméletének különféle kísérletei a húrelmélet kialakulásához vezettek , amely maga a kétdimenziós QFT típusa, konformális szimmetriával . Joël Scherk és John Schwarz először 1974 -ben javasolták, hogy a húrelmélet lehet a gravitáció kvantumelmélete.

Sűrített anyag fizika

Bár a kvantummező elmélet az elemi részecskék közötti kölcsönhatások tanulmányozásából született, sikeresen alkalmazták más fizikai rendszerekre, különösen a sok testű rendszerekre a kondenzált anyag fizikájában .

Történelmileg, a Higgs-mechanizmus spontán szimmetriasértés volt az eredménye Yoichiro Nambu általi alkalmazását szupravezető elmélet elemi részecskék, míg a koncepció renormálás kijött a tanulmány másodrendű fázisátalakulás a kérdésben.

Nem sokkal a fotonok bevezetése után Einstein elvégezte a kvantálási eljárást a kristályok rezgésein, ami az első kváziszemcséhez - a fononokhoz vezetett . Lev Landau azt állította, hogy az alacsony energiájú gerjesztéseket sok kondenzált anyagrendszerben a kváziszemcsék halmazának kölcsönhatása alapján lehet leírni. A QFT Feynman -diagramja természetesen alkalmas volt a kondenzált anyagok különböző jelenségeinek elemzésére.

A mérőelméletet a szupravezetők mágneses fluxusának kvantálására, a kvantum Hall -effektus ellenállására , valamint a frekvencia és a feszültség közötti kapcsolat leírására használják az AC Josephson -effektusban .

Alapelvek

Az egyszerűség kedvéért a következő szakaszokban természetes egységeket használunk, amelyekben a csökkentett Planck -konstans ħ és a c fénysebesség egyaránt egy.

Klasszikus mezők

A klasszikus mező egy funkciót a térbeli és időbeli koordinátákkal. A példák közé tartoznak a gravitációs mezőben a newtoni gravitáció g ( x , t ) , és a villamos tér E ( X , t ) és a mágneses mező B ( x , t ) a elektrodinamika . A klasszikus mezőt úgy tekinthetjük, mint a tér minden pontjához rendelt numerikus mennyiséget, amely időben változik. Ezért végtelen sok szabadsági foka van .

Sok kvantummechanikai tulajdonságokat mutató jelenséget nem lehet kizárólag a klasszikus mezőkkel megmagyarázni. Az olyan jelenségeket, mint a fotoelektromos hatás , leginkább diszkrét részecskék ( fotonok ) magyarázzák , nem pedig térben folytonos mező. A kvantumtér -elmélet célja a különböző kvantummechanikai jelenségek leírása a mezők módosított koncepciójának felhasználásával.

Kanonikus kvantálás és utat integrálok két gyakori készítmények QFT. A QFT alapjainak ösztönzésére a klasszikus terepelmélet áttekintése szükséges.

A legegyszerűbb klasszikus mező egy valódi skaláris mező - egy valós szám a tér minden pontján, amely időben változik. Ezt ϕ ( x , t ) jelöli , ahol x a pozícióvektor, t pedig az idő. Tegyük fel, hogy a mező lagrangiája ,, ${\ displaystyle L}$

${\ displaystyle L = \ int d^{3} x \, {\ mathcal {L}} = \ int d^{3} x \, \ left [{\ frac {1} {2}} {\ dot { \ phi}}^{2}-{\ frac {1} {2}} (\ nabla \ phi)^{2}-{\ frac {1} {2}} m^{2} \ phi^{2 }\jobb],}$

ahol a Lagrang-sűrűség, a mező időderiváltja , ∇ a gradiens operátor, és m egy valós paraméter (a mező "tömege"). Az Euler -Lagrange egyenlet alkalmazása a Lagrangian -ra: ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$${\ displaystyle {\ dot {\ phi}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ rész} {\ részleges t}} \ bal [{\ frac {\ részleges {\ matematikai {L}}} {\ részleges (\ részleges \ phi /\ részleges)}} \ jobb ]+\ összeg _ {i = 1}^{3} {\ frac {\ részleges {\ részleges x^{i}}} \ bal [{\ frac {\ részleges {\ matematikai {L}}} {\ részleges (\ részleges \ phi /\ részleges x^{i})}} \ jobb]-{\ frac {\ részleges {\ matematikai {L}}} {\ részleges \ phi}} = 0,}$

megkapjuk a mező mozgási egyenleteit , amelyek leírják annak időbeli és térbeli változását:

${\ displaystyle \ left ({\ frac {\ részleges ^{2}} {\ részleges t ^{2}}}-\ nabla ^{2}+m ^{2} \ jobb) \ phi = 0.}$

Ezt Klein -Gordon egyenletnek nevezik .

A Klein – Gordon egyenlet egy hullámegyenlet , így megoldásai a normál módok összegeként fejezhetők ki ( Fourier -transzformáció útján ):

${\ displaystyle \ phi (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ frac {d^{3} p} {(2 \ pi)^{3}}} {\ frac {1} {\ sqrt { 2 \ omega _ {\ mathbf {p}}}}} \ bal (a _ {\ mathbf {p}} e^{-i \ omega _ {\ mathbf {p}} t+i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}}+a _ {\ mathbf {p}}^{*} e^{i \ omega _ {\ mathbf {p}} ti \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} \ jobb) ,}$

ahol egy olyan komplex szám (normalizált konvenció), * jelöli komplex konjugációt , és ω _p jelentése a frekvencia a normál üzemmód:

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathbf {p}} = {\ sqrt {| \ mathbf {p} |^{2}+m^{2}}}.}$

Így minden egyes normál módban megfelelő egyetlen p lehet tekinteni, mint egy klasszikus harmonikus oszcillátor frekvencia ω _p .

Kanonikus kvantálás

A fenti klasszikus mező kvantumkezelő mezővé történő kvantálási eljárása analóg a klasszikus harmonikus oszcillátor kvantumharmonikus oszcillátorrá történő előmozdításával .

A klasszikus harmonikus oszcillátor elmozdulását írja le

${\ displaystyle x (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} ae^{-i \ omega t}+{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} a^{*} e^{i \ omega t},}$

ahol a komplex szám (megegyezéssel normalizált), és ω az oszcillátor frekvenciája. Megjegyezzük, hogy x egy részecske elmozdulása egyszerű harmonikus mozgásban az egyensúlyi helyzetből, nem tévesztendő össze a kvantummező x térbeli címkéjével .

Egy harmonikus oszcillátor, x ( t ) elősegíti, hogy egy lineáris operátor : ${\ displaystyle {\ hat {x}} (t)}$

${\ displaystyle {\ hat {x}} (t) = {\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {\ hat {a}} e^{-i \ omega t}+{\ frac {1} {\ sqrt {2 \ omega}}} {{hat {a}}^{\ tőr} e^{i \ omega t}.}$

Az a és a ^* komplex számokat a megsemmisítő operátor és a létrehozási operátor helyettesíti, ahol † a Hermitian konjugációt jelöli . A kommutációs kapcsolat a kettő között az ${\ displaystyle {\ hat {a}}}$ ${\ displaystyle {\ hat {a}}^{\ tőr}}$

${\ displaystyle [{\ hat {a}}, {\ hat {a}}^{\ tőr}] = 1.}$

A vákuum állapotot , amely a legalacsonyabb energiaállapot, a következő határozza meg ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} | 0 \ rangle = 0.}$

Egyetlen harmonikus oszcillátor bármely kvantumállapota a létrehozási operátor egymás utáni alkalmazásával nyerhető ki : ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {a}}^{\ tőr}}$

${\ displaystyle | n \ rangle = ({\ hat {a}}^{\ tőr})^{n} | 0 \ rangle.}$

Ugyanezzel a módszerrel a fent említett sca valós skaláris mező , amely az egyetlen harmonikus oszcillátorban x -nek felel meg , szintén kvantummező -operátorrá válik , míg a megsemmisítési operátor , a létrehozási operátor és a szögfrekvencia most egy adott p : ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}^{\ tőr}}$${\ displaystyle w _ {\ mathbf {p}}}$

${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} (\ mathbf {x}, t) = \ int {\ frac {d^{3} p} {(2 \ pi)^{3}}} {\ frac { 1} {\ sqrt {2 \ omega _ {\ mathbf {p}}}}} \ bal ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} e^{-i \ omega _ {\ mathbf { p}} t+i \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}}+{\ kalap {a}} _ {\ mathbf {p}}^{\ tőr} e^{i \ omega _ {\ mathbf {p}} ti \ mathbf {p} \ cdot \ mathbf {x}} \ jobb).}$

Kommutációs kapcsolataik a következők:

${\ displaystyle [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q}}^{\ dagger}] = (2 \ pi)^{3 } \ delta (\ mathbf {p} -\ mathbf {q}), \ quad [{\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}, {\ hat {a}} _ {\ mathbf {q} }] = [{\ kalap {a}} _ {\ mathbf {p}}^{\ tőr}, {\ kalap {a}} _ {\ mathbf {q}}^{\ tőr}] = 0,}$

ahol δ a Dirac delta függvény . A vákuum állapotát a ${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}} | 0 \ rangle = 0, \ quad {\ text {for all}} \ mathbf {p}.}$

A mező bármely kvantumállapota megszerezhető a létrehozó operátorok egymás utáni alkalmazásával , pl${\ displaystyle | 0 \ rangle}$${\ displaystyle {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p}}^{\ tőr}}$

${\ displaystyle ({\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {3}}^{\ tőr})^{3} {\ hat {a}} _ {\ mathbf {p} _ {2 }}^{\ tőr} ({\ kalap {a}} _ {\ mathbf {p} _ {1}}^{\ tőr})^{2} | 0 \ rangle.}$

Bár a Lagrangian -ban megjelenő kvantummező térben folytonos, a mező kvantumállapota diszkrét. Míg egyetlen kvantumharmonikus oszcillátor állapottere egy oszcilláló részecske összes diszkrét energiaállapotát tartalmazza, a kvantumtér állapottere tetszőleges számú részecske diszkrét energiaszintjét tartalmazza. Ez utóbbi tér Fock -tér néven ismert , ami elszámolható azzal a ténnyel, hogy a részecskék száma nincs rögzítve a relativisztikus kvantumrendszerekben. Azt a folyamatot, amikor egyetlen részecske helyett tetszőleges számú részecskét számszerűsítenek, gyakran második kvantálásnak is nevezik .

Az előző eljárás a nem relativisztikus kvantummechanika közvetlen alkalmazása, és felhasználható a (komplex) skaláris mezők, a Dirac-mezők , a vektormezők ( pl. Az elektromágneses mező) és még a karakterláncok kvantálására is . A teremtés és megsemmisítés operátorait azonban csak a legegyszerűbb elméletek határozzák meg jól, amelyek nem tartalmaznak kölcsönhatásokat (ún. Szabad elmélet). A valódi skaláris mező esetében ezen operátorok léte a következménye volt annak, hogy a klasszikus mozgási egyenletek megoldásai normál módok összegére bomlottak. Ahhoz, hogy bármilyen reális interakciós elméletet kiszámíthassunk, szükség van zavaráselméletre .

A természet bármely kvantumterületének lagrangiája interakciós kifejezéseket tartalmazna a szabad elmélet feltételein kívül. Például egy kvartikus interakciós kifejezést be lehetne vezetni a valódi skaláris mező Lagrangian -jába:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ részleges _ {\ mu} \ phi) (\ részleges ^{\ mu} \ phi)-{\ frac {1} {2}} m ^{2} \ phi ^{2}-{\ frac {\ lambda} {4!}} \ Phi ^{4},}$

ahol μ egy téridő-index, stb Az összegezés az index μ kimaradt követő Einstein jelölést . Ha a λ paraméter kellően kicsi, akkor a fenti Lagrangian által leírt interakciós elmélet a szabad elméletből származó kis zavarnak tekinthető. ${\ displaystyle \ részleges _ {0} = \ részleges /\ részleges t, \ \ részleges _ {1} = \ részleges /\ részleges x^{1}}$

Útintegrálok

A QFT útvonalintegrál megfogalmazása egy bizonyos interakciós folyamat szórási amplitúdójának közvetlen kiszámításával foglalkozik , nem pedig az operátorok és az állapotterek létrehozásával. Kiszámításához a valószínűségi amplitúdó egy olyan rendszer fejlődik néhány kezdeti állapotban időpontban t = 0 , hogy néhány végső állapotba a t = T , a teljes időt a T osztjuk N kis intervallumokban. A teljes amplitúdó az intervallumon belüli evolúciós amplitúdó szorzata, minden köztes állapotba integrálva. Legyen tehát H a Hamilton -féle ( azaz az időfejlődés generátora ) ${\ displaystyle | \ phi _ {I} \ rangle}$${\ displaystyle | \ phi _ {F} \ rangle}$

${\ displaystyle \ langle \ phi _ {F} | e^{-iHT} | \ phi _ {I} \ rangle = \ int d \ phi _ {1} \ int d \ phi _ {2} \ cdots \ int d \ phi _ {N-1} \, \ langle \ phi _ {F} | e^{-iHT/N} | \ phi _ {N-1} \ rangle \ cdots \ langle \ phi _ {2} | e^{-iHT/N} | \ phi _ {1} \ rangle \ langle \ phi _ {1} | e^{-iHT/N} | \ phi _ {I} \ rangle.}$

Az N → ∞ korlátot figyelembe véve az integrálok fenti szorzata a Feynman -út integráljává válik:

${\ displaystyle \ langle \ phi _ {F} | e^{-iHT} | \ phi _ {I} \ rangle = \ int {\ mathcal {D}} \ phi (t) \, \ exp \ left \ { i \ int _ {0}^{T} dt \, L \ right \},}$

ahol L jelentése a Lagrange bevonásával φ és származékai tekintetében térbeli és időbeli koordinátákkal, nyert a Hamilton H keresztül Legendre transzformáció . Az útintegrál kezdeti és végső feltételei

${\ displaystyle \ phi (0) = \ phi _ {I}, \ quad \ phi (T) = \ phi _ {F}.}$

Más szavakkal, a teljes amplitúdó a kezdeti és a végállapot közötti minden lehetséges út amplitúdójának összege, ahol az út amplitúdója az integrál exponenciális értéke.

Kétpontos korrelációs függvény

A számítások során gyakran találkozunk olyan kifejezésekkel, mint a

a szabad vagy interakciós elméletben, ill. Itt és a pozíció , négy vektorok , az idő rendelési üzemeltető, összekeveri az operátorait így az idő-alkatrészek és növekedés jobbról balra, és az alapállapot (vákuum állapot) a kölcsönható elmélet eltér a szabad alapállapot . Ez a kifejezés a valószínűsége amplitúdó a mezőt szétterjed- y az x , és megy több nevet, mint a két pont szaporító , kétpontos korrelációs függvény , kétpontos Green függvény vagy kétpontos funkció rövid. ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle x^{0}}$${\ displaystyle y^{0}}$${\ displaystyle | \ Omega \ rangle}$${\ displaystyle | 0 \ rangle}$

A szabad kétpontos függvény, más néven Feynman-propagátor , megtalálható a valódi skaláris mezőhöz kanonikus kvantálással vagy útintegrálokkal.

${\ displaystyle \ langle 0 | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | 0 \ rangle \ equiv D_ {F} (xy) = \ lim _ {\ epsilon \ to 0} \ int {\ frac {d^{4} p} {(2 \ pi)^{4}}} {\ frac {i} {p _ {\ mu} p^{\ mu} -m^{2}+i \ epsilon} } e^{-ip _ {\ mu} (x^{\ mu} -y^{\ mu})}.}$

Egy interakciós elméletben, ahol a lagrangiánus vagy a hamiltoni kifejezéseket tartalmaz, vagy amelyek kölcsönhatásokat írnak le, a kétpontos függvényt nehezebb meghatározni. Mindazonáltal mind a kanonikus kvantálási megfogalmazáson, mind az útintegrál megfogalmazáson keresztül lehetséges a

szabad kétpontos függvény végtelen zavarszorán keresztül kifejezni . ${\ displaystyle L_ {I} (t)}$${\ displaystyle H_ {I} (t)}$

A kanonikus kvantálás során a kétpontos korrelációs függvény a következőképpen írható fel:

${\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle = \ lim _ {T \ to \ infty (1-i \ epsilon)} {\ frac { \ left \ langle 0 \ left | T \ left \ {\ phi _ {I} (x) \ phi _ {I} (y) \ exp \ left [-i \ int _ {-T}^{T} dt \, H_ {I} (t) \ jobb] \ jobb \} \ jobb | 0 \ jobb \ rangle} {\ bal \ langle 0 \ bal | T \ bal \ {\ exp \ bal [-i \ int _ { -T}^{T} dt \, H_ {I} (t) \ right] \ right \} \ right | 0 \ right \ rangle}},}$

ahol ε egy végtelenül szám és φ _én az a terület üzemeltetője szerint a szabad elmélet. Itt az exponenciális hatványsor -bővítésként kell érteni . Például -elmélet, a kölcsönhatásba lépő kifejezés a Hamilton-operátor , és a bővítés a kétpontos korrelátor szempontjából válik${\ displaystyle \ phi ^{4}}$${\ texttyle H_ {I} (t) = \ int d^{3} x \, {\ frac {\ lambda} {4!}} \ phi _ {I} (x)^{4}}$${\ displaystyle \ lambda}$

$${\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle = {\ frac {\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-i \ lambda)^{n}} {(4!)^{n} n!}} \ int d^{4} z_ {1} \ cdots \ int d^{4} z_ {n} \ langle 0 | T \ {\ phi _ {I} (x) \ phi _ {I} (y) \ phi _ {I} (z_ {1})^{4} \ cdots \ phi _ {I} ( z_ {n})^{4} \} | 0 \ rangle} {\ displaystyle \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {(-i \ lambda)^{n}} {(4 !)^{n} n!}} \ int d^{4} z_ {1} \ cdots \ int d^{4} z_ {n} \ langle 0 | T \ {\ phi _ {I} (z_ { 1})^{4} \ cdots \ phi _ {I} (z_ {n})^{4} \} | 0 \ rangle}}.}$$

Ez a zavarásbővítés az interakciós kétpontos függvényt a szabad elméletben értékelt mennyiségekben fejezi ki . ${\ displaystyle \ langle 0 | \ cdots | 0 \ rangle}$

Az útintegrál-megfogalmazásban a kétpontos korrelációs függvény írható

${\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \} | \ Omega \ rangle = \ lim _ {T \ to \ infty (1-i \ epsilon)} {\ frac { \ int {\ mathcal {D}} \ phi \, \ phi (x) \ phi (y) \ exp \ left [i \ int _ {-T}^{T} d^{4} z \, {\ matematikai {L}} \ jobb]} {\ int {\ matematikai {D}} \ phi \, \ exp \ balra [i \ int _ {-T}^{T} d^{4} z \, {\ matematika {L}} \ jobb]}},}$

hol van a lagrangiai sűrűség. Az előző bekezdéshez hasonlóan az exponenciális sorozat is bővíthető

λ -ban, a szabad elméletben a kölcsönhatásban lévő kétpontos függvényt mennyiségekre redukáljuk. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}}}$

Wick tétele tovább csökkenti a szabad elmélet bármely n -pontos korrelációs függvényét a kétpontos korrelációs függvények szorzatának összegére. Például,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle & = \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {2}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {3}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle \\ &+\ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ {3}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {4}) \} | 0 \ rangle \\ &+\ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {1}) \ phi (x_ { 4}) \} | 0 \ rangle \ langle 0 | T \ {\ phi (x_ {2}) \ phi (x_ {3}) \} | 0 \ rangle. \ End {aligned}}}$

Mivel a kölcsönhatásba lépő korrelációs függvények szabad korrelációs függvényekkel fejezhetők ki, csak az utóbbiakat kell értékelni ahhoz, hogy a (perturbatív) kölcsönhatáselméletben kiszámítsuk az összes fizikai mennyiséget. Ez teszi a Feynman -propagátort a kvantumtér -elmélet egyik legfontosabb mennyiségévé.

Feynman diagram

Fő cikk: Feynman -diagram

A korrelációs függvények az interakciós elméletben perturbációs sorozatként írhatók fel. A sorozat minden tagja Feynman -propagátorok terméke a szabad elméletben, és vizuálisan ábrázolható egy Feynman -diagrammal . Például, a λ ¹ kifejezést a kétpontos korrelációs függvény a φ ⁴ elmélet

${\ displaystyle {\ frac {-i \ lambda} {4!}} \ int d^{4} z \, \ langle 0 | T \ {\ phi (x) \ phi (y) \ phi (z) \ phi (z) \ phi (z) \ phi (z) \} | 0 \ csengőhang.}$

A Wick -tétel alkalmazása után az egyik kifejezés az

${\ displaystyle 12 \ cdot {\ frac {-i \ lambda} {4!}} \ int d^{4} z \, D_ {F} (xz) D_ {F} (yz) D_ {F} (zz ).}$

Ezt a kifejezést ehelyett a

Feynman -diagramból kaphatjuk meg

.

A diagram abból áll

• külső csúcsok, amelyek egy éllel vannak összekötve, és pontokkal vannak jelölve (itt fel vannak tüntetve és ).${\ displaystyle x}$${\ displaystyle y}$
• belső csúcsok, amelyek négy éllel vannak összekötve, és pontokkal vannak jelölve (itt meg van jelölve ).${\ displaystyle z}$
• a csúcsokat összekötő és vonalakkal ábrázolt

élek .

Minden csúcs egyetlen mezőtényezőnek felel meg a téridő megfelelő pontjában, míg az élek a téridőpontok közötti propagátoroknak. A diagramnak megfelelő perturbációs sorozatban szereplő kifejezést a

Feynman -szabályokból következő kifejezés leírásával kapjuk : ${\ displaystyle \ phi}$

1. Minden belső csúcshoz írjon le egy tényezőt .${\ displaystyle z_ {i}}$${\ texttyle -i \ lambda \ int d^{4} z_ {i}}$
2. Minden élhez, amely két csúcsot összeköt, és írjon le egy tényezőt .${\ displaystyle z_ {i}}$${\ displaystyle z_ {j}}$${\ displaystyle D_ {F} (z_ {i} -z_ {j})}$
3. Oszd meg a diagram szimmetriatényezőjével.

A szimmetriatényezővel ezen szabályok betartása pontosan a fenti kifejezést eredményezi. Fourier átalakításával a propagátor a Feynman -szabályokat a pozíciótérből impulzustérré alakíthatja át. ${\ displaystyle 2}$

Annak érdekében, hogy az n -pontos korrelációs függvényt a k -edik sorrendbe tudja számítani , sorolja fel az összes érvényes Feynman -diagramot, amelyek n külső ponttal és k vagy kevesebb csúccsal rendelkeznek, majd használja a Feynman -szabályokat az egyes kifejezések kifejezésének beszerzésére. Hogy pontos legyek,

${\ displaystyle \ langle \ Omega | T \ {\ phi (x_ {1}) \ cdots \ phi (x_ {n}) \} | \ Omega \ rangle}$

egyenlő az összes kapcsolódó diagram összegével (kifejezéseknek), amelyek n külső ponttal rendelkeznek. (Az összekapcsolt diagramok azok, amelyekben minden csúcs vonalakon keresztül kapcsolódik egy külső ponthoz. A külső vonalaktól teljesen leválasztott alkatrészeket néha "vákuumbuborékoknak" nevezik.) A fent tárgyalt ϕ ⁴ interakciós elméletben minden csúcsnak négy lába kell, hogy legyen. .

A reális alkalmazásokban egy bizonyos kölcsönhatás szórási amplitúdója vagy egy részecske bomlási sebessége kiszámítható az S-mátrixból , amely maga a Feynman-diagram módszerrel található meg.

A "hurkok" nélküli Feynman-diagramokat fa szintű diagramoknak nevezzük, amelyek a legalacsonyabb rendű interakciós folyamatokat írják le; azokat, amelyek n hurkot tartalmaznak , n -hurok diagramoknak nevezzük, amelyek magasabb rendű hozzájárulásokat vagy sugárzási korrekciókat írnak le az interakcióhoz. Azokat a vonalakat, amelyek végpontjai csúcsok, virtuális részecskék terjedésének lehet tekinteni .

Renormalizáció

Fő cikk: Renormalizáció

A Feynman-szabályok segítségével közvetlenül ki lehet értékelni a faszintű diagramokat. A fentiekhez hasonló hurokdiagramok naiv kiszámítása azonban eltérő impulzusintegrálokat eredményez, ami azt sugallja, hogy a perturbatív expanzió szinte minden feltétele végtelen. A renormalizációs eljárás szisztematikus folyamat az ilyen végtelenségek eltávolítására.

Megjelenő paraméterek a Lagrange, mint például a tömeges m és a kapcsolási állandót λ , nincs fizikai értelme - m , λ , és a térerő φ nem kísérletileg mérhető mennyiségben, és amelyeket itt a csupasz tömeg, csupasz csatolási állandó, illetve csupasz mező. A fizikai tömeget és a kapcsolási állandót valamilyen interakciós folyamat során mérik, és általában eltérnek a puszta mennyiségektől. Míg számítástechnikai fizikai mennyiségek ettől interakciós folyamat, az egyik korlátozhatja a domain eltérő momentum integrálok, hogy az alábbiakban néhány momentum cut-off Λ szerezze kifejezéseket a fizikai mennyiségeket, majd megteszi a határ Λ → ∞ . Ez egy példa a szabályozásra , a QFT eltéréseinek kezelésére szolgáló módszerek egy osztályára, ahol Λ a szabályozó.

A fent szemléltetett megközelítést puszta zavarás elméletnek nevezik, mivel a számítások csak a csupasz mennyiségeket veszik figyelembe, például a tömeget és a kapcsolási állandót. Egy másik megközelítés, az úgynevezett renormalizált perturbációs elmélet, fizikailag értelmes mennyiségek használata a kezdetektől fogva. A ϕ ⁴ elmélet esetében először a térerőt határozzák meg újra:

${\ displaystyle \ phi = Z^{1/2} \ phi _ {r},}$

ahol ϕ a csupasz mező, ϕ _r a renormalizált mező, és Z egy meghatározandó állandó. A lagrangiai sűrűség a következő lesz:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ részleges _ {\ mu} \ phi _ {r}) (\ részleges ^{\ mu} \ phi _ {r} )-{\ frac {1} {2}} m_ {r}^{2} \ phi _ {r}^{2}-{\ frac {\ lambda _ {r}} {4!}} \ phi _ {r} ^{4}+{\ frac {1} {2}} \ delta _ {Z} (\ részleges _ {\ mu} \ phi _ {r}) (\ részleges ^{\ mu} \ phi _ {r})-{\ frac {1} {2}} \ delta _ {m} \ phi _ {r}^{2}-{\ frac {\ delta _ {\ lambda}} {4!}} \ phi _ {r}^{4},}$

ahol m _r és λ _r a kísérletileg mérhető, renormalizált, tömeg- és csatolási állandó, és

${\ displaystyle \ delta _ {Z} = Z-1, \ quad \ delta _ {m} = m^{2} Z-m_ {r}^{2}, \ quad \ delta _ {\ lambda} = \ lambda Z^{2}-\ lambda _ {r}}$

meghatározandó állandók. Az első három kifejezés a orm ⁴ Lagrang -féle sűrűség, amelyet a renormalizált mennyiségekre írnak, míg az utóbbi három kifejezést "ellenfeltételeknek" nevezik. Mivel a Lagrangian most több kifejezést tartalmaz, a Feynman -diagramoknak további elemeket kell tartalmazniuk, mindegyiknek saját Feynman -szabályaival. Az eljárást a következőképpen vázoljuk fel. Először válasszon egy rendszeresítési sémát (például a fent bevezetett határérték-szabályozást vagy a méretszabályozást ); hívja a szabályozót Λ . Számítsa ki a Feynman -diagramokat, amelyekben az eltérő kifejezések Λ függvénye . Ezután határozza meg a δ _Z , δ _m és δ _λ értékeket úgy, hogy a kontratételekhez tartozó Feynman -diagramok pontosan megszüntessék a normál Feynman -diagramokban szereplő eltérő kifejezéseket, amikor a Λ → ∞ határértékeket felveszik . Ily módon értelmes véges mennyiségeket kapunk.

A renormalizálható elméletekben csak véges eredmény eléréséhez lehet megszüntetni minden végtelenséget, míg a nem renormalizálható elméletekben a végteleneket nem lehet eltávolítani néhány paraméter újradefiniálásával. Az elemi részecskék standard modellje renormalizálható QFT, míg a kvantum gravitáció nem renormalizálható.

Renormalizációs csoport

Fő cikk: Renormalizációs csoport

A

Kenneth Wilson által kifejlesztett renormalizációs csoport egy matematikai készülék, amelyet a fizikai paraméterek (a lagrangiai együtthatók) változásainak tanulmányozására használnak, amikor a rendszert különböző skálákon tekintik. Az egyes paraméterek skála szerinti változásának módját a β függvény írja le . A mennyiségi fizikai előrejelzések alapjául szolgáló korrelációs függvények a Callan – Symanzik egyenlet szerinti skálával változnak .

Például a QED kapcsolóállandója, nevezetesen az

e elemi töltés , a következő β funkcióval rendelkezik:

${\ displaystyle \ beta (e) \ equiv {\ frac {1} {\ Lambda}} {\ frac {de} {d \ Lambda}} = {\ frac {e ^{3}} {12 \ pi ^{ 2}}}+O (e^{5}),}$

ahol Λ az energia skála, amely alatt az e mérését végzik. Ez a differenciálegyenlet azt jelenti, hogy a megfigyelt elemi töltés a skála növekedésével nő. A renormalizált csatolási állandó, amely az energiaskálával változik, futó csatolási állandónak is nevezik.

A g kapcsolási konstans a kvantum-kromodinamikában , amely az SU (3) szimmetriacsoporton alapuló nem Abel-szelvény elmélet , a következő β függvényt látja el:

${\ displaystyle \ beta (g) \ equiv {\ frac {1} {\ Lambda}} {\ frac {dg} {d \ Lambda}} = {\ frac {g ^{3}} {16 \ pi ^{ 2}}} \ bal (-11+{\ frac {2} {3}} N_ {f} \ jobb)+O (g^{5}),}$

ahol N _f a kvark ízek száma . Abban az esetben, ha N _f ≤ 16 (a standard modell N _f = 6 ), a g kapcsolási állandó csökken az energiaskála növekedésével. Ezért, bár az erős kölcsönhatás erős alacsony energiákon, erősen gyenge lesz a nagy energiájú kölcsönhatásokban, ami aszimptotikus szabadság néven ismert jelenség .

A konformális mezőelméletek (CFT) speciális QFT -k, amelyek elismerik a konformális szimmetriát . Érzéketlenek a skála változásaira, mivel minden kapcsolási állandójuk eltűnik β funkcióval. (Ennek az ellenkezője azonban nem igaz - minden β -függvény eltűnése nem jelenti az elmélet konformális szimmetriáját.) Példák a húrelmélet és az N = 4 szuperszimmetrikus Yang – Mills elmélet .

Wilson szerint a kép, minden QFT alapvetően kíséri az energia cut-off Λ , azaz , hogy az elmélet már nem érvényes energiák nagyobb Λ , és minden szabadsági fok felett a skála Λ kell elhagyható. Például a határérték lehet az inverz atomrendszer térbeli fordítottja egy sűrített anyagrendszerben, az elemi részecskefizikában pedig a téridő alapvető "szemcséjéhez" köthető, amelyet a gravitáció kvantumingadozásai okoznak. A részecske kölcsönhatások elméleteinek határértéke messze túlmutat a jelenlegi kísérleteken. Még akkor is, ha az elmélet ebben a skálában nagyon bonyolult lenne, mindaddig, amíg csatolói kellően gyengék, alacsony energiával kell leírni egy renormalizálható hatékony mezőelmélettel . A renormalizálható és nem renormálható elméletek között az a különbség, hogy az elsők érzéketlenek a részletekre nagy energiák mellett, míg az utóbbiak függnek tőlük. E nézet szerint a nem renormalizálható elméleteket egy alapvetőbb elmélet alacsony energiahatékonyságú elméleteinek kell tekinteni. Az a tény, hogy távolítsa el a cut-off Λ számításokból olyan elmélet csupán azt jelzi, hogy az új fizikai jelenségek jelennek meg mérleg fenti Λ , ha egy új elmélet van szükség.

Más elméletek

Az előző szakaszokban ismertetett kvantálási és renormalizációs eljárásokat a valódi skaláris mező szabad és ϕ ⁴ elméletéhez hajtjuk végre . Hasonló folyamat végezhető más típusú mezők esetében is, beleértve a komplex skaláris mezőt, a vektormezőt és a Dirac mezőt , valamint más típusú interakciós kifejezéseket, beleértve az elektromágneses kölcsönhatást és a Yukawa kölcsönhatást .

Például a kvantum -elektrodinamika tartalmaz egy Dirac -mezőt the, amely az elektronmezőt képviseli, és egy A ^μ vektormezőt, amely az elektromágneses mezőt ( fotonmező ) képviseli. (A neve ellenére a kvantum-elektromágneses "mező" valójában a klasszikus elektromágneses négypotenciálnak felel meg , nem pedig a klasszikus elektromos és mágneses mezőnek.) A teljes QED Lagrang-sűrűség:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ bar {\ psi}} (i \ gamma ^{\ mu} \ részleges _ {\ mu} -m) \ psi -{\ frac {1} {4} } F _ {\ mu \ nu} F ^{\ mu \ nu} -e {\ bar {\ psi}} \ gamma ^{\ mu} \ psi A _ {\ mu},}$

ahol a y- ^ji vannak Dirac mátrixok , és a

elektromágneses térerősség . A paraméterek ebben az elméletben a m (csupasz) elektrontömeg és az (csupasz) elemi töltés e . A Lagrang -féle sűrűség első és második tagja a szabad Dirac -mezőnek és a szabad vektormezőknek felel meg. Az utolsó kifejezés az elektron- és fotonmezők közötti kölcsönhatást írja le, amelyet a szabad elméletek zavaraként kezelnek. ${\ displaystyle {\ bar {\ psi}} = \ psi ^{\ tőr} \ gamma ^{0}}$${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu} = \ részleges _ {\ mu} A _ {\ nu}-\ részleges _ {\ nu} A _ {\ mu}}$

A fenti ábra egy példa a QED-ben lévő fa szintű Feynman-diagramra. Leírja, hogy egy elektron és egy pozitron megsemmisül, egy héjon kívüli fotont hoz létre , majd új elektron- és pozitronpárrá bomlik. Az idő balról jobbra halad. Az időben előre mutató nyilak a pozitronok terjedését, míg az időben visszafelé mutatók az elektronok terjedését jelentik. A hullámos vonal a foton terjedését jelenti. A QED Feynman diagramok minden csúcsának rendelkeznie kell egy bejövő és egy kimenő fermion (pozitron/elektron) lábbal, valamint egy foton lábával.

Mérő szimmetria

Fő cikk: Mérőelmélet

Ha a következő átalakítás a mezőkre minden x téridőpontban (helyi transzformáció) történik, akkor a QED Lagrangian változatlan vagy változatlan marad:

${\ displaystyle \ psi (x) \ to e^{i \ alpha (x)} \ psi (x), \ quad A _ {\ mu} (x) \ to A _ {\ mu} (x)+ie^{ -1} e^{-i \ alfa (x)} \ részleges _ {\ mu} e^{i \ alfa (x)},}$

ahol α ( x ) a téridő -koordináták bármely függvénye. Ha egy elmélet lagrangiája (pontosabban a cselekvés ) invariáns egy bizonyos helyi transzformáció alatt, akkor az átalakítást az elmélet mérőszimmetriájának nevezzük . A mérőszimmetriák egy csoportot alkotnak minden téridőpontban. A QED esetében két különböző helyi szimmetria -transzformáció egymást követő alkalmazása, és egy újabb szimmetria -transzformáció . Bármely

α ( x ) esetén az U (1) csoport eleme , így a QED -nek U (1) mérőszimmetriája van. Az A _{μ fotonmezőt} U (1) -es bozonnak nevezhetjük . ${\ displaystyle e^{i \ alpha (x)}}$${\ displaystyle e^{i \ alpha '(x)}}$${\ displaystyle e^{i [\ alfa (x)+\ alfa '(x)]}}$${\ displaystyle e^{i \ alpha (x)}}$

U (1) egy abeli csoport , ami azt jelenti, hogy az eredmény ugyanaz, függetlenül az elemek alkalmazásának sorrendjétől. A QFT-k nem abeli csoportokra is építhetők , ami nem-abeli nyomtávú elméletek (más néven Yang – Mills elméletek) kialakulásához vezet. Az erős kölcsönhatást leíró kvantum-kromodinamika egy nem Abel-szelvény elmélet, SU (3) -es szimmetriával. Ez tartalmaz három Dirac mezőket pszi ⁱ , i = 1,2,3 képviselő túró területeken, valamint a nyolc vektormezők Egy ^{olyan, μ} , a = 1, ..., 8 képviselő gluon mezők, amelyek a SU (3) szelvény bozonok. A QCD Lagrangian sűrűsége:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = i {\ bar {\ psi}} ^{i} \ gamma ^{\ mu} (D _ {\ mu}) ^{ij} \ psi ^{j}-{ \ frac {1} {4}} F _ {\ mu \ nu}^{a} F^{a, \ mu \ nu} -m {\ bar {\ psi}}^{i} \ psi^{i} ,}$

ahol D _μ a mérőszám kovariáns származéka :

${\ displaystyle D _ {\ mu} = \ részleges _ {\ mu} -igA _ {\ mu}^{a} t^{a},}$

ahol g a csatolási állandó, t ^a az

SU (3) nyolc generátora az alapvető ábrázolásban ( 3 × 3 mátrix),

${\ displaystyle F _ {\ mu \ nu}^{a} = \ részleges _ {\ mu} A _ {\ nu}^{a}-\ részleges _ {\ nu} A _ {\ mu}^{a}+gf ^{abc} A _ {\ mu}^{b} A _ {\ nu}^{c},}$

és f ^abc a szerkezete állandók a SU (3) . Az ismétlődő i , j , a indexeket implicit módon összegezzük az Einstein -jelölést követően. Ez a lagrangius változatlan az átalakítás során:

${\ displaystyle \ psi^{i} (x) \ to U^{ij} (x) \ psi^{j} (x), \ quad A _ {\ mu}^{a} (x) t^{a } \ U-ra (x) \ balra [A _ {\ mu}^{a} (x) t^{a}+ig^{-1} \ részleges _ {\ mu} \ jobbra] U^{\ tőr} (x),}$

ahol U ( x ) az SU (3) eleme minden x téridőpontban :

${\ displaystyle U (x) = e^{i \ alpha (x)^{a} t^{a}}.}$

A szimmetriák előző tárgyalása a lagrangiánus szinten történik. Más szóval ezek "klasszikus" szimmetriák. A kvantálás után egyes elméletek már nem mutatják ki klasszikus szimmetriájukat, ami anomália . Például, a pályaintegrál készítmény, annak ellenére, hogy a invariancia a Lagrange sűrűség mellett egy bizonyos helyi átalakulás a mezők, a

intézkedés a pályaintegrál változhat. Ahhoz, hogy a természetet leíró elmélet következetes legyen, nem tartalmazhat anomáliát a mérőszimmetriájában. Az elemi részecskék standard modellje az SU (3) × SU (2) × U (1) csoporton alapuló mérőelmélet , amelyben minden anomália pontosan megszűnik. ${\ displaystyle {\ mathcal {L}} [\ phi, \ részleges _ {\ mu} \ phi]}$ ${\ displaystyle \ int {\ mathcal {D}} \ phi}$

Az általános relativitáselmélet elméleti megalapozása , az egyenértékűség elve a mérőszimmetria egy formájaként is felfogható, így az általános relativitáselmélet a Lorentz -csoporton alapuló

mérőelmélet .

Noether tétele kimondja, hogy minden folytonos szimmetria, azaz a szimmetria -transzformáció paramétere folytonos, nem pedig diszkrét, megfelelő megőrzési törvényhez vezet . Például a QED U (1) szimmetriája töltésmegőrzést jelent .

A mérőeszköz -transzformációk nem kapcsolódnak különböző kvantumállapotokhoz. Inkább ugyanazon kvantumállapot két egyenértékű matematikai leírására vonatkozik. Példának okáért az A ^{μ fotonmező} , mivel négyvektoros , négy látszólagos szabadságfokú, de a foton tényleges állapotát a polarizációnak megfelelő két szabadsági foka írja le . A fennmaradó két szabadsági fokról azt mondják, hogy "felesleges" - nyilvánvalóan az A ^μ írásának különböző módjai

egy ^{mérőátalakítással} összekapcsolhatók egymással, és valójában a fotonmező ugyanazon állapotát írják le. Ebben az értelemben a mérőinvariancia nem "valódi" szimmetria, hanem a választott matematikai leírás "redundanciájának" tükröződése.

Az útintegrál készítményben a szelvény redundanciájának figyelembevételéhez el kell végezni az úgynevezett

Faddeev – Popov mérőeszköz rögzítési eljárást. A nem abeli szelvényelméletekben egy ilyen eljárás új mezőket vezet be, amelyeket "szellemeknek" neveznek. A szellemmezőknek megfelelő részecskéket szellemrészecskéknek nevezzük, amelyek kívülről nem észlelhetők. A Faddeev – Popov eljárás szigorúbb általánosítását a BRST kvantálás adja .

A spontán szimmetria megszakad

A spontán szimmetriatörés olyan mechanizmus, amelynek révén a Lagrangian szimmetriáját megsérti az általa leírt rendszer.

A mechanizmus szemléltetéséhez tekintsünk egy lineáris szigma modellt, amely N valós skaláris mezőt tartalmaz, amelyet a Lagrang -féle sűrűség ír le:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ részleges _ {\ mu} \ phi ^{i}) (\ részleges ^{\ mu} \ phi ^{i} )+{\ frac {1} {2}} \ mu ^{2} \ phi ^{i} \ phi ^{i}-{\ frac {\ lambda} {4}} (\ phi ^{i} \ phi ^{i}) ^{2},}$

ahol μ és λ valós paraméterek. Az elmélet elismeri az O ( N ) globális szimmetriát:

${\ displaystyle \ phi ^{i} \ to R ^{ij} \ phi ^{j}, \ quad R \ in \ mathrm {O} (N).}$

A klasszikus elmélet legalacsonyabb energiaállapota (alapállapot vagy vákuumállapot) minden egységes ϕ ₀ mező kielégítő

${\ displaystyle \ phi _ {0}^{i} \ phi _ {0}^{i} = {\ frac {\ mu^{2}} {\ lambda}}.}$

Az általánosság elvesztése nélkül az alapállapot legyen É -irányban:

${\ displaystyle \ phi _ {0}^{i} = \ left (0, \ cdots, 0, {\ frac {\ mu} {\ sqrt {\ lambda}}} \ right).}$

Az eredeti N mezők a következőképpen írhatók át:

${\ displaystyle \ phi ^{i} (x) = \ left (\ pi ^{1} (x), \ cdots, \ pi ^{N-1} (x), {\ frac {\ mu} {\ sqrt {\ lambda}}}+\ sigma (x) \ jobb),}$

és az eredeti lagrangiai sűrűség:

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ frac {1} {2}} (\ részleges _ {\ mu} \ pi ^{k}) (\ részleges ^{\ mu} \ pi ^{k} )+{\ frac {1} {2}} (\ részleges _ {\ mu} \ sigma) (\ részleges ^{\ mu} \ sigma)-{\ frac {1} {2}} (2 \ mu ^ {2}) \ sigma ^{2}-{\ sqrt {\ lambda}} \ mu \ sigma ^{3}-{\ sqrt {\ lambda}} \ mu \ pi ^{k} \ pi ^{k} \ sigma -{\ frac {\ lambda} {2}} \ pi ^{k} \ pi ^{k} \ sigma ^{2} -{\ frac {\ lambda} {4}} (\ pi ^{k } \ pi ^{k}) ^{2},}$

ahol k = 1, ..., N -1 . Az eredeti O ( N ) globális szimmetria már nem nyilvánul meg, csak az O ( N -1) alcsoport marad . A spontán szimmetriatörés előtti nagyobb szimmetriát "rejtettnek" vagy spontán megtörtnek mondják.

Goldstone tétele kimondja, hogy a spontán szimmetria megtörése esetén minden megtört folyamatos globális szimmetria egy tömeges mezőhöz vezet, amelyet Goldstone -bozonnak neveznek. A fenti példában, O ( N ) van N ( N -1) / 2 folyamatos szimmetriáival (a dimenziójának Lie-algebra ), míg a O ( N -1) van ( N -1) ( N -2) / 2 . A megtört szimmetriák száma a különbségük, N -1 , amely megfelel az N -1 tömeges π ^k mezőnek .

Másrészt, ha a mérőeszköz (szemben a globális) szimmetriával spontán megszakad, a kapott Goldstone -bozont "megeszi" a megfelelő mérőbozon úgy, hogy a mérőbozon további szabadsági fokává válik. A Goldstone -bozon -ekvivalencia -tétel kimondja, hogy nagy energiánál a hosszirányban polarizált masszív boson kibocsátási vagy abszorpciós amplitúdója megegyezik a mérőbozon által elfogyasztott Goldstone -bozon kibocsátási vagy abszorpciós amplitúdójával.

A ferromágnesesség QFT -jében a spontán szimmetriatörés megmagyarázhatja a mágneses dipólusok beállítását alacsony hőmérsékleten. Az elemi részecskék standard modelljében a W és Z bozonok , amelyek a mérőszimmetria következtében egyébként tömegesek lennének, a Higgs -bozon spontán szimmetriatörése révén nyernek tömeget , ezt a folyamatot Higgs -mechanizmusnak nevezik .

Szuperszimmetria

A természetben minden kísérletileg ismert szimmetria a bozonokat a bozonokhoz, a fermionokat a fermionokhoz köti. A teoretikusok feltételezték, hogy létezik egy szimmetria, szuperszimmetria , amely a bozonokat és a fermionokat viszonyítja.

A Standard Modell engedelmeskedik Poincaré szimmetria , amelynek generátorok a téridő fordítások P ^μ , és a Lorentz transzformációk J _μν . Ezeken a generátorokon kívül a (3+1) -dimenziókban a szuperszimmetria magában foglal további Q _α generátorokat , úgynevezett szupertöltéseket , amelyek maguk is Weyl-fermionokká alakulnak át . Az összes ilyen generátor által létrehozott szimmetriacsoportot szuper-Poincaré csoportként ismerjük . Általában több szuperszimmetria -generátor is lehet, Q _α ^I , I = 1, ..., N , amelyek a megfelelő N = 1 szuperszimmetriát, N = 2 szuperszimmetriát stb. Generálják. A szuperszimmetria más dimenziókban is felépíthető, különösen (1+1) dimenziókban, a szuperszövegek elméletében való alkalmazás céljából .

A szuperszimmetrikus elmélet lagrangiájának invariánsnak kell lennie a szuper-Poincaré csoport hatására. Ilyen elméletek például: Minimális szuperszimmetrikus standard modell (MSSM), N = 4 szuperszimmetrikus Yang – Mills elmélet és szuperhúr elmélet. Egy szuperszimmetrikus elmélet szerint minden fermionnak van bozonikus szuperpartnere és fordítva.

Ha a szuperszimmetriát lokális szimmetriává emelik, akkor az eredményül kapott mérőelmélet az általános relativitáselmélet kiterjesztése, amelyet szupergravitációnak neveznek .

A szuperszimmetria potenciális megoldást jelent számos jelenlegi fizikai problémára. Például a standard modell hierarchia -problémája - miért nem korrigálják sugárzóan (a renormalizálás során) a Higgs -bozon tömegét olyan nagy skálára, mint a nagy egységes skála vagy a Planck -skála - a Higgs -mező összefüggésével oldható meg és szuperpartnere, a Higgsino . A Feynman -diagramok Higgs -bozon -hurkai miatti sugárzási korrekciókat a megfelelő Higgsino -hurkok törlik. A szuperszimmetria választ ad a szabványos modell összes mérőkapcsoló -állandójának nagy egyesítésére, valamint a sötét anyag természetére is .

Ennek ellenére 2018 -tól a kísérletek még nem bizonyították a szuperszimmetrikus részecskék létezését. Ha a szuperszimmetria a természet valódi szimmetriája lenne, akkor megtört szimmetriának kell lennie, és a szimmetria megtörésének energiájának nagyobbnak kell lennie, mint a mai kísérletekkel elérhető.

Más téridők

A ϕ ⁴ elmélet, a QED, a QCD, valamint a teljes standard modell mind (3+1) -dimenziós Minkowski-teret (3 térbeli és 1 idődimenzió) feltételez a háttérnek, amelyen a kvantummezők meghatározásra kerülnek. A QFT azonban eleve nem korlátozza a dimenziók számát és a téridő geometriáját.

A sűrített anyagok fizikájában a QFT-t a (2+1) dimenziós elektrongázok leírására használják . A nagyenergiájú fizika , a húrelmélet egy olyan típusú (1 + 1) dimenziós QFT, míg Kaluza-Klein elmélet használja gravitációs extra dimenziók a termék szelvény elméletek alacsonyabb dimenziókban.

A Minkowski _-térben a η _μν lapos metrikát használják a téridő _-indexek emelésére és csökkentésére a Lagrangian -ban, pl.

${\ displaystyle A _ {\ mu} A^{\ mu} = \ eta _ {\ mu \ nu} A^{\ mu} A^{\ nu}, \ quad \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial ^{\ mu} \ phi = \ eta ^{\ mu \ nu} \ részleges _ {\ mu} \ phi \ részleges _ {\ nu} \ phi,}$

ahol r | ^μν inverze a r | _μν kielégítő r | ^μρ r | ^ρν = delta ^ji _{: v} . Az ívelt téridőben lévő QFT -khez viszont egy általános metrikát (például a fekete lyukat leíró Schwarzschild -metrikát ) használnak:

${\ displaystyle A _ {\ mu} A^{\ mu} = g _ {\ mu \ nu} A^{\ mu} A^{\ nu}, \ quad \ partial _ {\ mu} \ phi \ partial^{ \ mu} \ phi = g^{\ mu \ nu} \ részleges _ {\ mu} \ phi \ részleges _ {\ nu} \ phi,}$

ahol g ^μν a g _{μν inverze} . Egy valódi skaláris mező esetében a Lagrang -féle sűrűség általános téridő -háttérben az

${\ displaystyle {\ mathcal {L}} = {\ sqrt {| g |}} \ left ({\ frac {1} {2}} g^{\ mu \ nu} \ nabla _ {\ mu} \ phi \ nabla _ {\ nu} \ phi -{\ frac {1} {2}} m ^{2} \ phi ^{2} \ jobb),}$

ahol g = det ( g _μν ) , és ∇ _μ a kovariáns származékot jelöli . A QFT lagrangiája, tehát számítási eredményei és fizikai előrejelzései a téridő hátterének geometriájától függenek.

Topológiai kvantumtér -elmélet

A QFT korrelációs függvényei és fizikai előrejelzései a g _μν téridő _{-metrikától függenek} . A QFT -k speciális osztálya, az úgynevezett topológiai kvantummező -elméletek (TQFT), minden korrelációs függvény független a téridő -metrika folyamatos változásaitól. A görbült téridőben a QFT -k általában a téridő hátterének geometriája (helyi struktúrája) szerint változnak , míg a TQFT -k invariánsak a téridőbeli diffeomorfizmusok alatt, de érzékenyek a téridő topológiájára (globális szerkezetére). Ez azt jelenti, hogy a TQFT -k minden számítási eredménye a mögöttes téridő topológiai invariánsai . A Chern -Simons elmélet a TQFT egyik példája, és a kvantumgravitációs modellek megalkotására használták. A TQFT alkalmazásai közé tartozik a töredékes kvantum -Hall -effektus és a topológiai kvantumszámítógépek . A frakcionált részecskék ( anyonok néven ismert ) világvonal -pályája egy linkkonfigurációt képezhet a téridőben, amely a fizika bármelyikének fonási statisztikáját a matematika linkinvariánsaival kapcsolja össze. A topológiai kvantumkérdések határkutatásában alkalmazható topológiai kvantummező-elméletek (TQFT-k) közé tartoznak a Chern-Simons-Witten mérőelméletek 2+1 téridő dimenzióban, más új egzotikus TQFT-k a 3+1 téridő dimenziókban és azon túl.

Perturbatív és nem perturbatív módszerek

A zavaráselmélet alkalmazásával egy kis interakciós kifejezés összhatása sorrendben közelíthető meg az interakcióban részt vevő virtuális részecskék számának sorozatos bővítésével . A kiterjesztés minden kifejezése úgy értelmezhető, mint a (fizikai) részecskék egyik lehetséges módja, hogy virtuális részecskéken keresztül kölcsönhatásba lépjenek egymással, vizuálisan Feynman -diagram segítségével kifejezve . A QED két elektronja közötti elektromágneses erőt egy virtuális foton terjedése reprezentálja (a zavaráselmélet első sorrendjében). Hasonló módon a W és Z bozonok hordozzák a gyenge kölcsönhatást, míg a gluonok az erős kölcsönhatást. Az interakciónak a különböző virtuális részecskék cseréjét magában foglaló köztes állapotok összegzéseként történő értelmezése csak a zavaráselmélet keretében van értelme. Ezzel szemben a QFT nem perturbatív módszerei az egymással kölcsönhatásban álló Lagrangian-t egészként kezelik sorozatbővítés nélkül. A kölcsönhatásokat hordozó részecskék helyett ezek a módszerek olyan fogalmakat hoztak létre, mint a 't Hooft – Polyakov monopólus , a tartományfal , a fluxuscső és az instanton . A QFT-k példái, amelyek teljesen megoldhatók, nem zavaróan, a konformális mezőelmélet minimális modelljei és a Thirring-modell .

Matematikai szigor

A részecskék fizikájában és a sűrített anyagok fizikájában elért elsöprő sikerei ellenére a QFT -nek nincs formális matematikai alapja. Haag tétele szerint például nem létezik jól definiált interakciós kép a QFT számára, ami azt jelenti, hogy a QFT perturbációs elmélete , amely a teljes Feynman-diagram- módszer alapját képezi , alapvetően rosszul van definiálva.

Azonban a perturbatív kvantumtér -elmélet, amely csak megköveteli, hogy a mennyiségek formális hatósorként konvergenciakövetelmények nélkül számíthatók legyenek, szigorú matematikai bánásmódban részesülhet. Különösen, Kevin Costello „s monográfiája Renormalization és hatékony Térelmélet biztosít szigorú készítmény perturbatív renormálás, amely egyesíti mind a hatékony-térelméletet megközelítések a Kadanoff , Wilson , és Polchinski együtt Batalin-Vilkovisky megközelítés kvantálására gauge elméletek. Továbbá, a perturbatív útintegrálási módszerek, amelyeket jellemzően a véges dimenziós integrációs elméletből inspirált formális számítási módszereknek tartanak, véges dimenziós analógjaikból megalapozott matematikai értelmezést kaphatnak.

Az 1950 -es évek óta az elméleti fizikusok és matematikusok megpróbáltak minden QFT -t axiómák halmazába szervezni , hogy matematikailag szigorúan megállapítsák a relativisztikus QFT konkrét modelljeinek létezését, és tanulmányozzák tulajdonságaikat. Ezt a tanulmányt konstruktív kvantummező -elméletnek nevezik , a matematikai fizika egyik részterületének , amely olyan eredményekhez vezetett, mint a CPT -tétel , a spin -statisztika és Goldstone -tétel, valamint számos kölcsönhatásban álló QFT matematikailag szigorú konstrukciói kettő és három között. téridő dimenziók, pl. kétdimenziós skaláris mező elmélet tetszőleges polinom kölcsönhatással, háromdimenziós skaláris mező elmélet kvartikus kölcsönhatással stb.

A szokásos QFT -hez képest a topológiai kvantummező -elmélet és a konformális mezőelmélet matematikailag jobban alátámasztott - mindkettő a kobordizmusok ábrázolásainak keretébe sorolható .

Az algebrai kvantumtér -elmélet egy másik megközelítés a QFT axiomatizálására, amelyben az alapvető objektumok a helyi operátorok és a köztük lévő algebrai kapcsolatok. Ezt a megközelítést követő axiomatikus rendszerek közé tartoznak a Wightman -axiómák és a Haag -Kastler -axiómák . Az egyik módja annak, hogy konstrukció elméletek kielégítő Wightman axiómák használata Osterwalder-Schrader axiómák , amelyek segítségével a szükséges és elégséges feltételt egy valós idejű elmélet kell szerezni egy képzeletbeli időt elmélet analitikus folytatás ( Wick forgás ).

A Yang – Mills létezése és tömeges szakadéka , a Millenniumi Díj egyik problémája , a Yang – Mills-elméletek jól meghatározott létezésére vonatkozik , a fenti axiómák szerint. A teljes problémajelentés a következő.

Bizonyítsuk be, hogy bármely kompakt, egyszerű nyomtávú G- csoport esetében létezik egy nem triviális Yang – Mills kvantumelmélet, és Δ> 0 tömegrés van . A létezés magában foglalja legalább olyan erős axiomatikus tulajdonságok létrehozását, mint a Streater & Wightman (1964) , az Osterwalder & Schrader (1973) és az Osterwalder & Schrader (1975) cikkei . ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$ harvtxt hiba: nincs cél: CITEREFStreaterWightman1964 ( súgó )harvtxt hiba: nincs cél: CITEREFOsterwalderSchrader1973 ( súgó )harvtxt hiba: nincs cél: CITEREFOsterwalderSchrader1975 ( súgó )

Lásd még

Hivatkozások

További irodalom

Általános olvasók

• Pais, A. (1994) [1986]. Inward Bound: Of Matter and Forces in the Physical World (újranyomtatás a szerk.). Oxford, New York, Toronto: Oxford University Press . ISBN 978-0198519973.
• Schweber, SS (1994). QED és a férfiak, akik készítették: Dyson, Feynman, Schwinger és Tomonaga . Princeton University Press . ISBN 9780691033273.
• Feynman, RP (2001) [1964]. A fizikai törvény jellege . MIT Nyomja meg . ISBN 978-0-262-56003-0.
• Feynman, RP (2006) [1985]. QED: A fény és az anyag furcsa elmélete . Princeton University Press. ISBN 978-0-691-12575-6.
• Gribbin, J. (1998). A Q a Quantum: részecskefizika A -tól Z -ig . Weidenfeld és Nicolson . ISBN 978-0-297-81752-9.

Bevezető szövegek

• McMahon, D. (2008). Kvantummező elmélet . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-154382-8.
• Bogolyubov, N .; Shirkov, D. (1982). Kvantummezők . Benjamin Cummings . ISBN 978-0-8053-0983-6.
• Frampton, PH (2000). Mérőmező elméletek . Határok a fizikában (2. kiadás). Wiley .
• Greiner, W .; Müller, B. (2000). A gyenge kölcsönhatások mérőelmélete . Springer . ISBN 978-3-540-67672-0.
• Itzykson, C .; Zuber, J.-B. (1980). Kvantummező elmélet . McGraw-Hill . ISBN 978-0-07-032071-0.
• Kane, GL (1987). Modern elemi részecskefizika . Perseus csoport . ISBN 978-0-201-11749-3.
• Kleinert, H .; Schulte-Frohlinde, Verena (2001). Φ ⁴ -elméletek kritikus tulajdonságai . World Scientific . ISBN 978-981-02-4658-7.
• Kleinert, H. (2008). Többértékű mezők a sűrített anyagban, elektrodinamikában és gravitációban (PDF) . World Scientific. ISBN 978-981-279-170-2.
• Loudon, R (1983). A fény kvantumelmélete . Oxford University Press. ISBN 978-0-19-851155-7.
• Mandl, F .; Shaw, G. (1993). Kvantummező elmélet . John Wiley & Sons . ISBN 978-0-471-94186-6.
• Ryder, LH (1985). Kvantummező elmélet . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-33859-2.
• Schwartz, MD (2014). A kvantumtér elmélete és a standard modell . Cambridge University Press. ISBN 978-1107034730. Archiválva az eredetiből 2018-03-22 . Letöltve: 2020-05-13 .
• Ynduráin, FJ (1996). Relativisztikus kvantummechanika és bevezetés a terepelméletbe . Relativisztikus kvantummechanika és bevezetés a mezőelméletbe (1. kiadás). Springer. Bibcode : 1996rqmi.book ..... Y . doi : 10.1007/978-3-642-61057-8 . ISBN 978-3-540-60453-2.
• Greiner, W .; Reinhardt, J. (1996). Mező kvantálás . Springer. ISBN 978-3-540-59179-5.
• Peskin, M .; Schroeder, D. (1995). Bevezetés a kvantumtér elméletébe . Westview Press . ISBN 978-0-201-50397-5.
• Scharf, Günter (2014) [1989]. Véges kvantumelektrodinamika: Az ok -okozati megközelítés (harmadik szerk.). Dover Publications. ISBN 978-0486492735.
• Srednicki, M. (2007). Kvantummező elmélet . Cambridge University Press . ISBN 978-0521-8644-97.
• Tong, David (2015). "Előadások a kvantummező elméletéről" . Letöltve: 2016-02-09 .
• Zee, Anthony (2010). Kvantummező -elmélet dióhéjban (2. kiadás). Princeton University Press . ISBN 978-0691140346.

Haladó szövegek

• Brown, Lowell S. (1994). Kvantummező elmélet . Cambridge University Press . ISBN 978-0-521-46946-3.
• Bogoliubov, N .; Logunov, AA ; Oksak, AI; Todorov, IT (1990). A kvantummező elméletének általános elvei . Kluwer Academic Publishers . ISBN 978-0-7923-0540-8.
• Weinberg, S. (1995). A mezők kvantumelmélete . 1 . Cambridge University Press . ISBN 978-0521550017.

Külső linkek

• Kvantummező -elmélethez kapcsolódó média a Wikimedia Commons -ban

• "Kvantummező -elmélet" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Stanford Encyclopedia of Philosophy : " Quantum Field Theory ", Meinard Kuhlmann.
• Siegel, Warren, 2005. Fields. arXiv : hep-th/9912205 .
• PJ Mulders Quantum Field Theory