Lövedék hatótávolsága - Range of a projectile

A fizikában egy meghatározott kezdeti feltételekkel indított lövedéknek hatótávolsága lesz . Kiszámíthatóbb lehet, ha feltételezzük, hogy egy sík Föld egyenletes gravitációs térrel rendelkezik , és nincs légellenállása .

Az alábbiak azokra a tartományokra vonatkoznak, amelyek a Föld méretéhez képest kicsiek. Hosszabb hatótávolságokért lásd az orbitális űrrepülést . A lövedék által megtett legnagyobb vízszintes távolság , figyelmen kívül hagyva a légellenállást, az alábbiak szerint számítható:

${\ displaystyle d = {\ frac {v \ cos \ theta} {g}} \ bal (v \ sin \ theta + {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0} }}\jobb)}$

hol

• d a lövedék által megtett teljes vízszintes távolság.
• v a lövedék kilövésének sebessége
• g a gravitációs gyorsulás - általában 9,81 m / s ^2-nek (32 f / s ² ) a Föld felszíne közelében
• θ az a szög, amelyen a lövedéket elindítják
• y ₀ a lövedék kezdeti magassága

Ha az y ₀ értéket nullának vesszük, ami azt jelenti, hogy az objektumot sík talajon indítják, a lövedék hatótávolsága egyszerűsödik:

${\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2}} {g}} \ sin 2 \ theta}$

Ideális lövedékmozgás

Az ideális lövedékmozgás azt állítja, hogy nincs légellenállás és nincs változás a gravitációs gyorsulásban . Ez a feltételezés nagyban leegyszerűsíti a matematikát, és szorosan közelíti a lövedék tényleges mozgását azokban az esetekben, amikor a megtett távolság kicsi. Az ideális lövedékmozgás szintén jó bevezetés a témába, mielőtt hozzáadná a légellenállás szövődményeit.

Levezetések

45 fokos indítási szög vízszintesen a legtávolabbra tolja a lövedéket. Ennek oka a derékszögű háromszögek jellege. Ezenkívül a tartomány egyenletéből:

${\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2} \ sin 2 \ theta} {g}}}$

Láthatjuk, hogy a tartomány akkor lesz maximális, ha az értéke a legmagasabb (azaz ha egyenlő 1-vel). Nyilvánvaló, hogy 90 fokosnak kell lennie. Vagyis 45 fok. ${\ displaystyle \ sin 2 \ theta}$${\ displaystyle 2 \ theta}$${\ displaystyle \ theta}$

Lapos talaj

Először azt az esetet vizsgáljuk meg, ahol ( y ₀ ) nulla. A lövedék vízszintes helyzete

${\ displaystyle x (t) = vt \ cos \ theta}$

Függőleges irányban

${\ displaystyle y (t) = vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Érdekel az az idő, amikor a lövedék ugyanarra a magasságra tér vissza, ahonnan keletkezett. Legyen t _g bármikor, amikor a lövedék magassága megegyezik a kezdeti értékével.

${\ displaystyle 0 = vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Faktorozással:

${\ displaystyle t = 0}$

vagy

${\ displaystyle t = {\ frac {2v \ sin \ theta} {g}}}$

de t = T = repülés ideje

${\ displaystyle T = {\ frac {2v \ sin \ theta} {g}}}$

Az első megoldás a lövedék első indításának felel meg. A második megoldás hasznos a lövedék hatótávolságának meghatározásához. Ha ezt a ( t ) értéket a vízszintes egyenletbe kapcsoljuk, akkor megkapjuk

${\ displaystyle x = {\ frac {2v ^ {2} \ cos \ theta \, \ sin \ theta} {g}}}$

A trigonometrikus azonosság alkalmazása

${\ displaystyle \ sin (x + y) = \ sin x \, \ cos y \ + \ \ sin y \, \ cos x}$

Ha x és y azonos,

${\ displaystyle \ sin 2 \ theta = 2 \ sin \ theta \, \ cos \ theta}$

lehetővé teszi számunkra a megoldás egyszerűsítését

${\ displaystyle d = {\ frac {v ^ {2} \ sin 2 \ theta} {g}}}$

Vegye figyelembe, hogy amikor ( θ ) 45 °, az oldat válik

${\ displaystyle d _ {\ max} = {\ frac {v ^ {2}} {g}}}$

Egyenetlen talaj

Most megengedjük, hogy ( y ₀ ) nulla legyen. A mozgásegyenleteink most vannak

${\ displaystyle x (t) = vt \ cos \ theta}$

és

${\ displaystyle y (t) = y_ {0} + vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

Ismét megoldjuk a ( t ) -et abban az esetben, ha a lövedék ( y ) helyzete nulla (mivel így definiáltuk a kezdő magasságunkat)

${\ displaystyle 0 = y_ {0} + vt \ sin \ theta - {\ frac {1} {2}} gt ^ {2}}$

A másodfokú képlet alkalmazásával ismét két megoldást találunk az időre. Az algebrai manipuláció több lépése után

${\ displaystyle t = {\ frac {v \ sin \ theta} {g}} \ pm {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0}}} {g }}}$

A négyzetgyöknek pozitív számnak kell lennie, és mivel az indítási szög sebessége és szinusa is feltételezhető pozitívnak, a nagyobb idővel rendelkező megoldás akkor jelenik meg, ha a plusz vagy mínusz előjel pozitívját használjuk. Így a megoldás az

${\ displaystyle t = {\ frac {v \ sin \ theta} {g}} + {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0}}} {g} }}$

Még egyszer megoldani a tartományt

${\ displaystyle d = {\ frac {v \ cos \ theta} {g}} \ bal (v \ sin \ theta + {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0} }}\jobb)}$

A hatótávolság maximalizálása bármely magasságban

${\ displaystyle \ theta = \ arccos {\ sqrt {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {2gy_ {0} + 2v ^ {2}}}}}$

A határérték ellenőrzése a 0 megközelítésével ${\ displaystyle y_ {0}}$

${\ displaystyle \ lim _ {y_ {0} \ to 0} \ arccos {\ sqrt {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {2gy_ {0} + 2v ^ {2}}}} = {\ frac {\ pi} {4}}}$

Az ütés szöge

A lövedék landolási szögét a következő adja meg:

${\ displaystyle \ tan \ psi = {\ frac {-v_ {y} (t_ {d})} {v_ {x} (t_ {d})}} = {\ frac {\ sqrt {v ^ {2} \ sin ^ {2} \ theta + 2gy_ {0}}} {v \ cos \ theta}}}$

A maximális tartományhoz ez a következő egyenletet eredményezi:

${\ displaystyle \ tan ^ {2} \ psi = {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {v ^ {2}}} = C + 1}$

Átírva az solution eredeti megoldását, kapjuk:

${\ displaystyle \ tan ^ {2} \ theta = {\ frac {1- \ cos ^ {2} \ theta} {\ cos ^ {2} \ theta}} = {\ frac {v ^ {2}} { 2gy_ {0} + v ^ {2}}} = {\ frac {1} {C + 1}}}$

Megszorozva a (tan ψ) ^ 2 egyenlettel:

${\ displaystyle \ tan ^ {2} \ psi \, \ tan ^ {2} \ theta = {\ frac {2gy_ {0} + v ^ {2}} {v ^ {2}}} {\ frac {v ^ {2}} {2gy_ {0} + v ^ {2}}} = 1}$

A trigonometrikus azonosság miatt

${\ displaystyle \ tan (\ theta + \ psi) = {\ frac {\ tan \ theta + \ tan \ psi} {1- \ tan \ theta \ tan \ psi}}}$,

ez azt jelenti, hogy a θ + ψ-nak 90 fokosnak kell lennie.

Tényleges lövedékmozgás

A lövedéket lassító és hatótávolságát csökkentő légellenállás mellett sok más tényezőt is figyelembe kell venni, ha figyelembe vesszük a lövedék tényleges mozgását.

A lövedék jellemzői

Általánosságban elmondható, hogy egy lövedék nagyobb térfogatú arcok nagyobb légellenállást , csökkentve a tartomány a lövedék. (És lásd a lövedék pályáját .) A légellenállási ellenállást a lövedék alakja módosíthatja: egy magas és széles, de rövid lövedék nagyobb légellenállással fog szembenézni, mint egy alacsony és keskeny, de hosszú, azonos térfogatú lövedék. Figyelembe kell venni a lövedék felületét is: a sima lövedék kisebb légellenállással fog szembenézni, mint egy durva felületű, és a lövedék felületén lévő szabálytalanságok megváltoztathatják a pályáját, ha nagyobb vonóerőt hoznak létre a lövedék egyik oldalán, mint a a másik. Bizonyos szabálytalanságok, például a golflabda gödröcskéi azonban valóban növelhetik annak hatótávolságát azáltal, hogy csökkentik a lövedék mögött okozott turbulencia mennyiségét. A tömeg is fontossá válik, mivel egy nagyobb tömegű lövedéknek nagyobb a mozgási energiája , és így kevésbé befolyásolja a légellenállás. Fontos lehet a tömeg eloszlása ​​a lövedéken belül is, mivel az egyenetlen súlyú lövedék nem kívánt módon megpördülhet, szabálytalanságokat okozva a pályájában a magnus-effektus miatt .

Ha egy lövedéket a tengelye mentén forgatunk, a lövedék alakjában és súlyeloszlásában fellépő szabálytalanságok megszűnnek. További magyarázatért lásd a puskázást .

Lőfegyverek hordói

A lőfegyverekből és tüzérségből kilövő lövedékek esetében a fegyver csövének jellege is fontos. A hosszabb hordók lehetővé teszik, hogy a hajtóanyag több energiáját adják a lövedéknek, nagyobb hatótávolságot eredményezve. A puskázás ugyan nem növeli ugyanannak a fegyvernek a sok lövés átlagos ( számtani átlag ) hatótávolságát, de növeli a fegyver pontosságát és pontosságát .

Nagyon nagy tartományok

Néhány ágyút vagy hawitzot nagyon nagy hatótávolsággal hoztak létre.

Az első világháború alatt a németek létrehoztak egy kivételesen nagy ágyút, a párizsi ágyút , amely 130 km-nél nagyobb távolságra képes lövöldözni. Észak-Korea kifejlesztett egy Nyugaton Koksan néven ismert fegyvert , amelynek hatótávolsága rakéta-segéd lövedékekkel 60 km volt. (És lásd a lövedék pályáját .)

Az ilyen ágyúk az különbözteti meg a rakéták , vagy ballisztikus rakéták , amelyek saját rakétahajtómű, ami tovább gyorsul a rakéta egy ideig, miután indult.

Lásd még

• Röppálya
• Lövedék mozgása
• Szökési sebesség

Hivatkozások