Rezonancia - Resonance

Az amplitúdó növekedése a csillapítás csökkenésével és a frekvencia közelítésével a meghajtott csillapított egyszerű harmonikus oszcillátor rezonanciafrekvenciájához .

Rezonancia leírja a jelenség a megnövekedett amplitúdó , amely akkor jelentkezik, amikor a frekvencia egy periodikusan alkalmazott erőt (vagy egy Fourier komponens is) egyenlő, vagy közel van egy természetes frekvenciáját a rendszer, amelyen hat. Ha egy dinamikus rendszer rezonanciafrekvenciáján oszcilláló erőt alkalmazunk , a rendszer nagyobb amplitúdóval oszcillál, mint ha ugyanazt az erőt más, nem rezonáns frekvenciákon alkalmazzuk.

Azokat a frekvenciákat, amelyeken a válasz amplitúdója relatív maximum , rezonanciafrekvenciának vagy rezonanciafrekvenciának is nevezik . A rendszer rezonanciafrekvenciájához közeli kis periodikus erők képesek nagy amplitúdójú rezgéseket generálni a rendszerben a rezgési energia tárolása miatt .

Rezonancia jelenségek az összes típusú rezgések vagy hullámok : van mechanikai rezonancia , akusztikus rezonancia , elektromágneses rezonancia, a nukleáris mágneses rezonancia (NMR), elektronspin-rezonancia (ESR) és a rezonancia kvantum hullám funkciók . A rezonanciarendszerek használhatók bizonyos frekvenciájú rezgések generálására (pl. Hangszerek ), vagy bizonyos frekvenciák kiválasztására a sok frekvenciát tartalmazó komplex rezgésekből (pl. Szűrők).

A rezonancia kifejezés ( latin rezonancia , „echo”, rezonár , „ resound ”) az akusztika területéről származik, különösen a hangszerekben megfigyelt szimpatikus rezonancia , például amikor egy húr rezegni kezd és hangot ad ki egy másik után meg van ütve.

Áttekintés

A rezonancia akkor következik be, amikor a rendszer képes tárolni és könnyen átvinni energiát két vagy több különböző tárolási mód között (például mozgási energia és potenciális energia egyszerű inga esetén). Vannak azonban veszteségek ciklusonként, amit csillapításnak neveznek . Ha a csillapítás kicsi, a rezonanciafrekvencia megközelítőleg megegyezik a rendszer természetes frekvenciájával , amely a kényszerítetlen rezgések gyakorisága. Néhány rendszer több, különálló rezonanciafrekvenciával rendelkezik.

Példák

A lendületben lévő személy tolása a rezonancia gyakori példája. A terhelt lengés, egy inga , természetes rezgési frekvenciával rendelkezik, rezonanciafrekvenciája, és ellenáll a gyorsabb vagy lassabb ütésnek.

Ismerős példa egy játszótéri hinta , amely ingaként működik . Ha egy lendületben lévő személyt a lengés természetes intervallumával (annak rezonanciafrekvenciájával) időben tolunk, a lengés egyre magasabbra megy (maximális amplitúdó), míg a lengés gyorsabb vagy lassabb ütemben történő kipróbálása kisebb íveket eredményez. Ennek az az oka, hogy a lengés által elnyelt energia maximalizálódik, ha a lökések megfelelnek a lengés természetes rezgéseinek.

A rezonancia széles körben előfordul a természetben, és számos eszközben használják. Ez az a mechanizmus, amellyel gyakorlatilag minden szinuszos hullám és rezgés keletkezik. Sok hangot hallunk, például amikor kemény fémből , üvegből vagy fából készült tárgyakat ütnek, a tárgy rövid rezonancia rezgései. A fényt és más rövid hullámhosszú elektromágneses sugárzást atomi léptékű rezonancia , például atomok elektronjai állítják elő . További példák a rezonanciára:

Lineáris rendszerek

A rezonancia sok lineáris és nemlineáris rendszerben nyilvánul meg, mint egy egyensúlyi pont körüli rezgések. Ha a rendszert szinuszos külső bemenet hajtja, akkor a rendszer mért kimenete rezeghet. A kimenet egyensúlyi rezgéseinek amplitúdójának és a bemenet oszcillációinak arányát erősítésnek nevezzük, és az erősítés a szinuszos külső bemenet frekvenciájának függvénye lehet. A nyereség csúcsai bizonyos frekvenciákon rezonanciáknak felelnek meg, ahol a mért kimenet rezgéseinek amplitúdója aránytalanul nagy.

Mivel sok lineáris és nemlineáris rendszer, amelyek oszcillálnak, harmonikus oszcillátorként vannak modellezve egyensúlyuk közelében, ez a szakasz a hajtott, csillapított harmonikus oszcillátor rezonanciafrekvenciájának levezetésével kezdődik. A szakasz ezután RLC áramkört használ a rezonancia és a rendszer átviteli függvénye, a frekvenciaválasz, a pólusok és a nullák közötti kapcsolatok szemléltetésére. Az RLC áramkör példájából kiindulva a szakasz általánosítja ezeket az összefüggéseket a magasabb rendű, több bemenettel és kimenettel rendelkező lineáris rendszerek esetében.

A hajtott, csillapított harmonikus oszcillátor

Tekintsünk egy csillapított tömeget egy rugóra, amelyet szinuszos, külső erő alkalmaz. Newton második törvénye formát ölt

 

 

 

 

( 1 )

ahol m a tömeg, x a tömeg elmozdulása az egyensúlyi ponttól, F 0 a hajtási amplitúdó, ω a menetszögfrekvencia, k a rugóállandó, és c a viszkózus csillapítási együttható. Ezt át lehet írni az űrlapon

 

 

 

 

( 2 )

ahol

az oszcillátor csillapítatlan szögfrekvenciájának vagy természetes frekvenciának nevezik ,
csillapítási aránynak nevezzük .

Sok forrás a ω 0 -t is rezonáns frekvenciának nevezi . Azonban, amint az alább látható, az x ( t ) elmozdulás oszcillációinak elemzésekor a rezonanciafrekvencia közel van, de nem ugyanaz, mint ω 0 . Általában a rezonanciafrekvencia közel van, de nem feltétlenül azonos a természetes frekvenciával. Az RLC áramkör példája a következő részben példákat ad ugyanazon rendszer különböző rezonanciafrekvenciáira.

A ( 2 ) egyenlet általános megoldása egy átmeneti megoldás összege, amely a kezdeti feltételektől függ, és egy olyan állandósult megoldás, amely független a kezdeti feltételektől, és csak az F 0 haladási amplitúdótól , driving menetfrekvenciától , csillapítatlan szögfrekvenciától ω 0 függ. , és a csillapítási arány ζ . Az átmeneti oldat viszonylag rövid idő alatt lebomlik, ezért a rezonancia vizsgálatához elegendő az egyensúlyi állapotú megoldást figyelembe venni.

Lehetőség van írni a steady-state megoldás x ( t ) függvényében arányos a hajtóerő egy indukált fázis változás φ ,

 

 

 

 

( 3 )

ahol

A fázisértéket általában –180 ° és 0 között tartják, tehát fáziskésést jelent mind az arctan argumentum pozitív, mind negatív értékei esetén.

Az amplitúdó egyensúlyi változása relatív frekvenciával és egy meghajtott egyszerű harmonikus oszcillátor csillapításával

Rezonancia akkor fordul elő, ha bizonyos menetfrekvenciákon az x ( t ) egyensúlyi állapotú amplitúdója nagy a többi menetfrekvencián mért amplitúdójához képest. A rugón lévő tömeg esetében a rezonancia fizikailag megfelel a tömeg ingadozásainak, amelyek bizonyos menetfrekvenciákon a rugó egyensúlyi helyzetéből nagy elmozdulásokat mutatnak. Nézzük a amplitúdója x ( t ) függvényében a vezetési frekvencia ω , az amplitúdó maximális a gerjesztőfrekvenciákon

ω r a rezonancia frekvencia ehhez a rendszerhez. Ismét vegye figyelembe, hogy a rezonanciafrekvencia nem egyenlő az oszcillátor csillapítatlan szögfrekvenciájával ω 0 . Arányosak, és ha a csillapítási arány nulla, akkor ugyanazok, de a nullától eltérő csillapításnál nem ugyanaz a frekvencia. Amint az ábrán látható, a rezonancia más rezonanciafrekvenciához közeli frekvenciákon is előfordulhat, beleértve ω 0 , de a maximális válasz a rezonanciafrekvencián van.

Vegye figyelembe azt is, hogy ω r csak akkor valós és nem nulla, ha ez a rendszer csak akkor tud rezonálni, ha a harmonikus oszcillátor jelentősen alul van csillapítva. Nagyon kicsi csillapítási arányú és a rezonanciafrekvenciához közeli menetfrekvenciájú rendszereknél az egyensúlyi rezgések nagyon nagyok lehetnek.

Az inga

Más hajtott, csillapított harmonikus oszcillátorok esetében, amelyek mozgásegyenletei nem pontosan úgy néznek ki, mint a tömeg egy rugós példán, a rezonancia frekvencia megmarad

de ω 0 és ζ definíciója a rendszer fizikája alapján változik. Egy inga hosszúságú L , és kis elmozdulás szög θ , egyenlet ( 1 ) válik

és ezért

RLC sorozatú áramkörök

RLC sorozatú áramkör

Tekintsünk egy olyan áramkört, amely egy R ellenállású ellenállásból , L induktivitású induktorból és egy C kapacitású kondenzátorból áll, amelyek sorba vannak kötve az i ( t ) árammal, és amelyet egy v in ( t ) feszültségű feszültségforrás hajt . Az áramkör körüli feszültségesés az

 

 

 

 

( 4 )

Ahelyett, hogy elemeznénk ennek az egyenletnek a lehetséges megoldását, mint a fenti rugós példában szereplő tömegben, ez a szakasz ennek az áramkörnek a frekvenciaválaszát elemzi. Vegyük a ( 4 ) egyenlet Laplace -transzformációját ,

ahol I ( s ) és V in ( s ) az áram és a bemeneti feszültség Laplace -transzformációja, és s egy komplex frekvenciaparaméter a Laplace tartományban. Feltételek átrendezése,

Feszültség a kondenzátoron

Egy soros RLC áramkör számos lehetőséget kínál a kimeneti feszültség mérésére. Tegyük fel, hogy a kívánt kimeneti feszültség a kondenzátor feszültségcsökkenése. Amint fentebb látható, a Laplace tartományban ez a feszültség

vagy

Határozza meg ennek az áramkörnek a természetes frekvenciát és a csillapítási arányt,

A kimeneti feszültség és a bemeneti feszültség aránya lesz

H ( s ) a bemeneti feszültség és a kimeneti feszültség közötti átviteli funkció . Ne feledje, hogy ennek az átviteli függvénynek két pólusa van - a polinom gyökerei az átviteli függvény nevezőjében -

 

 

 

 

( 5 )

és a polinomnak nincs nulla – gyöke az átviteli függvény számlálójában. Ezenkívül vegye figyelembe, hogy ζ ≤ 1 esetén ezeknek a pólusoknak a nagysága a természetes frekvencia ω 0, és hogy ζ <1/ esetén a rezonancia feltétele a harmonikus oszcillátor példában, a pólusok közelebb vannak a képzeletbeli tengelyhez, mint a valósághoz tengely.

A H ( s ) értékeket az s = képzelt tengely mentén értékelve az átviteli függvény leírja ennek az áramkörnek a frekvenciaválaszát. Hasonlóképpen, a frekvenciaválasz úgy is elemezhető, hogy a Laplace -transzformáció helyett a ( 4 ) egyenlet Fourier -transzformációját veszik fel . Az átviteli függvény, amely szintén összetett, erősítésként és fázisként írható fel,

Bode nagyságrendi diagram az RLC sorozatú áramkör elemeinek feszültségére. Természetes frekvencia ω 0 = 1 rad/s , csillapítási arány ζ = 0,4 . A kondenzátor feszültsége az áramkör természetes frekvenciája alatt, az induktivitás feszültsége a természetes frekvencia felett, az ellenállás feszültsége pedig a természetes frekvencián csúcsosodik, csúcserősítéssel egy. A kondenzátor és az induktor feszültsége sorozatban kombinálva erősödik, és a rezgéscsökkenés a természetes frekvencián nulla lesz.

A szinuszos bemeneti feszültség frekvencia ω eredményez kimeneti feszültség ugyanazon a frekvencián, hogy már skálázva G ( ω ), és van egy fáziseltolódás Φ ( ω ). Az erősítés és a fázis a frekvencia függvényében ábrázolható egy Bode -ábrán . Az RLC áramkör kondenzátorfeszültsége esetén a H ( ) átviteli függvény nyeresége

 

 

 

 

( 6 )

Vegye figyelembe a hasonlóságot az erősítés és az amplitúdó között a ( 3 ) egyenletben . Ismét a nyereség a rezonanciafrekvencián maximalizálódik

Itt a rezonancia fizikailag annak felel meg, hogy viszonylag nagy amplitúdója van a kondenzátor feszültségének állandó állapotú ingadozásaihoz, összehasonlítva más vezetési frekvenciák amplitúdójával.

Feszültség az induktoron

A rezonanciafrekvenciának nem kell mindig a fenti példákban megadott formát öltenie. Az RLC áramkör esetében tegyük fel, hogy a kívánt kimeneti feszültség az induktivitáson keresztüli feszültség. Amint fentebb látható, a Laplace tartományban az induktivitás feszültsége

ugyanazokat a definíciókat használja a ω 0 és ζ paraméterekhez, mint az előző példában. Az átviteli funkció a V bemenet ( ek ) és ez az új V kimenet ( ek ) között az induktoron keresztül

Vegye figyelembe, hogy ennek az átviteli függvénynek ugyanazok a pólusai vannak, mint az előző példában szereplő átviteli függvénynek, de két nulla is van a számlálóban s = 0 -nál . A képzeletbeli tengely mentén a H ( k ) kiértékelésével nyeresége lesz

Összehasonlítva a nyereség egyenletben ( 6 ) a kondenzátor feszültsége a kimeneti ez erősítés van szorzóval ω 2 a számlálóban és ezért eltérő rezonancia frekvenciát, amely maximalizálja a nyereség. Ez a frekvencia az

Tehát ugyanazon RLC áramkörnél, de az induktoron lévő feszültségnél, mint a kimenet, a rezonanciafrekvencia most nagyobb, mint a természetes frekvencia, bár még mindig a természetes frekvencia felé hajlik, mivel a csillapítási arány nulla. Az, hogy ugyanaz az áramkör különböző rezonanciafrekvenciákkal rendelkezhet a kimenet különböző választása esetén, nem ellentmondásos. Amint az a ( 4 ) egyenletben látható , az áramkör feszültségcsökkenése megoszlik a három áramköri elem között, és mindegyik elemnek más a dinamikája. A kondenzátor feszültsége lassan növekszik az áram időbeli integrálásával, és ezért érzékenyebb az alacsonyabb frekvenciákra, míg az induktor feszültsége növekszik, amikor az áram gyorsan változik, és ezért érzékenyebb a magasabb frekvenciákra. Míg az áramkör egészének természetes frekvenciája van, ahol hajlamos oszcillálni, az egyes áramköri elemek eltérő dinamikája miatt az egyes elemek kissé eltérő frekvencián rezonálnak.

Feszültség az ellenállásban

Tegyük fel, hogy az érdekelt kimeneti feszültség az ellenállás feszültsége. A Laplace tartományban az ellenállás feszültsége

és ugyanazt a természetes frekvenciát és csillapítási arányt használva, mint a kondenzátor példában, az átviteli függvény

Ne feledje, hogy ennek az átviteli függvénynek is ugyanazok a pólusai vannak, mint az előző RLC áramkör példáknak, de csak egy nulla van a számlálóban, ha s = 0. Ehhez az átviteli függvényhez a nyereség

A rezonanciafrekvencia, amely ezt a nyereséget maximalizálja, az

és a nyereség ezen a frekvencián egy, tehát az ellenálláson lévő feszültség az áramkör természetes frekvenciáján rezonál , és ezen a frekvencián az ellenálláson lévő feszültség amplitúdója megegyezik a bemeneti feszültség amplitúdójával.

Antirezonancia

Egyes rendszerek antirezonanciát mutatnak , amely ugyanúgy elemezhető, mint a rezonancia. Az antirezonancia esetében a rendszer válaszának amplitúdója bizonyos frekvenciákon aránytalanul kicsi , nem pedig aránytalanul nagy. Az RLC áramkör példájában ez a jelenség megfigyelhető az induktivitás és a kondenzátor együttes elemzésével.

Tegyük fel, hogy az RLC áramkörben érdekelt kimeneti feszültség az induktivitáson és a kondenzátoron keresztül sorba kapcsolt feszültség . Egyenlet ( 4 ) azt mutatták, hogy az összeget a feszültségek a három áramköri elemeket összegeket a bemeneti feszültség, így mérjük a kimeneti feszültség, mint az összege az induktivitás és a kapacitás feszültségek egyesítjük ugyanaz, mint v a mínusz a feszültségesést az ellenálláson . Az előző példa azt mutatta, hogy a rendszer természetes frekvenciáján az ellenállás feszültségcsökkenésének amplitúdója megegyezik a v in amplitúdójával , ezért az induktivitás és a kondenzátor együttes feszültsége nulla amplitúdóval rendelkezik. Ezt megmutathatjuk az átviteli funkcióval.

Az induktivitás és a kondenzátor feszültségeinek összege

Az előző példákkal megegyező természetes frekvencia és csillapítási arányok alkalmazásával az átviteli függvény

Ne feledje, hogy ennek az átvitelnek ugyanazok a pólusai vannak, mint az előző példáknak, de nulla a

 

 

 

 

( 7 )

Az átviteli függvényt a képzeletbeli tengely mentén értékelve annak nyeresége

Ahelyett megjelenés rezonancia, azaz csúcsok a nyereség, észreveszi, hogy a nyereség megy nullára ω = ω 0 , amely kiegészíti az elemzés az ellenállás feszültsége. Ezt hívják antirezonanciának , amelynek a rezonancia ellenkező hatása van. Ahelyett, hogy ezen a frekvencián aránytalanul nagy kimeneteket eredményezne, ez az áramkör ezzel a kimeneti választással egyáltalán nem reagál ezen a frekvencián. A kiszűrt frekvencia pontosan megfelel az átviteli függvény nulláinak, amelyeket a ( 7 ) egyenlet mutatott, és a képzeletbeli tengelyen voltak.

A rezonancia és a frekvenciaválasz összefüggései az RLC sorozatú áramkör példájában

Ezek az RLC áramkörök példái illusztrálják, hogy a rezonancia hogyan függ össze a rendszer frekvenciaválaszával. Konkrétan ezek a példák illusztrálják:

  • Hogyan lehet megtalálni a rezonanciafrekvenciákat, ha csúcsokat keres a rendszer bemenete és kimenete közötti átviteli függvény erősítésében, például egy Bode nagyságrendű diagramban
  • Hogyan lehet egy rendszer rezonanciafrekvenciája eltérő a rendszer kimenetének különböző választása esetén
  • A rendszer természetes frekvenciája, a rendszer csillapítási aránya és a rendszer rezonanciafrekvenciája közötti kapcsolat
  • A rendszer természetes frekvenciája és az átviteli függvény pólusainak nagysága közötti kapcsolat, amint az ( 5 ) egyenlet rámutat , és ezért kapcsolat a pólusok és a rezonanciafrekvencia között
  • Kapcsolat az átviteli függvény nullái és a nyereség alakja között a frekvencia függvényében, ezért kapcsolat a nullák és a rezonanciafrekvencia között, amely maximalizálja a nyereséget
  • Kapcsolat az átviteli függvény nullái és az antirezonancia között

A következő szakasz ezeket a fogalmakat kiterjeszti a rezonanciára egy általános lineáris rendszerben.

Általános rezonancia és antirezonancia lineáris rendszerekhez

Ezután tekintsünk egy tetszőleges lineáris rendszert, több bemenettel és kimenettel. Például az állapot-tér ábrázolásban egy harmadik rendű lineáris időinvariáns rendszer három bemenettel és két kimenettel írható

ahol u i ( t ) a bemenetek, x i (t) az állapotváltozók, y i ( t ) a kimenetek, A , B , C és D pedig a változók közötti dinamikát leíró mátrixok.

Ennek a rendszernek van egy átviteli függvénymátrixa, amelynek elemei a különböző bemenetek és kimenetek közötti átviteli függvények. Például,

Minden H ij ( k ) egy skalár átviteli függvény összekötő egyik bemenetére az egyik kimenet. A fenti RLC áramköri példák egy bemeneti feszültséggel rendelkeztek, és négy lehetséges kimeneti feszültséget mutattak - a kondenzátoron, az induktoron, az ellenálláson, valamint a kondenzátoron és az induktoron keresztül sorosan kombinálva - mindegyiknek saját átviteli funkciója van. Ha az RLC áramkört úgy állítanák be, hogy mind a négy kimeneti feszültséget mérje, akkor ennek a rendszernek 4 × 1 átviteli függvénymátrixa lenne, amely összeköti az egyetlen bemenetet a négy kimenettel.

A képzeletbeli tengely mentén értékelve minden H ij ( ) erősítésként és fáziseltolódásként írható fel,

A nyereség csúcsai bizonyos frekvenciákon megfelelnek az átviteli függvény bemenete és kimenete közötti rezonanciáknak, feltéve, hogy a rendszer stabil .

Minden H ij ( s ) átviteli függvény törtként is írható, amelynek számlálója és nevezője s polinomjai .

A számláló összetett gyökeit nulláknak, a nevező összetett gyökeit pólusoknak nevezzük. Stabil rendszer esetén ezeknek a pólusoknak és nulláknak a helyzete a komplex síkon némi jelzést ad arra vonatkozóan, hogy a rendszer rezonálhat vagy antirezonálhat, és milyen frekvenciákon. Különösen minden stabil vagy minimálisan stabil , összetett konjugált póluspár képzeletbeli komponensekkel írható fel természetes frekvencia és csillapítási arány szerint

mint az ( 5 ) egyenletben . A természetes frekvenciája ω 0 e pólus a nagyságát a helyzet a pólus a komplex síkon, és a csillapítási arány e pólus határozza meg, milyen gyorsan, hogy oszcilláció bomlások. Általánosságban,

  • A képzeletbeli tengely közelében lévő bonyolult konjugált póluspárok a pólus természetes frekvenciájának közelében lévő frekvenciaválasz csúcsának vagy rezonanciájának felelnek meg. Ha a pár pólusok a képzetes tengelye, az erősítés végtelen ezen a frekvencián.
  • A képzeletbeli tengely közelében lévő bonyolult konjugált nullapárok a nulla frekvenciájának közelében lévő bevágásnak vagy antirezonanciának felelnek meg a frekvenciaválaszban, azaz a nulla nagyságával egyenlő frekvenciával. Ha a pár nullák van a képzetes tengelye, a nyereség nulla ezen a frekvencián.

Az RLC áramkör példájában az első általánosítást a pólusok és a rezonancia vonatkozásában az ( 5 ) egyenletben figyeljük meg . A második általánosítást, amely a nullákat az antirezonanciához kapcsolja, a ( 7 ) egyenlet mutatja . A harmonikus oszcillátor, az RLC áramkör kondenzátor feszültsége és az RLC áramkör induktivitási feszültségének példáiban a "pólusok a képzeletbeli tengely közelében" megfelel a szignifikánsan alul csillapított állapotnak ζ <1/ .

Álló hullámok

A rugón lévő tömegnek egyetlen természetes frekvenciája van , mivel egyetlen szabadsági foka van

Egy fizikai rendszernek annyi természetes frekvenciája lehet, amennyi szabadsági foka van, és minden természetes frekvencia közelében rezonálhat. A rugón lévő tömegnek, amelynek egy szabadsági foka van, egy természetes frekvenciája van. A kettős inga , amelynek két szabadsági foka van, két természetes frekvenciája lehet. A csatolt harmonikus oszcillátorok számának növekedésével az energia átviteléhez szükséges idő az egyikről a másikra jelentős lesz. A nagyon nagy szabadságfokú rendszereket inkább folyamatosnak lehet tekinteni , mint diszkrét oszcillátoroknak.

Energiaátvitel egyik oszcillátorról a másikra hullámok formájában. Például a gitár húrja vagy a tál vízfelülete modellezhető kis összekapcsolt oszcillátorok folytonosságaként, és hullámok haladhatnak végig rajtuk. Sok esetben ezek a rendszerek bizonyos frekvenciákon képesek rezonálni, és állóhullámokat képeznek nagy amplitúdójú rezgésekkel rögzített helyzetekben. Az állóhullámok formájában fellépő rezonancia számos ismerős jelenséget megalapoz, mint például a hangszerek által keltett hang, a lézerekben és mikrohullámú sütőkben használt elektromágneses üregek, valamint az atomok energiaszintje.

Állandó hullámok egy húron

állóhullám animációja
Egy állóhullám (feketén), amely akkor jön létre, amikor két, balról és jobbról mozgó hullám találkozik és egymásra épülnek

Ha egy meghatározott hosszúságú karakterláncot egy adott frekvencián hajtunk, akkor egy hullám ugyanazon a frekvencián terjed a húr mentén. A hullámok visszaverődnek a húr végeiről, és végül egy egyenletes állapotot érnek el a mindkét irányba haladó hullámokkal. A hullámforma a hullámok szuperpozíciója .

Bizonyos frekvenciákon úgy tűnik, hogy az egyensúlyi állapotú hullámforma nem halad a húr mentén. A csomópontoknak nevezett rögzített helyzetekben a karakterlánc soha nem mozdul el . A csomópontok között a húr oszcillál, és pontosan a csomópontok között félúton-az anti-csomópontoknak nevezett pozíciókban-az oszcillációk a legnagyobb amplitúdóval rendelkeznek.

Állandó hullámok húrban - az alapvető mód és az első 5 harmonikus .

Egy sor hosszúságú fix végei, az elmozdulás a húr merőleges az -tengely időpontban van

ahol

  • az amplitúdó a bal- és jobb-utazó hullámok zavaró alkotnak az állóhullám,
  • ez a hullám száma ,
  • a frekvencia .

A rezonáló és állóhullámokat alkotó frekvenciák a karakterlánc hosszahoz kapcsolódnak

,

hol van a hullám sebessége, és az egész szám különböző módokat vagy felharmonikusokat jelöl . Az = 1 állóhullám az alapfrekvencián oszcillál, és hullámhossza kétszerese a húr hosszának. A lehetséges rezgési módok harmonikus sorozatot alkotnak .

Típusok

Mechanikus és akusztikus

Iskolai rezonancia tömeges kísérlet

Mechanikai rezonancia az a tendencia, egy mechanikus rendszer elnyelni több energiát, ha a frekvencia annak rezgések megegyezik a rendszer természetes frekvenciája rezgés , mint ez más frekvenciákon. Erőteljes imbolygó mozgásokat, sőt katasztrofális meghibásodást okozhat a nem megfelelően felépített szerkezetekben, beleértve a hidakat, épületeket, vonatokat és repülőgépeket. Objektumok tervezésekor a mérnököknek gondoskodniuk kell arról, hogy az alkatrészek mechanikai rezonanciafrekvenciái ne egyezzenek meg a motorok vagy más rezgő alkatrészek rezgőfrekvenciájával, ami a rezonanciakatasztrófa néven ismert jelenség .

A rezonanciakatasztrófák elkerülése minden épület, torony és híd építési projektnél nagy gondot jelent . Ellenintézkedésként sokk -rögzítők szerelhetők fel a rezonanciafrekvenciák elnyeléséhez és ezáltal az elnyelt energia elvezetéséhez. A Taipei 101 épület 660 tonnás inga (730 rövid tonna)-hangolt tömegcsillapító -támaszkodik a rezonancia megszüntetésére. Továbbá a szerkezetet úgy tervezték, hogy olyan frekvencián rezonáljon, amely általában nem fordul elő. A szeizmikus zónákban lévő épületeket gyakran úgy építik, hogy figyelembe vegyék a várható talajmozgás lengő frekvenciáit. Ezenkívül a motorral rendelkező objektumokat tervező mérnököknek gondoskodniuk kell arról, hogy az alkatrészek mechanikai rezonanciafrekvenciái ne egyezzenek meg a motorok vagy más erősen lengő alkatrészek mozgó rezgési frekvenciájával.

Az órák mechanikai rezonanciával tartják az időt egyensúlyozó kerékben , inga vagy kvarckristályban .

A futók ritmusát feltételezték, hogy energetikailag kedvezőek az alsó végtagban tárolt rugalmas energia és a futó tömege közötti rezonancia miatt.

Az akusztikus rezonancia a mechanikai rezonancia egyik ága, amely az emberi hallás frekvenciatartományának mechanikai rezgéseivel foglalkozik, más szóval a hanggal . Az emberek számára a hallás általában a 20 Hz és 20 000 Hz (20  kHz ) közötti frekvenciákra korlátozódik  . Sok tárgy és anyag rezonátorként működik, ezen a tartományon belüli rezonanciafrekvenciával, és amikor megüti, mechanikusan vibrál, a környezeti levegőt nyomja, hogy hanghullámokat hozzon létre . Ez a sok ütőhang forrása, amit hallunk.

Akusztikus rezonancia fontos szempont eszköz építők, mint a legtöbb akusztikus hangszerek használatához rezonátor , mint például a húrok és a test egy hegedű , a cső hossza a fuvola , és az alakja, és feszültséget, a dob membrán.

A mechanikai rezonanciához hasonlóan az akusztikus rezonancia is a katasztrofális meghibásodást eredményezheti a rezonanciában. Ennek klasszikus példája a borospohár hanggal történő törése az üveg pontos rezonanciafrekvenciáján, bár ez a gyakorlatban nehéz.

Nemzetközi Űrállomás

A rakéta motorok a Nemzetközi Űrállomás (ISS) vezérli, mely robotpilóta . Általában a Zvezda modul motorvezérlő rendszerének vezérlésére feltöltött paraméterek arra késztetik a rakétamotorokat, hogy magasabb pályára lökjék a Nemzetközi Űrállomást. A rakéta motorjai csuklópántosak , és a személyzet általában nem veszi észre a műveletet. 2009. január 14 -én azonban a feltöltött paraméterek arra késztették az autopilotát, hogy egyre nagyobb rezgésekben, 0,5 Hz frekvencián lendítse a rakétahajtóműveket. Ezeket az ingadozásokat videóra rögzítették, és 142 másodpercig tartottak.

Elektromos

Animáció elektromos rezonanciát szemléltet egy hangolt áramkörben , amely egy kondenzátorból (C) és egy induktorból (L) van összekapcsolva. A töltés oda -vissza áramlik a kondenzátor lemezek között az induktoron keresztül. Az energia ide -oda ingadozik a kondenzátor elektromos mezője ( E ) és az induktor mágneses tere ( B ) között.

Elektromos rezonancia akkor fordul elő egy elektromos áramkörben, ha egy adott rezonanciafrekvencia van, amikor az áramkör impedanciája minimális egy soros áramkörben, vagy maximum egy párhuzamos áramkörben (általában akkor, amikor az átviteli függvény abszolút értékben csúcsosodik ki). Az áramkörök rezonanciáját vezeték nélküli kommunikáció, például televízió, mobiltelefonok és rádió adására és vételére egyaránt használják.

Optikai

Az optikai üreg , más néven optikai rezonátor , a tükrök elrendezése, amely állóhullámüreg -rezonátort képez a fényhullámok számára . Az optikai üregek a lézerek fő alkotóelemei , körülveszik az erősítő közeget és visszajelzést adnak a lézerfényről. Ezeket optikai paraméteres oszcillátorokban és néhány interferométerben is használják . Az üregbe zárt fény többszörösen tükröződik, és bizonyos rezonanciafrekvenciákhoz állóhullámokat kelt. Az előállított állóhullám mintákat "módoknak" nevezik. A hosszirányú módok csak frekvenciában különböznek, míg a keresztirányú módok különböző frekvenciákon különböznek, és különböző intenzitású mintázatúak a sugár keresztmetszetében. A gyűrűrezonátorok és a suttogó galériák példák az állóhullámokat nem képező optikai rezonátorokra.

A különböző rezonátor típusokat a két tükör gyújtótávolsága és a köztük lévő távolság különbözteti meg; a lapos tükröket nem gyakran használják, mert nehéz őket pontosan beállítani. A geometriát (rezonátor típus) úgy kell megválasztani, hogy a sugár stabil maradjon, azaz a sugár mérete ne nőjön tovább minden visszaverődésnél. A rezonátor típusokat úgy is tervezték, hogy megfeleljenek más kritériumoknak, például a minimális fénysugárnak, vagy ha nincsenek fókuszpontjaik (és ezért az intenzív fény ezen a ponton) az üregben.

Optikai üregek vannak kialakítva, hogy van egy nagyon nagy Q tényező . Egy sugár sokszor tükröződik, kis csillapítással - ezért a sugár frekvenciavonal szélessége kicsi a lézer frekvenciájához képest.

További optikai rezonanciák az irányított módú rezonanciák és a felszíni plazmonrezonanciák , amelyek rendellenes tükröződést és magas rezonanciamezőket eredményeznek. Ebben az esetben a rezonanciamódok egy hullámvezető vagy egy dielektromos-fém interfész felszíni plazmon módjai. Ezeket az üzemmódokat általában egy hullámhossz alatti rács gerjeszti.

Orbitális

Az égi mechanika , egy orbitális rezonancia keletkezik, ha két keringő testek fejtenek ki rendszeres, periodikus gravitációs hatása egymásra, általában miatt keringési idő vannak kapcsolatban arányban két kis egész számok. Az orbitális rezonanciák nagymértékben fokozzák a testek kölcsönös gravitációs hatását. A legtöbb esetben ez instabil kölcsönhatást eredményez , amelyben a testek lendületet cserélnek és pályákat tolnak, amíg a rezonancia már nem létezik. Bizonyos körülmények között a rezonanciarendszer stabil és önjavító lehet, így a testek rezonanciában maradnak. Ilyen például a Jupiter holdjainak Ganymede , Europa és Io 1: 2: 4 -es rezonanciája , valamint a Plútó és a Neptunusz 2: 3 -as rezonanciája . A Szaturnusz belső holdjaival való instabil rezonancia réseket okoz a Szaturnusz gyűrűiben . Az 1: 1 rezonancia különleges esete (hasonló keringési sugarú testek között) arra készteti a Naprendszer nagy testeit, hogy szinte minden mást kilökve körülöttük kitisztítsák a pályájuk környékét; ezt a hatást használják a bolygó jelenlegi definíciójában .

Atomi, részecske és molekuláris

NMR-mágnes a HWB-NMR-nél, Birmingham, Egyesült Királyság. Erős 21,2 tesla mezőjében a proton rezonancia 900 MHz-en van.

Nukleáris mágneses rezonancia (NMR) a neve, hogy egy fizikai rezonancia jelenség magában a megfigyelés a konkrét kvantummechanikai mágneses tulajdonságainak egy atomi mag jelenlétében egy alkalmazott, külső mágneses tér. Számos tudományos technika használja ki az NMR jelenségeket molekuláris fizika , kristályok és nem kristályos anyagok tanulmányozására NMR spektroszkópiával . Az NMR -t rendszeresen használják a fejlett orvosi képalkotó technikákban is, például a mágneses rezonancia képalkotásban (MRI).

Minden páratlan számú nukleont tartalmazó mag belső mágneses nyomatékkal és szögmomentummal rendelkezik . Az NMR egyik legfontosabb jellemzője, hogy egy adott anyag rezonanciafrekvenciája közvetlenül arányos az alkalmazott mágneses mező erősségével. Ezt a tulajdonságot használják ki a képalkotó technikákban; ha a mintát nem egyenletes mágneses mezőbe helyezzük, akkor a minta magjainak rezonanciafrekvenciája attól függ, hogy a mezőben hol találhatók. Ezért a részecske rezonanciafrekvenciája alapján egészen pontosan elhelyezhető.

Az elektronparamágneses rezonancia , más néven elektron -spin -rezonancia (ESR) az NMR -hez hasonló spektroszkópiai technika, de helyette párosítatlan elektronokat használ. Azok az anyagok, amelyekre ez alkalmazható, sokkal korlátozottabbak, mivel az anyagnak párosítatlan centrifugálással és paramagnetikusnak kell lennie .

A Mössbauer -effektus a gamma -sugárzású fotonok rezonáns és visszarúgásmentes emissziója és abszorpciója a szilárd formában kötött atomok által.

A részecskefizika rezonanciája hasonló körülmények között jelenik meg, mint a klasszikus fizika a kvantummechanika és a kvantumtér -elmélet szintjén . A rezonanciákat instabil részecskéknek is lehet tekinteni, a jelen cikk Univerzális rezonanciagörbe szakaszában szereplő képletet kell alkalmazni, ha Γ a részecske bomlási sebessége és Ω a részecske M tömege . Ebben az esetben a képlet a részecske szaporítójából származik , tömegét az M  +  komplex számmal helyettesítve . A képlet a részecske bomlási sebességéhez kapcsolódik az optikai tétel által .

Hátrányok

A keskeny és szerkezetileg rugalmas hídon rendszeresen menetelő katonák oszlopa veszélyesen nagy amplitúdójú rezgéseket hozhat létre . 1831. április 12 -én összeomlott a Broughton függőhíd az angliai Salford közelében , miközben brit katonák egy csoportja vonult át rajta. Azóta a brit hadsereg állandó parancsot kapott arra, hogy a katonák lépjenek fel a hidakon való menetelés során, hogy elkerüljék a hídra kiható szabályos menetmintájukból adódó rezonanciát.

A motor vagy motor rezgése rezonancia rezgést válthat ki a tartószerkezetekben, ha azok természetes frekvenciája közel van a motor rezgéséhez. Gyakori példa a busztest zörgő hangja, amikor a motor üresjáratban marad.

A felfüggesztett híd szerkezeti rezonanciája szél okozta katasztrofális összeomlásához vezethet. Európában és az Egyesült Államokban számos korai függőhidat elpusztított a szerény szél okozta szerkezeti rezonancia. A Tacoma Narrows híd 1940. november 7 -i összeomlását a fizika a rezonancia klasszikus példájaként jellemzi. Robert H. Scanlan és mások azzal érveltek, hogy a pusztítást ehelyett az aeroelasztikus remegés , a híd és a rajta áthaladó szelek közötti bonyolult kölcsönhatás okozta -egy példa az önrezgésre vagy egyfajta "önfenntartó rezgésre" "ahogy a rezgések nemlineáris elmélete is említi.

Q tényező

Magas és alacsony Q tényező

A Q faktor vagy a minőségi tényező egy dimenzió nélküli paraméter, amely leírja, hogy hogyan alatti csillapított egy oszcillátor vagy rezonátor, és jellemzi a sávszélesség egy rezonátor képest a középfrekvencia. A Q magas értéke alacsonyabb energiaveszteséget jelez a tárolt energiához képest, azaz a rendszer enyhén csillapodik. A paramétert az alábbi egyenlet határozza meg:

.

Minél magasabb a Q tényező, annál nagyobb az amplitúdó a rezonancia frekvencián, és annál kisebb a sávszélesség vagy a rezonancia körüli frekvenciatartomány. Elektromos rezonancia esetén a rádióvevőben lévő magas Q áramkör nehezebben hangolható, de nagyobb szelektivitással rendelkezik , és így jobban kiszűrné a többi állomás jeleit. A magas Q oszcillátorok stabilabbak.

A normál esetben alacsony Q -tényezőjű példák közé tartoznak az ajtócsukók (Q = 0,5). A magas Q tényezőjű rendszerek közé tartoznak a hangvillák (Q = 1000), az atomórák és a lézerek (Q≈10 11 ).

Univerzális rezonancia görbe

"Univerzális rezonanciagörbe", a rezonanciaáramkör normalizált válaszának szimmetrikus közelítése; az abszcissza értékek a középfrekvenciától való eltérés, a középfrekvencia egységeiben osztva 2Q -val; az ordinátum a relatív amplitúdó és a fázis ciklusokban; szaggatott görbék összehasonlítják a valódi kétpólusú áramkörök választartományát 5 Q érték esetén; magasabb Q értékek esetén kisebb az eltérés az univerzális görbétől. A keresztek jelzik a 3 dB -es sávszélesség széleit (erősítés 0,707, fáziseltolás 45 ° vagy 0,125 ciklus).

A rezonancia pontos válasza, különösen a rezonanciafrekvenciától távol eső frekvenciák esetében, a fizikai rendszer részleteitől függ, és általában nem pontosan szimmetrikus a rezonanciafrekvenciával, amint azt a fenti egyszerű harmonikus oszcillátor szemlélteti . Egy enyhén csillapított lineáris oszcillátor rezonancia frekvenciája Ω , a intenzitása rezgések I amikor a rendszert hajtott egy gerjesztőfrekvenciákon ω jellemzően közelíthető egy formula, amely szimmetrikus az rezonancia frekvencia:

Ahol az érzékenység összekapcsolja az oszcillátor amplitúdóját a frekvenciatér hajtóerejével:

Az intenzitást az oszcillációk amplitúdójának négyzeteként határozzuk meg. Ez egy Lorentz -függvény vagy Cauchy -eloszlás , és ez a válasz megtalálható sok rezonanciarendszert érintő fizikai helyzetben. Γ az oszcillátor csillapításától függő paraméter, és a rezonancia vonalszélességeként ismert . Az erősen csillapított oszcillátorok általában széles vonalszélességgel rendelkeznek, és a rezonanciafrekvencia körüli szélesebb frekvenciatartományra reagálnak. A vonalszélesség fordítottan arányos a Q tényezővel, amely a rezonancia élességének mértéke.

A rádiótechnika és az elektronika területén ezt a hozzávetőleges szimmetrikus választ univerzális rezonanciagörbének nevezik , ezt a koncepciót Frederick E. Terman vezette be 1932 -ben, hogy egyszerűsítse a rádióáramkörök közelítő elemzését egy sor középfrekvenciával és Q értékkel

Lásd még

Megjegyzések

Hivatkozások

Külső linkek