Bevételi egyenértékűség - Revenue equivalence

Része egy sor on
Árverés
Típusok
Teljes fizetés Cserekereskedelem kettős brazil Calcutta Gyertya kínai Kombinatorikus Közös érték Halasztott elfogadás Diszkriminatív ár Kettős holland angol Előre Francia Általános első ár Általános második ár japán Többattribútumú Több egység Nincs tartalék Fordított skót Első áron lezárva svéd Egységes ár Egyedi ajánlat A bevételek értéke Vickrey Walrasian jenki
Licitálás
Ajánlat árnyékolása Kalória licitantis Törlésvadász Összejátszás Ugrás licitálás Sniping
Összefüggések
Algoritmusok Autók Művészet Adomány Gyermekek Krikettjátékosok Domain nevek Kibocsátási engedélyek Virágok Rabszolgák Spektrum Bélyegek Szüzesség Bor Feleségek
Elmélet
Digitális termékek Anarchia ára Bevételi egyenértékűség Nyertes átka
Online
Ebidding Elektronikus magánpiac Szoftver
v t e

A bevételi egyenértékűség az aukcióelmélet egyik fogalma, amely kimondja, hogy bizonyos feltételek mellett minden olyan mechanizmus, amely ugyanazt az eredményt eredményezi (azaz tételeket oszt fel ugyanazoknak az ajánlattevőknek), szintén azonos várható bevétellel rendelkezik.

Jelölés

Van egy sor lehetséges eredmény. ${\ displaystyle X}$

Vannak olyan ügynökök, amelyeknek az egyes eredményekhez különböző értékelése van. Az ügynök értékelése (más néven "típusa") függvényként jelenik meg: ${\ displaystyle n}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle v_ {i}: X \ longrightarrow R _ {\ geq 0}}$

amely az egyes alternatívákra vonatkozó értékét pénzben kifejezi.

Az ügynökök kvazilináris hasznossági funkciókkal rendelkeznek; ez azt jelenti, hogy ha az eredmény és ezen felül az ügynök fizetést kap (pozitív vagy negatív), akkor az ügynök teljes hasznossága : ${\ displaystyle x}$${\ displaystyle p_ {i}}$${\ displaystyle i}$

${\ displaystyle u_ {i}: = v_ {i} (x) + p_ {i}}$

Az összes értékfüggvény vektorát a jelöli . ${\ displaystyle v}$

Minden ágens esetében a többi ágens összes értékfüggvényének vektorát jelöljük . Tehát . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle v _ {- i}}$${\ displaystyle v \ equiv (v_ {i}, v _ {- i})}$

A mechanizmus egy pár funkció:

• Olyan függvény, amely bemenetként veszi az értékvektort és eredményt ad vissza ( társadalmi választási függvénynek is nevezik ); ${\ displaystyle eredmény}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle x \ in X}$
• Egy függvény, amely bemenetként veszi az értékvektort és visszatér a fizetések vektorához , meghatározva, hogy mennyit kell kapnia minden játékosnak (a negatív fizetés azt jelenti, hogy a játékosnak pozitív összeget kell fizetnie). ${\ displaystyle Payment}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle (p_ {1}, \ pontok, p_ {n})}$

Az ágensek típusai független, azonos eloszlású véletlen változók . Így egy mechanizmus indukál egy bayesi játékot , amelyben a játékos stratégiája az általa közölt típus, a valódi típus függvényében. Azt mondják, hogy egy mechanizmus kompatibilis a Bayes-Nash ösztönzőkkel, ha van egy Bayes-Nash egyensúly , amelyben minden játékos beszámol a valódi típusáról.

Nyilatkozat

Ezen feltételezések szerint a bevétel-ekvivalencia tétel a következőket mondja ki.

Bármely két Bayes-Nash ösztönzővel kompatibilis mechanizmus esetében, ha:

• A funkció mindkét mechanizmusban ugyanaz, és: ${\ displaystyle eredmény}$
• Bizonyos típusok esetében a játékos várható fizetése (a többi játékos típusára átlagolva) mindkét mechanizmusban megegyezik; ${\ displaystyle v_ {i} ^ {0}}$${\ displaystyle i}$
• Minden játékos értékelése egy pályához kapcsolt készletből származik,

azután:

• Minden típusú várható kifizetések mindkét mechanizmusban megegyeznek, ezért:
• A várható bevétel (- a kifizetések összege) mindkét mechanizmusban megegyezik.

Példa

Klasszikus példa az aukciós mechanizmusok párja: első árverés és második árverés . Az első ár aukciónak van egy változata, amely kompatibilis a Bayes-Nash ösztönzővel; a második ár aukció domináns stratégiai ösztönzővel kompatibilis, ami még erősebb, mint a Bayes-Nash ösztönzővel kompatibilis. A két mechanizmus teljesíti a tétel feltételeit, mert:

• A funkció mindkét mechanizmusban azonos - a legmagasabb ajánlatot tevő nyeri meg az elemet; és: ${\ displaystyle eredmény}$
• Az a játékos, aki a tételt 0-nak értékeli, mindkét mechanizmusban 0-t fizet.

Valójában az egyes játékosok várható fizetése mindkét aukcióban megegyezik, és az árverésvezető bevétele azonos; a részletekért lásd az első áras zárt licit aukciót .

Aukciós mechanizmusok egyenértékűsége egy tételes aukciókon

Valójában bevétel-ekvivalenciával igazolhatjuk, hogy sok aukciótípus bevétel-egyenértékű. Például az első árverés, a második árverés és az összes fizetéses aukció mind bevétel-egyenértékű, ha az ajánlattevők szimmetrikusak (vagyis értékeléseik függetlenek és azonos eloszlásúak).

Második árverés

Vegyük fontolóra a második árú egy tételes aukciót , amelyben a legmagasabb licitet kapott játékos fizeti a második legmagasabb ajánlatot. Optimális, ha minden játékos a saját értékét ajánlja fel . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle b_ {i} = v_ {i}}$

Tegyük fel, hogy megnyeri az aukciót, és kifizeti a második legmagasabb ajánlatot, vagy . Az aukció bevétele egyszerűen . ${\ displaystyle i}$${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$

Első árverés

Az első árverésen , ahol a legmagasabb licitet tevő játékos egyszerűen megfizeti az ajánlatát, ha az összes játékos licitálási funkcióval licitál, ez Nash-egyensúly. ${\ displaystyle b (v) = E (\ max _ {j \ neq i} v_ {j} ~ | ~ v_ {j} \ leq v ~ \ forall ~ j),}$

Más szavakkal, ha minden játékos olyan ajánlatot tesz, hogy a második legmagasabb ajánlat várható értékét ajánlja fel, feltételezve, hogy az övéké volt a legmagasabb, akkor egyetlen játékos sem ösztönzi az eltérést. Ha ez igaz lenne, akkor könnyen belátható, hogy az aukció várható bevétele akkor is megegyezik, ha megnyeri az aukciót. ${\ displaystyle \ max _ {j \ neq i} b_ {j}}$${\ displaystyle i}$

Bizonyíték

Ennek bizonyításához tegyük fel, hogy az 1. játékos ott ajánlkozik, és blöfföl, hogy értéke inkább az, mint az . Olyan értéket szeretnénk találni , amely maximalizálja a játékos várható kifizetését. ${\ displaystyle b (z)}$${\ displaystyle z <v}$${\ displaystyle z}$${\ displaystyle v}$${\ displaystyle z}$

A győzelem valószínűsége ekkor . Az ajánlat várható költsége . Ekkor egy játékos várható kifizetése az ${\ displaystyle Pr (\ max _ {i> 1} v_ {i} <z)}$${\ displaystyle E (\ max _ {i> 1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i} <z ~ \ összes ~ i)}$

${\ displaystyle Pr (\ max _ {i> 1} v_ {i} <z) (vE (\ max _ {i> 1} v_ {i} ~ | ~ v_ {i} <z ~ \ összes ~ i) )}$

Legyen , egy véletlen változó. Ezután a fentieket úgy írhatjuk át ${\ displaystyle X = \ max _ {i> 1} v_ {i}}$

${\ displaystyle Pr (X <z) (vE (X ~ | X \ leq z))}$ .

Az általános tény felhasználásával a fentieket úgy írhatjuk át ${\ displaystyle E (X ~ | ~ X \ leq z) \ cdot Pr (X <z) = \ int _ {0} ^ {z} Pr (X <z) -Pr (X <y) dy}$

${\ displaystyle Pr (X <z) \ cdot v-Pr (X <z) \ cdot z + \ int _ {0} ^ {z} Pr (X <y) dy}$ .

Származékokat figyelembe véve megkapjuk ${\ displaystyle z}$

${\ displaystyle Pr (X <z) '(vz) = 0 \ Rightarrow v = z}$ .

Így az Ön értékével történő licitálás maximalizálja a játékos várható kifizetését. Mivel a monoton növekszik, ellenőrizzük, hogy ez valóban egy maximális pont. ${\ displaystyle v}$${\ displaystyle Pr (X <z)}$

Angol aukció

A nyílt emelkedő ár aukción (más néven angol aukció ) a vevő domináns stratégiája az, hogy addig marad az aukción, amíg a kért ár meg nem egyezik az értékével. Aztán, ha ő az utolsó, aki megmaradt az arénában, nyer és kifizeti a második legmagasabb ajánlatot.

Tekintsük két vevő esetét, amelyek értéke független a [0,1] támogatású eloszlásból, az F (v) kumulatív eloszlásfüggvényből és az f (v) valószínűségi sűrűségfüggvényből. Ha a vevők domináns stratégiájuk szerint viselkednek, akkor az v értékű vevő nyer, ha ellenfele x értéke alacsonyabb. Így nyerési valószínűsége az

${\ displaystyle w = \ Pr \ {x <v \} \ equiv F (v)}$

és várható fizetése az

${\ displaystyle C (v) = \ int \ korlátozza _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx}$

A várható fizetés tehát a nyerés feltétele

${\ displaystyle e (v) = {\ frac {C (v)} {F (v)}} = {\ frac {\ int \ korlátozza _ {0} ^ {v} {} xf (x) dx} { F (v)}}}$

Ha mindkét oldalt megszorozzuk F (v) -vel és differenciáljuk v-vel, az e (v) következő differenciálegyenletét kapjuk.

${\ displaystyle {e} '(v) F (v) + e (v) f (v) = vf (v)}$ .

Ennek az egyenletnek az átrendezése,

${\ displaystyle {e} '(v) = {\ frac {f (v)} {F (v)}} (ve (v))}$

Legyen B (v) az egyensúlyi vételi függvény a lezárt első árverésen. A bevételi egyenértékűséget úgy állapítjuk meg, hogy megmutatjuk, hogy B (v) = e (v), vagyis az egyik aukción a nyertes egyensúlyi kifizetése megegyezik a másik győztesének várható egyensúlyi fizetésével.

Tegyük fel, hogy a vevő értéke v és ajánlatot tesz b-re. Ellenfele az egyensúlyi ajánlattételi stratégia szerint licitál. Az ellenfél licit-eloszlásának támogatottsága [0, B (1)]. Így bármely legalább B (1) licit 1 valószínűséggel nyer. Ezért a legjobb b ajánlat a [0, B (1)] intervallumban rejlik, így ezt az ajánlatot b = B (x) formában írhatjuk, ahol x fekszik a [0,1] -ben. Ha az ellenfél értéke y, akkor B (y) -t licitál. Ezért a győzelem valószínűsége az

${\ displaystyle w = \ Pr \ {b <B (y) \} = \ Pr \ {B (x) <B (y) \} = \ Pr \ {x <y \} = F (v)}$ .

A vevő várható kifizetése a győzelem valószínűségének a szorzata a nettó nyeresége, ha nyer, vagyis

${\ displaystyle U = w (vB (x)) = F (x) (vB (x))}$ .

Differenciálás, a maximum feltétele a szükséges

${\ displaystyle {U} '(x) = f (x) (vB (x)) - F (x) {B}' (x) = F (x) \ bal ({\ frac {f (x)} {F (x)}} (vB (x)) - {B} '(x) \ jobbra = 0}$ .

Ez az, ha B (x) a vevő legjobb válasza, akkor meg kell felelnie ennek az első rendelési feltételnek. Végül megjegyezzük, hogy ahhoz, hogy B (v) legyen az egyensúlyi ajánlatfüggvény, a vevő legjobb válaszának B (v) -nak kell lennie. Így x = v. X helyettesítése a szükséges állapotban,

${\ displaystyle {\ frac {f (v)} {F (v)}} (vB (v)) - {B} '(v) = 0}$ .

Vegye figyelembe, hogy ez a differenciálegyenlet megegyezik az e (v) értékével. Mivel e (0) = B (0) = 0, ebből következik . ${\ displaystyle B (v) = e (v)}$

Bevételi egyenértékűség az ajánlattételi függvények előrejelzéséhez

A bevétel egyenértékűségével megjósolhatjuk a játékban szereplő játékos ajánlattételi funkcióját. Vegyük figyelembe a második árverés két játékos változatát és az első ár aukciót, ahol minden játékos értéke egységesen származik . ${\ displaystyle [0,1]}$

Második árverés

A második árverésen az első játékos várható fizetése a következőképpen számítható ki:

${\ displaystyle E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {1-es játékos nyer}}) P ({\ text {1-es játékos nyer}}) + E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {Az 1. játékos veszít}}) P ({\ text {Az 1. játékos veszít}})}$

Mivel a játékosok egy második árverésen hűen licitálnak, minden árat kicserélhetünk a játékosok értékére. Ha az 1. játékos nyer, akkor azt fizeti, amelyik 2. játékos licitál, ill . Az 1. játékos maga licitál . Mivel a fizetés nulla, amikor az 1. játékos veszít, a fenti ${\ displaystyle p_ {2} = v_ {2}}$${\ displaystyle p_ {1} = v_ {1}}$

${\ displaystyle E (v_ {2} ~ | ~ v_ {2} <v_ {1}) P (v_ {2} <v_ {1}) + 0}$

Mivel egységes eloszlásból származnak, ezt leegyszerűsíthetjük ${\ displaystyle v_ {1}, v_ {2}}$

${\ displaystyle {\ frac {v_ {1}} {2}} \ cdot v_ {1} = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

Első árverés

A bevétel egyenértékűségével előállíthatjuk a megfelelő szimmetrikus ajánlattételi függvényt az első árverésen. Tegyük fel, hogy az első árverésen minden játékos rendelkezik ajánlattételi funkcióval , ahol ez a funkció még nem ismert. ${\ displaystyle b (v)}$

Az 1. játékos várható fizetése ebben a játékban ekkor lesz

${\ displaystyle E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {1-es játékos nyer}}) P ({\ text {1-es játékos nyer}}) + E ({\ text {Payment}} ~ | ~ {\ text {Az 1. játékos veszít}}) P ({\ text {Az 1. játékos veszít}})}$ (mint fent)

Most egy játékos egyszerűen fizeti, amit a játékos ajánl, és tegyük fel, hogy a magasabb értékű játékosok továbbra is nyernek, így a nyerés valószínűsége egyszerűen egy játékos értéke, mint a második árverésen. Később megmutatjuk, hogy ez a feltételezés helyes volt. A játékos ismét nem fizet semmit, ha elveszíti az aukciót. Ezután megszerezzük

${\ displaystyle b (v_ {1}) \ cdot v_ {1} +0}$

Az árbevétel-egyenértékűség elvével ezt a kifejezést össze tudjuk egyenlíteni a fentiekben kiszámított második árverés árbevételével:

${\ displaystyle b (v_ {1}) \ cdot v_ {1} = {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

Ebből következtethetünk az ajánlattételi függvényre:

${\ displaystyle b (v_ {1}) = {\ frac {v_ {1}} {2}}}$

Vegye figyelembe, hogy ezzel az ajánlattételi funkcióval továbbra is a magasabb értékű játékos nyer. Megmutathatjuk, hogy ez a helyes egyensúlyi ajánlattételi funkció további módon, gondolkodva azon, hogy egy játékosnak maximalizálnia kell az ajánlatát, tekintettel arra, hogy az összes többi játékos ezzel az ajánlattételi funkcióval licitál. Lásd az első áras zárt licit aukciót .

Minden fizetéses aukciók

Hasonlóképpen tudjuk, hogy az 1. játékos várható fizetése a második árverésen van , és ennek meg kell egyeznie a teljes fizetéses aukció várható fizetésével , azaz ${\ displaystyle {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}}}$

${\ displaystyle {\ frac {v_ {1} ^ {2}} {2}} = b (v_ {1})}$

Így a minden fizetéses aukció minden játékosának ajánlattételi funkciója az ${\ displaystyle {\ frac {v ^ {2}} {2}}}$

Következmények

A tétel fontos következménye, hogy minden egy tételes aukción, amely feltétel nélkül adja a tételt a legmagasabb ajánlatot tevőnek, ugyanaz a várható bevétel. Ez azt jelenti, hogy ha növelni akarjuk az aukcióvezető bevételét, akkor az eredményfüggvényt meg kell változtatni. Ennek egyik módja az, hogy a tételnél lefoglalási árat határoz meg . Ez megváltoztatja az Eredmény funkciót, mivel mostantól nem mindig a tételt kapják a legmagasabb ajánlatot tevő személyek. A foglalás árának gondos megválasztásával az aukcióvezető lényegesen magasabb várható bevételt érhet el.

Korlátozások

A bevétel-ekvivalencia tétel néhány fontos esetben megszakad:

• Amikor a játékosok kockázatkerülő kockázat helyett semleges feltételezett fent. Ebben az esetben ismert, hogy az első ár aukciók több bevételt hoznak, mint a második ár aukciók.
• Amikor a játékosok értékelése kölcsönösen függ, pl. Ha az értékelések a világ valamely olyan állapotától függenek, amelyet az ajánlattevők csak részben ismernek (ez összefügg a Nyertes átkával ). Ebben a forgatókönyvben az angol aukció több bevételt generál, mint a másodáras aukció, mivel ez lehetővé teszi az ajánlattevők számára, hogy információkat szerezzenek más játékosok ajánlataiból.

Hivatkozások

• Hartline, Jason, Közelítés a gazdasági tervezésben (PDF) .