Ön -hasonlóság - Self-similarity

Egy Koch-görbe végtelenül ismétlődő ön-hasonlósággal rendelkezik, ha felnagyítjuk.

Szabványos (triviális) ön-hasonlóság.

A matematikában egy önmagához hasonló tárgy pontosan vagy nagyjából hasonló önmagához (vagyis az egésznek ugyanaz az alakja, mint egy vagy több részének). A valós világ számos objektuma, például a partvonalak statisztikailag önmagukhoz hasonlóak: egyes részeik ugyanazokat a statisztikai tulajdonságokat mutatják sok skálán. Az önazonosság a fraktálok jellemző tulajdonsága . A skálainvariancia az önazonosság pontos formája, ahol minden nagyításnál van egy kisebb darabja a tárgynak, amely hasonló az egészhez. Például, egy oldalán a Koch hópehely egyaránt szimmetrikus és léptékinvariáns; az alak megváltoztatása nélkül folyamatosan 3x nagyítható. A fraktálokban nyilvánvaló nem triviális hasonlóságot finom szerkezetük vagy részletességük különbözteti meg tetszőlegesen kis skálákon. Mint egy ellenpélda , mivel bármely része egyenes hasonlíthatnak az egész, részletesebben nem tárt fel.

Azt mondják, hogy az időfejlődő jelenség önhasonló, ha bizonyos megfigyelhető mennyiség különböző időpontokban mért számértéke eltérő, de a megfelelő dimenzió nélküli mennyiség az adott értéknél változatlan marad. Ez akkor fordul elő, ha a mennyiség dinamikus skálázást mutat . Az ötlet csak kiterjesztése két háromszög hasonlóságának. Vegye figyelembe, hogy két háromszög hasonló, ha oldalaik számértékei eltérnek, azonban a megfelelő dimenzió nélküli mennyiségek, például szögeik egybeesnek. ${\ displaystyle f (x, t)}$${\ displaystyle x/t^{z}}$${\ displaystyle f (x, t)}$

Peitgen és mtsai. magyarázza el a fogalmat így:

Ha az ábra egyes részei az egész kicsiny másolatai, akkor az alakot önhasonlónak nevezzük .... Az ábra szigorúan ön-hasonlatos, ha az ábrát fel lehet bontani olyan részekre, amelyek az egész pontos másolatai. Bármely tetszőleges rész az egész ábra pontos másolatát tartalmazza.

Mivel matematikailag a fraktál korlátlan nagyítás mellett ön-hasonlóságot mutathat, ezt fizikailag lehetetlen újra létrehozni. Peitgen és mtsai. javasoljuk az önhasonlás tanulmányozását közelítések segítségével:

Annak érdekében, hogy működési értelmet nyújtsunk az ön-hasonlóság tulajdonságának, szükségszerűen a határérték véges közelítésével foglalkozunk. Ezt a módszert használjuk, amelyet doboz ön-hasonlóságnak fogunk nevezni, amikor a méréseket az ábra véges szakaszain végezzük, különböző méretű rácsok segítségével.

Ezt a szókincset Benoit Mandelbrot vezette be 1964 -ben.

Önállóság

Egy öntapadó fraktál Hausdorff-dimenzióval = 1.8272.

A matematika , self-affinitás van egy jellemzője a fraktál , amelynek darabjai vannak skálázva különböző összegeket az x- és y-irányban. Ez azt jelenti, hogy e fraktál objektumok ön hasonlóságának felméréséhez anizotróp affin transzformáció alkalmazásával át kell méretezni őket .

Meghatározás

Egy kompakt X topológiai tér önmagához hasonló, ha létezik egy véges S halmaz, amely indexel egy nem szurjektív homeomorfizmus halmazt, ${\ displaystyle \ {f_ {s}: s \ in S \}}$

${\ displaystyle X = \ bigcup _ {s \ in S} f_ {s} (X)}$

Ha hívjuk X önhasonló, ha ez az egyetlen nem üres részhalmaza az Y úgy, hogy a fenti egyenlet igaz . Hívjuk ${\ displaystyle X \ Y részhalmaz}$ ${\ displaystyle \ {f_ {s}: s \ in S \}}$

${\ displaystyle {\ mathfrak {L}} = (X, S, \ {f_ {s}: s \ in S \})}$

egy önhasonló szerkezetű . A homeomorfizmusok iterálhatók , ami iterált függvényrendszert eredményez . A függvények összetétele létrehozza a monoid algebrai szerkezetét . Amikor a beállított S csak két elem, a monoid ismert, mint a diadikus monoid . A diadikus monoid végtelen bináris fának tekinthető ; általánosabban, ha a beállított S rendelkezik p elemek, akkor a monoid lehet leírni egy p-adikus fa.

A diadikus monoid automorfizmusai a moduláris csoport ; az automorfizmusok a bináris fa hiperbolikus forgatásaként ábrázolhatók .

Az ön-hasonlóságnál általánosabb fogalom az Én-affinitás .

Példák

Ön-hasonlóság a Mandelbrot-halmazban a Feigenbaum-pont nagyításával (−1.401155189 ..., 0)

A Barnsley páfrány képe, amely affin ön-hasonlóságot mutat

A Mandelbrot-készlet Misiurewicz-pontok környékén is hasonló .

Az önhasonlásnak fontos következményei vannak a számítógépes hálózatok kialakításában, mivel a tipikus hálózati forgalomnak önmagához hasonló tulajdonságai vannak. Például forgalomelméletre mérnöki , csomagkapcsolt adatforgalom mintát úgy tűnik, hogy statisztikailag önhasonló. Ez a tulajdonság azt jelenti, hogy a Poisson-eloszlást használó egyszerű modellek pontatlanok, és az ön-hasonlóság figyelembevétele nélkül tervezett hálózatok valószínűleg váratlan módon működnek.

Hasonlóképpen, a tőzsdei mozgásokat úgy írják le, hogy ön affinitást mutatnak , azaz önmagukhoz hasonlónak tűnnek, ha a bemutatott részletességi szintnek megfelelő affin transzformáción keresztül alakítják át . Andrew Lo leírja a tőzsdei napló-hozam önazonosságát az ökonometriában .

A véges felosztási szabályok hatékony technikát jelentenek az önmagukhoz hasonló halmazok felépítéséhez, beleértve a Cantor halmazt és a Sierpinski háromszöget .

Egy háromszög ismételten felosztva báricentrikus felosztással . A nagy körök kiegészítése Sierpinski szőnyeg lesz

A kibernetikában

Az életképes rendszer modell a Stafford Beer olyan szervezeti modellt egy affin önhasonló hierarchia, amennyiben egy adott életképes rendszer egyik eleme a rendszer Az egyik járható út egy rekurzív szint feljebb, és akik számára az elemek a System One életképes rendszerek egy rekurzív szinttel lejjebb.

A természetben

Közelkép egy Romanesco brokkoli .

Az önazonosság a természetben is megtalálható. Jobbra egy matematikailag generált, tökéletesen önmagához hasonló páfránykép látható , amely markánsan hasonlít a természetes páfrányokhoz. Más növények, mint például a Romanesco brokkoli , erősen hasonlítanak egymásra.

A zenében

• A szigorú kánonok különféle típusú és mennyiségű ön-hasonlóságot mutatnak, akárcsak a fúgák szakaszai .
• A Shepard hang önmagában hasonló a frekvencia- vagy hullámhossztartományokban.
• A dán zeneszerző, Per Nørgård zenéjének nagy részében egy önmagához hasonló egész sorozatot használt, amelyet „végtelen sorozatnak” neveztek.
• A zenei információkeresés kutatási területén az ön-hasonlóság általában arra a tényre utal, hogy a zene gyakran időben ismétlődő részekből áll. Más szóval, a zene önmagához hasonló az időbeli fordítás alatt, nem pedig (vagy kiegészítve) a skálázással.

Lásd még

Hivatkozások

Külső linkek

• "Rézlemez Chevrons"-önmagához hasonló fraktál zoom film
• "Ön-hasonlóság"-Új cikkek az ön-hasonlóságról. Waltz algoritmus

Önállóság

• Mandelbrot, Benoit B. (1985). "Ön-affinitás és fraktál dimenzió" (PDF) . Physica Scripta . 32 (4): 257–260. Bibcode : 1985PhyS ... 32..257M . doi : 10.1088/0031-8949/32/4/001 .
• Sapozhnikov, Victor; Foufoula-Georgiou, Efi (1996. május). "Ön-affinitás fonott folyókban" (PDF) . Vízkészletek kutatása . 32 (5): 1429–1439. doi : 10.1029/96wr00490 . Archivált (PDF) az eredetiből 2018. július 30 -án . Letöltve: 2018. július 30 .
• Benoît B. Mandelbrot (2002). Gauss-önállóság és fraktálok: Globality, the Earth, 1/F Noise, and R/S . ISBN 978-0387989938.