Fél- és fél-tengely- Semi-major and semi-minor axes

Az ellipszis félnagy ( a ) és félmoll tengelye ( b )

Egy sorozat része
Astrodinamika
Keringési mechanika
Orbitális elemek
Kéttestű pályák típusai , különc által
Egyenletek
Égi mechanika
Gravitációs hatások
N-test pályák
Mérnöki tudás és hatékonyság
Előrepüléstechnika
Hatékonysági intézkedések
v t e

A geometria , a fő tengelye egy ellipszis van a leghosszabb átmérő : egy vonalszakaszt , amely végigfut a központot és két gócok , amelyek végei a két legszélesebb körben elválasztjuk pont a kerülete . A fél-főtengely ( nagy féltengely ) a főtengely leghosszabb fél- átmérője vagy fele, és így a középpontból, egy fókuszon keresztül és a kerületig fut . Az ellipszis vagy hiperbola fél-kisméretű tengelye ( kisebb féltengelye ) egy olyan vonalszakasz, amely derékszögben van a fél-főtengellyel, és egyik vége a kúpos szakasz közepén van . Egy kör különleges esetére a féltengelyek hossza egyenlő a kör sugarával .

A hossza a félig-nagytengely egy ellipszis kapcsolatban van a félig-kistengely hossza b keresztül excentricitást e , és a félig-latus rectum , az alábbiak szerint: ${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} b & = a {\ sqrt {1-e^{2}}}, \\\ ell & = a (1-e^{2}), \\ a \ ell & = b^{2}. \ end {igazítva}}}$

A hiperbola féltengelye a konvenciótól függően a két ág közötti távolság plusz vagy mínusz fele. Így ez a távolság a központtól, hogy vagy vertex a hiperbola.

A parabola az ellipszisorozat határaként kapható, ahol az egyik fókusz rögzítve van, mivel a másik megengedett, hogy tetszőlegesen távolodjon egy irányban, rögzítve. Így egy és b hajlamosak a végtelenségig, egy gyorsabb, mint a b . ${\ displaystyle \ ell}$

A fő- és melléktengelyek a görbe szimmetriatengelyei : egy ellipszisben a melléktengely a rövidebb; hiperbolában az, amelyik nem metszi a hiperbolát.

Ellipszis

Az ellipszis egyenlete az

${\ displaystyle {\ frac {(xh)^{2}} {a^{2}}}+{\ frac {(yk)^{2}} {b^{2}}} = 1,}$

ahol ( h ,  k ) az ellipszis középpontja a derékszögű koordinátákban , amelyben tetszőleges pontot ad ( x ,  y ).

A fél-főtengely a maximális és minimális távolságok, valamint a fókuszból származó ellipszis átlagos értéke, azaz a fókusz és a főtengely végpontjai közötti távolság: ${\ displaystyle r _ {\ text {max}}}$${\ displaystyle r _ {\ text {min}}}$

${\ displaystyle a = {\ frac {r _ {\ text {max}}+r _ {\ text {min}}} {2}}.}$

A csillagászatban ezeket a szélső pontokat apszidoknak nevezik .

Az ellipszis féltengely tengelye ezeknek a távolságoknak a geometriai átlaga :

${\ displaystyle b = {\ sqrt {r _ {\ text {max}} r _ {\ text {min}}}}.}$

Az ellipszis excentricitását úgy definiáljuk

${\ displaystyle e = {\ sqrt {1-{\ frac {b^{2}} {a^{2}}}}},}$

így

${\ displaystyle r _ {\ text {min}} = a (1-e), \ quad r _ {\ text {max}} = a (1+e).}$

Most vegye figyelembe az egyenletet a poláris koordinátákban , az egyik fókuszban az origó, a másik az irányban: ${\ displaystyle \ theta = \ pi}$

${\ displaystyle r (1+e \ cos \ theta) = \ ell.}$

A, és a , és az átlagos értéke${\ displaystyle r = \ ell /(1-e)}$${\ displaystyle r = \ ell /(1+e)}$${\ displaystyle \ theta = \ pi}$${\ displaystyle \ theta = 0}$

${\ displaystyle a = {\ frac {\ ell} {1-e^{2}}}.}$

Az ellipszisben a fél-főtengely a középpont és a fókusz közötti távolság geometriai átlaga, valamint a középpont és bármelyik egyenes közötti távolság geometriai átlaga .

Az ellipszis féltengely tengelye az ellipszis középpontjától (egy pont a gócok között futó vonal között és között) félúton az ellipszis széléig tart. A féltengely tengely a melléktengely fele. A melléktengely a főtengelyre merőleges leghosszabb vonalszakasz, amely az ellipszis szélének két pontját köti össze.

A félig-kistengely b kapcsolódik a félig-nagytengely egy keresztül az excentricitás e , és a félig-latus rectum , az alábbiak szerint: ${\ displaystyle \ ell}$

${\ displaystyle {\ begin {aligned} b & = a {\ sqrt {1-e^{2}}}, \\ a \ ell & = b^{2}. \ end {aligned}}}$

A parabola az ellipszisorozat határaként kapható, ahol az egyik fókusz rögzítve van, mivel a másik megengedett, hogy tetszőlegesen távolodjon egy irányban, rögzítve. Így egy és b hajlamosak a végtelenségig, egy gyorsabb, mint a b . ${\ displaystyle \ ell}$

A félig kicsi tengely hossza a következő képlet segítségével is meghatározható:

${\ displaystyle 2b = {\ sqrt {(p+q)^{2} -f^{2}}},}$

ahol f a gócok közötti távolság, p és q az egyes fókuszok és az ellipszis bármely pontja közötti távolság.

Hiperbola

A hiperbola féltengelye a konvenciótól függően a két ág közötti távolság plusz vagy mínusz fele; ha ez egy az x-irányban az egyenlet:

${\ displaystyle {\ frac {\ left (xh \ right)^{2}} {a^{2}}}-{\ frac {\ left (yk \ right)^{2}} {b^{2} }} = 1.}$

Ami a fél-latus végbélt és az excentricitást illeti

${\ displaystyle a = {\ ell \ over e^{2} -1}.}$

A hiperbola keresztirányú tengelye egybeesik a főtengellyel.

A hiperbolában az ellipszis melléktengelyének megfelelő, konjugált tengely vagy kisebb hossztengely rajzolható merőlegesen a keresztirányú tengelyre vagy a főtengelyre, ez utóbbi pedig a hiperbola két csúcsát (fordulópontját) köti össze a két tengely metszi egymást a hiperbola közepén. A melléktengely végpontjai az aszimptoták magasságában vannak a hiperbola csúcsai felett/alatt. A melléktengely egyik felét félhosszú tengelynek nevezzük, hossza b . Jelölő a félig hossztengelye (távolságra a központtól, hogy egy csúcsa), mint egy , a félig minor és félig-nagytengelye hosszúságú megjelennek az egyenletben a hiperbola viszonyítva ezek a tengelyek a következők: ${\ displaystyle 2b}$${\ displaystyle (0, \ pm b)}$

${\ displaystyle {\ frac {x^{2}} {a^{2}}}-{\ frac {y^{2}} {b^{2}}} = 1.}$

A fél-kisméretű tengely egyben a hiperbola egyik fókuszának és az aszimptotának a távolsága. Gyakran becsapódási paraméternek nevezik , ez fontos a fizikában és a csillagászatban, és mérje meg azt a távolságot, amellyel egy részecske nem fogja elkerülni a fókuszt, ha az útját nem zavarja a fókuszban lévő test.

A félkisebb tengely és a félnagytengely az excentricitáson keresztül kapcsolódik egymáshoz, a következők szerint:

${\ displaystyle b = a {\ sqrt {e^{2} -1}}.}$

Megjegyezzük, hogy a hiperbolában b lehet nagyobb, mint a .

Csillagászat

Orbitális periódus

Log-log diagramja időszak T vs félig főtengelye a (átlagosan aphelion és perihelion) néhány Solar System kering (keresztek jelölő Kepler értékek) azt mutatja, hogy a ³ / T ² állandó (zöld vonal)

A astrodynamics a keringési ideje T egy kis test körül keringő egy központi test egy kör vagy ellipszis alakú pályán van:

${\ displaystyle T = 2 \ pi {\ sqrt {\ frac {a^{3}} {\ mu}}},}$

ahol:

${\ displaystyle \ mu}$a normál gravitációs paramétere a központi szerv.

Megjegyezzük, hogy minden ellipszis esetében, amelynek adott fél-nagytengelye van, a keringési periódus ugyanaz, figyelmen kívül hagyva az excentricitásukat.

A specifikus impulzusmomentum h egy kis test körül keringő egy központi test egy kör alakú vagy elliptikus pályája

${\ displaystyle h = {\ sqrt {a \ mu (1-e^{2})}},}$

ahol:

a és a fentiek szerint vannak meghatározva,${\ displaystyle \ mu}$

A csillagászati , a félig-nagytengely egyik legfontosabb pályaelemek egy pályára , együtt a keringési ideje . A Naprendszer objektumok esetében a fél-nagytengely a pálya időszakához kapcsolódik a Kepler harmadik törvénye alapján (eredetileg empirikusan származtatva):

${\ displaystyle T^{2} \ propto a^{3},}$

ahol T a periódus, és a a fél-nagytengely. Ez az űrlap a kéttest -probléma általános formájának egyszerűsítése, amelyet Newton határozott meg :

${\ displaystyle T^{2} = {\ frac {4 \ pi^{2}} {G (M+m)}} a^{3},}$

ahol G a gravitációs állandó , M jelentése a tömege a központi test, és m jelentése a tömeg a keringő testet. Jellemzően a központi test tömege sokkal nagyobb, mint a keringő testé, ezért m figyelmen kívül hagyható. E feltételezés és a tipikus csillagászati ​​egységek felhasználásával Kepler felfedezte az egyszerűbb formát.

A keringő test pályája a baricentrum körül és útvonala az elsődlegeshez képest mindkettő ellipszis. A fél-főtengelyt néha a csillagászatban használják elsődleges és másodlagos távolságként, amikor az elsődleges és a másodlagos tömegaránya jelentősen nagy ( ); így a bolygók keringési paramétereit heliocentrikus értelemben adjuk meg. A primocentrikus és az "abszolút" pályák közötti különbséget leginkább a Föld -Hold rendszer szemléltetésével lehet szemléltetni. A tömegarány ebben az esetben az${\ displaystyle M \ gg m}$81.300 59 . A Föld-Hold jellemző távolsága, a geocentrikus holdpálya fél-fő tengelye 384 400 km. (Tekintettel a holdpálya excentricitására, e  = 0,0549, fél-kicsi tengelye 383 800 km. Így a Hold pályája majdnem kör alakú.) A baricentrikus holdpálya viszont 379 730 km-es féltengelyű, a Föld ellenpálya felveszi a különbséget, 4670 km. A Hold átlagos baricentrikus pályájának sebessége 1,010 km/s, míg a Földé 0,012 km/s. Ezeknek a sebességeknek az összege a Föld geocentrikus átlagos keringési sebességét adja, 1,022 km/s; ugyanezt az értéket csak a geocentrikus fél-főtengely-érték figyelembevételével kaphatjuk meg.

Átlagos távolság

Gyakran mondják, hogy a fél-nagytengely az "átlagos" távolság az ellipszis elsődleges fókusza és a keringő test között. Ez nem egészen pontos, mert attól függ, hogy milyen átlagot vesznek át.

• az excentrikus anomália közötti távolság átlagolása valóban a félnagy tengelyt eredményezi.
• a valódi anomália (a valódi keringési szög, a fókuszban mérve) átlagolása a félmoll tengelyt eredményezi .${\ displaystyle b = a {\ sqrt {1-e^{2}}}}$
• az átlagos anomália (a keringési periódus pericentre óta eltelt töredéke, szögben kifejezve) átlagolása adja az időátlagot .${\ displaystyle a \ left (1+{\ frac {e^{2}} {2}} \ right) \,}$

A sugár reciprok értékének átlagolt értéke ,, . ${\ displaystyle r^{-1}}$${\ displaystyle a^{-1}}$

Energia; fél-főtengely kiszámítása állapotvektorokból

Az asztrológiában az a fél-főtengely a pályaállapot - vektorokból számítható ki :

${\ displaystyle a =-{\ frac {\ mu} {2 \ varepsilon}}}$

egy ellipszis alakú pályán és attól függően, az Egyezmény, azonos vagy

${\ displaystyle a = {\ frac {\ mu} {2 \ varepsilon}}}$

Egy hiperbolikus pályára , és

${\ displaystyle \ varepsilon = {\ frac {v^{2}} {2}}-{\ frac {\ mu} {| \ mathbf {r} |}}}$

( fajlagos pályaenergia ) és

${\ displaystyle \ mu = GM,}$

( standard gravitációs paraméter ), ahol:

v keringési sebesség egy keringő objektum sebességvektorából ,

R egy derékszögű helyzetben vektort egy keringő objektum koordinátáinak referencia képkocka vonatkozásában, amely az elemek a pályára kalkulál (pl geocentrikus ekvatoriális egy Föld körül keringő, vagy heliocentric ekliptikus számára körüli pályára a Nap),

G a gravitációs állandó ,

M a gravitációs test tömege, és

${\ displaystyle \ varepsilon}$ a keringő test fajlagos energiája.

Megjegyezzük, hogy adott mennyiségű teljes tömeg esetén a fajlagos energia és a fél-főtengely mindig ugyanaz, függetlenül az excentricitástól vagy a tömegek arányától. Ezzel szemben egy adott össztömeg és fél-nagytengely esetén a teljes fajlagos pályaenergia mindig ugyanaz. Ez az állítás minden körülmények között mindig igaz lesz.

A bolygók pályáinak fél- és fél-kisebb tengelyei

A bolygópályákat mindig az ellipszisek kiváló példájaként említik ( Kepler első törvénye ). Azonban a minimális különbség a fél-nagy és a fél-moll tengelyek között azt mutatja, hogy gyakorlatilag kör alakúak. Ez a különbség (vagy arány) az excentricitáson alapul, és úgy számítják ki , hogy a tipikus bolygó excentricitások esetében nagyon kicsi eredményeket lehet elérni. ${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {1} {\ sqrt {1-e^{2}}}}}$

A kiemelkedő elliptikus pályák feltételezésének oka valószínűleg az aphelion és a perihelion közötti sokkal nagyobb különbségben rejlik. Ez a különbség (vagy arány) szintén az excentricitáson alapul, és így számítják ki . Az aphelion és a perihelion közötti nagy különbség miatt Kepler második törvénye könnyen látható. ${\ displaystyle {\ frac {r _ {\ text {a}}} {r _ {\ text {p}}}} = {\ frac {1+e} {1-e}}}$

Hivatkozások

Külső linkek

• Fél- és félmoll tengelyek egy ellipszishez Interaktív animációval