Lejtő - Slope

Lejtő: ${\ displaystyle m = \ left ({\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} \ right) = \ tan (\ theta)}$

A matematika, a lejtő vagy gradiense egy vonal egy szám, amely leírja mind a irányát és a meredeksége a vonal. A lejtőt gyakran m betű jelöli ; nincs egyértelmű válasz arra a kérdésre, hogy miért használják az m betűt a meredekséghez, de a legkorábbi angol nyelvű használata O'Brien -ben (1844) jelenik meg, aki egy egyenes egyenletét " y = mx + b " -ként írta fel, és megtalálható Todhunterben (1888) is, aki " y = mx + c " néven írta .

A meredekséget úgy kell kiszámítani, hogy megkeressük a "függőleges változás" és a "vízszintes változás" arányát az egyenes két különböző pontja között. Néha az arányt hányadosként fejezik ki ("emelkedés futás közben"), és ugyanazt a számot adják meg ugyanazon az egyenes két különböző pontján. Egy csökkenő sor negatív "emelkedést" mutat. A vonal lehet praktikus - ahogy azt egy közúti felmérő állítja be, vagy egy olyan ábrán, amely leírja vagy tervként modellezi az utat vagy a tetőt.

A vonal meredekségét , lejtését vagy dőlésszögét a meredekség abszolút értéke határozza meg. A nagyobb abszolút értékű lejtés meredekebb vonalat jelez. Az irányt egy vonal van akár növekvő, csökkenő, vízszintes vagy függőleges.

• A vonal növekvő ha megy fel balról jobbra. A meredekség pozitív , pl .${\ displaystyle m> 0}$
• A vonal csökken , ha megy lefelé , balról jobbra. A meredekség negatív , pl .${\ displaystyle m <0}$
• Ha egy egyenes vízszintes, akkor a meredekség nulla . Ez egy állandó funkció .
• Ha egy vonal függőleges, akkor a meredekség nincs meghatározva (lásd alább).

Egy út emelkedése két pont között az út magassága közötti különbség ezen a két ponton, mondjuk y ₁ és y ₂ , vagy más szóval, az emelkedés ( y ₂ - y ₁ ) = Δ y . Viszonylag rövid távolságok esetén, ahol a Föld görbületét elhanyagolhatjuk, a futás a vízszintes, vízszintes vonal mentén mért fix ponttól való távolság különbsége, vagy más szóval a futás ( x ₂ - x ₁ ) = Δ x . Itt a két pont közötti út lejtését egyszerűen úgy írják le, mint a magasságváltozás és a vonal bármely két pontja közötti vízszintes távolság arányát.

Matematikai nyelven az egyenes m meredeksége

${\ displaystyle m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}$

A lejtés fogalma közvetlenül vonatkozik a földrajz és az építőmérnöki fokozatokra vagy fokozatokra . Keresztül trigonometria , a lejtőn m egy vonal mögött az a szög a lejtés θ a tangens függvény

${\ displaystyle m = \ tan (\ theta)}$

Így egy 45 ° -os emelkedő vonal meredeksége +1, a 45 ° -os leesőé pedig -1.

Ennek a gyakorlati leírásnak az általánosításaként a differenciálszámítás matematikája határozza meg egy görbe meredekségét egy pontban, mint az érintő egyenes meredekségét ezen a ponton. Ha a görbét egy diagramsorozatban vagy a pontok koordinátáinak listájában megadott pontsor adja meg, akkor a meredekséget nem egy pontban, hanem bármely két adott pont között lehet kiszámítani. Ha a görbét folytonos függvényként, esetleg algebrai képletként adjuk meg, akkor a differenciálszámítás olyan szabályokat ad, amelyek képletet adnak a görbe meredekségére a görbe közepének bármely pontján.

A lejtés fogalmának ez az általánosítása lehetővé teszi nagyon bonyolult konstrukciók tervezését és megépítését, amelyek jóval túlmutatnak a vízszintes vagy függőleges statikus szerkezeteken, de időben változhatnak, görbékben mozoghatnak és más tényezők változási sebességétől függően változhatnak. . Ezáltal a lejtő egyszerű elképzelése a modern világ egyik fő alapjává válik mind a technológia, mind az épített környezet szempontjából.

Meghatározás

A meredekség y  = (3/2) x  - 1. Kattintson a nagyításhoz

Egy vonal meredeksége a koordinátarendszerben, f (x) =-12x+2 és f (x) = 12x+2 között

Az x és y tengelyt tartalmazó síkban lévő egyenes meredekségét általában m betű jelöli , és az y koordináta változását osztva az x koordináta megfelelő változásával, az egyenes két különböző pontja között. Ezt a következő egyenlet írja le:

${\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {{\ text {vertical}} \, {\ text {change}}} {{\ text {horizontal}} \ , {\ text {change}}}} = {\ frac {\ text {rise}} {\ text {run}}}.}$

(A görög delta , Δ betűt a matematikában általában "különbség" vagy "változás" jelentésére használják.)

Adott két pont és a változás az egyik a másik ( futás ), míg a változás is ( emelkedés ). Ha mindkét mennyiséget behelyettesítjük a fenti egyenletbe, akkor a következő képletet kapjuk: ${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$${\ displaystyle (x_ {2}, y_ {2})}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x_ {2} -x_ {1}}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y_ {2} -y_ {1}}$

${\ displaystyle m = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}}.}$

A képlet sikertelen egy függőleges egyenes esetében, amely párhuzamos a tengelymel (lásd a nullával való osztást ), ahol a meredekség végtelennek tekinthető , így a függőleges vonal meredeksége nem definiált. ${\ displaystyle y}$

Példák

Tegyük fel, hogy egy egyenes két ponton halad keresztül: P  = (1, 2) és Q  = (13, 8). Ha a -koordináták különbségét elosztjuk a -koordináták különbségével, megkaphatjuk az egyenes meredekségét: ${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}} = {\ frac {y_ {2} -y_ {1}} {x_ {2} -x_ {1}}} = {\ frac {8-2} {13-1}} = {\ frac {6} {12}} = {\ frac {1} {2}}}$.

Mivel a meredekség pozitív, a vonal iránya növekszik. Mivel | m | <1, a lejtő nem túl meredek (lejtés <45 °).

Másik példaként tekintsünk egy egyenest, amely a (4, 15) és (3, 21) pontok között halad. Ekkor a vonal meredeksége

${\ displaystyle m = {\ frac {21-15} {3-4}} = {\ frac {6} {-1}} =-6.}$

Mivel a meredekség negatív, a vonal iránya csökken. Mivel | m |> 1, ez a csökkenés meglehetősen meredek (csökkenés> 45 °).

Algebra és geometria

• Ha „egy lineáris függvény a ”, akkor az együttható az egyenes meredeksége által létrehozott ábrázoljuk a függvényt. Ezért ha a vonal egyenlete a formában van megadva${\ displaystyle y}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle x}$

${\ displaystyle y = mx+b}$

akkor a lejtő. Egy egyenletnek ezt a formáját lejtés -metszés alaknak nevezzük , mert értelmezhető úgy, mint az egyenes y -metszete , vagyis az a -koordináta, ahol az egyenes metszi a -axis -t.${\ displaystyle m}$${\ displaystyle b}$${\ displaystyle y}$${\ displaystyle y}$

• Ha egy egyenes meredeksége és egy pontja is ismert, akkor az egyenlet egyenlete megtalálható a pont-meredekség képlet segítségével :${\ displaystyle m}$${\ displaystyle (x_ {1}, y_ {1})}$

${\ displaystyle y-y_ {1} = m (x-x_ {1}).}$

• A lineáris egyenlet által meghatározott egyenes meredeksége

${\ displaystyle ax+x+c = 0}$

van

${\ displaystyle -{\ frac {a} {b}}}$.

• Két egyenes akkor és csak akkor párhuzamos, ha nem ugyanaz az egyenes (egybeeső), és vagy lejtésük egyenlő, vagy mindkettő függőleges, és ezért mindkettőnek meg nem határozott meredeksége van. Két egyenes merőleges, ha lejtőik szorzata −1, vagy az egyik meredeksége 0 (vízszintes vonal), a másiknak pedig egy nem meghatározott meredeksége (függőleges vonal).
• Az x tengely −90 ° és 90 ° közötti The szöge, amelyet egy x -tengely képez, az m meredekséghez kapcsolódik a következőképpen:

${\ displaystyle m = \ tan (\ theta)}$

és

${\ displaystyle \ theta = \ arctan (m)}$   (ez az érintő fordított függvénye; lásd az inverz trigonometrikus függvényeket ).

Példák

Például vegyünk egy egyenest, amely a (2,8) és (3,20) ponton halad át. Ennek a vonalnak meredeksége, m , of

${\ displaystyle {\ frac {(20-8)} {(3-2)}} \; = 12.}$

Ezután írhatjuk a vonal egyenletét pont-meredekség alakban:

${\ displaystyle y-8 = 12 (x-2) = 12x-24}$

vagy:

${\ displaystyle y = 12x-16.}$

Az θ szög -90 ° és 90 ° között, amelyet ez a vonal az x tengelyével alkot

${\ displaystyle \ theta = \ arctan (12) \ kb 85,2^{\ circ} \ ,.}$

Tekintsük a két sort: y = −3 x + 1 és y = −3 x - 2 . Mindkét vonal meredeksége m = −3 . Nem ugyanaz a vonal. Tehát párhuzamos vonalak.

Tekintsük a két y = −3 x + 1 és y = egyenest x/3- 2 . Az első egyenes meredeksége m ₁ = −3 . A második vonal meredeksége m ₂ =1/3. E két lejtő szorzata −1. Tehát ez a két egyenes merőleges.

Statisztika

A statisztikák , a gradiens a legkisebb négyzetes regresszió legjobban illeszkedő vonal egy adott mintában a adatokat be lehet írni, mint:

${\ displaystyle m = {\ frac {rs_ {y}} {s_ {x}}}}$,

Ezt az m mennyiséget nevezzük a vonal regressziós meredekségének . A mennyiség a Pearson-féle korrelációs együttható , a szórás , a y-értékek és a szórás az X-értékeket. Ezt a kovarianciák arányaként is fel lehet írni : ${\ displaystyle y = mx+c}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle s_ {y}}$${\ displaystyle s_ {x}}$

${\ displaystyle m = {\ frac {\ operatornév {cov} (Y, X)} {\ operatornév {cov} (X, X)}}}$

Út vagy vasút lejtése

Főbb cikkek: Fokozat (lejtés) , Fokosztás

Az út vagy vasút meredekségének leírására két általános módszer létezik . Az egyik a 0 ° és 90 ° közötti szög (fokban), a másik pedig a lejtés százalékban. Lásd még meredek vasút és állványvasút .

A százalékos százalékban megadott meredekség szögben és fordítva történő átszámításának képletei a következők:

${\ displaystyle {\ text {angle}} = \ arctan \ left ({\ frac {\ text {slope}} {100 \%}} \ right)}$  , (ez az érintő fordított függvénye; lásd trigonometria )

és

${\ displaystyle {\ mbox {slope}} = 100 \%\ cdot \ tan ({\ mbox {szög}}),}$

ahol a szög fokban van, és a trigonometrikus függvények fokokban működnek. Például a 100 % -os vagy 1000 ‰ lejtés 45 ° -os szög.

A harmadik módszer az, hogy egy egységnyi emelkedést mondunk 10, 20, 50 vagy 100 vízszintes egységben, például 1:10. 1:20, 1:50 vagy 1: 100 (vagy "1: 10" , "1: 20" stb.) Vegye figyelembe, hogy az 1:10 meredekebb, mint az 1:20. Például a 20% -os meredekség 1: 5 vagy 11,3 ° -os szöget jelent.

Az utaknak és a vasutaknak egyaránt van hosszanti lejtője és keresztlejtője.

• 

  Lejtőn figyelmeztető jel Hollandiában

• 

  Lejtőn figyelmeztető jel Lengyelországban

• 

  A vasút 1371 méteres távolsága 20 ‰ lejtéssel. Cseh Köztársaság

• 

  Gőzkorú vasúti lejtőoszlop, amely mindkét irányban lejtőt mutat a Meols pályaudvaron , Egyesült Királyság

Számítás

Minden pontjában, a származékot a lejtő egy vonal , amely érintőleges a görbe ezen a ponton. Megjegyzés: az A pont deriváltja pozitív, ahol zöld és kötőjel-pont, negatív, ahol piros és szaggatott, és nulla, ha fekete és szilárd.

A meredekség fogalma központi szerepet játszik a differenciálszámításban . A nemlineáris függvények esetében a változás mértéke a görbe mentén változik. A függvény deriváltja egy ponton a görbét érintő egyenes meredeksége a pontban, és így egyenlő a függvény változási sebességével ezen a ponton.

Ha hagyjuk, hogy Δ x és Δ y legyenek a görbék két pontja közötti távolságok (az x és y tengely mentén ), akkor a fenti definíció szerinti meredekség,

${\ displaystyle m = {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$,

egy szekáns egyenes meredeksége a görbéhez. Egy egyenes esetében a tetszőleges két pont közötti szekáns maga az egyenes, de ez nem igaz más típusú görbékre.

Például, a lejtőn a szelő metsző y = x ² a (0,0) és (3,9) 3. (A lejtőn a érintőjének x = 3 / 2 is 3- egy következménye a középérték tétel .)

Ha a két pontot közelebb mozgatja egymáshoz úgy, hogy Δ y és Δ x csökkenjen, akkor a szekáns egyenes közelebb közelíti az érintővonalat a görbéhez, és így a szekáns meredeksége megközelíti az érintőét. Használata differenciálszámításról , tudjuk meg a korlátot , vagy azt az értéket, Δ y / Δ x közelít, mint Δ y és Δ x get közelebb nulla ; ebből következik, hogy ez a határ az érintő pontos meredeksége. Ha y függ x -től, akkor elegendő azt a határt venni, ahol csak Δ x közelít a nullához. Ezért az érintő meredeksége Δ y / Δ x határa, amikor Δ x megközelíti a nullát, vagy dy / dx . Ezt a korlátot deriváltnak nevezzük .

${\ displaystyle {\ frac {dy} {dx}} = \ lim _ {\ Delta x \ - 0} {\ frac {\ Delta y} {\ Delta x}}}$

Értéke a függvény egy pontján megadja az érintő meredekségét ezen a ponton. Legyen például y = x ² . Ennek a függvénynek egy pontja (-2,4). Ennek a függvénynek a deriváltja ^{d y} / _{d x} = 2 x . Tehát az y- t érintő egyenes meredeksége (-2,4) -nél 2 · (-2) = -4. Ennek az érintővonalnak az egyenlete: y -4 = ( -4) ( x -( -2)) vagy y = -4 x -4 .

A lejtők különbsége

A szög gondolatának kiterjesztése következik a lejtők különbségéből. Tekintsük a nyírási leképezést

${\ displaystyle (u, v) = (x, y) {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Ezután az (1,0) leképezésre kerül (1, v ). Az (1,0) meredeksége nulla, az (1, v ) meredeksége pedig v. A nyírási leképezés hozzáadta a v meredekségét . Az {(1, y ) két pontjánál : y R } -ban m és n lejtéssel , a kép

${\ displaystyle (1, y) {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} = (1, y+v)}$

meredeksége v -vel nőtt , de a lejtők n - m különbsége a nyírás előtt és után azonos. Ez invarianciája lejtő különbségek teszi lejtőn szögletes invariáns mérték , egy par körkörös szög (invariáns forgatás) és a hiperbolikus szög, a invariancia csoport présel leképezések .

Lásd még

Hivatkozások

Külső linkek

• "Egy vonal meredeksége (koordináta -geometria)" . Math nyílt hivatkozás. 2009 . Letöltve: 2016. október 30 . interaktív