Topológia -Topology

A matematikában a topológia (a görög τόπος , 'hely, hely' és λόγος 'tanulmány' szavakból ) a geometriai objektumok azon tulajdonságaival foglalkozik, amelyek megőrződnek folytonos deformációk , például nyújtás , csavarás , gyűrődés és hajlítás hatására. ; vagyis lyukak bezárása, lyukak nyitása, szakadás, ragasztás vagy önmagán való áthaladás nélkül.

A topológiai tér egy olyan szerkezettel felruházott halmaz , amelyet topológiának neveznek , és amely lehetővé teszi az alterek folyamatos deformációjának meghatározását, és általánosabban mindenféle folytonosságot . Az euklideszi terek és általánosabban a metrikus terek a topológiai tér példái, mivel bármely távolság vagy metrika meghatároz egy topológiát. A topológiában figyelembe vett deformációk homeomorfizmusok és homotópiák . Az ilyen alakváltozások alatt invariáns tulajdonság topológiai tulajdonság . A topológiai tulajdonságok alapvető példái: a dimenzió , amely lehetővé teszi a vonal és a felület megkülönböztetését ; tömörség , amely lehetővé teszi a vonal és a kör megkülönböztetését; összekapcsoltság , amely lehetővé teszi egy kör megkülönböztetését két nem metsző körtől.

A topológia alapjául szolgáló ötletek Gottfried Leibnizig nyúlnak vissza , aki a 17. században a geometria situst és az elemzési szituszt képzelte el . Leonhard Euler Königsberg hét hídja problémája és a poliéder formula vitathatatlanul a mező első tételei. A topológia kifejezést Johann Benedict Listing vezette be a 19. században, bár csak a 20. század első évtizedeiben alakult ki a topológiai tér gondolata.

Motiváció

A topológia mögött meghúzódó motiváló betekintés az, hogy egyes geometriai problémák nem az érintett objektumok pontos alakjától, hanem inkább az összeállítás módjától függenek. Például a négyzet és a kör számos közös tulajdonsággal rendelkezik: mindkettő egydimenziós objektum (topológiai szempontból), és mindkettő két részre választja a síkot, a belső részre és a külső részre.

Leonhard Euler a topológia egyik első tanulmányában bemutatta, hogy lehetetlen olyan útvonalat találni Königsberg (ma Kalinyingrád ) városán keresztül, amely a hét híd mindegyikét pontosan egyszer keresztezi. Ez az eredmény nem a hidak hosszától vagy egymástól való távolságától függött, hanem csak a kapcsolódási tulajdonságoktól: mely hidak milyen szigetekhez vagy folyópartokhoz csatlakoznak. Ez a königsbergi hét híd probléma vezetett a matematikának a gráfelmélet néven ismert ágához .

Hasonlóképpen, az algebrai topológia szőrös golyó tétele is azt mondja, hogy "nem lehet laposra fésülni egy szőrös golyón a hajat anélkül, hogy ne hozzunk létre cowlicit ". Ez a tény a legtöbb ember számára azonnal meggyőző, még ha nem is ismerik fel a tétel formálisabb kijelentését, hogy a gömbön nincs eltűnő folytonos érintővektormező . A königsbergi hidakhoz hasonlóan az eredmény nem függ a gömb alakjától; mindenféle sima pacára vonatkozik, mindaddig, amíg nincsenek lyukak.

Ahhoz, hogy kezeljük ezeket a problémákat, amelyek nem támaszkodnak az objektumok pontos alakjára, tisztában kell lenni azzal, hogy ezek a problémák milyen tulajdonságokon alapulnak . Ebből az igényből fakad a homeomorfizmus fogalma. Az a lehetetlenség, hogy minden hidat egyszer átkeljünk, a königsbergiekkel homeomorf hidak bármely elrendezésére vonatkozik, a szőrös golyó tétele pedig minden olyan térre, amely egy gömbre homeomorf.

Intuitív módon két tér akkor homeomorf, ha az egyik vágás vagy ragasztás nélkül deformálható a másikba. Hagyományos vicc, hogy a topológus nem tudja megkülönböztetni a kávésbögrét a fánktól, mivel a kellően hajlékony fánkot egy gödröcskék kialakításával és fokozatosan növelve, miközben a lyukat fogantyúvá zsugorítják, kávéscsészévé lehet formálni.

A homeomorfizmus tekinthető a legalapvetőbb topológiai ekvivalenciának . Egy másik a homotópia ekvivalencia . Ezt bonyolultabb leírni anélkül, hogy technikai ismereteket szereznénk, de a lényeg az, hogy két objektum homotópiával egyenértékű, ha mindkettő egy nagyobb objektum "kicsavarása" eredménye.

Történelem

A topológia, mint jól körülhatárolható matematikai diszciplína a huszadik század elejéről származik, de néhány elszigetelt eredmény több évszázadra is visszavezethető. Ezek között vannak bizonyos geometriai kérdések, amelyeket Leonhard Euler vizsgált . A königsbergi hét hídról szóló 1736-os tanulmányát a topológia egyik első gyakorlati alkalmazásának tekintik. 1750. november 14-én Euler írt egy barátjának, hogy felismerte a poliéder éleinek fontosságát . Ez vezetett a poliéder képletéhez , V − E + F = 2 (ahol V , E és F a poliéder csúcsainak, éleinek és lapjainak számát jelzik). Egyes szaktekintélyek ezt az elemzést az első tételnek tekintik, ami a topológia megszületését jelzi.

További közreműködést nyújtott Augustin-Louis Cauchy , Ludwig Schläfli , Johann Benedict Listing , Bernhard Riemann és Enrico Betti . A listázás 1847-ben vezette be a "Topologie" kifejezést a Vorstudien zur Topologie- ban, német anyanyelvén írva, miután tíz évig használta a szót a levelezésben, mielőtt az első nyomtatásban megjelent. Az angol "topology" formát 1883-ban használták Listing nekrológjában a Nature folyóiratban, hogy megkülönböztessék a "minőségi geometriát a közönséges geometriától, amelyben főként a mennyiségi viszonyokat kezelik".

Munkájukat Henri Poincaré korrigálta, megszilárdította és nagymértékben kiterjesztette . 1895-ben jelentette meg úttörő tanulmányát az Analysis Situsról , amely bevezette a ma homotópia és homológia néven ismert fogalmakat , amelyeket ma már az algebrai topológia részének tekintenek .

Zárt 2-elosztók topológiai jellemzői

Elosztó	Euler sz	Tájékozódás	Betti számok			Torziós együttható (1 dim)
			b 0	b 1	b 2
Gömb	2	Tájékozódható	1	0	1	egyik sem
Torus	0	Tájékozódható	1	2	1	egyik sem
2 lyukú tórusz	−2	Tájékozódható	1	4	1	egyik sem
g -lyukú tórusz ( g ​​nemzetség )	2-2 g	Tájékozódható	1	2 g	1	egyik sem
Projektív sík	1	Nem tájékozódó	1	0	0	2
Klein üveg	0	Nem tájékozódó	1	1	0	2
Gömb c keresztsapkával ( c > 0 )	2 − c	Nem tájékozódó	1	c - 1	0	2
2 elosztó g lyukakkal és c keresztsapkákkal ( c > 0 )	2 − (2 g + c )	Nem tájékozódó	1	(2 g + c ) – 1	0	2

Maurice Fréchet Georg Cantor , Vito Volterra , Cesare Arzelà , Jacques Hadamard , Giulio Ascoli és mások függvénytereivel kapcsolatos munkáját egyesítve bevezette a metrikus teret 1906-ban. A metrikus teret ma az általános topológiai tér speciális esetének tekintik. adott topológiai tér sok különböző metrikus teret eredményezhet. 1914-ben Felix Hausdorff megalkotta a „topológiai tér” kifejezést, és megadta a ma Hausdorff-térnek nevezett definíciót . Jelenleg a topológiai tér a Hausdorff-terek enyhe általánosítása, amelyet 1922-ben Kazimierz Kuratowski adott .

A modern topológia erősen függ a halmazelmélet gondolataitól, amelyeket Georg Cantor dolgozott ki a 19. század későbbi részében. A halmazelmélet alapgondolatainak megállapítása mellett Cantor az euklideszi térben lévő ponthalmazokat a Fourier-sorok tanulmányozása részeként vette figyelembe . A további fejlesztésekért lásd a ponthalmaz topológiát és az algebrai topológiát.

A 2022-es Abel-díjat Dennis Sullivan kapta „a legtágabb értelemben vett topológiához, és különösen annak algebrai, geometriai és dinamikai vonatkozásaihoz nyújtott úttörő hozzájárulásáért”.

Fogalmak

Topológiák halmazokon

A topológia kifejezés egy speciális matematikai elképzelésre is utal, amely központi szerepet játszik a matematika topológiának nevezett területén. Informálisan a topológia leírja, hogy egy halmaz elemei hogyan viszonyulnak térben egymáshoz. Ugyanazon halmaz különböző topológiákkal rendelkezhet. Például a valódi egyenest , a komplex síkot és a Cantor-halmazt ugyanannak a halmaznak tekinthetjük különböző topológiákkal.

Formálisan legyen X halmaz, τ pedig X részhalmazainak családja . Ekkor τ-t topológiának nevezzük X- en , ha:

1. Az üres halmaz és X is τ elemei .
2. A τ elemeinek bármely uniója τ eleme .
3. A τ véges sok elemének bármely metszéspontja τ eleme .

Ha τ topológia X -en, akkor az ( X , τ ) párt topológiai térnek nevezzük. Az X _τ jelölés használható az adott τ topológiával felruházott X halmaz jelölésére . Definíció szerint minden topológia π -rendszer .

A τ tagjait nyílt halmazoknak nevezzük X -ben . X egy részhalmazát zártnak mondjuk, ha komplementere τ -ban van (vagyis komplementere nyitott). X egy részhalmaza lehet nyitott, zárt, mindkettő (a clopen halmaz ) vagy egyik sem. Az üres halmaz és maga az X mindig zárt és nyitott. X azon nyitott részhalmazát , amely egy x pontot tartalmaz, x szomszédságának nevezzük .

Folyamatos függvények és homeomorfizmusok

Egy függvényt vagy egy térképet az egyik topológiai térből a másikba folytonosnak nevezünk, ha bármely nyitott halmaz inverz képe nyitott. Ha a függvény leképezi a valós számokat a valós számokra (mindkét tér standard topológiájú), akkor ez a folytonos definíció egyenértékű a folytonos számításban megadott definíciójával . Ha egy folytonos függvény egy az egyhez és -ra , és ha a függvény inverze is folytonos, akkor a függvényt homeomorfizmusnak nevezzük, és a függvény tartományát homeomorfnak mondjuk a tartományra. Ennek másik módja az, hogy a függvénynek természetes kiterjesztése van a topológiára. Ha két tér homeomorf, akkor azonos topológiai tulajdonságokkal rendelkeznek, és topológiailag azonosnak tekintendők. A kocka és a gömb homeomorf, ahogy a kávéscsésze és a fánk is. A gömb azonban nem homeomorf a fánknak.

Elosztók

Míg a topológiai terek rendkívül változatosak és egzotikusak lehetnek, a topológia számos területe a terek ismertebb osztályára, az úgynevezett sokaságra összpontosít. A sokaság egy topológiai tér, amely az egyes pontok közelében lévő euklideszi térhez hasonlít. Pontosabban, egy n -dimenziós sokaság minden pontjának van egy szomszédsága , amely homeomorf az n dimenziójú euklideszi térrel . A vonalak és körök , de nem a nyolcasok , egydimenziós sokaságok. A kétdimenziós elosztókat felületeknek is nevezik , bár nem minden felület elosztó. Ilyen például a sík , a gömb és a tórusz, amelyek mind önmetszés nélkül megvalósíthatók három dimenzióban, valamint a Klein-palack és a valós projektív sík , amelyek nem (vagyis minden megvalósításuk olyan felület, amely nem sokrétű) .

Témák

Általános topológia

Az általános topológia a topológia azon ága, amely a topológiában használt alapvető halmazelméleti definíciókkal és konstrukciókkal foglalkozik. Ez az alapja a topológia legtöbb más ágának, beleértve a differenciáltopológiát, a geometriai topológiát és az algebrai topológiát. Az általános topológia másik neve ponthalmazos topológia.

A vizsgálat alapvető tárgya a topológiai terek , amelyek topológiával felszerelt halmazok , vagyis részhalmazok egy olyan családja, amelyet nyitott halmazoknak neveznek , és amely véges metszéspontok és (véges vagy végtelen) uniók alatt zárt . A topológia alapfogalmai, mint a folytonosság , a tömörség és az összekapcsoltság , nyílt halmazokkal definiálhatók. A folyamatos funkciók intuitív módon a közeli pontokat a közeli pontokhoz irányítják. A kompakt készletek azok, amelyeket véges sok, tetszőlegesen kis méretű készlet fed le. Az összekapcsolt készletek olyan készletek, amelyeket nem lehet két egymástól távol eső részre osztani. A közeli , tetszőlegesen kicsi és egymástól távol lévő szavak mind pontosíthatók nyílt halmazok használatával. Egy adott téren többféle topológia definiálható. A topológia megváltoztatása a nyílt halmazok gyűjteményének módosításából áll. Ez megváltoztatja, hogy mely függvények folytonosak, és mely részhalmazok kompaktak vagy összekapcsoltak.

A metrikus terek a topológiai terek fontos osztálya, ahol a két pont közötti távolságot egy metrikának nevezett függvény határozza meg . A metrikus térben a nyitott halmaz nyitott korongok uniója, ahol egy r sugarú nyitott korong, amelynek középpontja x az összes olyan pont halmaza, amelyek távolsága x- től kisebb, mint r . Sok közös tér olyan topológiai tér, amelynek topológiája metrikával definiálható. Ez a valós egyenes , a komplex sík , a valós és összetett vektorterek és az euklideszi terek esete . A metrika sok bizonyítást leegyszerűsít.

Algebrai topológia

Az algebrai topológia a matematikának egy olyan ága, amely az algebrától származó eszközöket használja a topológiai terek tanulmányozására. Az alapvető cél olyan algebrai invariánsok megtalálása, amelyek a topológiai tereket a homeomorfizmusig osztályozzák , bár általában a legtöbb osztályozást a homotópia ekvivalenciáig.

Ezen invariánsok közül a legfontosabbak a homotópiacsoportok , a homológia és a kohomológia .

Bár az algebrai topológia elsősorban az algebrát használja a topológiai problémák tanulmányozására, néha lehetséges a topológia alkalmazása algebrai problémák megoldására is. Az algebrai topológia például lehetővé teszi annak kényelmes bizonyítását, hogy egy szabad csoport bármely alcsoportja ismét szabad csoport.

Differenciál topológia

A differenciáltopológia az a terület, amely a differenciálható sokaságokon differenciálható függvényekkel foglalkozik . Szorosan kapcsolódik a differenciálgeometriához , és együtt alkotják a differenciálható sokaságok geometriai elméletét.

Pontosabban, a differenciális topológia azokat a tulajdonságokat és struktúrákat veszi figyelembe, amelyek csak egy sima szerkezetet igényelnek egy elosztón. A sima elosztók "puhábbak", mint az extra geometriai struktúrákkal rendelkező osztók, amelyek akadályozhatják a differenciális topológiában előforduló bizonyos típusú egyenértékűségeket és deformációkat . Például a térfogat és a Riemann-görbület olyan invariánsok, amelyek különböző geometriai struktúrákat különböztethetnek meg ugyanazon a sima elosztón – azaz simán "ki lehet lapítani" bizonyos sokaságokat, de ehhez szükség lehet a tér eltorzítására és a görbület vagy a térfogat befolyásolására.

Geometriai topológia

A geometriai topológia a topológia egyik ága, amely elsősorban az alacsony dimenziójú sokaságra (vagyis a 2-es, 3-as és 4-es dimenziójú terekre) és azok geometriával való kölcsönhatására összpontosít, de tartalmaz néhány magasabb dimenziós topológiát is. Néhány példa a geometriai topológia témáira: az orientálhatóság , a fogantyú-dekompozíciók , a lokális síkság , a gyűrődés és a síkbeli és magasabb dimenziós Schönflies-tétel .

A nagydimenziós topológiában a karakterisztikus osztályok alapvető invariánsok, a sebészeti elmélet pedig kulcsfontosságú elmélet.

Az alacsony dimenziós topológia erősen geometrikus, amint azt az uniformizálási tétel is tükrözi 2 dimenzióban – minden felület állandó görbületi metrikát enged meg; geometriailag a 3 lehetséges geometria egyike van: pozitív görbület / gömb alakú, nulla görbület / lapos és negatív görbület / hiperbolikus - és a geometrizáló sejtés (most tétel) 3 dimenzióban - minden 3 sokaság darabokra vágható, mindegyik amelynek a nyolc lehetséges geometria egyike van.

A 2-dimenziós topológia komplex geometriaként egy változóban tanulmányozható ( a Riemann- felületek komplex görbék) – az uniformizálási tétel alapján a metrikák minden konformális osztálya ekvivalens egy egyedi komplexnek, a 4-dimenziós topológia pedig az összetett geometria nézete két változóban (összetett felületek), bár nem minden 4-es sokaság enged bonyolult szerkezetet.

Általánosítások

Alkalmanként a topológia eszközeit kell használni, de "pontkészlet" nem áll rendelkezésre. Az értelmetlen topológiában ehelyett a nyílt halmazok rácsát tekintjük az elmélet alapfogalmának, míg a Grothendieck topológiák tetszőleges kategóriákon definiált struktúrák , amelyek lehetővé teszik az ezeken a kategóriákon lévő tekercsek meghatározását , ezzel együtt az általános kohemológia elméletek meghatározását.

Alkalmazások

Biológia

A topológiát különféle biológiai rendszerek, köztük molekulák és nanostruktúrák (pl. membrános objektumok) tanulmányozására használták. Különösen az áramköri topológiát és a csomóelméletet széles körben alkalmazták a hajtogatott fehérjék és nukleinsavak topológiájának osztályozására és összehasonlítására. Az áramköri topológia osztályozza a hajtogatott molekulaláncokat a láncon belüli kontaktusaik és lánckeresztezéseik páronkénti elrendezése alapján. A csomóelméletet , a topológia egyik ágát a biológiában használják bizonyos enzimek DNS-re gyakorolt ​​hatásának tanulmányozására. Ezek az enzimek elvágják, csavarják és újra összekapcsolják a DNS-t, csomósodást okozva megfigyelhető hatásokkal, például lassabb elektroforézissel . A topológiát az evolúciós biológiában is használják a fenotípus és a genotípus közötti kapcsolat bemutatására . A meglehetősen eltérőnek tűnő fenotípusos formákat csak néhány mutáció választja el attól függően, hogy a genetikai változások hogyan illeszkednek a fenotípusos változásokhoz a fejlődés során. Az idegtudományban topológiai mennyiségeket, például az Euler-karakterisztikát és a Betti-számot használták a neurális hálózatok aktivitási mintáinak összetettségének mérésére.

Számítástechnika

A topológiai adatok elemzése az algebrai topológiából származó technikákat használ egy halmaz nagy léptékű szerkezetének meghatározására (például annak meghatározására, hogy egy pontfelhő gömb alakú vagy toroid alakú ). A topológiai adatelemzés fő módszere a következő:

1. Cserélje le az adatpontok halmazát egyszerű komplexek családjával , amelyeket egy közelségi paraméter indexel.
2. Elemezze ezeket a topológiai komplexumokat algebrai topológiával – konkrétan a perzisztens homológia elméletével .
3. Kódolja egy adathalmaz állandó homológiáját egy Betti-szám paraméterezett változata formájában , amelyet vonalkódnak nevezünk.

A programozási nyelv szemantikájának számos ága , mint például a tartományelmélet , topológia segítségével formalizált. Ebben az összefüggésben Steve Vickers , Samson Abramsky és Michael B. Smyth munkájára építve , a topológiai tereket Boole- vagy Heyting-algebrákként jellemzi nyílt halmazokon, amelyeket félig eldönthető (egyenértékű, véges megfigyelhető) tulajdonságokként jellemeznek .

Fizika

A topológia olyan területeken releváns a fizikában, mint a kondenzált anyag fizikája , a kvantumtérelmélet és a fizikai kozmológia .

A szilárd anyagok mechanikai tulajdonságainak topológiai függősége a gépészet és az anyagtudomány tudományágaiban is érdekes . Az elektromos és mechanikai tulajdonságok az anyagokban lévő molekulák és elemi egységek elrendezésétől és hálózati szerkezetétől függenek . A gyűrött topológiák nyomószilárdságát tanulmányozzák annak érdekében, hogy megértsék az ilyen szerkezetek nagy szilárdságát a tömeghez képest, amelyek többnyire üresek. A topológia további jelentőséggel bír az érintkezési mechanikában , ahol a merevség és a súrlódás felületi struktúrák dimenziójától való függése a többtest-fizika alkalmazási területe.

A topológiai kvantumtérelmélet (vagy topológiai térelmélet vagy TQFT) egy olyan kvantumtérelmélet, amely a topológiai invariánsokat számítja ki .

Bár a TQFT-ket fizikusok találták fel, matematikailag is érdekesek, többek között a csomóelmélethez , az algebrai topológiában a négysokaságok elméletéhez és az algebrai geometriában a modulusterek elméletéhez kapcsolódnak. Donaldson , Jones , Witten és Kontsevich mind Fields-érmet nyert a topológiai térelmélettel kapcsolatos munkájukért.

A Calabi–Yau sokaságok topológiai osztályozásának fontos következményei vannak a húrelméletben , mivel a különböző sokaságok különböző típusú húrokat képesek fenntartani.

A kozmológiában a topológia használható az univerzum általános alakjának leírására . Ezt a kutatási területet téridő topológiának nevezik .

A kondenzált anyagok esetében a topológiai fizika releváns alkalmazása az egyirányú áram elérésének lehetőségéből adódik, amely a visszaszórástól védett áram. Először az elektronikában fedezték fel a híres kvantum Hall-effektussal , majd a fizika más területein általánosították, például FDM Haldane a fotonikában .

Robotika

Egy robot lehetséges pozícióit egy konfigurációs térnek nevezett sokaság segítségével írhatjuk le . A mozgástervezés területén a konfigurációs tér két pontja között lehet utakat találni. Ezek az utak a robot ízületeinek és egyéb részeinek a kívánt pózba való mozgását jelzik .

Játékok és rejtvények

Az összegabalyodásos rejtvények a puzzle formáinak és összetevőinek topológiai szempontjain alapulnak.

Fiber art

Ahhoz, hogy egy moduláris konstrukcióban darabok folytonos illesztése jöjjön létre, egy töretlen pályát kell létrehozni olyan sorrendben, amely minden darabot körülvesz, és minden élen csak egyszer halad át. Ez a folyamat az Euleri-útvonal alkalmazása .

Lásd még

Hivatkozások

Idézetek

Bibliográfia

• Aleksandrov, PS (1969) [1956], "Chapter XVIII Topology", in Aleksandrov, AD; Kolmogorov, AN; Lavrent'ev, MA (szerk.), Mathematics / Its Content, Methods and Meaning (2. kiadás), The MIT Press
• Croom, Fred H. (1989), Principles of Topology , Saunders College Publishing, ISBN 978-0-03-029804-2
• Richeson, D. (2008), Euler's Gem: The Polyhedron Formula and the Birth of Topology , Princeton University Press

További irodalom

• Ryszard Engelking , General Topology , Heldermann Verlag, Sigma Series in Pure Mathematics, 1989. december, ISBN  3-88538-006-4 .
• Bourbaki ; Elements of Mathematics: General Topology , Addison–Wesley (1966).
• Breitenberger, E. (2006). "Johann Benedict Listing". James, IM (szerk.). A topológia története . Észak-Hollandia. ISBN 978-0-444-82375-5.
• Kelley, John L. (1975). Általános topológia . Springer-Verlag . ISBN 978-0-387-90125-1.
• Brown, Ronald (2006). Topológia és csoportoidok . Booksurge. ISBN 978-1-4196-2722-4.(Jól motivált, geometriai leírást ad az általános topológiáról, és bemutatja a grupoidok használatát van Kampen tételének tárgyalásakor , a terek lefedésében és a pályaterekben .)
• Wacław Sierpiński , Általános topológia , Dover Publications, 2000, ISBN  0-486-41148-6
• Pickover, Clifford A. (2006). A Möbius Strip: Dr. August Möbius csodálatos zenekara matematikából, játékokból, irodalomból, művészetből, technikából és kozmológiából . Thunder's Mouth Press. ISBN 978-1-56025-826-1.(Népszerű bevezetést nyújt a topológiába és a geometriába)
• Gemignani, Michael C. (1990) [1967], Elementary Topology (2. kiadás), Dover Publications Inc., ISBN 978-0-486-66522-1

Külső linkek

• "Topológia, általános" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Elemi topológia: Első tanfolyam Viro, Ivanov, Netsvetaev, Kharlamov.
• Topológia a Curlie- nél
• Topológiai Állatkert a Geometriai Központban .
• Topológiai atlasz
• Aisling McCluskey és Brian McMaster, Topológia Atlas.
• Topológia szószedet
• Moszkva 1935: Topológia Amerika felé , Hassler Whitney történelmi esszéje .