Zonális gömbharmonikák - Zonal spherical harmonics

A forgási szimmetria matematikai vizsgálata során a zónás gömbharmonikusok olyan speciális gömbharmonikusok , amelyek változatlanok a forgás alatt egy adott rögzített tengelyen. A zónás gömbfüggvények a zonális gömbharmonikák fogalmának széles kiterjesztése, hogy általánosabb szimmetriacsoportot lehessen létrehozni .

A kétdimenziós gömbön az pole fokú invariáns egyedi zónás gömbharmonikája az északi pólt rögzítő forgások alatt gömb koordinátáival

${\ displaystyle Z ^ {(\ ell)} (\ theta, \ phi) = P _ {\ ell} (\ cos \ theta)}$

ahol P _ℓ egy Legendre polinom ℓ fokú. Az of fok általános zónás gömbharmonikáját jelöljük , ahol x a gömbön a rögzített tengelyt képviselő pont, és y a függvény változója. Ezt az alapvető zónális harmonikus elforgatásával lehet elérni${\ displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {y})}$${\ displaystyle Z ^ {(\ ell)} (\ theta, \ phi).}$

Az n- dimenziós euklideszi térben a zónás gömbharmonikákat az alábbiak szerint határozzuk meg. Legyen x egy pont az ( n −1) -gömbön. Határozza meg , hogy a kettős képviselet a lineáris funkcionális ${\ displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)}}$

${\ displaystyle P \ mapsto P (\ mathbf {x})}$

az _ℓ fokozatú gömbharmonikusok H _ℓ véges dimenziós Hilbert- térében. Más szavakkal, a következő reprodukáló tulajdonsággal rendelkezik:

${\ displaystyle Y (\ mathbf {x}) = \ int _ {S ^ {n-1}} Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {y}) Y (\ mathbf {y}) \, d \ Omega (y)}$

minden Y  ∈  H _{ℓ esetén} . Az integrált az invariáns valószínűségi mutatóval szemben vesszük.

Kapcsolat a harmonikus potenciállal

A zónikus harmonikusok természetesen az egységgolyó Poisson-kernelének együtthatókként jelennek meg R ^n-ben : x és y egységvektorok esetén,

${\ displaystyle {\ frac {1} {\ omega _ {n-1}}} {\ frac {1-r ^ {2}} {| \ mathbf {x} -r \ mathbf {y} | ^ {n }}} = \ összeg _ {k = 0} ^ {\ infty} r ^ {k} Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(k)} (\ mathbf {y}),}$

ahol az (n-1) -dimenziós gömb felülete. Ők is kapcsolódik a Newton kernel keresztül ${\ displaystyle \ omega _ {n-1}}$

${\ displaystyle {\ frac {1} {| \ mathbf {x} - \ mathbf {y} | ^ {n-2}}} = \ összeg _ {k = 0} ^ {\ infty} c_ {n, k } {\ frac {| \ mathbf {x} | ^ {k}} {| \ mathbf {y} | ^ {n + k-2}}} Z _ {\ mathbf {x} / | \ mathbf {x} | } ^ {(k)} (\ mathbf {y} / | \ mathbf {y} |)}$

ahol x , y  ∈  R ⁿ és c _{n , k} állandók a

${\ displaystyle c_ {n, k} = {\ frac {1} {\ omega _ {n-1}}} {\ frac {2k + n-2} {(n-2)}}.}$

A Newton kernel Taylor sorozatának együtthatói (megfelelő normalizálással) pontosan az ultrahanggal rendelkező polinomok . Így a zónás gömbharmonikusok az alábbiak szerint fejezhetők ki. Ha α = ( n −2) / 2, akkor

${\ displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {y}) = {\ frac {n + 2 \ ell -2} {n-2}} C _ {\ ell} ^ {(\ alfa)} (\ mathbf {x} \ cdot \ mathbf {y})}$

ahol c _{n , ℓ} a fenti állandók és a ℓ fok ultrahangérzékelő polinomja. ${\ displaystyle C _ {\ ell} ^ {(\ alpha)}}$

Tulajdonságok

• A zónás gömbharmonikusok forgásirányban változatlanok, vagyis ezt jelentik

${\ displaystyle Z_ {R \ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (R \ mathbf {y}) = Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {y}) }$

minden ortogonális transzformáció R . Fordítva, minden olyan funkciót, ƒ ( x , y ) az S ^{n -1} × S ^{n -1} , hogy egy gömb alakú harmonikus az Y minden egyes rögzített X , és hogy kielégíti ezt invariancia tulajdonság, egy állandó többszöröse a mértéke ℓ zonális harmonikus.

• Ha Y ₁ , ..., Y _d jelentése ortonormáiis bázis a H _ℓ , majd

${\ displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {y}) = \ összeg _ {k = 1} ^ {d} Y_ {k} (\ mathbf {x}) { \ overline {Y_ {k} (\ mathbf {y})}}.}$

• Ha x  =  y- nál értékeli, akkor megadja

${\ displaystyle Z _ {\ mathbf {x}} ^ {(\ ell)} (\ mathbf {x}) = \ omega _ {n-1} ^ {- 1} \ dim \ mathbf {H} _ {\ ell }.}$

Irodalom

• Stein, Elias ; Weiss, Guido (1971), Bevezetés az euklideszi terek Fourier elemzésébe , Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN  978-0-691-08078-9.