Koordináta vektor - Coordinate vector

A lineáris algebrában a koordinátavektor egy vektor ábrázolása, mint rendezett számlista, amely a vektort egy adott rendezett alap alapján írja le . A koordinátákat mindig rendezett alaphoz viszonyítva adjuk meg. Az alapok és a hozzájuk tartozó koordináta -ábrázolások lehetővé teszik a vektoros terek és lineáris transzformációk konkrét megvalósítását oszlopvektorok , sorvektorok és mátrixok formájában ; ezért hasznosak a számításokban.

A koordinátavektor ötlete végtelen dimenziós vektorterekhez is használható, az alábbiakban foglaltak szerint.

Meghatározás

Hadd V egy vektortér a dimenzió n keresztül mező F és hagyja

${\ displaystyle B = \ {b_ {1}, b_ {2}, \ ldots, b_ {n} \}}$

lehet megrendelni alapján a V . Ekkor mindenhez létezik egy bázisvektor egyedi lineáris kombinációja , amely egyenlő v : ${\ displaystyle v \ in V}$

${\ displaystyle v = \ alpha _ {1} b_ {1}+\ alpha _ {2} b_ {2}+\ cdots+\ alpha _ {n} b_ {n}.}$

A koordináta-vektort a v viszonyítva B jelentése a szekvencia a koordinátákat

${\ displaystyle [v] _ {B} = (\ alpha _ {1}, \ alpha _ {2}, \ ldots, \ alpha _ {n}).}$

Ezt nevezik v ábrázolásának B vonatkozásában , vagy v B ábrázolásának . Az α-kat v koordinátáinak nevezzük . Az alap sorrendje itt válik fontossá, mivel ez határozza meg, hogy az együtthatók milyen sorrendben szerepelnek a koordinátavektorban.

Koordináta vektorok véges dimenziós vektort terek leírható mátrixok például oszlop vagy sorvektorait . A fenti jelölésben lehet írni

${\ displaystyle [v] _ {B} = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {1} \\\ vdots \\\ alpha _ {n} \ end {bmatrix}}}$

és

${\ displaystyle [v] _ {B}^{T} = {\ begin {bmatrix} \ alpha _ {1} & \ alpha _ {2} & \ cdots & \ alpha _ {n} \ end {bmatrix}} }$

hol van a mátrix transzponálása . ${\ displaystyle [v] _ {B}^{T}}$${\ displaystyle [v] _ {B}}$

A standard ábrázolás

Tudjuk elgépiesít a fenti átalakulás által függvényt meghatározó , úgynevezett szabványos formában V között B , hogy úgy minden vektor koordináta képviselet: . Ezután egy lineáris transzformáció a V , hogy F ⁿ . Valójában ez izomorfizmus , és fordítottja egyszerűen ${\ displaystyle \ phi _ {B}}$${\ displaystyle \ phi _ {B} (v) = [v] _ {B}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$ ${\ displaystyle \ phi _ {B}^{-1}: F^{n} \ to V}$

${\ displaystyle \ phi _ {B}^{-1} (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) = \ alpha _ {1} b_ {1} +\ cdots +\ alpha _ {n} b_ {n}.}$

Alternatív megoldásként a kezdetektől fogva definiálhattuk volna a fenti függvényt, felismerhettük volna, hogy ez izomorfizmus, és definiálhatnánk annak inverzét. ${\ displaystyle \ phi _ {B}^{-1}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}^{-1}}$${\ displaystyle \ phi _ {B}}$

Példák

1. példa

Legyen P3 az összes algebrai polinom térfogata legfeljebb 3 (azaz x legnagyobb kitevője lehet 3). Ez a tér lineáris, és a következő polinomokkal terjed ki:

${\ displaystyle B_ {P} = \ left \ {1, x, x^{2}, x^{3} \ right \}}$

illesztés

${\ displaystyle 1: = {\ begin {bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}; \ quad x: = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \\ 0 \ end {bmatrix}}; \ quad x^{2}: = {\ begin {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \\ 0 \ end {bmatrix}}; \ quad x^{3}: = {\ start {bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \\ 1 \ end {bmatrix}}}$

akkor a polinomnak megfelelő koordinátavektor

${\ displaystyle p \ left (x \ right) = a_ {0}+a_ {1} x+a_ {2} x^{2}+a_ {3} x^{3}}$

van

${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} a_ {0} \\ a_ {1} \\ a_ {2} \\ a_ {3} \ end {bmatrix}}.}$

Ezen ábrázolás szerint a d / dx differenciálási operátort, amelyet D -nek jelölünk , a következő mátrix képviseli :

${\ displaystyle Dp (x) = P '(x); \ quad [D] = {\ begin {bmatrix} 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 3 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\\ end {bmatrix}}}$

Ezzel a módszerrel könnyű feltárni az operátor tulajdonságait, például: invertálhatóság , remetes vagy anti-remetes, vagy egyik sem , spektrum és sajátértékek stb.

2. példa

A Pauli mátrixok , amelyek a centrifugálás operátort képviselik, amikor a spin sajátállapotokat vektorkoordinátákká alakítják.

Bázistranszformációs mátrix

Legyen B és C a V vektor tér két különböző bázisa , és jelöljük meg azzal a mátrixszal, amelynek oszlopai a b ₁ , b ₂ ,…, b _n bázisvektorok C ábrázolásából állnak : ${\ displaystyle \ lbrack M \ rbrack _ {C}^{B}}$

${\ displaystyle \ lbrack M \ rbrack _ {C}^{B} = {\ begin {bmatrix} \ lbrack b_ {1} \ rbrack _ {C} & \ cdots & \ lbrack b_ {n} \ rbrack _ {C } \ end {bmatrix}}}$

Ez a mátrix nevezzük a alapján transzformációs mátrix a B és C . Meg lehet tekinteni, mint egy automor felett . Bármely B vektorban ábrázolt v vektor átalakítható C -beli ábrázolásra az alábbiak szerint: ${\ displaystyle F^{n}}$

${\ displaystyle \ lbrack v \ rbrack _ {C} = \ lbrack M \ rbrack _ {C}^{B} \ lbrack v \ rbrack _ {B}.}$

Az alaptranszformáció során vegye figyelembe, hogy az M transzformációs mátrixon a felső index és a koordinátavektor, v alszáma megegyezik, és látszólag törlik, így a fennmaradó alsó index marad. Bár ez memóriasegédként szolgálhat, fontos megjegyezni, hogy ilyen törlés vagy hasonló matematikai művelet nem történik.

Következtetés

A mátrix M jelentése invertálható mátrix és M ^-1 az alapja transzformációs mátrix a C és B . Más szavakkal,

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatornév {Id} & = \ lbrack M \ rbrack _ {C}^{B} \ lbrack M \ rbrack _ {B}^{C} = \ lbrack M \ rbrack _ { C}^{C} \\ [3pt] & = \ lbrack M \ rbrack _ {B}^{C} \ lbrack M \ rbrack _ {C}^{B} = \ lbrack M \ rbrack _ {B}^ {B} \ end {aligned}}}$

Végtelen dimenziós vektoros terek

Tegyük fel, hogy V egy végtelen dimenziós vektor tér egy F mező felett . Ha a dimenzió κ , akkor van némi alapja κ elemek V . A megrendelés kiválasztása után az alap megrendelt alapnak tekinthető. A V elemei az elemek véges lineáris kombinációi az alapban, amelyek egyedi koordináta -ábrázolásokat eredményeznek pontosan az előzőekben leírtak szerint. Az egyetlen változás az, hogy a koordináták indexelési halmaza nem véges. Mivel egy adott vektor v egy véges lineáris kombinációja alapján elemek, az egyetlen nem zérus bejegyzéseket a koordináta vektor v lesz a nem nulla együtthatókat a lineáris kombináció képviselő v . Így v koordinátavektorja nulla, kivéve véges sok bejegyzést.

A (lehetséges) végtelen dimenziós vektorterek közötti lineáris transzformációkat a véges dimenziós esettel analóg módon, végtelen mátrixokkal lehet modellezni . A speciális esete a transzformációk a V a V le van írva a teljes lineáris gyűrű cikket.

Lásd még

• Alapváltozás

Hivatkozások