Koordináta-rendszer - Coordinate system
A geometriában a koordinátarendszer olyan rendszer, amely egy vagy több számot vagy koordinátát használ , hogy egyedileg meghatározza a pontok vagy más geometriai elemek helyzetét egy sokaságon, például az euklideszi térben . Az, hogy a koordinátákat jelentős, és néha azonosított helyzetük rendezett est és néha írni, mint „az x -coordinate”. A koordinátákat valós számoknak tekintik az elemi matematikában , de lehetnek komplex számok vagy egy absztraktabb rendszer elemei, például egy kommutatív gyűrű . A koordináta -rendszer használata lehetővé teszi a geometria problémáinak számokkal kapcsolatos problémákká való fordítását és fordítva ; ez az analitikus geometria alapja .
Közös koordináta -rendszerek
Számsor
A koordinátarendszer legegyszerűbb példája az egyenes pontjainak azonosítása valós számokkal a számegyenes segítségével . Ebben a rendszerben egy tetszőleges O pontot (az origót ) választunk ki egy adott vonalon. A P pont koordinátáit az O és P közötti előjeles távolság határozza meg , ahol az előírt távolság a pozitív vagy negatív távolság, attól függően, hogy a P egyenes melyik oldalán fekszik. Minden pont egyedi koordinátát kap, és minden valós szám egy egyedi pont koordinátája.
Derékszögű koordinátarendszer
A koordinátarendszer prototípusos példája a derékszögű koordinátarendszer . A síkban két merőleges egyenest kell kiválasztani, és egy pont koordinátáit a vonalaktól előírt távolságnak kell tekinteni.
Három dimenzióban három egymásra merőleges síkot választanak ki, és egy pont három koordinátája az egyes síkok által előírt távolságok. Ez általánosítható, és n koordinátát hozhat létre az n -dimenziós euklideszi tér bármely pontjára .
A koordináta-tengelyek irányától és sorrendjétől függően a háromdimenziós rendszer lehet jobb- vagy balkezes. Ez egy a sok koordináta -rendszer közül.
Poláris koordinátarendszer
A sík másik közös koordináta -rendszere a poláris koordináta -rendszer . Egy pontot választunk pólusnak, és egy sugarat ettől a ponttól a poláris tengelynek . Adott angle szög esetén egyetlen egyenes halad át a póluson, amelynek szöge a poláris tengelyével θ (a tengelytől a vonalig ellentétesen mérve). Ekkor egy egyenes pont van ezen az egyenesen, amelynek előjelezett távolsága az origótól r az adott r számhoz . Egy adott koordinátapárhoz ( r , θ) egyetlen pont tartozik, de bármelyik pontot sok koordinátapár képviseli. Például ( r , θ), ( r , θ+2π) és ( - r , θ+π) mind ugyanazon pont poláris koordinátái. A pólust (0, θ) jelenti bármely of érték esetén.
Hengeres és gömb alakú koordináta -rendszerek
A poláris koordináta -rendszer három dimenzióra történő kiterjesztésére két általános módszer létezik. A hengeres koordinátarendszerben , a z -coordinate a jelentése ugyanaz, mint Descartes-koordinátákban adunk a r és θ polárkoordináták amely egy hármas ( R , θ , z ). A gömbkoordináták ezt egy lépéssel továbbviszik, amikor a hengeres koordinátapárt ( r , z ) poláris koordinátákká ( ρ , φ ) alakítják , így hármas ( ρ , θ , φ ).
Homogén koordinátarendszer
A sík egy pontját homogén koordinátákban egy hármas ( x , y , z ) ábrázolhatja, ahol x / z és y / z a pont derékszögű koordinátái. Ez bevezet egy "extra" koordinátát, mivel csak kettő szükséges egy pont megadásához a síkon, de ez a rendszer hasznos, mivel a végtelen használata nélkül a projektív sík bármely pontját képviseli . Általában homogén koordináta -rendszer az, ahol csak a koordináták arányai vannak szignifikánsak, és nem a tényleges értékek.
Egyéb gyakran használt rendszerek
Néhány más közös koordináta -rendszer a következő:
-
A görbületi koordináták általában a koordináta -rendszerek általánosítása; a rendszer a görbék metszéspontján alapul.
- Ortogonális koordináták : a koordinátafelületek derékszögben találkoznak
- Ferde koordináták : a koordinátafelületek nem merőlegesek
- A log-poláris koordináta-rendszer a sík egy pontját képviseli az origótól való távolság logaritmusával és az origót metsző referenciavonalból mért szöggel.
- A Plücker-koordináták a vonalak 3D euklideszi térben való ábrázolásának módja, hatszámozott számok homogén koordinátáiként .
- A mechanika lagrangiánus kezelésében általános koordinátákat használnak .
- A mechanika hamiltoni kezelésében kanonikus koordinátákat használnak .
- Barycentrikus koordináta -rendszer , amelyet a háromszoros ábrákhoz és általában a háromszögek elemzéséhez használnak .
- A háromvonalas koordinátákat a háromszögek összefüggésében használják.
Vannak módok görbék koordináták nélküli leírására, belső egyenletek használatával, amelyek változatlan mennyiségeket használnak, mint például görbület és ívhossz . Ezek tartalmazzák:
- A Whewell -egyenlet az ív hosszát és a tangenciális szöget határozza meg .
- A Cesàro -egyenlet az ív hosszát és görbületét határozza meg.
A geometriai objektumok koordinátái
A koordináta -rendszereket gyakran használják egy pont helyzetének megadására, de bonyolultabb alakok, például egyenesek, síkok, körök vagy gömbök helyzetének megadására is . Például a Plücker -koordinátákkal határozzák meg egy vonal térbeli helyzetét. Ha szükség van, hogy milyen típusú ábrán leírásra kerülő megkülönböztetésére típusú koordináta rendszerben, például a kifejezés vonal koordinátáit használják olyan koordináta-rendszer, amely meghatározza a helyzetét egy vonal.
Előfordulhat, hogy két különböző geometriai ábra halmazának koordináta -rendszerei elemzésük szempontjából egyenértékűek. Erre példa a projekciós sík pontjaira és egyeneseire vonatkozó homogén koordináta -rendszerek. A két rendszer ilyen esetben dualisztikusnak mondható . A dualisztikus rendszerek rendelkeznek azzal a tulajdonsággal, hogy az egyik rendszerből származó eredményeket át lehet vinni a másikba, mivel ezek az eredmények csak ugyanazon elemzési eredmény különböző értelmezéseit jelentik; ezt a kettősség elvének nevezik .
Átalakítások
Mivel gyakran sok különböző lehetséges koordináta -rendszer létezik a geometriai ábrák leírására, fontos megérteni, hogyan kapcsolódnak egymáshoz. Az ilyen összefüggéseket olyan koordináta -transzformációk írják le, amelyek képleteket adnak az egyik rendszerben lévő koordinátákhoz a másik rendszer koordinátái szerint. Például a síkban, ha a derékszögű koordináták ( x , y ) és a polárkoordináták ( r , θ ) azonos eredetűek, és a poláris tengely a pozitív x tengely, akkor a poláris és derékszögű koordináták közötti transzformációt a x = r cos θ és y = r sin θ .
A térből önmagába történő minden vetítéshez két koordináta -transzformáció társítható:
- úgy, hogy az egyes pontok képének új koordinátái megegyeznek az eredeti pont régi koordinátáival (a leképezés képletei fordítottjaik a koordináta -transzformációéval)
- úgy, hogy minden pont képének régi koordinátái megegyeznek az eredeti pont új koordinátáival (a leképezés képletei megegyeznek a koordináta -transzformációval)
Például az 1D -ben , ha a leképezés 3 -as fordítása jobbra, az első az origót 0 -ról 3 -ra mozgatja, így minden pont koordinátája 3 -mal kisebb lesz, míg a második 0 -tól 3 -ig , így minden pont koordinátája további 3 lesz.
Koordináta vonalak/görbék és síkok/felületek
Két dimenzióban, ha egy pontkoordináta -rendszer egyik koordinátáját állandó értéken tartjuk, és a másik koordinátát hagyjuk változni, akkor a kapott görbét koordinátagörbének nevezzük . A derékszögű koordinátarendszerben a koordinátagörbék valójában egyenesek , tehát koordinátavonalak . Konkrétan ezek az egyik koordináta -tengellyel párhuzamos egyenesek. Más koordináta -rendszerek esetében a koordinátagörbék általános görbék lehetnek. Például az r állandó értéken tartásával kapott koordinátagörbék a poláris koordinátákban azok a körök, amelyek középpontja az origó. Azt a koordinátarendszert, amelynek egyes koordinátagörbéi nem egyenesek, görbe vonalú koordináta -rendszernek nevezzük . Ennek az eljárásnak nem mindig van értelme, például nincsenek koordináta görbék egy homogén koordinátarendszerben .
Háromdimenziós térben, ha az egyik koordinátát állandó értéken tartjuk, és a másik kettőt hagyjuk változni, akkor a kapott felületet koordinátafelületnek nevezzük . Például a gömbkoordináta -rendszerben ρ állandó értéken tartásával kapott koordinátafelületek azok a gömbök, amelyek középpontjában az origó található. A háromdimenziós térben két koordinátafelület metszéspontja koordinátagörbe. A derékszögű koordinátarendszerben beszélhetünk koordinátasíkokról .
Hasonlóképpen, a koordináta hiperfelületek az ( n -1) dimenziós terek, amelyek egy n -dimenziós koordinátarendszer egyetlen koordinátájának rögzítéséből származnak .
Koordináta térképek
A koordináta -térkép vagy koordináta -diagram fogalma központi szerepet játszik az elosztók elméletében. A koordináta -térkép lényegében egy adott tér egy részhalmazának koordináta -rendszere, azzal a tulajdonsággal, hogy minden pontnak pontosan egy koordináta -halmaza van. Pontosabban, a koordináta -térkép egy homeomorfizmus egy X tér nyitott részhalmazából R n nyitott részhalmazába . Gyakran nem lehetséges egy egységes koordináta -rendszer biztosítása egy teljes térre. Ebben az esetben a koordináta -térképek gyűjteményét összeállítják, hogy atlaszt képezzenek a térről. Az ilyen atlaszttal felszerelt teret elosztócsőnek nevezik, és egy további struktúra definiálható az elosztón, ha a szerkezet konzisztens, ahol a koordináta -térképek átfedik egymást. Például a differenciálható sokaság olyan sokaság, ahol a koordináták egyik koordináta -térképről a másikra történő megváltoztatása mindig differenciálható függvény.
Tájékozódáson alapuló koordináták
A geometriában és a kinematikában a pontok (lineáris) helyzetének és a tengelyek, síkok és merev testek szöghelyzetének leírására koordináta -rendszereket használnak . Ez utóbbi esetben a második (jellemzően "helyi") koordináta -rendszer tájolását, amely a csomóponthoz van rögzítve, az első (jellemzően "globális" vagy "világ" koordináta -rendszer) alapján határozzák meg. Például egy merev test orientációját egy orientációs mátrix ábrázolhatja , amely három oszlopában három pont derékszögű koordinátáit tartalmazza. Ezekkel a pontokkal határozzák meg a helyi rendszer tengelyeinek orientációját; ezek a három tengelyhez igazított egységvektor csúcsai .
Lásd még
- Abszolút szögmomentum
- Alfanumerikus rács
- A tengelyek konvenciói a mérnöki munkában
- Égi koordináta -rendszer
- Koordinátamentes
- Törtkoordináták
- Referencia Keret
- Galilei átalakulás
- Rácshivatkozás
- Nomogram , különböző koordináta -rendszerek grafikus ábrázolása
- Referenciarendszer
- A tengelyek forgása
- Tengelyek fordítása
Relativisztikus koordináta -rendszerek
Hivatkozások
Idézetek
Források
- Voitsekhovskii, MI; Ivanov, AB (2001) [1994], "Koordináták" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
- Woods, Frederick S. (1922). Magasabb geometria . Ginn és Társa, 1 o.
- Shigeyuki Morita; Teruko Nagase; Katsumi Nomizu (2001). Differenciálformák geometriája . AMS könyvesbolt. o. 12. ISBN 0-8218-1045-6.