Hatékony cselekvés - Effective action

A kvantumtérelméletben , a kvantum hatékony fellépés egy módosított kifejezés a klasszikus akció figyelembevételével kvantum korrekciókat, miközben biztosítja, hogy a hatáselv vonatkozik, ami azt jelenti, hogy extremizing a hatékony fellépés megkapjuk az egyenletek a mozgás a vákuum várható értékek a kvantumos mezők. A hatékony hatás generáló funkcióként is működik az egyrészecskes irreducibilis korrelációs függvényekhez . A hatékony cselekvés potenciális összetevőjét effektív potenciálnak nevezik , ahol a valódi vákuum elvárható értéke e potenciál minimuma, nem pedig a klasszikus potenciál, ezért fontos a spontán szimmetriatörés tanulmányozásához .

Ez volt az első meghatározott perturbatively által Jeffrey Goldstone és Steven Weinberg 1962, míg a nem-perturbatív definíció bevezetése által Bryce DeWitt 1963-ban, és egymástól függetlenül Giovanni Jona-Lasinio 1964.

A cikk során egyetlen skaláris mezővel fogunk foglalkozni , de az összes eredmény könnyen általánosítható több skaláris vagy fermionikus mezőre.

Funkcionális funkciók generálása

Ezek a generációs funkcionálisok a statisztikai mechanikában és az információelméletben is alkalmazhatók , némileg eltérő tényezőkkel és előjelekkel.${\ displaystyle i}$

Egy kvantumtérelméletben cselekvés teljes mértékben leírt pályaintegrál formalizmus segítségével a partíció funkcionális${\ displaystyle S [\ phi]}$

${\ displaystyle Z [J] = \ int {\ mathcal {D}} \ phi e^{iS [\ varphi]+i \ int d^{4} x \ varphi (x) J (x)}.}$

Mivel klasszikus külső áram jelenlétében vákuumból vákuumba való átmenetnek felel meg, zavartan értékelhető, mint az összes csatlakoztatott és szétkapcsolt Feynman-diagram összege . Ez a korrelációs függvények generáló funkciója is ${\ displaystyle J (x)}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {\ phi}} (x_ {1}) \ pöttyök {\ kalap {\ phi}} (x_ {n}) \ rangle = (-i)^{n} {\ frac { 1} {Z [J]}} {\ frac {\ delta ^{n} Z [J]} {\ delta J (x_ {1}) \ pont \ delta J (x_ {n})}}} {\ bigg |} _ {J = 0},}$

ahol a skaláris mező operátorait jelöli . Meg lehet határozni egy másik hasznos generáló függvényt, amely felelős a kapcsolódó korrelációs függvények létrehozásáért ${\ displaystyle {\ hat {\ phi}} (x)}$${\ displaystyle W [J] =-i \ ln Z [J]}$

${\ displaystyle \ langle {\ hat {\ phi}} (x_ {1}) \ cdots {\ hat {\ phi}} (x_ {n}) \ rangle _ {\ text {con}} = (-i) ^{n-1} {\ frac {\ delta ^{n} W [J]} {\ delta J (x_ {1}) \ pont \ delta J (x_ {n})}}} {\ bigg |} _ {J = 0},}$

amelyet perturbatívan számolunk az összes csatlakoztatott diagram összegeként. Itt az összefüggést a klaszterbontási tétel értelmében értelmezzük, vagyis a korrelációs függvények nagy térköz -elkülönítéseknél megközelítik a nullát. Az általános korrelációs függvényeket mindig összekapcsolt korrelációs függvények szorzatának összegeként írhatjuk fel.

A kvantum hatékony fellépés meghatározása a Legendre transzformáció a${\ displaystyle W [J]}$

${\ displaystyle \ Gamma [\ phi] = W [J _ {\ phi}]-\ int d^{4} xJ _ {\ phi} (x) \ phi (x),}$

hol van az a forrásáram, amelyre a skaláris mező elvárható értéke van , gyakran klasszikus mezőnek nevezik, és amely implicit módon a megoldás ${\ displaystyle J _ {\ phi}}$${\ displaystyle \ phi (x)}$

Példa egy diagramra, amely nem egyszemcsés irreducibilis.

Példa egy diagramra, amely egy részecskével nem redukálható.

${\ displaystyle \ phi (x) = \ langle {\ hat {\ phi}} (x) \ rangle _ {J} = {\ frac {\ delta W [J]} {\ delta J (x)}}. }$

Várakozási értékként a klasszikus mezőt úgy lehet felfogni, mint a kvantum ingadozások súlyozott átlagát a skaláris mezőt okozó áram jelenlétében . A Legendre -transzformáció funkcionális deriváltját figyelembe véve a hozamok tekintetében${\ displaystyle J (x)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$

${\ displaystyle J _ {\ phi} (x) =-{\ frac {\ delta \ Gamma [\ phi]} {\ delta \ phi (x)}}.}$

Forrás hiányában a fentiek azt mutatják, hogy a mezők vákuumvárakozási értéke inkább a kvantumhatásos hatást, mint a klasszikus hatást extrémálja. Ez nem más, mint a legkisebb cselekvés elve a teljes kvantumtér -elméletben. Az ok, amiért a kvantumelmélet megköveteli ezt a módosítást, az útintegrál perspektívából származik, mivel minden lehetséges terepi konfiguráció hozzájárul az útintegrálhoz, míg a klasszikus mezőelméletben csak a klasszikus konfigurációk járulnak hozzá. ${\ displaystyle J _ {\ phi} (x) = 0}$

A hatékony cselekvés egyrészes irreducibilis (1PI) korrelációs függvények generálási funkciója is . Az 1PI diagramok összekapcsolt grafikonok, amelyeket egyetlen belső vonal levágásával nem lehet két részre bontani. Ezért van

${\ displaystyle \ langle {\ hat {\ phi}} (x_ {1}) \ pöttyök {\ kalap {\ phi}} (x_ {n}) \ rangle _ {1PI} =-i {\ frac {\ delta ^{n} \ Gamma [\ phi]} {\ delta \ phi (x_ {1}) \ pöttyök \ delta \ phi (x_ {n})}} {\ bigg |} _ {J = 0},}$

A lét az összessége 1PI Feynman-diagramok. A szoros kapcsolat és azt jelenti, hogy korrelációs funkcióik között számos nagyon hasznos kapcsolat van. Például a kétpontos korrelációs függvény, amely nem kevesebb, mint a szaporító , az 1PI kétpontos korrelációs függvény fordítottja ${\ displaystyle \ Gamma [\ phi]}$${\ displaystyle W [J]}$${\ displaystyle \ Gamma [\ phi]}$ ${\ displaystyle \ Delta (x, y)}$

${\ displaystyle \ Delta (x, y) = {\ frac {\ delta ^{2} W [J]} {\ delta J (x) \ delta J (y)}} = {\ frac {\ delta \ phi (x)} {\ delta J (y)}} = {\ bigg (} {\ frac {\ delta J (y)} {\ delta \ phi (x)}} {\ bigg)}^{-1} =-{\ bigg (} {\ frac {\ delta ^{2} \ Gamma (\ phi)} {\ delta \ phi (x) \ delta \ phi (y)}} {\ bigg)} ^{-1 } =-\ Pi ^{-1} (x, y).}$

A hatékony hatás kiszámításának módszerei

Az 1PI diagramok összegeként a hatékony hatás perturbatív módon történő kiszámításának közvetlen módja az összes 1PI vákuumdiagram összegzése az eltolt műveletből származó Feynman -szabályok alapján . Ez azért működik, mert minden hely, ahol megjelenik bármelyik terjesztőben vagy csúcspontban, olyan hely, ahol külső vonal rögzíthető. Ez nagyon hasonlít a háttérmező módszeréhez, amely a hatékony hatás kiszámítására is használható. ${\ displaystyle \ Gamma [\ phi _ {0}]}$${\ displaystyle S [\ phi +\ phi _ {0}]}$${\ displaystyle \ phi _ {0}}$${\ displaystyle \ phi}$

Alternatív megoldásként a művelet egy hurkos közelítése megtalálható, ha figyelembe vesszük a partíciófüggvény kibővítését a klasszikus vákuumvárakozási érték mező konfiguráció körül , így ${\ displaystyle \ phi (x) = \ phi _ {\ text {cl}} (x)+\ delta \ phi (x)}$

${\ displaystyle \ Gamma [\ phi _ {\ text {cl}}] = S [\ phi _ {\ text {cl}}]+{\ frac {i} {2}} {\ text {Tr}} { \ bigg [} \ ln {\ frac {\ delta ^{2} S [\ phi]} {\ delta \ phi (x) \ delta \ phi (y)}} {\ bigg |} _ {\ phi = \ phi _ {\ text {cl}}} {\ bigg]}+\ cdots.}$

Szimmetriák

Szimmetriák a klasszikus akció nem automatikusan szimmetriáit kvantum hatékony fellépés . Ha a klasszikus cselekvésnek bizonyos szimmetriája van, bizonyos funkcióktól függően${\ displaystyle S [\ phi]}$${\ displaystyle \ Gamma [\ phi]}$${\ displaystyle F [x, \ phi]}$

${\ displaystyle \ phi (x) \ rightarrow \ phi (x)+\ epsilon F [x, \ phi],}$

akkor ez közvetlenül korlátokat szab

${\ displaystyle 0 = \ int d^{4} x \ langle F [x, \ phi] \ rangle _ {J _ {\ phi}} {\ frac {\ delta \ Gamma [\ phi]} {\ delta \ phi (x)}}.}$

Ez az identitás példa egy szlavnov-Taylor identitásra . Ez megegyezik azzal a követelménysel, hogy a hatékony hatás változatlan a szimmetria -transzformáció során

${\ displaystyle \ phi (x) \ rightarrow \ phi (x)+\ epsilon \ langle F [x, \ phi] \ rangle _ {J _ {\ phi}}.}$

Ez a szimmetria megegyezik a lineáris szimmetriák fontos osztályának eredeti szimmetriájával

${\ displaystyle F [x, \ phi] = a (x)+\ int d^{4} y \ b (x, y) \ phi (y).}$

A nemlineáris függvények esetében a két szimmetria általában különbözik, mivel a nemlineáris függvény átlaga nem egyenlő az átlag függvényével.

Domborúság

A perturbáció elméletén keresztül szerzett látszólagos effektív potenciált a valódi effektív potenciálhoz kell igazítani, szaggatott vonallal mutatva azon a területen, ahol a kettő nem ért egyet.${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle V (\ phi)}$

Térfogatú téridő esetén az effektív potenciált úgy definiáljuk . A Hamilton , az effektív potenciál át mindig ad a minimális várható értéke az energiasűrűség az állapotok halmaza kielégítő . Erre a több állapotra vonatkozó meghatározásra azért van szükség, mert több különböző állapot, amelyek mindegyike egy adott forrásáramnak felel meg, ugyanazt a várakozási értéket eredményezheti. Továbbá kimutatható, hogy az effektív potenciál szükségszerűen konvex függvény . ${\ displaystyle {\ mathcal {V}} _ {4}}$${\ displaystyle V (\ phi) =-\ Gamma [\ phi]/{\ mathcal {V}} _ {4}}$ ${\ displaystyle H}$${\ displaystyle V (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi (x)}$ ${\ displaystyle \ langle \ Omega | H | \ Omega \ rangle}$${\ displaystyle | \ Omega \ rangle}$${\ displaystyle \ langle \ Omega | {\ hat {\ phi}} | \ Omega \ rangle = \ phi (x)}$ ${\ displaystyle V "(\ phi) \ geq 0}$

Az effektív potenciál perturbatív kiszámítása néha nem konvex eredményt adhat, például két lokális minimummal rendelkező potenciált . A valódi effektív potenciál azonban továbbra is domború, és megközelítőleg lineáris lesz ott, ahol a látszólagos hatékony potenciál nem konvex. Az ellentmondás akkor fordul elő, ha olyan helyzetben van dolgunk, amelyben a vákuum instabil, míg a zavaráselmélet szükségszerűen feltételezi, hogy a vákuum stabil. Vegyük például egy látszólagos effektív potenciál két lokális minimumok, amelynek várható értékek és a várható értékek az egyes államok és rendre. Ezután a nem konvex régió bármelyikét meg lehet szerezni egyesek számára ${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi _ {1}}$${\ displaystyle \ phi _ {2}}$${\ displaystyle | \ Omega _ {1} \ rangle}$${\ displaystyle | \ Omega _ {2} \ rangle}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle \ lambda \ in [0,1]}$

${\ displaystyle | \ Omega \ rangle \ propto {\ sqrt {\ lambda}} | \ Omega _ {1} \ rangle +{\ sqrt {1- \ lambda}} | \ Omega _ {2} \ rangle.}$

Ennek az állapotnak az energiasűrűsége azonban azt jelenti, hogy nem lehet a megfelelő effektív potenciál, mivel nem minimalizálta az energiasűrűséget. Inkább a valódi effektív potenciál egyenlő vagy alacsonyabb, mint ez a lineáris konstrukció, amely visszaállítja a konvexitást. ${\ displaystyle \ lambda V_ {0} (\ phi _ {1})+(1- \ lambda) V_ {0} (\ phi _ {2}) <V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle V_ {0} (\ phi)}$${\ displaystyle \ phi}$${\ displaystyle V (\ phi)}$

Lásd még

• Háttérmező módszer
• Korrelációs függvény
• Útintegrál készítmény
• Renormalizációs csoport
• A spontán szimmetria megszakad

Hivatkozások

További irodalom

• A. Das: Field Theory: A Path Integral Approach , World Scientific Publishing 2006
• MD Schwartz: Quantum Field Theory and the Standard Model , Cambridge University Press, 2014
• DJ Toms: The Schwinger Action Principle and Effective Action , Cambridge University Press 2007
• S. Weinberg: The Quantum Theory of Fields , II. Kötet, Cambridge University Press 1996