Csoportelmélet -Group theory

Algebrai szerkezet → Csoportelmélet Csoportelmélet
Alapfogalmak Alcsoport Normál alcsoport Hányados csoport (Fél) közvetlen termék Csoporthomomorfizmusok kernel kép közvetlen összeg koszorú termék egyszerű véges végtelen folyamatos multiplikatív adalékanyag ciklikus abeli diéderes nilpotens megoldható akció A csoportelmélet szószedete Csoportelméleti témák listája
Véges csoportok Véges egyszerű csoportok osztályozása ciklikus váltakozó Hazugság típus szórványos Cauchy-tétel Lagrange-tétel Sylow-tételek Hall tétele p-csoport Elemi Abel-csoport Frobenius csoport Schur szorzó Szimmetrikus csoport S n Klein négycsoportos V Diéder csoport D n Q Quaternion csoport Diciklikus csoport Dic n
Diszkrét csoportok Rácsok Egész számok ( )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Ingyenes csoport Moduláris csoportok PSL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ SL(2, )${\displaystyle \mathbb {Z} }$ Aritmetikai csoport Rács Hiperbolikus csoport
Topológiai és Lie csoportok Szolenoid Kör Általános lineáris GL( n ) Speciális lineáris SL( n ) Ortogonális O( n ) Euklideszi E( n ) Speciális ortogonális SO( n ) Egységes U( n ) Speciális egységes SU( n ) Symplectic Sp( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Konformális Diffeomorfizmus Hurok Végtelen dimenziós hazugságcsoport O(∞) SU(∞) Sp(∞)
Algebrai csoportok Lineáris algebrai csoport Reduktív csoport Abeli ​​fajta Elliptikus görbe
v t e

A matematikában és az absztrakt algebrában a csoportelmélet a csoportokként ismert algebrai struktúrákat vizsgálja . A csoport fogalma központi szerepet játszik az absztrakt algebrában: más jól ismert algebrai struktúrák, mint például a gyűrűk , mezők és vektorterek , mind további műveletekkel és axiómákkal felruházott csoportoknak tekinthetők . A csoportok ismétlődnek a matematikában, és a csoportelmélet módszerei az algebra számos részét befolyásolták. A lineáris algebrai csoportok és a Lie-csoportok a csoportelmélet két olyan ága, amelyek fejlődésen mentek keresztül, és önálló tantárgyakká váltak.

Különféle fizikai rendszerek, mint például a kristályok és a hidrogénatom , valamint a világegyetem négy ismert alapvető ereje közül három szimmetriacsoportokkal modellezhető . Így a csoportelméletnek és a hozzá szorosan kapcsolódó reprezentációs elméletnek számos fontos alkalmazása van a fizikában , a kémiában és az anyagtudományban . A csoportelmélet központi szerepet játszik a nyilvános kulcsú titkosításban is .

A csoportelmélet korai története a XIX. A 20. század egyik legfontosabb matematikai vívmánya a több mint 10 000 folyóiratoldalt felölelő és többnyire 1960 és 2004 között publikált együttműködés volt, amely a véges egyszerű csoportok teljes osztályozásában tetőzött .

A csoportok főbb osztályai

A vizsgált csoportok köre fokozatosan bővült a véges permutációs csoportoktól és a mátrixcsoportok speciális példáitól az absztrakt csoportokig, amelyeket generátorok és relációk segítségével lehet megadni .

Permutációs csoportok

A csoportok első osztálya , amelyen szisztematikus vizsgálaton esett át, a permutációs csoportok voltak . Tetszőleges X halmaz és X önmagába való bijekcióinak G gyűjteménye ( permutációként ismert ), amely kompozíciók és inverzek alatt zárva van, G egy X - re ható csoport . Ha X n elemből áll, és G az összes permutációt tartalmazza, akkor G az S _n szimmetrikus csoport ; általában bármely G permutációs csoport az X szimmetrikus csoportjának alcsoportja . Egy Cayley -nek köszönhető korai konstrukció bármely csoportot permutációs csoportként mutatott be, amely önmagára hatott ( X = G ) a bal oldali reguláris reprezentáció segítségével .

Sok esetben egy permutációs csoport szerkezete tanulmányozható a megfelelő halmazra gyakorolt ​​hatásának tulajdonságaival. Például ezzel bizonyítjuk, hogy n ≥ 5 esetén az A _n váltakozó csoport egyszerű , azaz nem enged be megfelelő normál részcsoportokat . Ez a tény kulcsszerepet játszik abban, hogy az n ≥ 5 fokú általános algebrai egyenlet gyökökben nem oldható meg .

Mátrix csoportok

A csoportok következő fontos osztályát a mátrixcsoportok vagy lineáris csoportok adják . Itt G egy adott n rendű invertálható mátrixokból álló halmaz egy K mező felett , amely a szorzatok és az inverzek alatt zárt. Egy ilyen csoport lineáris transzformációkkal hat a K ⁿ n - dimenziós vektortérre . Ez a művelet a mátrixcsoportokat fogalmilag hasonlóvá teszi a permutációs csoportokhoz, és a művelet geometriája hasznosan felhasználható a G csoport tulajdonságainak megállapítására .

Átalakító csoportok

A permutációs csoportok és a mátrixcsoportok a transzformációs csoportok speciális esetei: olyan csoportok, amelyek egy bizonyos X térre hatnak, megőrizve annak belső szerkezetét. Permutációs csoportok esetén X egy halmaz; mátrixcsoportok esetén X egy vektortér . A transzformációs csoport fogalma szorosan összefügg a szimmetriacsoport fogalmával : a transzformációs csoportok gyakran minden olyan transzformációból állnak, amelyek megőriznek egy bizonyos struktúrát.

A transzformációs csoportok elmélete a csoportelméletet a differenciálgeometriával összekötő hidat képez . A Lie és Klein -től származó kutatások hosszú sora a homeomorfizmusok vagy diffeomorfizmusok sokrétű csoportos akcióit vizsgálja . Maguk a csoportok lehetnek diszkrétek vagy folyamatosak .

Absztrakt csoportok

A csoportelmélet fejlődésének első szakaszában a legtöbb csoport „konkrét” volt, számok, permutációk vagy mátrixok révén valósult meg. Csak a tizenkilencedik század végén kezdett elterjedni az absztrakt csoport mint egy bizonyos axiómarendszert kielégítő műveletek halmazának elképzelése. Egy absztrakt csoport meghatározásának tipikus módja a generátorok és relációk bemutatása ,

${\displaystyle G=\langle S|R\rangle .}$

Az absztrakt csoportok jelentős forrását a G csoport faktorcsoportjának vagy hányadoscsoportjának , G / H - nak a felépítése adja egy normál H alcsoport által . Az algebrai számmezők osztálycsoportjai a faktorcsoportok legkorábbi példái közé tartoztak, amelyek nagy érdeklődésre tartanak számot a számelméletben . Ha egy G csoport permutációs csoport egy X halmazon, akkor a G / H faktorcsoport már nem hat X -re ; de az absztrakt csoport gondolata lehetővé teszi, hogy ne aggódjunk emiatt az eltérés miatt.

A konkrétról az absztrakt csoportokra történő perspektívaváltás természetessé teszi a csoportok olyan tulajdonságainak figyelembe vételét, amelyek függetlenek egy adott realizációtól, vagy a modern nyelven izomorfizmus alatt invariáns , valamint az adott tulajdonsággal rendelkező csoportok osztályait: véges csoportokat , periodikus csoportok , egyszerű csoportok , megoldható csoportok stb. Ahelyett, hogy egy egyéni csoport tulajdonságait vizsgálnánk, olyan eredményeket próbálunk megállapítani, amelyek a csoportok egész osztályára vonatkoznak. Az új paradigma kiemelkedő jelentőségű volt a matematika fejlődése szempontjából: az absztrakt algebra megalkotását vetítette előre Hilbert , Emil Artin , Emmy Noether és iskolájuk matematikusai munkáiban .

Csoportok kiegészítő szerkezettel

A csoport fogalmának fontos kidolgozása következik be, ha G további struktúrával van felruházva, nevezetesen egy topológiai térrel , differenciálható sokasággal vagy algebrai változattal . Ha a csoportműveletek m (szorzás) és i (inverzió),

${\displaystyle m:G\times G\to G,(g,h)\mapsto gh,\quad i:G\to G,g\mapsto g^{-1},}$

kompatibilisek ezzel a szerkezettel, azaz folytonos , sima vagy szabályos (algebrai geometria értelmében vett) térképek, akkor G egy topológiai csoport , egy Lie csoport vagy egy algebrai csoport .

Az extra struktúra jelenléte az ilyen típusú csoportokat más matematikai diszciplínákkal kapcsolja össze, és azt jelenti, hogy több eszköz áll rendelkezésre a vizsgálatukhoz. A topológiai csoportok az absztrakt harmonikus elemzés természetes tartományát képezik , míg a Lie-csoportok (amelyek gyakran transzformációs csoportokként valósulnak meg) a differenciálgeometria és az egységes ábrázoláselmélet támaszai . Bizonyos, általánosságban nem megoldható osztályozási kérdéseket a csoportok speciális alosztályaira is meg lehet közelíteni és meg lehet oldani. Így a kompakt összekapcsolt hazugságcsoportok teljesen besorolásra kerültek. Gyümölcsöző kapcsolat van a végtelen absztrakt csoportok és a topológiai csoportok között: amikor egy Γ csoport rácsként megvalósítható egy G topológiai csoportban , a G -re vonatkozó geometria és elemzés fontos eredményeket hoz Γ -ről . A véges csoportok elméletének egy viszonylag új irányzata kihasználja kapcsolataikat kompakt topológiai csoportokkal ( profinit csoportokkal ): például egyetlen p -adikus analitikus G csoport hányadoscsaláddal rendelkezik, amelyek különböző rendű és tulajdonságú véges p - csoportok . G értéke véges hányadosainak tulajdonságaira fordítódik le.

A csoportelmélet ágai

Véges csoportelmélet

A huszadik század folyamán a matematikusok mélyrehatóan vizsgálták a véges csoportok elméletének egyes aspektusait, különösen a véges csoportok lokális elméletét és a megoldható és nilpotens csoportok elméletét . Ennek eredményeként sikerült a véges egyszerű csoportok teljes osztályozását elérni, ami azt jelenti, hogy ma már ismertek mindazok az egyszerű csoportok , amelyekből minden véges csoport felállítható.

A huszadik század második felében a matematikusok, mint például Chevalley és Steinberg , a klasszikus csoportok véges analógjairól és más rokon csoportokról is jobban megértették. Az egyik ilyen csoportcsalád a véges mezők feletti általános lineáris csoportok családja . A véges csoportok gyakran előfordulnak matematikai vagy fizikai objektumok szimmetriájának figyelembevételekor , amikor ezek az objektumok csak véges számú szerkezetmegőrző transzformációt engednek meg. A Lie - csoportok elméletét , amely a " folytonos szimmetriával " foglalkozónak tekinthetjük , erősen befolyásolják a kapcsolódó Weyl - csoportok . Ezek véges csoportok, amelyeket a reflexiók generálnak, és amelyek egy véges dimenziós euklideszi térre hatnak . A véges csoportok tulajdonságai tehát szerepet játszhatnak olyan tárgyakban, mint az elméleti fizika és a kémia .

Csoportok képviselete

Ha azt mondjuk, hogy egy G csoport egy X halmazra hat , az azt jelenti, hogy G minden eleme egy bijektív térképet határoz meg az X halmazon a csoportstruktúrával kompatibilis módon. Ha X -nek több szerkezete van, célszerű ezt a fogalmat tovább szűkíteni : G reprezentációja V vektortéren csoporthomomorfizmus :

${\displaystyle \rho :G\to \operátornév {GL} (V),}$

ahol GL ( V ) V invertálható lineáris transzformációiból áll . Más szavakkal, minden g elemhez hozzárendelünk egy ρ ( g ) automorfizmust úgy, hogy ρ ( g ) ∘ ρ ( h ) = ρ ( gh ) G bármely h esetén .

Ez a meghatározás két irányban értelmezhető, mindkettő a matematika teljesen új területeit eredményezi. Egyrészt új információt adhat a G csoportról: gyakran a G -beli csoportművelet absztrakt módon adott, de ρ -n keresztül a mátrixok szorzásának felel meg , ami nagyon explicit. Másrészt, ha egy jól érthető csoport egy bonyolult tárgyon cselekszik, ez leegyszerűsíti a kérdéses tárgy tanulmányozását. Például, ha G véges, akkor ismert, hogy a fenti V irreducibilis részekre bomlik (lásd Maschke tételét ). Ezek a részek viszont sokkal könnyebben kezelhetők, mint az egész V ( Schur lemmáján keresztül ).

Adott egy G csoport , a reprezentációelmélet ezután megkérdezi, hogy G - nek milyen reprezentációi léteznek. Számos beállítás létezik, és az alkalmazott módszerek és a kapott eredmények minden esetben eltérőek: a véges csoportok reprezentációelmélete és a Lie-csoportok reprezentációja az elmélet két fő részterülete. A reprezentációk összességét a csoport karakterei szabályozzák . Például a Fourier-polinomok értelmezhetők U(1) karaktereiként, az 1 abszolút értékű komplex számok csoportjaként , amelyek a periodikus függvények L ^{2 -terére hatnak.}

Hazugságelmélet

A Lie csoport olyan csoport , amely egyben differenciálható sokaság is , azzal a tulajdonsággal, hogy a csoportműveletek kompatibilisek a sima szerkezettel . A hazugságcsoportok Sophus Lie nevéhez fűződik , aki lefektette a folyamatos transzformációs csoportok elméletének alapjait . A groupes de Lie kifejezés először 1893-ban jelent meg franciául Lie tanítványának , Arthur Tresse -nek a 3. oldalán.

A hazugságcsoportok a matematikai objektumok és struktúrák folytonos szimmetriájának legjobban kidolgozott elméletét képviselik , ami nélkülözhetetlen eszközzé teszi őket a kortárs matematika és a modern elméleti fizika számos részében . Természetes keretet adnak a differenciálegyenletek folytonos szimmetriájának elemzéséhez ( differenciál - Galois-elmélet ), ugyanúgy, mint a permutációs csoportokat a Galois-elméletben az algebrai egyenletek diszkrét szimmetriáinak elemzésére . Lie egyik fő motivációja volt a Galois-elmélet kiterjesztése a folytonos szimmetriacsoportokra.

Kombinatorikus és geometriai csoportelmélet

A csoportokat többféleképpen is leírhatjuk. A véges csoportok az összes lehetséges szorzást tartalmazó csoporttáblázat felírásával írhatók le g • h . A csoport meghatározásának egy kompaktabb módja a generátorok és kapcsolatok , más néven csoport bemutatása . Adott bármely F generátorhalmaz , az F által generált szabad csoport a G csoportba kerül . Ennek a térképnek a magját a relációk alcsoportjának nevezzük, amelyet valamilyen D részhalmaz generál . A prezentációt általában a következővel jelölik. Például a csoportos bemutató egy olyan csoportot ír le, amely izomorf egy karakterláncot, amely generátorszimbólumokból áll, és azok inverzeit szónak nevezzük . ${\displaystyle \{g_{i}\}_{i\in I}}$${\displaystyle \langle F\mid D\rangle .}$${\displaystyle \langle a,b\mid aba^{-1}b^{-1}\rangle }$${\displaystyle \mathbb {Z} \times \mathbb {Z} .}$

A kombinatorikus csoportelmélet a csoportokat a generátorok és kapcsolatok szemszögéből vizsgálja. Ez különösen akkor hasznos, ha a végességi feltevések teljesülnek, például véges csoportok, vagy végesen bemutatott csoportok (vagyis a relációk végesek). A terület a gráfok alapvető csoportjaik révén történő összekapcsolását használja fel . Például megmutathatjuk, hogy egy szabad csoport minden alcsoportja szabad.

Számos természetes kérdés merül fel abból, ha egy csoportot bemutatunk. A szóprobléma azt kérdezi, hogy két szó valójában ugyanaz a csoportelem. Ha a problémát a Turing-gépekhez kapcsoljuk , akkor megmutathatjuk, hogy általában nincs algoritmus , amely megoldaná ezt a feladatot. Egy másik, általában nehezebb, algoritmikusan megoldhatatlan probléma a csoportizomorfizmus-probléma , amely azt kérdezi, hogy két különböző prezentációval adott csoport valóban izomorf-e. Például a bemutatott csoport izomorf az egész számok Z additív csoportjával , bár ez nem biztos, hogy azonnal nyilvánvaló. ${\displaystyle \langle x,y\mid xyxyx=e\rangle ,}$

A geometriai csoportelmélet geometriai nézőpontból támadja meg ezeket a problémákat, akár úgy, hogy a csoportokat geometriai objektumoknak tekinti, akár úgy, hogy megfelelő geometriai objektumokat talál, amelyeken egy csoport cselekszik. Az első elképzelést a Cayley gráf teszi precízsé , amelynek csúcsai a csoportelemeknek, élei pedig a csoport jobb oldali szorzásának felelnek meg. Adott két elem, az egyik megszerkeszti a szómetrikát , amelyet az elemek közötti minimális útvonal hossza adja. Milnor és Svarc tétele ekkor azt mondja, hogy adott egy G csoport , amely ésszerű módon működik egy X metrikus téren , például egy kompakt sokaságon , akkor G kváziizometrikus ( azaz távolról hasonlónak tűnik) az X térhez .

Csoportok kapcsolata és szimmetria

Bármilyen strukturált X objektum esetén a szimmetria az objektum önmagára való leképezése, amely megőrzi a struktúrát. Ez sok esetben előfordul pl

1. Ha X egy további struktúra nélküli halmaz, akkor a szimmetria egy bijektív leképezés a halmazból önmagára, amely permutációs csoportokat eredményez.
2. Ha az X objektum a síkban lévő pontok halmaza a metrikus szerkezetével vagy bármely más metrikus térrel , a szimmetria a halmaznak önmagára való bijektálása , amely megőrzi az egyes pontpárok közötti távolságot ( izometria ). A megfelelő csoportot X izometria csoportjának nevezzük .
3. Ha ehelyett a szögeket megőrizzük, konformális térképekről beszélünk . A konformális térképek például Klein-csoportokat eredményeznek .
4. A szimmetriák nem korlátozódnak a geometriai objektumokra, hanem magukban foglalják az algebrai objektumokat is. Például az egyenletnek két megoldása és . Ebben az esetben a két gyöket felcserélő csoport az egyenlethez tartozó Galois-csoport . Minden polinomiális egyenletnek egy változóban van egy Galois-csoportja, vagyis egy bizonyos permutációs csoport a gyökerén.${\displaystyle x^{2}-3=0}$${\displaystyle {\sqrt {3}}}$${\displaystyle -{\sqrt {3}}}$

Egy csoport axiómái formalizálják a szimmetria lényeges aspektusait . A szimmetriák egy csoportot alkotnak: zártak , mert ha veszünk egy objektum szimmetriáját, majd egy másik szimmetriát alkalmazunk, az eredmény akkor is szimmetria lesz. Az objektumot fixen tartó identitás mindig egy objektum szimmetriája. Az inverzek létezését a szimmetria feloldása garantálja, az asszociativitás pedig abból adódik, hogy a szimmetriák függvények egy téren, a függvények összetétele pedig asszociatív.

Frucht tétele azt mondja, hogy minden csoport egy gráf szimmetriacsoportja . Tehát minden absztrakt csoport valójában valamilyen explicit objektum szimmetriája.

Egy tárgy "szerkezetének megőrzése" mondása kategorizálással pontosítható . A szerkezetet megőrző térképek ekkor a morfizmusok , a szimmetriacsoport pedig az adott objektum automorfizmuscsoportja .

A csoportelmélet alkalmazásai

A csoportelmélet alkalmazásai bővelkednek. Az absztrakt algebra szinte minden szerkezete a csoportok speciális esete. A gyűrűk például Abel-csoportokként tekinthetők (amelyek az összeadásnak felelnek meg) egy második művelettel együtt (ami a szorzásnak felel meg). Ezért ezeknek az entitásoknak az elméletének nagy része a csoportelméleti érvek hátterében áll.

Galois elmélet

A Galois-elmélet csoportokat használ a polinomok gyökeinek szimmetriáinak (pontosabban az ezen gyökök által generált algebrák automorfizmusainak) leírására. A Galois-elmélet alaptétele kapcsolatot biztosít az algebrai térkiterjesztések és a csoportelmélet között. Hatékony kritériumot ad a polinomiális egyenletek megoldhatóságára a megfelelő Galois-csoport megoldhatósága szempontjából . Például S ₅ , az 5 elemből álló szimmetrikus csoport nem oldható meg, ami azt jelenti, hogy az általános kvintikus egyenlet nem oldható meg gyökökkel, ahogyan az alacsonyabb fokú egyenletek. Az elméletet, amely a csoportelmélet egyik történelmi gyökere, még mindig eredményesen alkalmazzák új eredmények eléréséhez olyan területeken, mint az osztálymezőelmélet .

Algebrai topológia

Az algebrai topológia egy másik tartomány, amely kiemelkedően csoportokat társít az elméletet érdeklő objektumokhoz. Ott a csoportokat a topológiai terek bizonyos invariánsainak leírására használják . Ezeket "invariánsoknak" nevezik, mert úgy vannak definiálva, hogy nem változnak, ha a tér valamilyen deformációnak van kitéve . Például az alapcsoport „megszámolja”, hogy a térben hány út különbözik egymástól. A Poincaré-sejtés , amelyet 2002/2003-ban Grigori Perelman bizonyított , ennek a gondolatnak a kiemelkedő alkalmazása. A hatás azonban nem egyirányú. Például az algebrai topológia Eilenberg–MacLane tereket használ, amelyek előírt homotópiacsoportokkal rendelkező terek . Hasonlóképpen az algebrai K-elmélet a csoportok tereinek osztályozására támaszkodik . Végül egy végtelen csoport torziós részcsoportjának neve mutatja a topológia csoportelméleti örökségét.

Algebrai geometria

Az algebrai geometria is sokféleképpen használja a csoportelméletet. Az Abeli-féle fajtákat fentebb bemutattuk. A csoportos működés jelenléte többletinformációt ad, amely különösen hozzáférhetővé teszi ezeket a fajtákat. Gyakran tesztként is szolgálnak új sejtésekhez. Az egydimenziós esetet, nevezetesen az elliptikus görbéket különösen részletesen tanulmányozzuk. Mind elméletileg, mind gyakorlatilag érdekesek. Egy másik irányban a tórikus változatok olyan algebrai változatok , amelyekre egy tórusz hat . A toroidális beágyazások a közelmúltban az algebrai geometria fejlődéséhez vezettek, különösen a szingularitások felbontásában .

Algebrai számelmélet

Az algebrai számelmélet néhány fontos alkalmazáshoz csoportokat használ. Például az Euler-féle termékképlet ,

${\displaystyle {\begin{aligned}\sum _{n\geq 1}{\frac {1}{n^{s}}}&=\prod _{p{\text{ prime}}}{\frac {1}{1-p^{-s}}},\\\end{aligned}}\!}$

azt a tényt rögzíti , hogy bármely egész szám egyedi módon bomlik fel prímszámokra . Ennek az állításnak az általánosabb gyűrűkre vonatkozó kudarca osztálycsoportokat és reguláris prímszámokat eredményez , amelyek Kummer Fermat utolsó tételének kezelésében szerepelnek .

Harmonikus elemzés

A Lie csoportok és bizonyos más csoportok elemzését harmonikus elemzésnek nevezzük . A Haar-mértékeket , vagyis a fordítás alatt invariáns integrálokat egy Lie csoportban, mintafelismerésre és más képfeldolgozási technikákra használják.

Kombinatorika

A kombinatorikában a permutációs csoport fogalmát és a csoportos cselekvés fogalmát gyakran használják az objektumok halmazának leegyszerűsítésére; lásd különösen Burnside lemmáját .

Zene

A 12 -es periodicitás jelenléte a kvint- körben az elemi csoportelmélet zenei halmazelméleti alkalmazását eredményezi . A transzformációs elmélet a zenei transzformációkat egy matematikai csoport elemeiként modellezi.

Fizika

A fizikában a csoportok azért fontosak, mert leírják azokat a szimmetriákat, amelyeknek a fizika törvényei látszólag engedelmeskednek. Noether tétele szerint egy fizikai rendszer minden folytonos szimmetriája megfelel a rendszer megmaradási törvényének . A fizikusokat nagyon érdeklik a csoportreprezentációk, különösen a Lie-csoportok, mivel ezek a reprezentációk gyakran utat mutatnak a „lehetséges” fizikai elméletek felé. A csoportok fizikában való használatára példák a szabványos modell , a mérőműszer elmélet , a Lorentz-csoport és a Poincaré-csoport .

A csoportelmélet felhasználható a Willard Gibbs által kidolgozott mechanika statisztikai értelmezéseinek hiányosságának feloldására , amely végtelen számú valószínűség összegzésével kapcsolatos értelmes megoldáshoz.

Kémia és anyagtudomány

A kémiában és az anyagtudományban a pontcsoportokat a szabályos poliéderek osztályozására, a molekulák szimmetriáit és a tércsoportokat pedig a kristályszerkezetek osztályozására használják . A hozzárendelt csoportok ezután felhasználhatók fizikai tulajdonságok (például kémiai polaritás és kiralitás ), spektroszkópiai tulajdonságok meghatározására (különösen hasznos Raman-spektroszkópiához , infravörös spektroszkópiához , cirkuláris dikroizmus spektroszkópiához, mágneses cirkuláris dikroizmus spektroszkópiához, UV/Vis spektroszkópiához és fluoreszcens spektroszkópiához). és molekuláris pályák megalkotása .

A molekuláris szimmetria a vegyületek számos fizikai és spektroszkópiai tulajdonságáért felelős, és releváns információkat szolgáltat a kémiai reakciók végbemeneteléről. Ahhoz, hogy egy adott molekulához egy pontcsoportot rendeljünk, meg kell találni a rajta található szimmetriaműveletek halmazát. A szimmetriaművelet egy művelet, például egy tengely körüli forgatás vagy egy tükörsíkon keresztül történő visszaverődés. Más szavakkal, ez egy olyan művelet, amely a molekulát úgy mozgatja, hogy az megkülönböztethetetlen az eredeti konfigurációtól. A csoportelméletben a forgástengelyeket és a tükörsíkokat "szimmetriaelemeknek" nevezik. Ezek az elemek lehetnek egy pont, egyenes vagy sík, amelyre nézve a szimmetriaműveletet végrehajtják. Egy molekula szimmetriaműveletei határozzák meg ennek a molekulának a konkrét pontcsoportját.

A kémiában öt fontos szimmetriaművelet létezik. Ezek az identitásművelet ( E) , a forgatási művelet vagy a megfelelő forgatás ( C _n ), a reflexiós művelet ( σ ), az inverzió ( i ) és a forgásreflexiós művelet vagy a helytelen elforgatás ( S _n ). Az azonosítási művelet ( E ) abból áll, hogy a molekulát úgy hagyjuk, ahogy van. Ez bármely tengely körül tetszőleges számú teljes elforgatással egyenértékű. Ez az összes molekula szimmetriája, míg egy királis molekula szimmetriacsoportja csak az azonossági műveletből áll. Az azonossági művelet minden molekulára jellemző, még akkor is, ha nincs szimmetriája. A tengely körüli forgatás ( C _n ) abból áll, hogy a molekulát egy adott tengely körül meghatározott szöggel elforgatjuk. Ez a 360°/ n szögben történő elforgatás , ahol n egy egész szám, egy forgástengely körül. Például, ha egy vízmolekula 180°-kal elfordul az oxigénatomon áthaladó tengely körül és a hidrogénatomok között , akkor ugyanabban a konfigurációban van, mint amilyennek indult. Ebben az esetben n = 2 , mivel kétszeri alkalmazása az azonosságműveletet eredményezi. Az egynél több forgástengellyel rendelkező molekulákban a legnagyobb _n értékű Cn tengely a legmagasabb rendű forgástengely vagy főtengely. Például a bór-trifluoridban (BF ₃ ) a legmagasabb rendű forgástengely C ₃ , tehát a fő forgástengely C ₃ .

A reflexiós műveletben ( σ ) sok molekulának van tükörsíkja, bár ezek nem feltétlenül nyilvánvalóak. A reflexiós művelet balra és jobbra cserél, mintha minden pont merőlegesen haladt volna a síkon keresztül egy olyan helyre, amely pontosan olyan távol van a síktól, mint amikor elindult. Ha a sík merőleges a fő forgástengelyre, σ _h -nak (vízszintes) nevezzük. Más síkokat, amelyek a fő forgástengelyt tartalmazzák, függőlegesnek ( σ _v ) vagy kétéderesnek ( σ _d ) jelölik.

Az inverzió (i ) bonyolultabb művelet. Minden egyes pont a molekula közepén át az eredeti pozícióval ellentétes pozícióba mozog, és olyan távol van a központi ponttól, ahonnan indult. Sok olyan molekula, amely első pillantásra úgy tűnik, hogy rendelkezik inverziós központtal, nincs; például a metánból és más tetraédermolekulákból hiányzik az inverziós szimmetria. Ennek megtekintéséhez tartson egy metánmodellt, amelyben a jobb oldalon két hidrogénatom, a bal oldalon pedig a vízszintes síkban két hidrogénatom található. Az inverzió két hidrogénatomot eredményez a jobb oldalon a vízszintes síkban és két hidrogénatomot a bal oldalon a függőleges síkban. Az inverzió tehát nem a metán szimmetriaművelete, mert az inverziós műveletet követő molekula orientációja eltér az eredeti orientációtól. Az utolsó művelet pedig a helytelen elforgatás vagy a forgási visszaverődési művelet ( S _n ) 360°/ n -es elforgatást igényel , amit a forgástengelyre merőleges síkon való visszaverődés követ.

Kriptográfia

Az elliptikus görbe kriptográfiában felépített nagyon nagy elsődleges sorrendű csoportok szolgálnak nyilvános kulcsú titkosításhoz . Az ilyen típusú kriptográfiai módszerek a geometriai objektumok rugalmasságából, ebből fakadóan csoportstruktúrájukból, valamint e csoportok bonyolult felépítéséből profitálnak, ami nagyon megnehezíti a diszkrét logaritmus kiszámítását. Az egyik legkorábbi titkosítási protokoll, a Caesar's cipher (nagyon egyszerű) csoportos műveletként is értelmezhető. A legtöbb kriptográfiai séma valamilyen módon csoportokat használ. A Diffie–Hellman kulcscsere véges ciklikus csoportokat használ. Tehát a csoportalapú kriptográfia kifejezés leginkább azokra a kriptográfiai protokollokra vonatkozik, amelyek végtelen nem-nabeli csoportokat használnak, például egy fonatcsoportot.

Történelem

A csoportelméletnek három fő történelmi forrása van: a számelmélet , az algebrai egyenletek elmélete és a geometria . A számelméleti szálat Leonhard Euler indította el , és Gaussnak a másodfokú mezőkkel kapcsolatos moduláris aritmetikai és additív és multiplikatív csoportokról szóló munkája dolgozta ki . A permutációs csoportokra vonatkozó korai eredményeket Lagrange , Ruffini és Abel szerezte, amikor nagyfokú polinomegyenletek általános megoldásait keresték. Évariste Galois megalkotta a "csoport" kifejezést, és kapcsolatot hozott létre, amelyet ma Galois-elméletként ismernek , a születőben lévő csoportelmélet és a mezőelmélet között . A geometriában a csoportok először a projektív geometriában , majd később a nem euklideszi geometriában váltak fontossá . Felix Klein Erlangen programja a csoportelméletet hirdette a geometria szervezőelvének.

Galois az 1830-as években volt az első, aki csoportokat alkalmazott a polinomiális egyenletek megoldhatóságának meghatározására . Arthur Cayley és Augustin Louis Cauchy a permutációs csoportok elméletének megalkotásával vitték tovább ezeket a vizsgálatokat. A csoportok második történeti forrása geometriai helyzetekből fakad . Felix Klein kezdeményezte az Erlangen-programot , hogy a csoportelmélet segítségével megragadja a lehetséges geometriákat (például az euklideszi , hiperbolikus vagy projektív geometriát ) . A Sophus Lie 1884-ben kezdett el csoportokat (ma Lie-csoportok ) használni, amelyek az analitikai problémákhoz kapcsolódnak. Harmadszor, az algebrai számelméletben eleinte implicit, később pedig kifejezetten használták a csoportokat .

E korai források eltérő terjedelme eltérő csoportfogalmakat eredményezett. A csoportelméletet 1880 körül egységesítették. Azóta a csoportelmélet hatása folyamatosan növekszik, ami a 20. század elején az absztrakt algebra , a reprezentációelmélet és még sok más befolyásos spin-off tartomány megszületését eredményezte. A véges egyszerű csoportok osztályozása egy hatalmas munka a 20. század közepétől, amely az összes véges egyszerű csoportot osztályozza .

Lásd még

• Csoportelméleti témák listája
• Példák csoportokra

Megjegyzések

Hivatkozások

• Borel, Armand (1991), Lineáris algebrai csoportok , Graduate Texts in Mathematics, vol. 126 (2. kiadás), Berlin, New York: Springer-Verlag , doi : 10.1007/978-1-4612-0941-6 , ISBN 978-0-387-97370-8, MR  1102012
• Carter, Nathan C. (2009), Vizuális csoportelmélet , Tantermi erőforrások sorozata, Amerikai Matematikai Szövetség , ISBN 978-0-88385-757-1, MR  2504193
• Cannon, John J. (1969), "Computers in group theory: A felmérés", Communications of the ACM , 12 : 3–12, doi : 10.1145/362835.362837 , MR  0290613 , S2CID  18226463
• Frucht, R. (1939), "Herstellung von Graphen mit vorgegebener abstrakter Gruppe" , Compositio Mathematica , 6 : 239–50, ISSN  0010-437X , archiválva az eredetiből 2008.12.01 .
• Golubitsky, Martin ; Stewart, Ian (2006), "A hálózatok nemlineáris dinamikája: a csoportoid formalizmus", Bull. Amer. Math. Soc. (NS) , 43 (3): 305–364, doi : 10.1090/S0273-0979-06-01108-6 , MR  2223010Megmutatja a csoportról groupoidra történő általánosítás előnyeit .
• Judson, Thomas W. (1997), Abstract Algebra: Theory and Applications Bevezető egyetemi szöveg Gallian vagy Herstein szövegeinek szellemében, amely csoportokra, gyűrűkre, integrál tartományokra, mezőkre és Galois-elméletre vonatkozik. Ingyenesen letölthető PDF nyílt forráskódú GFDL licenccel.
• Kleiner, Israel (1986), "A csoportelmélet evolúciója: rövid felmérés", Mathematics Magazine , 59 (4): 195–215, doi : 10.2307/ 2690312 , ISSN  0025-570X , JSTOR  26909028 , 3MR09028 
• La Harpe, Pierre de (2000), Témák a geometriai csoportelméletben , University of Chicago Press , ISBN 978-0-226-31721-2
• Livio, M. (2005), Az egyenlet, amelyet nem lehetett megoldani: Hogyan fedezte fel a matematikai zseni a szimmetria nyelvét , Simon és Schuster, ISBN 0-7432-5820-7A csoportelmélet gyakorlati értékét közvetíti azáltal, hogy elmagyarázza, hogyan mutat rá a szimmetriákra a fizikában és más tudományokban.
• Mumford, David (1970), Abel-féle fajták , Oxford University Press , ISBN 978-0-19-560528-0, OCLC  138290
• Ronan M. , 2006. Szimmetria és a szörny . Oxford University Press. ISBN  0-19-280722-6 . Laikus olvasóknak. Leírja a küldetést, hogy megtaláljuk a véges csoportok alapvető építőelemeit.
• Rotman, Joseph (1994), Bevezetés a csoportok elméletébe , New York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-94285-8 Szabványos kortárs referencia.
• Schupp, Paul E .; Lyndon, Roger C. (2001), Kombinatorikus csoportelmélet , Berlin, New York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-41158-1
• Scott, WR (1987) [1964], Group Theory , New York: Dover, ISBN 0-486-65377-3Olcsó és meglehetősen olvasmányos, de némileg elavult a hangsúly, a stílus és a jelölés.
• Shatz, Stephen S. (1972), Profinite csoportok, aritmetika és geometria , Princeton University Press , ISBN 978-0-691-08017-8, MR  0347778
• Weibel, Charles A. (1994), Bevezetés a homológiai algebrába , Cambridge Studies in Advanced Mathematics, vol. 38, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-55987-4, MR  1269324 , OCLC  36131259

Külső linkek

• Az absztrakt csoportfogalom története
• Magasabb dimenziós csoportelmélet Ez a csoportelméletet egy olyan elmélet első szintjeként mutatja be, amely minden dimenzióra kiterjed, és alkalmazható a homotópiaelméletben és a lokális-globális problémák magasabb dimenziós nem-nabeli módszereiben.
• Plusz tanári és hallgatói csomag: Csoportelmélet Ez a csomag a Cambridge-i Egyetem Millennium Mathematics Projectje által készített Plus online matematikai magazin csoportelméletről szóló összes cikkét tartalmazza , amely alkalmazásokat és közelmúltbeli áttöréseket tár fel, valamint konkrét definíciókat és példákat ad csoportok.
• Burnside, William (1911), "Groups, Theory of"  , in Chisholm, Hugh (szerk.), Encyclopædia Britannica , vol. 12 (11. kiadás), Cambridge University Press, 626–636.Ez a csoportelmélet egykorú megértésének részletes ismertetése a terület egy korai kutatója által.