Haar intézkedés - Haar measure

A matematikai elemzésben a Haar -mérték "invariáns térfogatot" rendel a helyileg kompakt topológiai csoportok részhalmazaihoz , következésképpen definiálja az ezen csoportok funkcióinak integrálját .

Ezt az intézkedést Haar Alfréd vezette be 1933 -ban, bár a hazug csoportokra vonatkozó különleges esetét Adolf Hurwitz vezette be 1897 -ben "változatlan integrál" néven. A Haar -mértékeket az elemzés , a számelmélet , a csoportelmélet , a reprezentációelmélet , a statisztika , a valószínűségelmélet és az ergodikus elmélet számos részében használják .

Előzetesek

Legyen egy lokálisan kompakt Hausdorff topológiai csoport . Az összes nyitott részhalmaza által generált -algebrát Borel -algebrának nevezzük . A Borel algebra egyik elemét Borel halmaznak nevezzük . Ha egy olyan eleme, és egy részhalmaza , akkor határozza meg a bal és jobb lefordítja az a g a következők szerint: ${\ displaystyle (G, \ cdot)}$ ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S}$

• Fordítás balra:

${\ displaystyle gS = \ {g \ cdot s \,: \, s \ in S \}.}$

• Jobb fordítás:

${\ displaystyle Sg = \ {s \ cdot g \,: \, s \ in S \}.}$

A bal és a jobb oldal lefordítja a Borel halmazokat a Borel halmazokra.

Egy intézkedés a Borel részhalmaza az úgynevezett bal fordítás-invariáns , ha minden Borel részhalmaza és minden embernek ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S \ subseteq G}$${\ displaystyle g \ in G}$

${\ displaystyle \ mu (gS) = \ mu (S). \ quad}$

Egy intézkedés a Borel részhalmaza az úgynevezett jobb fordítást-invariáns , ha minden Borel részhalmaza és minden embernek ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle S \ subseteq G}$${\ displaystyle g \ in G}$

${\ displaystyle \ mu (Sg) = \ mu (S). \ quad}$

Haar tétele

Van, akár pozitív multiplikatív konstans, egyedi megszámlálható adalék , nem triviális, az intézkedés a Borel részhalmaza megfelel az alábbi tulajdonságokkal rendelkezik: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle G}$

• Az intézkedés marad-translation-invariáns: minden és minden Borel halmazok .${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (gS) = \ mu (S)}$${\ displaystyle g \ in G}$${\ displaystyle S \ subseteq G}$
• Az intézkedés minden kompakt készleten véges: minden kompaktnál .${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu (K) <\ infty}$${\ displaystyle K \ subseteq G}$
• Az intézkedés a külső rendszeres a Borel-készletek :${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle S \ subseteq G}$

${\ displaystyle \ mu (S) = \ inf \ {\ mu (U): S \ subseteq U, U {\ text {open}} \}.}$

• Az intézkedés a belső rendszeres nyílt készletek :${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle U \ subseteq G}$

${\ displaystyle \ mu (U) = \ sup \ {\ mu (K): K \ subseteq U, K {\ text {compact}} \}.}$

Az ilyen mértéket bal Haar -mértéknek nevezik . A fenti tulajdonságok következményeként kimutatható, hogy minden nem üres nyitott részhalmazra . Különösen, ha kompakt, akkor véges és pozitív, így egyedileg megadhatunk egy bal Haar -mértéket a normalizációs feltétel hozzáadásával . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mu (U)> 0}$${\ displaystyle U \ subseteq G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mu (G)}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mu (G) = 1}$

A teljes analógiával, egy is bizonyítani a létezését és egyediségét a jobb Haar intézkedés az . A két intézkedésnek nem kell egybeesnie. ${\ displaystyle G}$

Egyes szerzők inkább Haar -mértéket határoznak meg Baire halmazokon , mint Borel halmazokon. Ez szükségtelenné teszi a rendszerességi feltételeket, mivel a Baire -intézkedések automatikusan szabályosak. Halmos meglehetősen zavaróan használja a "Borel halmaz" kifejezést a kompakt halmazok által generált gyűrű elemeire , és ezeken a halmazokon határozza meg a Haar mértékeket. ${\ displaystyle \ sigma}$

A bal Haar -mérték kielégíti a belső szabályszerűségi feltételt minden véges Borel halmaz esetén, de lehet, hogy nem minden Borel halmaz belső belső szabályossága . Például az egységkör szorzata (a szokásos topológiájával) és a valódi vonal a diszkrét topológiával egy helyileg kompakt csoport, amelynek termék topológiája van, és Haar -mértéke ezen a csoporton belül nem szabályos a zárt részhalmazban . (Ennek a függőleges szegmensnek a kompakt részhalmazai véges halmazok, és a pontoknak mértékegysége van , tehát ennek a függőleges szegmensnek bármely kompakt részhalmazának mértéke . De a külső szabályszerűség segítségével kimutatható, hogy a szegmens végtelen mértékű.) ${\ displaystyle \ sigma}$${\ displaystyle \ {1 \} \ alkalommal [0,1]}$${\ displaystyle 0}$${\ displaystyle 0}$

A bal oldali Haar mérték létezését és egyediségét (skálázásig) először André Weil bizonyította teljes általánosságban . Weil bizonyítása a választott axiómát használta , Henri Cartan pedig bizonyítékot szolgáltatott, amely elkerülte használatát. Cartan bizonyítéka a létezést és az egyediséget is egyszerre állapítja meg. Alfsen 1963-ban leegyszerűsítette és teljes mértékben beszámolt Cartan érveléséről . Haar 1933-ban mutatta be a változatlan mértékű különleges esetet a másodlagosan megszámlálható, helyileg kompakt csoportok esetében.

Példák

• Ha egy diszkrét csoport , akkor a kompakt részhalmazok egybeesnek a véges részhalmazokkal, és a (bal és jobb változatlan) Haar -mérték a számláló mérték . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$
• A Haar -mérték a topológiai csoportban, amely az intervallum értékét veszi fel , megegyezik a Lebesgue -mérték korlátozásával a Borel -alcsoportokra . Ezt általánosítani lehet${\ displaystyle (\ mathbb {R},+)}$${\ displaystyle 1}$${\ displaystyle [0,1]}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (\ mathbb {R} ^{n},+).}$
• Annak érdekében, hogy meghatározzák a Haar intézkedés a kör-csoport , úgy a függvény származó rá által meghatározott . Ezután definiálható ${\ displaystyle \ mu}$ ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$${\ displaystyle f}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle \ mathbb {T}}$${\ displaystyle f (t) = (\ cos (t), \ sin (t))}$${\ displaystyle \ mu}$

  ${\ displaystyle \ mu (S) = {\ frac {1} {2 \ pi}} m \ left (f^{-1} (S) \ right),}$

  hol van a Lebesgue -mérték . A tényezőt úgy választják meg . ${\ displaystyle m}$${\ displaystyle [0,2 \ pi]}$${\ displaystyle (2 \ pi)^{-1}}$${\ displaystyle \ mu (\ mathbb {T}) = 1}$
• Ha a szorzás alatti pozitív valós számok csoportja, akkor Haar -mértéket adunk meg ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mu}$

  ${\ displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {\ frac {1} {t}} \, dt}$

  a pozitív valós számok bármely Borel -részhalmazára . Például, ha intervallumnak tekintjük, akkor megtaláljuk . Most hagyjuk, hogy a multiplikatív csoport szóló törvény ezt az intervallumot szorzata annak minden elemét egy szám , ami pedig az intervallum mérési ez az új intervallum találunk${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle [a, b]}$${\ displaystyle \ mu (S) = \ log (b/a)}$${\ displaystyle g}$${\ displaystyle gS}$${\ displaystyle [g \ cdot a, g \ cdot b].}$${\ displaystyle \ mu (gS) = \ log ((g \ cdot b)/(g \ cdot a)) = \ log (b/a) = \ mu (S).}$
• Ha a nem nulla valós számok csoportja, szorzással, mint művelet, akkor egy Haar mértéket ad meg ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mu}$

  ${\ displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {\ frac {1} {| t |}} \, dt}$

  a nem nulla valóságok bármelyik Borel részhalmazára . ${\ displaystyle S}$
• Az általános lineáris csoport esetében bármely bal Haar -mérték jobb Haar -mérték, és egy ilyen mértéket a ${\ displaystyle G = GL (n, \ mathbb {R})}$${\ displaystyle \ mu}$

  ${\ displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {1 \ over | \ det (X) |^{n}} \, dX}$

  ahol a Lebesgue mértékét jelöli az összes mátrix halmazával azonosítva . Ez a változók változásának képletéből következik . ${\ displaystyle dX}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n ^{2}}}$${\ displaystyle n \ alkalommal n}$
• Általánosítva az előző három példa, ha a csoport képviseli, mint egy nyitott submanifold a sima csoport műveletek, majd egy balra Haar intézkedés adják , ahol a Jacobi-determinánsa a bal szorzás és a Lebesgue mérték . Ez a változók változásának képletéből következik . A helyes Haar -mértéket ugyanígy adjuk meg, kivéve azzal, hogy jakobiánus a helyes szorzás . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}}^{n}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle {\ frac {1} {| J (x) |}} d^{n} x}$${\ displaystyle J (x)}$${\ displaystyle x}$${\ displaystyle d^{n} x}$${\ displaystyle {\ mathbb {R}}^{n}}$${\ displaystyle J (x)}$${\ displaystyle x}$
• Hagy kell a készlet minden affin lineáris transzformációk a formában néhány fix azzal társítani a működését funkció készítmény , amely bekapcsolja egy nem-Abel-csoport. lehet azonosítani a megfelelő fél sík , amelyek alapján a csoport művelet válik egy baloldali invariáns Haar intézkedés (rendre egy jobb invariáns Haar intézkedés ) a adják ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle A: \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R}}$${\ displaystyle r \ mapsto xr+y}$${\ displaystyle x, y \ in \ mathbb {R}}$${\ displaystyle x> 0.}$${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle \ circ}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle (0, \ infty) \ times \ mathbb {R} = \ left \ {(x, y) ~: ~ x, y \ in \ mathbb {R}, x> 0 \ right \}}$${\ displaystyle (s, t) \ circ (u, v) = (su, sv+t).}$${\ displaystyle \ mu _ {L}}$${\ displaystyle \ mu _ {R}}$${\ displaystyle G = (0, \ infty) \ times \ mathbb {R}}$

  ${\ displaystyle \ mu _ {L} (S) = \ int _ {S} {\ frac {1} {x^{2}}} \, dx \, dy}$     és     ${\ displaystyle \ mu _ {R} (S) = \ int _ {S} {\ frac {1} {x}} \, dx \, dy}$

  minden Borel részhalmaza az Ennek az az oka, ha egy nyitott részhalmaza majd rögzíteni, az integráció helyettesítéssel ad ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G = (0, \ infty) \ times \ mathbb {R}.}$${\ displaystyle S \ subseteq (0, \ infty) \ times \ mathbb {R}}$${\ displaystyle (s, t) \ in G}$

  ${\ displaystyle \ mu _ {L} ((s, t) \ circ S) = \ int _ {(s, t) \ circ S} {\ frac {1} {x^{2}}} \, dx \, dy = \ int _ {S} {\ frac {1} {(su)^{2}}} | (ok)-(0) (0) | \, du \, dv = \ mu _ {L} (S)}$

  míg fix, ${\ displaystyle (u, v) \ in G}$

  ${\ displaystyle \ mu _ {R} (S \ circ (u, v)) = \ int _ {S \ circ (u, v)} {\ frac {1} {x}} \, dx \, dy = \ int _ {S} {\ frac {1} {su}} | (u) (1)-(v) (0) | \, ds \, dt = \ mu _ {R} (S).}$

• Bármely dimenzió hazugságcsoportban a bal Haar-mérték bármelyik nulla nem bal-invariáns alakhoz társítható , mint a Lebesgue-mérték ; és hasonlóan a jobb Haar intézkedésekhez. Ez azt is jelenti, hogy a moduláris függvény kiszámítható a szomszédos ábrázolás determinánsának abszolút értékeként . ${\ displaystyle d}$${\ displaystyle d}$ ${\ displaystyle \ omega}$ ${\ displaystyle | \ omega |}$
• A mértékegység-hiperbola csoportként vehető szaporítás szerint, osztott komplex számokkal. A félhold szokásos területmérője arra szolgál, hogy a hiperbolikus szöget a hiperbolikus szektor területének határozza meg . Az egység -hiperbola Haar -mértékét a hiperbolán lévő szegmensek hiperbolikus szöge generálja. Például egy egység mértékét az (1,1) és (e, 1/e) közötti szegmens adja, ahol e Euler száma . A hiperbolikus szöget kihasználták a matematikai fizikában, a gyorsaság pedig a klasszikus sebesség helyett áll . ${\ displaystyle \ {(x, y): x^{2} -y^{2} = 1, x> 0 \}}$ ${\ displaystyle z = x+yj, \ \ j^{2} =+1.}$${\ displaystyle C = \ {(x, y): | y | <x, \ \ x^{2} -y^{2} <1 \}}$
• Ha a nullától eltérő kvaterniók csoportja , akkor a rész nyitott részhalmazának tekinthetjük . Haar mértékét a ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$${\ displaystyle \ mu}$

  ${\ displaystyle \ mu (S) = \ int _ {S} {\ frac {1} {(x^{2}+y^{2}+z^{2}+w^{2})^{2 }}} \, dx \, dy \, dz \, dw}$

  ahol a Lebesgue mértéket jelöli, és Borel részhalmaza . ${\ displaystyle dx \ ék dy \ ék dz \ ék dw}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{4}}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle G}$
• Ha az adalékanyag csoport -adic számok az elsődleges , majd a Haar intézkedés által hagyta van intézkedés , ahol a gyűrű -adic egészek. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a+p^{n} O}$${\ displaystyle p^{-n}}$${\ displaystyle O}$${\ displaystyle p}$

Haar -intézkedés építése

Kompakt részhalmazokat használó konstrukció

A Haar -mérték megalkotásának következő módszere lényegében a Haar és Weil által használt módszer.

Minden nem üres részhalmaz esetén határozza meg a fedél legkisebb fordításának számát (tehát ez nem negatív egész vagy végtelen). Ez nem additív kompakt halmazok , bár ez nem az a tulajdonsága, hogy a diszjunkt kompakt halmazok , feltéve, hogy egy kellően kis nyitott szomszédságában identitás (attól függően, és ). A Haar -mérték ötlete az, hogy egyfajta korlátot veszünk, amikor kisebb lesz, hogy additív legyen minden szétválasztott kompakt halmaz párjában, bár először normalizálni kell, hogy a határ ne csak a végtelen legyen. Tehát rögzítsen egy kompakt készletet nem üres belső térrel (amely létezik, mivel a csoport helyileg kompakt), és kompakt halmaz meghatározásához ${\ displaystyle S, T \ subseteq G}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle [T: S]}$${\ displaystyle S}$${\ displaystyle T}$${\ displaystyle K \ subseteq G}$${\ displaystyle [K: U]+[L: U] = [K \ cup L: U]}$${\ displaystyle K, L \ subseteq G}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle L}$${\ displaystyle [K: U]}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle A}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ mu _ {A} (K) = \ lim _ {U} {\ frac {[K: U]} {[A: U]}}}$

ahol a korlátot átveszik az identitás nyílt irányított szomszédságának megfelelő irányított halmazán, amely végül bármely adott környéken található; olyan irányított halmaz létezése, amelynek határa létezik, Tychonoff tételét követi .

A függvény additív a szétválasztott kompakt részhalmazainál , ami azt jelenti, hogy rendszeres tartalom . Szabályos tartalomból lehet olyan mértéket konstruálni, hogy először belső szabályszerűséggel kiterjesztik a nyitott halmazokra, majd a külső szabályosság alapján minden halmazra, majd a Borel halmazokra korlátozzák. (Még a nyitott halmazok esetében sem kell megadni a megfelelő mértéket a fenti lim sup képlet segítségével. A probléma az, hogy a lim sup képlet által megadott függvény általában nem ellensúlyozható aladditív, és különösen végtelen bármely, kompakt lezárás nélküli halmazon, tehát nem külső mérés.) ${\ displaystyle \ mu _ {A}}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ mu _ {A}}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle \ mu _ {A} (U)}$

Kompakt módon támogatott funkciókat használó konstrukció

Cartan be egy másik konstrukciós módja Haar intézkedés, mint a radon intézkedés (pozitív lineáris működőképes kompakt támogatott folytonos függvények), amely hasonló az építési fent, kivéve, hogy , , és a pozitív folytonos függvények kompakt támogatási helyett részhalmazai . Ebben az esetben úgy definiáljuk a számok infimumát , hogy egyeseknél kisebb, mint a bal oldali fordítások lineáris kombinációja . Mint korábban definiáltuk ${\ displaystyle A}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle [K: U]}$${\ displaystyle c_ {1} +\ cdots +c_ {n}}$${\ displaystyle K (g)}$${\ displaystyle c_ {1} U (g_ {1} g) +\ cdots +c_ {n} U (g_ {n} g)}$${\ displaystyle U}$${\ displaystyle g_ {1}, \ ldots, g_ {n} \ in G}$

${\ displaystyle \ mu _ {A} (K) = \ lim _ {U} {\ frac {[K: U]} {[A: U]}}}$.

A tény, hogy a korlát fennáll, némi erőfeszítést igényel a bizonyításhoz, bár ennek előnye az, hogy a bizonyítás elkerüli a választott axióma használatát, és a Haar-mérték egyediségét adja melléktermékként. A funkció pozitív lineáris függvényre terjed ki a kompakt módon támogatott folyamatos funkciókon, és így Haar -mértéket ad. (Ne feledje, hogy bár a korlát lineáris , az egyes kifejezések általában nem lineárisak .) ${\ displaystyle \ mu _ {A}}$${\ displaystyle K}$${\ displaystyle [K: U]}$${\ displaystyle K}$

A függvények átlagértékeit használó konstrukció

Von Neumann adott egy módszert a Haar -mérték konstruálására a függvények átlagértékei alapján, bár ez csak kompakt csoportok esetén működik. Az ötlet az, hogy ha egy funkciót adunk meg egy kompakt csoportban, akkor a bal oldali konvex kombinációja (ahol ) megtalálható , amely legfeljebb néhány kis számmal különbözik az állandó függvénytől . Ekkor az egyik azt mutatja, hogy mint hajlamos a nullára, ezeknek az állandó függvényeknek az értékei egy határértékre hajlanak, amelyet a függvény átlagértékének (vagy integráljának) neveznek . ${\ displaystyle f}$ ${\ displaystyle \ sum a_ {i} f (g_ {i} g)}$${\ displaystyle \ sum a_ {i} = 1}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle f}$

A helyileg kompakt, de nem kompakt csoportok esetében ez a konstrukció nem ad Haar -mértéket, mivel a kompakt módon támogatott funkciók átlagértéke nulla. Azonban valami hasonló működik a csoport szinte időszakos funkcióinál , amelyeknek átlagos értékük van, bár ezt nem adjuk meg a Haar -mérték tekintetében.

Egy konstrukció a hazug csoportokra

Egy n -dimenziós hazugságcsoportban a Haar -mérték könnyen konstruálható, mint a bal invariáns n -forma által indukált mérték . Ez Haar tétele előtt is ismert volt.

A helyes Haar -mérték

Azt is be lehet bizonyítani, hogy létezik egy egyedi (pozitív konstanssal való szorzásig) jobb-fordítás-invariáns Borel-mérték, amely megfelel a fenti szabályszerűségi feltételeknek, és kompakt halmazokon véges, de nem kell, hogy egybeessen a bal fordítás-invariánssal mérték . A bal és a jobb Haar mérték csak az úgynevezett unimoduláris csoportok esetében azonos (lásd alább). Elég egyszerű azonban kapcsolatot találni a és között . ${\ displaystyle \ nu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle \ nu}$

Valóban, egy Borel halmaz esetében jelöljük az elemek inverzeinek halmazával . Ha definiáljuk ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle S^{-1}}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ mu _ {-1} (S) = \ mu (S^{-1}) \ quad}$

akkor ez egy helyes Haar -intézkedés. A helyes változatlanság megjelenítéséhez alkalmazza a definíciót:

${\ displaystyle \ mu _ {-1} (Sg) = \ mu ((Sg)^{-1}) = \ mu (g^{-1} S^{-1}) = \ mu (S^{ -1}) = \ mu _ {-1} (S). \ Quad}$

Mivel a megfelelő intézkedés egyedi, ebből következik, hogy többszöröse , és így ${\ displaystyle \ mu _ {-1}}$${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle \ mu (S^{-1}) = k \ nu (S) \,}$

minden Borel halmazra , ahol van valamilyen pozitív állandó. ${\ displaystyle S}$${\ displaystyle k}$

A moduláris funkció

A jobb Haar -mérték bal fordítója jobb Haar -mérték. Pontosabban, ha helyes Haar -mérték, akkor a g csoportelem bármely rögzített választása esetén, ${\ displaystyle \ nu}$

${\ displaystyle S \ mapsto \ nu (g^{-1} S) \ quad}$

szintén invariáns. Így az egyediséggel a Haar -mérték állandó skálázási tényezőjéig létezik a csoporttól a pozitív reálig függvény , amelyet Haar -modulusnak , moduláris függvénynek vagy moduláris karakternek neveznek , úgy, hogy minden Borel -halmazhoz${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle S}$

${\ displaystyle \ nu (g^{-1} S) = \ Delta (g) \ nu (S). \ quad}$

Mivel a helyes Haar-mérték pozitív skálázási tényezőig jól definiált, ez az egyenlet azt mutatja, hogy a moduláris függvény független a fenti egyenletben a helyes Haar-mérték választásától.

A moduláris függvény folyamatos csoporthomomorfizmus G -től a pozitív valós számok multiplikatív csoportjáig . Egy csoportot akkor nevezünk unimodulárisnak, ha a moduláris függvény azonos , vagy ezzel egyenértékű, ha a Haar mérték bal és jobb változatlan. Példák a unimoduláris csoportok Abel-csoportok , kompakt csoportok , diszkrét csoportok (pl, véges csoportok ), semisimple Lie-csoportok és a csatlakoztatott nilpotens Lie-csoportok . A nem unimoduláris csoportra példa az affin transzformációk csoportja ${\ displaystyle 1}$

${\ displaystyle {\ big \ {} x \ mapsto ax+b: a \ in \ mathbb {R} \ setminus \ {0 \}, b \ in \ mathbb {R} {\ big \}} = \ left \ {{\ begin {bmatrix} a & b \\ 0 & 1 \ end {bmatrix}} \ right \}}$

az igazi vonalon. Ez a példa azt mutatja, hogy a megoldható hazugságcsoportnak nem kell unimodulárisnak lennie. Ebben a csoportban a bal Haar mértéket adjuk meg , a jobb Haar mértékét pedig . ${\ displaystyle {\ frac {1} {a^{2}}} da \ wedge db}$${\ displaystyle {\ frac {1} {| a |}} da \ wedge db}$

Intézkedések homogén tereken

Ha a lokálisan kompakt csoport tranzitívan hat egy homogén térre , megkérdezhetjük, hogy ennek a térnek van-e invariáns mértéke, vagy általánosabban félig invariáns mértéke azzal a tulajdonsággal, amely bizonyos karakterrel rendelkezik . A szükséges és elégséges feltétele az ilyen intézkedés, hogy a korlátozás egyenlő , ahol és a moduláris funkcióit és rendre. Különösen invariáns mérték létezik akkor, ha a moduláris függvény a korlátozódik a moduláris függvény a . ${\ displaystyle G}$ ${\ displaystyle G/H}$${\ displaystyle \ mu (gS) = \ chi (g) \ mu (S)}$${\ displaystyle \ chi}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle \ chi | _ {H}}$${\ displaystyle \ Delta | _ {H}/\ delta}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G/H}$${\ displaystyle \ Delta}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle \ delta}$${\ displaystyle H}$

Példa

Ha a csoport és a felső háromszög mátrixok alcsoportja, akkor a moduláris függvénye nem triviális, de a moduláris függvény triviális. Ezek hányadosa nem terjeszthető ki egyetlen karakterre sem , így a hányados térnek (amely 1 dimenziós valós projektív térnek is felfogható ) nincs félig invariáns mértéke. ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle SL_ {2} (\ mathbb {R})}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle H}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G/H}$

Haar integrál

Az általános elmélet Lebesgue integráció , lehet majd határozni szerves minden Borel mérhető függvények on . Ezt az integrált Haar -integrálnak hívják, és így jelöljük: ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ int f (x) \, d \ mu (x)}$

hol van a Haar -mérték. ${\ displaystyle \ mu}$

A bal oldali Haar -mérték egyik tulajdonsága , hogy ha eleme lesz , a következő érvényes: ${\ displaystyle \ mu}$${\ displaystyle s}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ int _ {G} f (sx) \ d \ mu (x) = \ int _ {G} f (x) \ d \ mu (x)}$

bármely Haar integrálható függvény a . Ez azonnali az indikátor funkcióknál : ${\ displaystyle f}$${\ displaystyle G}$

${\ displaystyle \ int {\ mathit {1}} _ {A} (tg) \, d \ mu = \ int {\ mathit {1}} _ {t^{-1} A} (g) \, d \ mu = \ mu (t^{-1} A) = \ mu (A) = \ int {\ mathit {1}} _ {A} (g) \, d \ mu}$

ami lényegében a bal invariancia definíciója.

Felhasználások

Az Annals of Mathematics ugyanebben a számában és közvetlenül Haar papírja után a Haar -tételt használta fel John von Neumann Hilbert ötödik , kompakt csoportokra vonatkozó feladatának megoldására .

Hacsak nem diszkrét csoport, akkor a nem mérhető halmazok elmélete szerint lehetetlen meghatározni egy számlálhatóan additív bal-invariáns szabályos mértéket az összes részhalmazra , feltételezve a választás axiómáját . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Absztrakt harmonikus elemzés

A Haar -mértékeket a helyileg kompakt csoportok harmonikus elemzésében használják , különösen a Pontryagin kettősség elméletében . Annak bizonyítására, hogy létezik egy Haar intézkedés egy lokálisan kompakt csoport elegendő mutatnak bal invariáns Radon intézkedés az . ${\ displaystyle G}$${\ displaystyle G}$

Matematikai statisztika

A matematikai statisztikákban Haar -mértékeket használnak az előzetes mérésekhez, amelyek előzetes valószínűségek a kompakt transzformációk csoportjai számára. Ezeket az előzetes intézkedéseket az elfogadható eljárások megalkotására használják , fellebbezve az elfogadható eljárások Wald által Bayes -eljárásként (vagy a bayesi eljárások korlátaitól) való minősítésével . Például a hely paraméterrel rendelkező eloszlások családjának megfelelő Haar -mértéke a Pitman -becslőt eredményezi , amely a legjobb egyenértékű . Ha a bal és a jobb Haar mérték eltér egymástól, akkor a jobb mértéket szokták előnyben részesíteni előzetes elosztásként. A normál eloszlás paraméterterén lévő affin transzformációk csoportjához a helyes Haar -mérték a Jeffreys -előzetes mérték. Sajnos, még a helyes Haar -intézkedések is néha haszontalan elsőbbségeket eredményeznek, amelyeket gyakorlati használatra nem lehet ajánlani, mint a korábbi módszerek létrehozásának más módszerei, amelyek elkerülik a szubjektív információkat.

A Haar -mérték másik felhasználása a statisztikákban a feltételes következtetés , amelyben a statisztika mintavételeinek eloszlását az adatok egy másik statisztikájához kötik. Invariáns-elméleti feltételes következtetéseknél a mintavétel eloszlását a transzformációk csoportjának invariánsára (amelyre vonatkozóan a Haar-mértéket definiálják) határozzák meg. A kondicionálás eredménye néha függ az invariánsok használatának sorrendjétől és a maximális invariáns megválasztásától , így az invariancia statisztikai elve önmagában nem választja ki az egyedi legjobb feltételes statisztikát (ha van ilyen); legalábbis más elvre van szükség.

A nem kompakt csoportok esetében a statisztikusok kiterjesztették a Haar-mérési eredményeket az elfogadható csoportok használatával .

Weil fordított tétele

1936 -ban André Weil bebizonyította, hogy ellentmond a Haar -tételnek azzal, hogy megmutatja, hogy ha egy csoportnak bal invariáns mértéke van egy bizonyos elválasztó tulajdonsággal, akkor definiálni lehet a csoport topológiáját, és a csoport befejezése helyileg történik kompakt, és az adott mérték lényegében megegyezik a Haar -mértékkel ezen a befejezésen.

Lásd még

• Invariáns mérték
• Pontryagin kettősség
• Riesz – Markov – Kakutani ábrázolási tétel

Megjegyzések

További irodalom

• Diestel, Joe; Spalsbury, Angela (2014), The joy of Haar intézkedés , Graduate Studies in Mathematics, 150 , Providence, RI: American Mathematical Society, ISBN 978-1-4704-0935-7, MR  3186070
• Loomis, Lynn (1953), An Introduction to Abstract Harmonic Analysis , D. van Nostrand és társai, hdl : 2027/uc1.b4250788.
• Hewitt, Edwin; Ross, Kenneth A. (1963), Absztrakt harmonikus elemzés. Kt. I: A topológiai csoportok felépítése. Integrációelmélet, csoportábrázolások. , Die Grundlehren der mathematischen Wissenschaften, 115 , Berlin-Göttingen-Heidelberg: Springer-Verlag, MR  0156915
• Nachbin, Leopoldo (1965), The Haar Integral , Princeton, NJ: D. Van Nostrand
• André Weil , Basic Number Theory , Academic Press, 1971.

Külső linkek

• A Haar integrál létezése és egyedisége egy helyileg kompakt topológiai csoporton - Gert K. Pedersen
• Az invariáns intézkedések létezéséről és egyediségéről a helyileg kompakt csoportokon - Simon Rubinstein -Salzedo