Összenyomhatatlan áramlás - Incompressible flow

A folyadék mechanika , vagy még általánosabban kontinuum , folyadékok áramlásának ( izochor áramlás ) kifejezés olyan áramlást , amelyben az anyag sűrűsége állandó belül fluid parcella -an infinitezimális mennyiség, ami mozog a áramlási sebességgel . A tömöríthetetlenségre utaló egyenértékű állítás az, hogy az áramlási sebesség eltérése nulla (lásd az alábbi levezetést, amely szemlélteti, hogy ezek a feltételek miért ekvivalensek).

A tömöríthetetlen áramlás nem jelenti azt, hogy maga a folyadék összenyomhatatlan. Az alábbi levezetés mutatja, hogy (megfelelő körülmények között) még az összenyomható folyadékok is - jó közelítéssel - összenyomhatatlan áramlásként modellezhetők. A tömöríthetetlen áramlás azt jelenti, hogy a sűrűség állandó marad az áramlási sebességgel együtt mozgó folyadékcsomagban.

Származtatás

Az összenyomhatatlan áramlás alapvető követelménye, hogy a sűrűség állandó legyen egy kis dV térfogatban , amely az u áramlási sebességgel mozog . Matematikailag ez a megkötés azt jelenti, hogy a sűrűség anyagi származékának (amelyet alább tárgyalunk) el kell tűnnie a tömöríthetetlen áramlás biztosítása érdekében. Mielőtt bevezetnénk ezt a korlátozást, alkalmaznunk kell a tömeg megőrzését a szükséges kapcsolatok létrehozásához. A tömeget a sűrűség térfogati integráljával számítják ki : ${\ displaystyle \ rho}$${\ displaystyle \ rho}$

${\ displaystyle {m} = {\ iiint \ korlátozza _ {V} \! \ rho \, \ mathrm {d} V}.}$

A tömeg megőrzése megköveteli, hogy a kontroll térfogatában lévő tömeg időszármazéka megegyezzen a határokon átnyúló J tömegárammal . Matematikailag ezt a megszorítást egy felületi integrál formájában képviselhetjük :

${\ displaystyle {\ részleges m \ felett \ részleges t} = -}$ ${\ displaystyle S}$ ${\ displaystyle \ mathbf {J} \ cdot \ mathrm {d} \ mathbf {S}}$

A fenti kifejezés negatív jele biztosítja, hogy a kifelé irányuló áramlás a tömeg csökkenését eredményezze az idő függvényében, felhasználva azt a megállapodást, hogy a felületi vektor kifelé mutat. Most a divergencia tétel felhasználásával levezethetjük a fluxus és a sűrűség részidős deriváltja közötti kapcsolatot:

${\ displaystyle {\ iiint \ korlátozza _ {V} {\ részleges \ rho \ át \ részleges t} \, \ mathrm {d} V} = {- \ iiint \ korlátozza _ {V} balra (\ nabla \ cdot \ mathbf {J} \ jobbra \, \ mathrm {d} V},}$

ebből kifolyólag:

${\ displaystyle {\ részleges \ rho \ át \ részleges t} = - \ nabla \ cdot \ mathbf {J}.}$

A sűrűség időbeli részleges származtatásának nem kell eltűnnie az összenyomhatatlan áramlás biztosítása érdekében . Amikor a sűrűség időbeli részleges deriváltjáról beszélünk, akkor erre a változás mértékére utalunk a rögzített helyzet kontroll térfogatán belül . Azzal, hogy hagyjuk, hogy a sűrűség részidős deriváltja nulla legyen, nem korlátozzuk magunkat a nem összenyomható folyadékokra , mert a sűrűség változhat, ahogy egy fix helyzetből megfigyeljük, amikor a folyadék átfolyik a kontroll térfogatán. Ez a megközelítés fenntartja az általánosságot, és nem követeli meg, hogy a sűrűség részidős deriváltja eltűnjön, ami azt mutatja, hogy az összenyomható folyadékok továbbra is összenyomhatatlan áramláson mennek keresztül. Ami minket érdekel, az az áramlási sebességgel együtt mozgó szabályozási térfogat sűrűségének változása, u . A fluxus az áramlási sebességhez kapcsolódik a következő függvényen keresztül:

${\ displaystyle {\ mathbf {J}} = {\ rho \ mathbf {u}}.}$

Tehát a tömeg megőrzése azt jelenti, hogy:

${\ displaystyle {\ részleges \ rho \ át \ részleges t} + {\ nabla \ cdot \ bal (\ rho \ mathbf {u} \ jobb)} = {\ részleges \ rho \ részleges t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}} + {\ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)} = 0.}$

Az előző összefüggést (ahol a megfelelő termékszabályt használtuk ) folytonossági egyenletnek nevezzük . Most a következő összefüggésre van szükségünk a sűrűség teljes deriváltjáról (ahol a láncszabályt alkalmazzuk ):

${\ displaystyle {\ mathrm {d} \ rho \ over \ mathrm {d} t} = {\ részleges \ rho \ felett \ részleges t} + {\ részleges \ rho \ át \ részleges x} {\ mathrm {d} x \ over \ mathrm {d} t} + {\ részben \ rho \ over \ részleges y} {\ mathrm {d} y \ over \ mathrm {d} t} + {\ részleges \ rho \ át \ részleges z} {\ mathrm {d} z \ over \ mathrm {d} t}.}$

Tehát, ha olyan kontroll térfogatot választunk, amely ugyanolyan sebességgel mozog, mint a folyadék (azaz ( dx / dt ,  dy / dt ,  dz / dt ) =  u ), akkor ez a kifejezés leegyszerűsíti az anyag származékát :

${\ displaystyle {D \ rho \ over Dt} = {\ részleges \ rho \ át \ részleges t} + {\ nabla \ rho \ cdot \ mathbf {u}}.}$

Tehát a fent leírt folytonossági egyenlet felhasználásával azt látjuk, hogy:

${\ displaystyle {D \ rho \ over Dt} = {- \ rho \ left (\ nabla \ cdot \ mathbf {u} \ right)}.}$

A sűrűség időbeli változása azt jelentené, hogy a folyadék összenyomódott vagy kitágult (vagy az állandó térfogatunkban, dV -ben lévő tömeg megváltozott), amit megtiltottunk. Ezután meg kell követelnünk, hogy a sűrűség anyagszármazéka eltűnjön, és ekvivalens módon (nem nulla sűrűség esetén) az áramlási sebesség divergenciájának is meg kell szűnnie:

${\ displaystyle {\ nabla \ cdot \ mathbf {u}} = 0.}$

Tehát kezdve a tömeg megőrzésétől és a korlátozástól, hogy a mozgó folyadék térfogatában a sűrűség állandó marad, bebizonyosodott, hogy az összenyomhatatlan áramláshoz szükséges egyenértékű feltétel az, hogy az áramlási sebesség divergenciája eltűnik.

Összenyomhatósághoz való viszony

Egyes mezőkben az áramlás összenyomhatatlanságának mértéke a sűrűség változása a nyomásváltozások következtében. Ez leginkább az összenyomhatóság szempontjából fejezhető ki

${\ displaystyle \ beta = {\ frac {1} {\ rho}} {\ frac {\ mathrm {d} \ rho} {\ mathrm {d} p}}.}$

Ha az összenyomhatóság elfogadhatóan kicsi, akkor az áramlást összenyomhatatlannak tekintjük.

Kapcsolat a mágnesszelephez

A tömöríthetetlen áramlást egy szolenoid áramlási sebesség mező írja le. De a mágnesszelep mezőnek nulla divergenciája mellett további konnotációja van annak is, hogy nem nulla göndör (azaz rotációs komponens).

Ellenkező esetben, ha egy összenyomhatatlan áramlásnak is van egy hullámgörbéje , tehát irrotáció nélküli is , akkor az áramlási sebesség mezője valójában laplaciás .

Különbség az anyagtól

Ahogy azt korábban meghatároztuk, a tömöríthetetlen (izokhorikus) áramlás az, amelyben

${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0. \,}$

Ez egyenértékű annak mondásával

${\ displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} = {\ frac {\ részleges \ rho} {\ részleges t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho = 0}$

azaz a sűrűség anyagi származéka nulla. Tehát, ha valaki egy anyagi elemet követ, annak tömegsűrűsége állandó marad. Vegye figyelembe, hogy az anyagi származék két kifejezésből áll. Az első kifejezés leírja, hogyan változik az anyagi elem sűrűsége az idő függvényében. Ez a kifejezés bizonytalan kifejezésként is ismert . A második kifejezés a sűrűség változását írja le, amikor az anyagi elem egyik pontról a másikra mozog. Ez az advekciós kifejezés (konvekciós kifejezés a skaláris mezőre). Ahhoz, hogy az áramlást összenyomhatatlanságként lehessen elszámolni, e kifejezések akkreditációs összegének nullának kell lennie. ${\ displaystyle {\ tfrac {\ részleges \ rho} {\ részleges t}}}$${\ displaystyle \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho}$

Másrészt egy homogén, összenyomhatatlan anyag az, amelynek állandó sűrűsége van. Ilyen anyag esetén :. Ez azt jelenti, hogy ${\ displaystyle \ rho = {\ text {konstans}}}$

${\ displaystyle {\ frac {\ részleges \ rho} {\ részleges t}} = 0}$ és

${\ displaystyle \ nabla \ rho = 0}$ önállóan .

A folytonossági egyenletből az következik

${\ displaystyle {\ frac {D \ rho} {Dt}} = {\ frac {\ részleges \ rho} {\ részleges t}} + \ mathbf {u} \ cdot \ nabla \ rho = 0 \ Rightarrow \ \ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}$

Így a homogén anyagok mindig átfolyhatatlan anyagon mennek keresztül, de ez fordítva nem igaz. Vagyis előfordulhat, hogy az összenyomható anyagok nem tapasztalják a tömörítést az áramlásban.

Kapcsolódó áramlási korlátok

A folyadékdinamikában az áramlás akkor tekinthető összenyomhatatlannak, ha az áramlási sebesség eltérése nulla. Azonban a kapcsolódó formulációk néha alkalmazhatók, a modellezett áramlási rendszertől függően. Néhány verziót az alábbiakban ismertetünk:

1. Folyadékok áramlásának : . Ez feltételezhet állandó sűrűséget (szigorúan összenyomhatatlan) vagy változó sűrűségű áramlást. A változó sűrűségű készlet elfogadja azokat a megoldásokat, amelyek a sűrűség , a nyomás és / vagy a hőmérséklet mezőiben kis zavarokat okoznak , és lehetővé teheti a nyomás rétegződését a tartományban.${\ displaystyle {\ nabla \ cdot \ mathbf {u} = 0}}$
2. Anelastic flow : . Elsősorban a légköri tudományok területén alkalmazzák , az anelasztikus kényszer az összenyomhatatlan áramlási érvényességet kiterjeszti a rétegzett sűrűségre és / vagy hőmérsékletre, valamint a nyomásra. Ez lehetővé teszi, hogy a termodinamikai változók az atmoszféra alsó részén látható „légköri” alapállapotba lazuljanak, ha például a meteorológia területén használják őket. Ez az állapot különböző asztrofizikai rendszerekhez is használható.${\ displaystyle {\ nabla \ cdot \ bal (\ rho _ {o} \ mathbf {u} \ right) = 0}}$
3. Alacsony Mach-szám áramlás , vagy ál-összenyomhatatlanságot : . Az alacsony Mach-számra vonatkozó kényszer az összenyomható Euler-egyenletekből származtatható a nem dimenziós mennyiségek skálaelemzésével. A visszatartás, az ebben a szakaszban leírtakhoz hasonlóan, lehetővé teszi az akusztikus hullámok eltávolítását, de lehetővé teszi a sűrűség és / vagy a hőmérséklet nagy zavarait is. Az a feltételezés, hogy az áramlás Mach számhatáron belül marad (általában kisebb, mint 0,3) bármely olyan megoldás esetében, amely érvényes az ilyen megszorítás mellett. Ismételten, az összes összenyomhatatlan áramlásnak megfelelően a nyomáseltérésnek kicsinek kell lennie a nyomásalap állapothoz képest.${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ alpha \ mathbf {u} \ right) = \ beta}$

Ezek a módszerek eltérő feltételezéseket tesznek az áramlással kapcsolatban, de mindegyik figyelembe veszi az általános áramlástól függő függvényekre vonatkozó korlátozás általános formáját és . ${\ displaystyle \ nabla \ cdot \ left (\ alpha \ mathbf {u} \ right) = \ beta}$${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle \ beta}$

Numerikus közelítések

A tömöríthetetlen áramlási egyenletek szigorú jellege azt jelenti, hogy speciális matematikai technikákat dolgoztak ki ezek megoldására. Néhány ilyen módszer a következőket tartalmazza:

1. A vetítési módszer (hozzávetőleges és pontos is)
2. Mesterséges összenyomhatóság technika (hozzávetőleges)
3. Összenyomhatóság előkondicionálás

Lásd még

• Bernoulli elve
• Euler-egyenletek (folyadékdinamika)
• Navier – Stokes-egyenletek

Hivatkozások