Matematikai táblázat - Mathematical table

Egy régi könyv megnyílt a sinus, tangens és secans feliratú számoszlopokban
Szembenézni Matthias Bernegger matematikai táblázatok 1619 -es könyvének oldalaival , amelyek a szinusz, az érintő és a szekáns trigonometrikus függvény értékeit mutatják . 45 ° -nál kisebb szögek találhatók a bal oldalon, 45 ° -nál nagyobb szögek a jobb oldalon. A koszinusz, a kotangens és a koszekáns megtalálható a másik oldalon található bejegyzés használatával.

A matematikai táblázatok számjegyzékek, amelyek számítások eredményeit mutatják be különböző érvekkel. Az ókori Görögországban és Indiában a trigonometriai függvényeket tartalmazó táblázatokat használták csillagászati és égi navigációs alkalmazásokhoz . Ezeket továbbra is széles körben használták, amíg az elektronikus számológépek olcsóvá és bőségessé váltak, hogy egyszerűsítsék és drasztikusan felgyorsítsák a számítást . A logaritmusok és a trigonometrikus függvények táblái gyakoriak voltak a matematika és a természettudományok tankönyveiben, és számos táblázatban publikáltak speciális táblázatokat.

Előzmények és használat

Az első ismert trigonometrikus függvénytáblákat Hipparkhosz (i. E. 1901 - kb. 120 ie) és Menelaus (i. Sz. 70–140) készítette, de mindkettő elveszett. Együtt a túlélő táblázat Ptolemaiosz (c. 90 - c.168 CE), ezek mind táblázatok akkordokat, és nem félig akkordok, azaz a szinusz függvény. Az Āryabhaṭa (476–550) indiai matematikus által készített asztalt az első szinuszasztalnak tekintik. Āryabhaṭa asztala az ókori India szokásos szinusz táblája maradt. Voltak folyamatos javítását célzó kísérletek pontosságát ez a táblázat, amelynek végén a felfedezés a hatványsor bővítések a szinusz és koszinusz függvények Szangamagrámi Mádhava (c.1350 - c.1425), és a táblázatba a szinusz táblázat szerint Mádhava hét -nyolc tizedesjegy pontossággal.

Ezeket az 1925 -ből származó matematikai táblázatokat a Főiskolai felvételi vizsgabizottság kiosztotta a tesztek matematikai részeit elvégező diákoknak.

A közös logaritmusok táblázatait számítógépek és elektronikus számológépek feltalálásáig használták a gyors szorzások, osztások és hatványozások elvégzésére, beleértve az n -edik gyök kivonását .

A logaritmikus függvények polinomiális közelítéseinek táblázatba foglalására-azaz nagy logaritmikus táblázatok kiszámítására-a 19. században javasolták a differenciálmotorok néven ismert mechanikus speciális számítógépeket . Ezt főként a korabeli emberi számítógépek által a logaritmikus táblázatokban előforduló hibák motiválták . A korai digitális számítógépeket a második világháború alatt fejlesztették ki, részben a tüzérség célzására szolgáló speciális matematikai táblázatok készítésére . 1972 -től a tudományos számológépek bevezetésével és egyre növekvő használatával a legtöbb matematikai táblázat használaton kívül maradt.

Az ilyen táblázatok elkészítésének egyik utolsó nagy erőfeszítése volt a Mathematical Tables Project , amelyet 1938- ban indítottak el az Egyesült Államokban a Works Progress Administration (WPA) projektjeként, és 450 munkanélküli ügyintézőt alkalmaztak a magasabb matematikai függvények táblázatba foglalására. A második világháborúig tartott.

A speciális funkciókat tartalmazó táblázatok továbbra is használatban vannak. Például a normális eloszlás kumulatív eloszlási függvényének értéktábláinak-az úgynevezett szabványos normál táblázatoknak- a használata ma is általános, különösen az iskolákban, bár a tudományos és grafikus számológépek használata feleslegessé teszi az ilyen táblázatokat.

A véletlen hozzáférésű memóriában tárolt táblázatok létrehozása gyakori kódoptimalizálási technika a számítógépes programozásban, ahol az ilyen táblázatok használata felgyorsítja a számításokat azokban az esetekben, amikor a táblázatkeresés gyorsabb, mint a megfelelő számítások (különösen, ha a kérdéses számítógép nem a számítások hardveres megvalósítása). Lényegében az egyik a számítási sebességet cseréli a táblázatok tárolásához szükséges számítógép memóriaterületére .

Logaritmusok táblázatai

Egy oldal Henry Briggs 1617-es Logarithmorum Chilias Primájából, amely a 0-tól 67-ig terjedő egész számok 10-es (közös) logaritmusát mutatja.
Az Abramowitz és Stegun című kézikönyv 20. századi közös logaritmusok táblázatának része .
Egy oldal a 2002 -es American Practical Navigator trigonometrikus függvények logaritmusainak táblázatából . Az eltérések oszlopai az interpolációt segítik .

A közös logaritmusokat (10-es alap) tartalmazó táblázatokat széles körben használták a számításokban az elektronikus számológépek és számítógépek megjelenése előtt, mivel a logaritmusok a szorzás és osztás problémáit sokkal könnyebb összeadási és kivonási feladatokká alakítják. A 10 alapú logaritmusnak van egy további tulajdonsága is, amely egyedi és hasznos: Az egynél nagyobb számok közös logaritmusa, amely csak tízszeres erősséggel tér el, mindegyikének töredékrésze ugyanaz, a mantissza . A közös logaritmusok táblái jellemzően csak a mantissákat tartalmazták ; a logaritmus karakterisztikaként ismert egész része könnyen meghatározható az eredeti számjegyek számolásával. Hasonló elv lehetővé teszi az 1 -nél kisebb pozitív számok logaritmusainak gyors kiszámítását. Így egyetlen közös logaritmus táblázat használható a pozitív tizedes számok teljes tartományára. Lásd a közös logaritmust a jellemzők és a mantissák használatának részleteiről.

Történelem

Fő cikk: A logaritmusok története

1544 -ben Michael Stifel közzétette az Arithmetica integra -t , amely 2 -es egész számokat és hatványokat tartalmazó táblázatot tartalmaz, amelyet a logaritmikus táblázat korai változatának tartottak.

A logaritmus módszerét John Napier nyilvánosan terjesztette elő 1614 -ben, Mirifici Logarithmorum Canonis Descriptio ( A logaritmusok csodálatos szabályának leírása ) című könyvében . A könyv ötvenhét oldalas magyarázó anyagot és kilencven oldalnyi táblázatot tartalmazott a természetes logaritmusokhoz kapcsolódóan . Henry Briggs angol matematikus 1615-ben meglátogatta Napier-t, és javasolta Napier logaritmusainak átméretezését, hogy a mai közös vagy 10 alapú logaritmusokat alakítsák ki . Napier delegálta Briggsnek a felülvizsgált táblázat kiszámítását. 1617 -ben publikálták a Logarithmorum Chilias Prima -t ("Az első ezer logaritmus"), amely röviden beszámolt a logaritmusokról, és táblázatot készített az első 1000 egész számra, a 14. tizedesjegyig.

A közös logaritmusokon keresztül elérhető számítási előrelépés, a motoros számok fordítottja vagy az exponenciális jelölés olyan volt, hogy kézzel sokkal gyorsabban végezte el a számításokat.

Trigonometrikus táblázatok

Fő cikk: Trigonometrikus táblázatok

A csillagászat korai tanulmányozásában fontos szerepet játszottak a trigonometriai számítások. A korai táblázatokat trigonometrikus azonosságok (például a félszög és szögösszeg azonosságok) ismételt alkalmazásával állítottuk össze, hogy új értékeket számítsunk ki a régiekből.

Egy egyszerű példa

A 75 fok, 9 perc, 50 másodperc szinuszfüggvény kiszámításához a trigonometrikus függvények táblázata, például a fent bemutatott 1619 -es Bernegger -táblázat segítségével egyszerűen fel lehet kerekíteni 75 fokra, 10 percre, majd megtalálni a 10 perces bejegyzést a 75 fokos oldal, jobbra fent, ami 0.9666746.

Ez a válasz azonban csak négy tizedesjegyig pontos. Ha valaki nagyobb pontosságot szeretne, lineárisan interpolálhat a következőképpen:

A Bernegger -táblázatból:

sin (75 ° 10 ′) = 0,9666746
sin (75 ° 9 ′) = 0,9666001

Ezen értékek közötti különbség 0,0000745.

Mivel egy perc ívben 60 másodperc van, a különbséget megszorozzuk 50/60 -mal, hogy (50/60)*0,0000745 ≈ 0,0000621 korrekciót kapjunk; majd adjuk hozzá ezt a javítást a bűnhöz (75 ° 9 ′), hogy megkapjuk:

sin (75 ° 9 ′ 50 ″) ≈ sin (75 ° 9 ′) + 0,0000621 = 0,9666001 + 0,0000621 = 0,9666622

Egy modern számológép a sin (75 ° 9 ′ 50 ″) = 0,96666219991 értéket adja meg, így az interpolált válaszunk a Bernegger-táblázat 7 számjegyű pontosságához igaz.

Nagyobb pontosságú (értékenként több számjegyű) táblázatok esetén a teljes pontosság eléréséhez magasabb rendű interpolációra lehet szükség. Az elektronikus számítógépek előtti korban a táblázatadatok ilyen módon történő interpolálása volt az egyetlen praktikus módja annak, hogy nagy pontosságú matematikai függvényeket kapjunk az olyan alkalmazásokhoz, mint a navigáció, a csillagászat és a földmérés.

Ahhoz, hogy megértsük a pontosság fontosságát olyan alkalmazásokban, mint a navigáció, vegye figyelembe, hogy tengerszinten egy perc ív a Föld egyenlítője mentén vagy egy meridián (sőt, bármely nagy kör ) körülbelül egy tengeri mérföldet (1,852 km) tesz ki.

Lásd még

Hivatkozások

  1. ^ a b J J O'Connor és EF Robertson (1996. június). "A trigonometriai függvények" . Letöltve : 2010. március 4 .
  2. ^ ER Hedrick, Logaritmikus és trigonometrikus táblázatok (Macmillan, New York, 1913).
  3. ^ Stifelio, Michaele (1544), Arithmetica Integra , London: Iohan Petreium
  4. ^ Bukhshtab, AA; Pechaev, VI (2001) [1994], "Aritmetika" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press
  5. ^ Vivian Shaw Groza és Susanne M. Shelley (1972), Precalculus mathematics , New York: Holt, Rinehart and Winston, p. 182, ISBN  978-0-03-077670-0
  6. ^ Ernest William Hobson (1914), John Napier és a logaritmusok feltalálása, 1614 , Cambridge: The University Press
  7. ^ Abramowitz és Stegun Matematikai függvények kézikönyve, Bevezetés §4

Külső linkek