Octahedron - Octahedron

Rendszeres nyolcszög
(Kattintson ide a forgatható modellért)
típus	Platón szilárd anyag
rövid kód	4 <> 3z
Elemek	F = 8, E = 12 V = 6 (χ = 2)
Arcok oldalakon	8 {3}
Conway jelölés	Ó aT
Schläfli szimbólumok	{3,4}
Schläfli szimbólumok	r {3,3} vagy ${\ displaystyle {\ begin {Bmatrix} 3 \\ 3 \ end {Bmatrix}}}$
Arc konfiguráció	V4.4.4
Wythoff szimbólum	4 \| 2 3
Coxeter diagram
Szimmetria	O _H , BC ₃ , [4,3], (* 432)
Forgatási csoport	O , [4,3] ⁺ , (432)
Hivatkozások	U ₀₅ , C ₁₇ , W ₂
Tulajdonságok	szabályos , domború deltaéder
Diéderes szög	109.47122 ° = arccos ( - 1 ⁄ 3 )
3.3.3.3 ( csúcspont )	Kocka ( kettős poliéder )
Háló

Szabályos oktaéder 3D modellje.

A geometriában az oktaéder (többes számban: oktaéder, oktaéder) nyolclapú , tizenkét élű és hat csúcsú poliéder . A kifejezést leggyakrabban a szabályos oktaéderre, egy platóni szilárd anyagra használják, amely nyolc egyenlő oldalú háromszögből áll , amelyekből négy csúcson találkozik .

A szabályos oktaéder egy kocka kettős poliéder . Ez egy rektifikált tetraéder . Ez négyzet alakú bipiramid a három ortogonális irány bármelyikében . Ez is háromszögletű antiprizma a négy irány bármelyikében.

Az oktaéder a keresztpolitóp általánosabb fogalmának háromdimenziós esete .

A szabályos oktaéder egy 3-labda a Manhattan ( $ℓ$ ₁ ) metrikus .

Rendszeres nyolcszög

Méretek

Ha egy szabályos oktaéder élhossza a , akkor egy körülírt gömb sugara (amely az összes csúcson érinti az oktaédert)

{\ displaystyle r_ {u} = {\ frac {\ sqrt {2}} {2}} a \ kb 0,707 \ cdot a}

és egy feliratos gömb sugara ( érintő az egyes nyolcoldalú arcokhoz)

{\ displaystyle r_ {i} = {\ frac {\ sqrt {6}} {6}} a \ kb 0.408 \ cdot a}

míg az élek közepét érintő középsugár

{\ displaystyle r_ {m} = {\ tfrac {1} {2}} a = 0,5 \ cdot a}

Ortogonális vetületek

Az oktaédernek négy speciális ortogonális vetülete van , középpontban, egy élre, csúcsra, arcra és normál az arcra. A második és a harmadik a B ₂ és A ₂ Coxeter síkoknak felel meg .

Ortogonális vetületek
Középen	Él	Normál arc	Csúcs	Arc
Kép
Projektív szimmetria	[2]	[2]	[4]	[6]

Gömbcserép

Az oktaéder is leírható, mint egy gömb alakú csempék , és vetített síkra keresztül sztereografikus vetítés . Ez a vetület konform , megőrzi a szögeket, de nem területeket vagy hosszúságokat. A gömbön lévő egyenes vonalakat körívként vetítik a síkra.

Ortográfiai vetítés	Sztereografikus vetítés

Derékszögű koordináták

Egy √ 2 élhosszúságú nyolcszög helyezhető el úgy, hogy középpontja az origónál, csúcsai pedig a koordináta -tengelyeken vannak; a csúcsok derékszögű koordinátái akkor

(± 1, 0, 0);

(0, ± 1, 0);

(0, 0, ± 1).

Egy x - y - z derékszögű koordinátarendszerben az ( a , b , c ) középpontú koordinátákkal és r sugarú oktaéder az összes pont ( x , y , z ) halmaza úgy, hogy

{\ displaystyle \ bal | xa \ jobb |+\ bal | yb \ jobb |+\ bal | zc \ jobb | = r.}

Terület és térfogat

A felület egy , és a térfogata V egy szabályos oktaéder él hossza egy a következők:

{\ displaystyle A = 2 {\ sqrt {3}} a^{2} \ kb 3.464a^{2}}

{\ displaystyle V = {\ frac {1} {3}} {\ sqrt {2}} a^{3} \ kb 0.471a^{3}}

Így a térfogata négyszerese az azonos élhosszúságú szabályos tetraéderének , míg a felület kétszerese (mivel 8 helyett 4 háromszögünk van).

Ha egy oktáétert úgy nyújtottak, hogy engedelmeskedjen az egyenletnek

{\ displaystyle \ bal | {\ frac {x} {x_ {m}}} \ jobb |+\ bal | {\ frac {y} {y_ {m}}} \ jobb |+\ bal | {\ frac { z} {z_ {m}}} \ jobb | = 1,}

a felület és térfogat képletei kibővülnek

{\ displaystyle A = 4 \, x_ {m} \, y_ {m} \, z_ {m} \ times {\ sqrt {{\ frac {1} {x_ {m}^{2}}}+{\ frac {1} {y_ {m}^{2}}}+{\ frac {1} {z_ {m}^{2}}}}},}

{\ displaystyle V = {\ frac {4} {3}} \, x_ {m} \, y_ {m} \, z_ {m}.}

Ezenkívül a kinyújtott oktaéder tehetetlenségi tenzora

{\ displaystyle I = {\ begin {bmatrix} {\ frac {1} {10}} m (y_ {m}^{2}+z_ {m}^{2}) & 0 & 0 \\ 0 & {\ frac {1 } {10}} m (x_ {m}^{2}+z_ {m}^{2}) & 0 \\ 0 & 0 & {\ frac {1} {10}} m (x_ {m}^{2}- y_ {m}^{2}) \ end {bmatrix}}.}

Ezek a szabályos oktaéder egyenleteire redukálódnak, amikor

{\ displaystyle x_ {m} = y_ {m} = z_ {m} = a \, {\ frac {\ sqrt {2}} {2}}.}

Geometriai összefüggések

Az oktaéder két tetraéder középső metszéspontját jelenti

A két kettős tetraéder vegyületének belseje egy oktáéder , és ez a vegyület, az úgynevezett stella octangula , az első és egyetlen csillagkép . Ennek megfelelően a szabályos oktaéder annak a következménye, hogy levágják a szabályos tetraéderből, négy szabályos tetraéderből, amelyek fele a lineáris méretnek (azaz kiegyenesítik a tetraédert). Az oktaéder csúcsai a tetraéder széleinek középpontjában helyezkednek el, és ebben az értelemben ugyanúgy kapcsolódik a tetraéderhez, mint a kuboktaéder és az ikozidodekaéder a többi platóni szilárd anyaghoz. Az oktaéder széleit fel lehet osztani az arany középút arányában, hogy meghatározzuk az ikozaéder csúcsait . Ezt úgy kell megtenni, hogy először vektorokat helyeznek el az oktaéder szélei mentén úgy, hogy mindegyik oldalt egy ciklus határolja, majd hasonlóképpen minden élt felosztanak az arany középútra a vektor iránya mentén. Öt oktaéder létezik, amelyek ilyen módon határozzák meg az adott ikozaédert, és együtt szabályos vegyületet határoznak meg .

Az Octahedra és a Tetrahedra felcserélhetők, hogy létrehozzanak egy csúcs-, él- és egyarcú tesszelációt a térből , amelyet Buckminster Fuller oktett rácsnak nevez . Ez az egyetlen ilyen csempézés, kivéve a kockák rendszeres tesszellációját , és egyike a 28 domború egységes méhsejtnek . A másik az oktaéder és a kuboctaéder tesszellációja .

Az oktaéder egyedülálló a platóni szilárd anyagok között, mivel páros számú arccal találkozik minden csúcson. Következésképpen ennek a csoportnak az egyetlen tagja rendelkezik olyan tükörsíkokkal, amelyek nem mennek át egyik oldalon sem.

A Johnson szilárd anyagok szabványos nómenklatúráját használva az oktaédert négyzet alakú bipiramidnak nevezzük . Két ellentétes csúcs csonkítása négyzet alakú bifrustumot eredményez .

Az oktaéder 4-csatlakoztatva , ami azt jelenti, hogy azon a eltávolítottunk négy csúcsot, hogy húzza ki a maradék csúcsok. Ez csak egy a négy négycsatlakozó egyszerű, jól fedett poliéder közül, ami azt jelenti, hogy a csúcsok maximális független halmazai azonos méretűek. A másik három, ezzel a tulajdonsággal rendelkező poliéder az ötszögletű dipiramid , a gömbdiszpenoid és egy szabálytalan poliéder, 12 csúccsal és 20 háromszög alakú felülettel.

Az oktaéder 3D szuperellipszoid eseteként is előállítható, minden értéket 1 -re állítva.

Egységes színezés és szimmetria

Az oktaédernek 3 egységes színe van, amelyeket az egyes csúcsok körüli háromszög alakú arcszínek neveznek: 1212, 1112, 1111.

Az oktaéder szimmetriacsoportja O _h , 48 -as nagyságrendű, a háromdimenziós hiperoktaéderes csoport . Ennek a csoportnak az alcsoportjai közé tartozik a D _3d (12. sorrend), a háromszög alakú antiprizmus szimmetriacsoportja ; D _4h (16. sorrend), egy négyzet alakú bipiramid szimmetriacsoportja ; és T _d (24. sorrend), egy rektifikált tetraéder szimmetriacsoportja . Ezeket a szimmetriákat hangsúlyozhatja az arcok különböző színezése.

Név	Octahedron	Finomított tetraéder (Tetratetrahedron)	Háromszög antiprizma	Négyzet alakú bipiramid	Rombusz fusil
Kép (arcszínezés)	(1111)	(1212)	(1112)	(1111)	(1111)
Coxeter diagram		=
Schläfli szimbólum	{3,4}	r {3,3}	s {2,6} sr {2,3}	láb {2,4} {} + {4}	ftr {2,2} {} + {} + {}
Wythoff szimbólum	4 \| 3 2	2 \| 4 3	2 \| 6 2 \| 2 3 2
Szimmetria	O _h , [4,3], (* 432)	T _d , [3,3], (*332)	D _3d , [2 ⁺ , 6], (2*3) D ₃ , [2,3] ⁺ , (322)	D _4h , [2,4], (*422)	D _2h , [2,2], (*222)
Rendelés	48	24	12 6	16	8

Nets

A szabályos oktaéder tizenegy elrendezésére hálók .

Dupla

Az oktaéder a kockához tartozó kettős poliéder .

Ha az oktaéder élének hossza , akkor a kettős kocka élének hossza . ${\ displaystyle = a}$ ${\ displaystyle = {\ sqrt {2}} a}$

Fasítozás

Az egységes tetrahemihexahedron egy tetraéderes szimmetriájú faceting a szabályos oktaéder, megosztás él és vertex elrendezése . Négy háromszöglapja és három középső négyzete van.

Octahedron	Tetrahemihexaéder

Szabálytalan oktaéder

A következő poliéder kombinatív módon egyenértékű a hagyományos poliéderrel. Mindegyiknek hat csúcsa, nyolc háromszöglapja és tizenkét éle van, amelyek egy az egyben megfelelnek a szabályos nyolcszög jellemzőinek.

Háromszög alakú antiprizmák : Két oldal egyenlő oldalú, párhuzamos síkokon fekszik, és közös szimmetriatengelyük van. A másik hat háromszög egyenlő szárú.
Tetragonális bipyramidok , amelyekben az egyenlítői négyszögek közül legalább az egyik síkban fekszik. A szabályos nyolcszög egy speciális eset, amelyben mindhárom négyszög sík négyzet.
Schönhardt poliéder , nem konvex poliéder, amelyet nem lehet tetraéderre osztani új csúcsok bevezetése nélkül.
Bricard oktaéder , nem domború, önmetsző rugalmas poliéder

Más domború oktaéder

Általánosságban elmondható, hogy az oktaéder bármilyen nyolclapú poliéder lehet. A szabályos oktaédernek 6 csúcsa és 12 éle van, a minimum egy oktaéderhez; a szabálytalan oktaédereknek akár 12 csúcsa és 18 éle is lehet. 257 topológiailag különálló, domború oktaéder létezik , a tükörképek nélkül. Pontosabban 2, 11, 42, 74, 76, 38, 14 az oktaéder 6-12 csúcsával. (Két poliéder "topológiailag különbözik egymástól", ha az arcok és csúcsok lényegében eltérő elrendezésűek, így lehetetlen az egyiket a másikba torzítani pusztán az élek hosszának vagy az élek vagy felületek közötti szögek megváltoztatásával.)

Néhány ismertebb szabálytalan oktaéder a következők:

Hatszögletű prizma : Két oldal párhuzamos szabályos hatszög; hat négyzet összeköti a megfelelő hatszögpárokat.
Hetszögletű piramis : Az egyik oldal egy hétszög (általában szabályos), a többi hét pedig háromszög (általában egyenlő szárú). Nem lehetséges, hogy minden háromszöglap egyenlő oldalú legyen.
Csonka tetraéder : A tetraéder négy oldala csonka lesz, hogy szabályos hatszögek legyenek, és van még négy egyenlő oldalú háromszöglap, ahol minden tetraédercsúcsot lecsonkítottak.
Tetragonális trapézhedron : A nyolc arc egybeeső sárkány .
Nyolcszögletű hosoéder : euklideszi térben elfajult, de gömb alakban megvalósítható.

Octahedra a fizikai világban

Octahedra a természetben

Fluorit oktaéder.

A természetes gyémánt- , timsó- vagy fluoritkristályok általában oktaéderesek, mint a térkitöltő tetraéderes-oktaéderes méhsejt .
A lemezeket a kamacite ötvözet octahedrite meteoritok vannak elrendezve párhuzamosan a nyolc arcot egy oktaéder.
Sok fémion hat ligandumot koordinál oktaéderes vagy torz oktaéderes konfigurációban.
Widmanstätten minták a nikkel - vas kristályok

Octahedra a művészetben és a kultúrában

Két azonos alakú rubik kígyó közelíthet egy nyolcszöghöz.

Különösen a szerepjátékokban ez a szilárd anyag "d8" néven ismert, az egyik leggyakoribb sokszögű kocka .
Ha az oktaéder minden élét egy ohmos ellenállással helyettesítjük , akkor az ellentétes csúcsok közötti ellenállás 1/2 ohm, és ez a szomszédos csúcsok között 5/12 ohm.
Hat hangjegy helyezhető el az oktaéder csúcsain oly módon, hogy minden él mássalhangzó -diádot és minden arc mássalhangzóhármasat képvisel; lásd hexany .

Tetraéderes rácsos

A keret ismétlődő tetraéderek és octahedrons találta Buckminster Fuller az 1950-es, ismert, mint a járműkeret , gyakran tekintik a legerősebb szerkezetét ellenálló konzolos feszültségek.

Kapcsolódó poliéderek

Egy szabályos oktaéder tetraéderré bővíthető úgy, hogy 4 tetraédert ad hozzá a váltakozó lapokhoz. A tetraéder hozzáadása mind a 8 archoz létrehozza a sztelléresztett oktaédert .

tetraéder	csillagozott nyolcszög

Az oktaéder a kockához kapcsolódó egységes poliéderek családjába tartozik.

Egységes nyolcszögű poliéder
Szimmetria : [4,3], (*432)							[4,3] ⁺ (432)	[1 ⁺ , 4,3] = [3,3] (*332)		[3 ⁺ , 4] (3*2)
{4,3}	t {4,3}	r {4,3} r {3 ^1,1 }	t {3,4} t {3 ^1,1 }	{3,4} {3 ^1,1 }	rr {4,3} s ₂ {3,4}	tr {4,3}	u {4,3}	h {4,3} {3,3}	h ₂ {4,3} t {3,3}	s {3,4} s {3 ^1,1 }

		=	=	=				= vagy	= vagy	=

Kettős egységes poliéderhez
V4 ³	V3.8 ²	V (3.4) ²	V4.6 ²	V3 ⁴	V3.4 ³	V4.6.8	V3 ⁴ .4	V3 ³	V3.6 ²	V3 ⁵

Ez is egyik legegyszerűbb példa a hypersimplex , egy politóp által alkotott bizonyos metszéspontjai egy hiperkocka egy hipersík .

Az oktaéder topológiailag a Schläfli {3, n } szimbólumokkal rendelkező szabályos poliéder sorozat részeként kapcsolódik a hiperbolikus síkhoz .

* n 32 szimmetrikus mutáció a szabályos burkolólapoknál: {3, n } v t e
Gömbölyű				Eukleidész.	Kompakt hiper.		Paraco.	Nem tömör hiperbolikus

3.3	3 ³	3 ⁴	3 ⁵	3 ⁶	3 ⁷	3 ⁸	3 ^∞	3 ¹²ⁱ	3 ⁹ⁱ	3 ⁶ⁱ	3 ³ⁱ

Tetratetraéder

A szabályos oktaéder rektifikált tetraédernek is tekinthető - és tetratetraédernek is nevezhető . Ezt egy kétszínű arcmodell is megmutathatja. Ezzel a színezéssel az oktaéder tetraéderes szimmetriával rendelkezik .

Hasonlítsa össze ezt a csonkítási sorozatot a tetraéder és a kettős között:

Egységes tetraéderes poliéderek családja
Szimmetria : [3,3] , (*332)							[3,3] ⁺ , (332)


{3,3}	t {3,3}	r {3,3}	t {3,3}	{3,3}	rr {3,3}	tr {3,3}	sr {3,3}
Kettős egységes poliéderhez

V3.3.3	V3.6.6	V3.3.3.3	V3.6.6	V3.3.3	V3.4.3.4	V4.6.6	V3.3.3.3.3

A fenti formák a tesseract hosszú átlójára merőleges szeletekként is megvalósíthatók . Ha ez az átló függőlegesen van 1 magasságban, akkor a fenti első öt szelet r magasságban fordul elő ,3/8, 1/2, 5/8és s , ahol r bármely szám a 0 < r ≤ tartományban1/4, és s tetszőleges szám a tartományban3/4≤ s <1 .

Az oktaéder, mint tetratetraéder , a négyszögletes poliéder és a csúcskonfigurációjú csempék (3. n ) ² szimmetriák sorozatában létezik , a gömb csempéitől az euklideszi síkig és a hiperbolikus síkig haladva. A * n 32 gömb alakú jelölési szimmetriával mindezek a burkolólapok Wythoff konstrukciók egy alapvető szimmetriatartományon belül, a generátorpontok a tartomány derékszögű sarkában.

* n 32 négyszögletes csempe keringő szimmetriája : (3. n ) ²
Építkezés	Gömbölyű			Euklideszi	Hiperbolikus
Építkezés	*332	*432	*532	*632	*732	*832 ...	*∞32
Kvázi -szabályos alakok
Csúcs	(3.3) ²	(3.4) ²	(3.5) ²	(3.6) ²	(3.7) ²	(3.8) ²	(3.∞) ²

Trigonális antiprizma

Ennek trigonális antiprism , az oktaéder összefügg a hexagonális szimmetriát diéderes család.

Egységes hatszögletű, diéderes, gömb alakú poliéder
Szimmetria : [6,2] , (*622)							[6,2] ⁺ , (622)	[6,2 ⁺ ], (2*3)


{6,2}	t {6,2}	r {6,2}	t {2,6}	{2,6}	rr {6,2}	tr {6,2}	sr {6,2}	s {2,6}
Kettős az egyenruhához

V6 ²	V12 ²	V6 ²	V4.4.6	V2 ⁶	V4.4.6	V4.4.12	V3.3.3.6	V3.3.3.3

Család egységes n -gonal antiprisms

v

t

e
Antiprizmus név	Digitális antiprizma	(Háromszög) Háromszög antiprizma	(Tetragonális) Négyzet alakú antiprizma	Pentagonális antiprizma	Hatszögletű antiprizma	Hatszögű antiprizma	Nyolcszögletű antiprizma	Enneagonális antiprizma	Dekagonális antiprizma	Hendekagonális antiprizma	Dodecagonális antiprizma	...	Apeirogonális antiprizma
Poliéderes kép												...
Gömbcsempés kép												Sík burkoló kép
Vertex konfiguráció.	2.3.3.3	3.3.3.3	4.3.3.3	5.3.3.3	6.3.3.3	7.3.3.3	8.3.3.3	9.3.3.3	10.3.3.3	11.3.3.3	12.3.3.3	...	∞.3.3.3

Négyzet alakú bipiramid

"Szabályos" jobb (szimmetrikus) n -gonális bipiramidok:
Bipyramid név	Digitális bipiramid	Háromszög alakú bipiramid (lásd: J ₁₂ )	Négyzet alakú bipiramid (lásd: O )	Pentagonális bipyramid (lásd: J ₁₃ )	Hatszögletű bipiramid	Heptagonális bipyramid	Nyolcszögletű bipiramid	Enneagonális bipiramid	Dekagonális bipyramid	...	Apeirogonális bipyramid
Poliéderes kép										...
Gömbcsempés kép										Sík burkoló kép
Arc konfiguráció.	V2.4.4	V3.4.4	V4.4.4	V5.4.4	V6.4.4	V7.4.4	V8.4.4	V9.4.4	V10.4.4	...	V∞.4.4
Coxeter diagram										...

Lásd még

Hivatkozások

Külső linkek

"Octahedron" . Encyclopædia Britannica . 19 (11. kiadás). 1911.
Weisstein, Eric W. "Octahedron" . MathWorld .
Klitzing, Richard. "3D domború egységes poliéder x3o4o - okt" .
Oktaéder szerkeszthető nyomtatható hálója interaktív 3D nézettel
Az oktaéder papírmodellje
KJM MacLean, Az öt platóni szilárd anyag és más félig szabályos poliéderek geometriai elemzése
Az egységes poliéderek
Virtuális valóság poliéderek A poliéderek
enciklopédiája
- Conway jelölés poliéderek esetén Próbálja ki: dP4

v t e Alapvetően domború szabályos és egységes politópok , 2–10
Család	A _n	B _n	I ₂ (p) / D _n	E ₆ / E ₇ / E ₈ / F ₄ / G ₂	H _n
Szabályos sokszög	Háromszög	Négyzet	p-gon	Hatszög	Pentagon
Egységes poliéder	Tetraéder	Octahedron • Kocka	Demicube		Dodekaéder • Ikozaéder
Egységes polichoron	Pentachoron	16 cella • Tesseract	Demitesseract	24-cellás	120 cella • 600 cella
Egységes 5-politóp	5-szimplex	5-orthoplex • 5-kocka	5-demicube
Egységes 6-politóp	6-szimplex	6-orthoplex • 6-kocka	6-demicube	1 ₂₂ • 2 ₂₁
Egységes 7-polytóp	7-szimplex	7-orthoplex • 7-kocka	7-demicube	1 ₃₂ • 2 ₃₁ • 3 ₂₁
Egységes 8-politóp	8-szimplex	8-orthoplex • 8-kocka	8-demicube	1 ₄₂ • 2 ₄₁ • 4 ₂₁
Egységes 9-politóp	9-szimplex	9-orthoplex • 9-kocka	9-demicube
Egységes 10-politóp	10-szimplex	10-orthoplex • 10-kocka	10-demicube
Egységes n - politóp	n - szimplex	n - orthoplex • n - kocka	n - demicube	1 _k2 • 2 _k1 • k ₂₁	n - ötszögletű politóp
Témák: Politópcsaládok • Szabályos politóp • Szabályos politópok és vegyületek listája

Languages

In other projects