Ricci számítás - Ricci calculus

A matematika , Ricci kalkulus képezi szabályainak index jelölés és a manipuláció a tenzorok és tenzor mezők egy differenciálható sokaság , vagy anélkül metrikus tenzor vagy kapcsolat . Ez a modern elnevezése annak is, amit korábban abszolút differenciálszámításnak neveztek (a tenzorszámítás alapja ), amelyet Gregorio Ricci-Curbastro fejlesztett ki 1887–1896-ban, majd ezt követően népszerűsített egy tanulmányában, amelyet tanítványával, Tullio Levi-Civitával írt . 1900. Jan Arnoldus Schouten kifejlesztette a modern jelölést és formalizmust ehhez a matematikai kerethez, és hozzájárult az elmélethez, amikor a huszadik század elején általános relativitáselméletre és differenciálgeometriára alkalmazta .

A tenzor összetevője egy valós szám , amelyet a tenzortér báziselemének együtthatójaként használnak. A tenzor a komponenseinek összege szorozva a megfelelő alapelemekkel. A tenzorok és a tenzormezők alkotóelemeikben fejezhetők ki, a tenzorokon és tenzormezőkön végzett műveletek pedig az összetevőiken végzett műveletekben. A tenzormezők és a rajtuk végzett műveletek leírása összetevőik tekintetében a Ricci -számítás középpontjában áll. Ez a jelölés lehetővé teszi az ilyen tenzormezők és műveletek hatékony kifejezését. Bár a jelölés nagy része bármely tenzorral alkalmazható, a differenciálstruktúrához kapcsolódó műveletek csak a tenzormezőkre alkalmazhatók. Ahol szükséges, a jelölés kiterjed a nem tenzorok összetevőire, különösen a többdimenziós tömbökre .

Egy tenzort a vektor és a covector bázis elemeinek tenzortermékének lineáris összegeként fejezhetünk ki . A kapott tenzorösszetevőket az alap indexei jelzik. Minden indexnek egy lehetséges értéke van az alatta lévő vektortér dimenziónként . Az indexek száma megegyezik a tenzor fokával (vagy sorrendjével).

A tömörség és a kényelem érdekében a Ricci -számítás magában foglalja az Einstein -jelölést , ami azt jelenti, hogy egy kifejezésen belül megismételt indexeket összegeznek, és a szabad indexek felett egyetemes számszerűsítést írnak elő. A Ricci -kalkulus jelöléseiben szereplő kifejezéseket általában úgy értelmezhetjük, mint egyidejű egyenletek halmazát, amelyek az összetevőket sokaságon keresztül függvényekként, általában pontosabban az elosztón lévő koordináták függvényeként határozzák meg. Ez lehetővé teszi a kifejezések intuitív manipulálását, korlátozott szabályok ismeretében.

Jelölés az indexekhez

Az alapokkal kapcsolatos megkülönböztetések

A tér és az idő koordinátái

Ha különbséget kell tenni a klasszikus fizika négydimenziós téridőben a térhez hasonló alapelemek és egy időszerű elem között, ezt hagyományosan az alábbi mutatók segítségével végezzük:

• Az a , b , c , ... kisbetűs latin ábécét a 3 dimenziós euklideszi térre való korlátozás jelzésére használjuk , amely a térbeli komponensekre 1, 2, 3 értékeket vesz fel; és a 0-val jelzett időszerű elem külön látható.
• Az α , β , γ , ... görög kisbetűket 4 dimenziós téridőre használják , amelyek jellemzően 0 értékeket vesznek fel az időkomponensekre , és 1, 2, 3 értékeket a térbeli komponensekre.

Egyes források 0 helyett 4 -et használnak az időnek megfelelő indexértékként; ebben a cikkben 0 -t használunk. Egyébként az általános matematikai kontextusban bármilyen szimbólum használható az indexekhez, általában a vektoros tér minden dimenzióján.

Koordináta és index jelölés

A szerző (k) általában világossá teszik, hogy az alindexet indexnek vagy címkének szánják -e.

Például 3-D euklideszi térben és derékszögű koordinátákkal ; az A = ( A ₁ , A ₂ , A ₃ ) = ( A _x , A _y , A _z ) koordinátavektor közvetlen egyezést mutat az 1, 2, 3 előjegyzések és az x , y , z címkék között . Az A _i , i kifejezésben az 1, 2, 3 értékek közötti indexként értelmezzük, míg az x , y , z előjegyzések csak címkék, nem változók. A téridő összefüggésében a 0 indexérték hagyományosan megfelel a t címkének .

Hivatkozás az alapra

Maguk az indexek diakritikus szimbólumokkal, például kalap (ˆ), rúd (¯), tilde (˜) vagy prím (′) használatával címkézhetők az alábbiak szerint:

${\ displaystyle X _ {\ hat {\ phi}} \ ,, Y _ {\ bar {\ lambda}} \ ,, Z _ {\ tilde {\ eta}} \ ,, T _ {\ mu '}}$

hogy esetleg más alapot jelöljek meg az adott indexhez. Példa a Lorentz -transzformációk egyik referenciakeretből a másikba, ahol az egyik keret lehet alapozás nélküli, a másik pedig alapozott, például:

${\ displaystyle v^{\ mu '} = v^{\ nu} L _ {\ nu} {}^{\ mu'}.}$

Ez nem tévesztendő össze van der Waerden jelölést az spinors , amely felhasználja kalapok és overdots Indexekkel tükrözik kiralitásái egy spinor.

Felső és alsó index

A Ricci -számítás és általában az index -jelölés megkülönbözteti az alsó indexeket (alindexeket) és a felső indexeket (felső indexeket); utóbbiak nem kitevők, annak ellenére, hogy az olvasó számára csak a matematika más részeit ismerőnek tűnhetnek.

Ez különleges esetekben (a metrikus tenzor mindenütt egyenlő az identitás mátrix) lehet, hogy csökken a különbség a felső és alsó indexek, majd az összes indexek írhatnánk az alsó helyzetben - koordináta képletek lineáris algebra, mint a A mátrixok szorzata néha példaként értelmezhető - de általában a jelölés megköveteli, hogy a felső és az alsó index közötti különbséget figyeljék meg és tartsák fenn. ${\ displaystyle a_ {ij} b_ {jk}}$

Kovariáns tenzor alkatrészek

Az alacsonyabb index ( alsó index ) az összetevők kovarianciáját jelzi az adott indexhez képest:

${\ displaystyle A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ cdots}}$

Kontravariáns tenzor alkatrészek

A felső index (felső index) az összetevők ellentmondását jelzi az indexhez képest:

${\ displaystyle A^{\ alfa \ beta \ gamma \ cdots}}$

Vegyes varianciájú tenzor komponensek

Egy tenzornak lehetnek felső és alsó indexei is:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} {}^{\ beta} {} _ {\ gamma} {}^{\ delta \ cdots}.}$

Az indexek sorrendje jelentős, még akkor is, ha eltérés van. Ha azonban megértjük, hogy az alapszimbólum megtartása mellett egyetlen index sem emelkedik vagy csökken, akkor a kovariáns indexeket néha az ellentmondásos indexek alá helyezik a jelölés kényelme érdekében (pl. Az általános Kronecker -delta segítségével ).

A tenzor típusa és foka

A tenzor egyes felső és alsó indexeinek száma megadja a típusát : a p felső és q alsó indexű tenzorok ( p , q ) típusúak , vagy típus ( p , q ) típusú tenzorok.

A tenzor indexeinek számát, szórástól függetlenül, a tenzor fokának nevezzük (alternatívaként vegyértéke , sorrendje vagy rangja , bár a rang kétértelmű). Így egy ( p , q ) típusú tenzor p + q fokú .

Összegző egyezmény

Ugyanaz a szimbólum, amely kétszer fordul elő (egy felső és egy alsó) egy kifejezésen belül, egy indexpárt jelez, amelyeket összegeznek:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ equiv \ sum _ {\ alpha} A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ quad {\ text {or}} \ quad A^{\ alpha } B _ {\ alfa} \ ekvivalens \ összeg _ {\ alfa} A^{\ alfa} B _ {\ alfa} \ ,.}$

A művelet vélelmezett ilyen összegzés hívják tenzor összehúzódás :

${\ displaystyle A _ {\ alpha} B^{\ beta} \ rightarrow A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ equiv \ sum _ {\ alpha} A _ {\ alpha} B^{\ alpha} \ ,. }$

Ez az összegzés többször is előfordulhat egy kifejezésen belül, indexpáronként külön szimbólummal, például:

${\ displaystyle A _ {\ alpha} {}^{\ gamma} B^{\ alpha} C _ {\ gamma} {}^{\ beta} \ equiv \ sum _ {\ alpha} \ sum _ {\ gamma} A_ {\ alfa} {}^{\ gamma} B^{\ alfa} C _ {\ gamma} {}^{\ beta} \ ,.}$

Az ismétlődő indexek más kombinációit egy kifejezésen belül rosszul formáltnak tekintik, mint pl

${\ displaystyle A _ {\ alfa \ alpha} {}^{\ gamma} \ qquad}$	(mindkét előfordulás kisebb, jó lenne) ${\ displaystyle \ alpha}$${\ displaystyle A _ {\ alpha} {}^{\ alfa \ gamma}}$
${\ displaystyle A _ {\ alfa \ gamma} {}^{\ gamma} B^{\ alpha} C _ {\ gamma} {}^{\ beta}}$	( kétszer fordul elő alacsonyabb indexként; vagy jó lenne). ${\ displaystyle \ gamma}$${\ displaystyle A _ {\ alfa \ gamma} {}^{\ gamma} B^{\ alpha}}$${\ displaystyle A _ {\ alpha \ delta} {}^{\ gamma} B^{\ alpha} C _ {\ gamma} {}^{\ beta}}$

Az ilyen képletek kizárásának oka az, hogy bár ezeket a mennyiségeket számtömbként is ki lehet számítani, az alapváltozás esetén általában nem válnak tenzorossá.

Több indexes jelölés

Ha egy tenzor rendelkezik az összes felső vagy alsó index listájával, akkor egy rövidítés a lista nagybetűje:

${\ displaystyle A_ {i_ {1} \ cdots i_ {n}} B^{i_ {1} \ cdots i_ {n} j_ {1} \ cdots j_ {m}} C_ {j_ {1} \ cdots j_ { m}} \ ekvivalens A_ {I} B^{IJ} C_ {J}}$

ahol I = i ₁ i ₂ ⋅⋅⋅ i _n és J = j ₁ j ₂ ⋅⋅⋅ j _m .

Szekvenciális összegzés

Egy pár függőleges rúd | ⋅ | az összes felső index vagy az összes alsó index (de nem mindkettő) halmaza köré, összekapcsolódással társítva egy másik indexhalmazzal, ha a kifejezés teljesen antiszimmetrikus mindkét indexcsoportban:

${\ displaystyle A_ {| \ alfa \ beta \ gamma | \ cdots} B^{\ alfa \ beta \ gamma \ cdots} = A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ cdots} B^{| \ alfa \ beta \ gamma | \ cdots} = \ sum _ {\ alfa <\ beta <\ gamma} A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ cdots} B^{\ alfa \ beta \ gamma \ cdots}}$

az indexértékekhez képest korlátozott összeget jelent, ahol minden index szigorúan kisebb, mint a következő. Több csoport is összegezhető így, például:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & A_ {| \ alfa \ beta \ gamma |} {}^{| \ delta \ epsilon \ cdots \ lambda |} B^{\ alfa \ beta \ gamma} {} _ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |} C^{\ mu \ nu \ cdots \ zeta} \\ [3pt] = {} & \ sum _ {\ alfa <\ beta <\ gamma} ~ \ sum _ {\ delta <\ epsilon <\ cdots <\ lambda} ~ \ sum _ {\ mu <\ nu <\ cdots <\ zeta} A _ {\ alfa \ beta \ gamma} {}^{\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda} B^{\ alfa \ beta \ gamma} {} _ {\ delta \ epsilon \ cdots \ lambda \ mu \ nu \ cdots \ zeta} C^{\ mu \ nu \ cdots \ zeta } \ vége {igazítva}}}$

Több indexes jelölés használatakor egy aláhúzást helyezünk el az indexek tömbje alatt:

${\ displaystyle A _ {\ underet {\ rightharpoondown} {P}} {}^{\ underet {\ rightharpoondown} {Q}} B^{P} {} _ {Q {\ underet {\ rightharpoondown} {R}} } C^{R} = \ összeg _ {\ alárendelt {\ jobbharpoondown} {P}} \ összeg _ {\ alulállított {\ jobbharpoondown} {Q}} \ összeg _ {\ alulállított {\ jobbharpoondown} {R}} A_ {P} {}^{Q} B^{P} {} _ {QR} C^{R}}$

ahol

${\ displaystyle {\ underset {\ rightharpoondown} {P}} = | \ alfa \ beta \ gamma | \ ,, \ quad {\ underet {\ rightharpoondown} {Q}} = | \ delta \ epsilon \ cdots \ lambda | \ ,, \ quad {\ underet {\ rightharpoondown} {R}} = | \ mu \ nu \ cdots \ zeta |}$

Emelő és csökkentő indexek

Ha egy indexet nem szinguláris metrikus tenzorral kötünk össze , akkor a tenzor típusa megváltoztatható, az alsó indexet felső indexre konvertálva vagy fordítva:

${\ displaystyle B^{\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots} = g^{\ gamma \ alpha} A _ {\ alfa \ beta \ cdots} \ quad {\ text {és}} \ quad A _ {\ alfa \ beta \ cdots} = g _ {\ alfa \ gamma} B^{\ gamma} {} _ {\ beta \ cdots}}$

Az alapszimbólum sok esetben megmarad (pl. A használatával, ahol B jelenik meg itt), és ha nincs kétértelműség, akkor az index újrapozícionálása szükséges lehet a művelethez.

Az indexpozíciók és az invariancia összefüggései

Ez a táblázat összefoglalja, hogy a kovariáns és kontravariáns indexek manipulációja hogyan illeszkedik az invarianciához a bázisok közötti passzív transzformáció során, és az első oszlopban tükröződnek az egyes bázis összetevői a másik alapján. A korlátozott indexek az átalakítás utáni végső koordinátarendszerre vonatkoznak.

A Kronecker -delta használatos, lásd még alább .

	Az alap átalakítása	Komponens transzformáció	Változatlanság
Fedő, kovariáns vektor, 1-forma	${\ displaystyle \ omega ^{\ bar {\ alpha}} = L ^{\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} \ omega ^{\ beta}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}}}$	${\ displaystyle a _ {\ bar {\ alpha}} \ omega^{\ bar {\ alpha}} = a _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} L^{\ bar {\ alfa}} {} _ {\ beta} \ omega ^{\ beta} = a _ {\ gamma} \ delta ^{\ gamma} {} _ {\ beta} \ omega ^{\ beta} = a_ { \ beta} \ omega ^{\ beta}}$
Vektor, ellentmondásos vektor	${\ displaystyle e _ {\ bar {\ alpha}} = e _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}}}$	${\ displaystyle u^{\ bar {\ alpha}} = L^{\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} u^{\ beta}}$	${\ displaystyle e _ {\ bar {\ alpha}} u^{\ bar {\ alpha}} = e _ {\ gamma} L^{\ gamma} {} _ {\ bar {\ alpha}} L^{\ bar {\ alpha}} {} _ {\ beta} u^{\ beta} = e _ {\ gamma} \ delta^{\ gamma} {} _ {\ beta} u^{\ beta} = e _ {\ gamma} u^{\ gamma}}$

Általános vázlatok az index jelölésére és a műveletekre

A tenzorok akkor és csak akkor egyenlők, ha minden megfelelő összetevő egyenlő; pl. A tenzor akkor és csak akkor egyenlő B tenzorral, ha

${\ displaystyle A^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = B^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}}$

minden α , β , γ esetén . Következésképpen a jelölésnek vannak olyan aspektusai, amelyek hasznosak annak ellenőrzésében, hogy az egyenlet értelme van -e (analóg eljárás a dimenzióelemzéshez ).

Ingyenes és dummy indexek

Az összehúzódásokban részt nem vevő indexeket szabad indexeknek nevezzük . Az összehúzódásokban használt mutatókat dummy indexeknek vagy összegző indexeknek nevezzük .

A tenzor-egyenlet sok közönséges (valós értékű) egyenletet képvisel

A tenzorok összetevői (például A ^α , B _β ^γ stb.) Csak valós számok. Mivel az indexek különböző egész értékeket vesznek fel a tenzorok bizonyos összetevőinek kiválasztásához, egyetlen tenzor -egyenlet sok közönséges egyenletet jelent. Ha egy tenzor -egyenlőségnek n szabad indexe van, és ha az alatta lévő vektortér dimenzionalitása m , akkor az egyenlőség m ⁿ egyenletet jelent: minden index felveszi egy adott értékkészlet minden értékét.

Például, ha

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} = T^{\ alfa} {} _ {\ beta} {} _ {\ delta}}$

van négy dimenzió (azaz minden index fut 0-3 vagy 1-4), akkor azért, mert vannak olyan három szabad indexek ( α , β , δ ), van 4 ³ = 64 egyenletek. Ezek közül három:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} A^{0} B_ {1} {}^{0} C_ {00}+A^{0} B_ {1} {}^{1} C_ {10}+A ^{0} B_ {1} {}^{2} C_ {20}+A^{0} B_ {1} {}^{3} C_ {30}+D^{0} {} _ {1} {} E_ {0} & = T^{0} {} _ {1} {} _ {0} \\ A^{1} B_ {0} {}^{0} C_ {00}+A^{ 1} B_ {0} {}^{1} C_ {10}+A^{1} B_ {0} {}^{2} C_ {20}+A^{1} B_ {0} {}^{ 3} C_ {30}+D^{1} {} _ {0} {} E_ {0} & = T^{1} {} _ {0} {} _ {0} \\ A^{1} B_ {2} {}^{0} C_ {02}+A^{1} B_ {2} {}^{1} C_ {12}+A^{1} B_ {2} {}^{2} C_ {22}+A^{1} B_ {2} {}^{3} C_ {32}+D^{1} {} _ {2} {} E_ {2} & = T^{1} { } _ {2} {} _ {2}. \ End {aligned}}}$

Ez szemlélteti az index -jelölés használatának tömörségét és hatékonyságát: sok egyenlet, amelyek mindegyike hasonló struktúrával rendelkezik, egyetlen egyszerű tenzor -egyenletbe gyűjthető össze.

Az indexek cserélhető címkék

Ha bármely indexszimbólumot egy másikkal helyettesít, a tenzor -egyenlet változatlan marad (feltéve, hogy nincs ütközés más, már használt szimbólumokkal). Ez hasznos lehet az indexek manipulálásakor, például az index jelölések használatával a vektoros számítási azonosságok vagy a Kronecker delta és Levi-Civita szimbólum azonosságainak ellenőrzésére (lásd még alább). Példa a helyes változtatásra:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ jobbra mutató nyíl A^{\ lambda} B _ {\ beta} {}^{\ mu} C _ {\ mu \ delta}+D^{\ lambda} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ ,, }$

mivel a hibás változás:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ nrightarrow A^{\ lambda} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ mu \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ beta} {} E _ {\ delta} \ ,. }$

Az első csere, λ helyébe α és μ helyébe γ mindenütt , így a kifejezés még mindig ugyanaz a jelentése. A második, λ nem teljes mértékben helyettesíteni az α , és μ nem teljesen helyettesíti γ (mellesleg, a kontrakció a γ -index vált tenzor termék), amely teljes egészében következetlen okokból mellett látható.

Az indexek minden kifejezésben azonosak

A tenzorkifejezésben lévő szabad indexek minden tagban mindig ugyanabban (felső vagy alsó) pozícióban jelennek meg, és tenzoregyenletben a szabad indexek mindkét oldalon azonosak. A dummy indexeknek (amelyek az index feletti összegzést jelentik) nem kell azonosaknak lenniük, például:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D^{\ alpha} {} _ {\ delta} E _ {\ beta} = T^ {\ alfa} {} _ {\ beta} {} _ {\ delta}}$

ami a téves kifejezést illeti:

${\ displaystyle A^{\ alpha} B _ {\ beta} {}^{\ gamma} C _ {\ gamma \ delta}+D _ {\ alpha} {} _ {\ beta} {}^{\ gamma} E^ {\ delta}.}$

Más szóval, a nem ismétlődő indexeknek azonos típusúaknak kell lenniük az egyenlet minden tagjában. A fenti azonosságban α , β , δ sorakoznak végig, és γ kontrakció miatt kétszer fordul elő egy kifejezésben (egyszer felső indexként és egyszer alsó indexként), és így érvényes kifejezés. Az érvénytelen kifejezésben, míg a β sorban áll, az α és a δ nem, és a γ kétszer jelenik meg egy tagban (összehúzódás), és egyszer egy másik kifejezésben, ami következetlen.

A zárójelek és az írásjelek egyszer használatosak, ahol ez implikált

Amikor egy szabályt számos indexre alkalmaznak (differenciálás, szimmetrizáció, stb.), A szabályokat jelző zárójel vagy írásjelek csak azon indexek egy csoportján jelennek meg, amelyekre vonatkoznak.

Ha a zárójelek kovariáns indexeket tartalmaznak - a szabály csak a zárójelben lévő összes kovariáns indexre vonatkozik , nem pedig a zárójelek között közbeiktatott ellentmondásos indexekre.

Hasonlóképpen, ha a zárójelek kontravariáns indexeket tartalmaznak - a szabály csak az összes zárt kontravariant indexre vonatkozik , a köztes elhelyezésű kovariáns indexekre nem.

Szimmetrikus és antiszimmetrikus alkatrészek

A tenzor szimmetrikus része

Zárójel, () , több index körül, a tenzor szimmetrizált részét jelöli. Amikor p indexeket szimmetrizálunk σ -val az 1 -től p -ig terjedő permutációk között , akkor összeget veszünk az α _{σ ( i )} indexek permutációi fölött, ha i = 1, 2, 3,…, p , majd elosztjuk a permutációk száma:

${\ displaystyle A _ {(\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p}) \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} = {\ dfrac {1 } {p!}} \ sum _ {\ sigma} A _ {\ alfa _ {\ sigma (1)} \ cdots \ alpha _ {\ sigma (p)} \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \ ,.}$

Például két szimmetrizáló index azt jelenti, hogy két indexet kell permutálni és összegezni:

${\ displaystyle A _ {(\ alfa \ beta) \ gamma \ cdots} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ cdots}+A _ {\ beta \ alfa \ gamma \ cdots} \ jobb)}$

míg három szimmetrizáló index esetében három indexet kell összegezni és permutálni:

${\ displaystyle A _ {(\ alfa \ beta \ gamma) \ delta \ cdots} = {\ dfrac {1} {3!}} \ left (A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta \ cdots}+A _ {\ gamma \ alfa \ beta \ delta \ cdots}+A _ {\ beta \ gamma \ alfa \ delta \ cdots}+A _ {\ alfa \ gamma \ beta \ delta \ cdots}+A _ {\ gamma \ beta \ alfa \ delta \ cdots}+A _ {\ beta \ alfa \ gamma \ delta \ cdots} \ jobb)}$

A szimmetrizálás elosztó az összeadás felett;

${\ displaystyle A _ {(\ alpha} \ left (B _ {\ beta) \ gamma \ cdots}+C _ {\ beta) \ gamma \ cdots} \ right) = A _ {(\ alfa} B _ {\ beta) \ gamma \ cdots}+A _ {(\ alpha} C _ {\ beta) \ gamma \ cdots}}$

Az indexek nem részei a szimmetrizációnak, ha:

• például nem azonos szinten;

  ${\ displaystyle A _ {(\ alpha} B^{\ beta} {} _ {\ gamma)} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha} B^{\ beta} { } _ {\ gamma}+A _ {\ gamma} B^{\ beta} {} _ {\ alfa} \ jobb)}$

• zárójelben és függőleges oszlopok között (pl. | ⋅⋅⋅ |), módosítva az előző példát;

  ${\ displaystyle A _ {(\ alpha} B_ {| \ beta |} {} _ {\ gamma)} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alfa} B _ {\ beta \ gamma }+A _ {\ gamma} B _ {\ beta \ alfa} \ jobb)}$

Itt az α és γ indexek szimmetrizáltak, β nem.

A tenzor antiszimmetrikus vagy váltakozó része

Szögletes zárójelben [] , körül több indexek jelöli anti symmetrized része a tenzor. A p antisymmetrizing indexek - az összeg fölött a permutációk, ezeket az indexeket alfa _{σ ( i )} megszorozzuk a aláírása permutációs SGN ( σ ) vesszük, ezután elosztjuk a száma permutációk:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} & A _ {[\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}] \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\ [3pt] = {} & {\ dfrac {1} {p!}} \ sum _ {\ sigma} \ operatornév {sgn} (\ sigma) A _ {\ alfa _ {\ sigma (1)} \ cdots \ alpha _ {\ sigma (p)} \ alfa _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\ = {} & \ delta _ {\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}}^{\ beta _ {1} \ dots \ beta _ {p}} A _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p} \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} \\\ end {igazítva}}}$

ahol δβ 1 ⋅⋅⋅ β p
α 1 ⋅⋅⋅ α pa 2 p fokú általánosított Kronecker -delta , az alábbiakban meghatározott skálázással.

Például két antiszimmetrizáló index azt jelenti:

${\ displaystyle A _ {[\ alfa \ beta] \ gamma \ cdots} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ cdots} -A _ {\ beta \ alfa \ gamma \ cdots} \ jobb)}$

míg három antiszimmetrizáló index azt jelenti:

${\ displaystyle A _ {[\ alfa \ beta \ gamma] \ delta \ cdots} = {\ dfrac {1} {3!}} \ left (A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ delta \ cdots}+A _ {\ gamma \ alfa \ beta \ delta \ cdots}+A _ {\ beta \ gamma \ alfa \ delta \ cdots} -A _ {\ alfa \ gamma \ beta \ delta \ cdots} -A _ {\ gamma \ beta \ alfa \ delta \ cdots} -A _ {\ beta \ alfa \ gamma \ delta \ cdots} \ jobb)}$

egy konkrétabb példa esetében, ha F az elektromágneses tenzort jelenti , akkor az egyenlet

${\ displaystyle 0 = F _ {[\ alfa \ beta, \ gamma]} = {\ dfrac {1} {3!}} \ balra (F _ {\ alfa \ beta, \ gamma}+F _ {\ gamma \ alfa, \ beta}+F _ {\ beta \ gamma, \ alfa} -F _ {\ beta \ alfa, \ gamma} -F _ {\ alfa \ gamma, \ beta} -F _ {\ gamma béta, \ alfa} jobb) \,}$

jelentése Gauss-féle törvény mágnesesség és Faraday indukciós törvénye .

A korábbiakhoz hasonlóan az antiszimmetrizáció elosztó az összeadás felett;

${\ displaystyle A _ {[\ alfa} \ left (B _ {\ beta] \ gamma \ cdots}+C _ {\ beta] \ gamma \ cdots} \ right) = A _ {[\ alfa} B _ {\ beta] \ gamma \ cdots}+A _ {[\ alfa} C _ {\ beta] \ gamma \ cdots}}$

A szimmetrizáláshoz hasonlóan az indexek sem antiszimmetrizáltak, ha:

• például nem azonos szinten;

  ${\ displaystyle A _ {[\ alfa} B^{\ beta} {} _ {\ gamma]} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alpha} B^{\ beta} { } _ {\ gamma} -A _ {\ gamma} B^{\ beta} {} _ {\ alfa} \ jobb)}$

• a szögletes zárójelben és a függőleges oszlopok között (pl. | ⋅⋅⋅ |), módosítva az előző példát;

  ${\ displaystyle A _ {[\ alfa} B_ {| \ beta |} {} _ {\ gamma]} = {\ dfrac {1} {2!}} \ left (A _ {\ alfa} B _ {\ beta \ gamma } -A _ {\ gamma} B _ {\ beta \ alfa} \ jobb)}$

Itt az α és γ indexek antiszimmetrizáltak, a β nem.

Szimmetrikus és antiszimmetrikus részek összege

Bármely tenzor írható szimmetrikus és antiszimmetrikus részeinek összegeként két indexre:

${\ displaystyle A _ {\ alfa \ beta \ gamma \ cdots} = A _ {(\ alfa \ beta) \ gamma \ cdots}+A _ {[\ alfa \ beta] \ gamma \ cdots}}$

amint az a fenti kifejezések hozzáadásával látható A _{( αβ ) γ ⋅⋅⋅} és A _{[ αβ ] γ ⋅⋅⋅ esetén} . Ez két indexen kívül nem érvényes.

Különbségtétel

A tömörség érdekében a származékok jelezhetők indexek hozzáadásával vessző vagy pontosvessző után.

Részleges származtatott

Míg a Ricci -számítás kifejezéseinek többsége tetszőleges alapokra érvényes, a tenzorkomponensek részleges deriváltjait tartalmazó kifejezések a koordináták tekintetében csak koordináta -alapon érvényesek : a koordinátákra vonatkozó differenciálással meghatározott alap. A koordinátákat jellemzően x ^μ jelöli , de általában nem alkotják a vektor összetevőit. A sík téridőben lineáris koordinációval a koordináták különbségeinek halmaza , Δ x ^μ , kontravariáns vektorként kezelhető. A térre és a koordinátarendszer megválasztására vonatkozó ugyanazokkal a megkötésekkel a koordináták tekintetében a részderivatívák ténylegesen kovariáns eredményt adnak. Eltekintve attól, hogy ebben a speciális esetben használjuk, a tenzorok összetevőinek részderiváltjai általában nem átalakulnak kovariánsan, de hasznosak a kovariáns kifejezések létrehozásában, bár koordináta -alapúak, ha a részeredetényeket kifejezetten használják, mint a kovariáns , külső és hazugság származékok.

A tenzormező összetevőinek részleges differenciálódásának jelzésére x ^γ koordináta ^-változó vonatkozásában vesszőt kell elhelyezni a koordináta -változó mellékelt alsó indexe előtt.

${\ displaystyle A _ {\ alfa \ beta \ cdots, \ gamma} = {\ dfrac {\ partial} {\ részleges x^{\ gamma}}} A _ {\ alfa \ beta \ cdots}}$

Ez megismételhető (további vesszők hozzáadása nélkül):

${\ displaystyle A _ {\ alpha _ {1} \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {p} \ ,, \, \ alpha _ {p+1} \ cdots \ alpha _ {q}} = {\ dfrac {\ részleges {{részleges x^{\ alfa _ {q}}}} \ cdots {\ dfrac {\ részleges {{részleges x^{\ alfa _ {p+2}}}}} {\ dfrac { \ részleges {{részleges x^{\ alfa _ {p+1}}}} A _ {\ alfa _ {1} \ alfa _ {2} \ cdots \ alpha _ {p}}.}$

Ezek az összetevők nem átalakulnak kovariáns módon, kivéve, ha a differenciált kifejezés skalár. Ezt a deriváltot a szorzós szabály és a koordináták deriváltjai jellemzik

${\ displaystyle x^{\ alpha} {} _ {, \ gamma} = \ delta _ {\ gamma}^{\ alpha},}$

ahol δ a Kronecker -delta .

Kovariáns származék

A kovariáns derivált csak akkor definiálható, ha kapcsolat van meghatározva. Bármely tenzormező esetében a mellékelt alsó (kovariáns) index elé helyezett pontosvessző (  ; ) a kovariáns differenciálódást jelzi. A pontosvessző kevésbé gyakori alternatívái közé tartozik a perjel ( / ), vagy háromdimenziós ívelt térben egyetlen függőleges sáv (  |  ).

A skalárfüggvény, az ellenvariáns vektor és a kovariáns vektor kovariáns származéka:

${\ displaystyle f _ {; \ beta} = f _ {, \ beta}}$

${\ displaystyle A^{\ alpha} {} _ {; \ beta} = A^{\ alpha} {} _ {, \ beta}+\ Gamma^{\ alpha} {} _ {\ gamma \ beta} A ^{\ gamma}}$

${\ displaystyle A _ {\ alpha; \ beta} = A _ {\ alfa, \ beta}-\ Gamma ^{\ gamma} {} _ {\ alfa \ beta} A _ {\ gamma} \ ,,}$

ahol Γ ^α _γβ a kapcsolódási együtthatók.

Önkényes tenzor esetén:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ gamma} & \\ = T ^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}, \ gamma} &+\, \ Gamma ^ {\ alfa _ {1}} {} _ {\ delta \ gamma} T^{\ delta \ alpha _ {2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ béta _ {s}} +\ cdots +\ Gamma ^{\ alfa _ {r}} {} _ {\ delta \ gamma} T ^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ delta} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ &-\, \ Gamma ^{\ delta} {} _ {\ beta _ {1} \ gamma} T ^{ \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ delta \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} -\ cdots -\ Gamma ^{\ delta} {} _ {\ beta _ {s} \ gamma} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ delta } \,. \ end {igazítva}}}$

Egy alternatív jelölés bármely tenzor kovariáns származékára az crip _β aláírt nabla szimbólum . A ^α vektormező esetén :

${\ displaystyle \ nabla _ {\ beta} A^{\ alpha} = A^{\ alpha} {} _ {; \ beta} \ ,.}$

A v ^γ vektor mentén bármely tenzormező irányított deriváltjának kovariáns összetétele kifejezhető annak összehúzódásaként a kovariáns származékkal, pl.

${\ displaystyle v^{\ gamma} A _ {\ alfa; \ gamma} \ ,.}$

A tenzormező ezen deriváltjának összetevői kovalensen átalakulnak, és így egy másik tenzormezőt alkotnak, annak ellenére, hogy a részkifejezések (a parciális derivált és a kapcsolódási együtthatók) külön -külön nem átalakulnak kovariáns módon.

Ezt a származékot a termék szabálya jellemzi:

${\ displaystyle (A^{\ alfa} {} _ {\ beta \ cdots} B^{\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots}) _ {; \ epsilon} = A^{\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots; \ epsilon} B^{\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots}+A^{\ alpha} {} _ {\ beta \ cdots} B^{\ gamma} {} _ {\ delta \ cdots; \ epsilon} \ ,.}$

Csatlakozási típusok

A Koszul kapcsolatot a érintőnyalábbal egy differenciálható sokaság nevezzük affin kapcsolat .

A kapcsolat metrikus kapcsolat, ha a metrikus tenzor kovariáns deriváltja megszűnik:

${\ displaystyle g _ {{mu \ nu; \ xi} = 0 \}}$

Az affin kapcsolatot , amely metrikus kapcsolat is, Riemann -kapcsolatnak nevezzük . A csavarodásmentes Riemann-kapcsolat (azaz amelynél a torziós tenzor eltűnik: T ^α _βγ = 0 ) egy Levi-Civita kapcsolat .

A Levi-Civita kapcsolat koordináta-alapú Γ ^α _βγ -ját második típusú Christoffel-szimbólumoknak nevezzük .

Külső származék

A teljesen antiszimmetrikus típusú (0, s ) tenzortér külső deriváltja A _{α 1 ⋅⋅⋅ α s} komponensekkel (más néven differenciálformának ) olyan származék, amely _{bázistranszformációk során} kovariáns. Nem függ sem metrikus tenzortól, sem csatlakozástól: csak egy differenciálható elosztó szerkezetét igényli. Koordináta -alapon a tenzorkomponensek részszármazékainak antiszimmetrizációjaként fejezhető ki:

${\ displaystyle (\ mathrm {d} A) _ {\ gamma \ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}} = {\ frac {\ partial} {\ rész x^{[\ gamma}}} A _ {\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}]},}$

ami azzal egyenértékű

${\ displaystyle (\ mathrm {d} A) _ {\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {s} \ gamma} = A _ {[\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {s}, \ gamma]}.}$

Ez a derivált nincs meghatározva olyan tenzormezőkön, ahol ellentmondásos indexek vannak, vagy amelyek nem teljesen antiszimmetrikusak. A minősített termék szabálya jellemzi.

Hazugság származéka

A Lie derivált egy másik származtatott, amely bázisátalakítások során kovariáns. A külső deriválthoz hasonlóan ez sem metrikus tenzortól, sem kapcsolattól nem függ. A T típusú ( r , s ) tenzortér Lie -deriváltja az X ^ρ kontravariáns vektormező mentén (áramlása) koordináta -alapon fejezhető ki , mint

${\ displaystyle {\ begin {aligned} ({\ mathcal {L}} _ {X} T)^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} & \\ = X^{\ gamma} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ béta _ {s}, \ gamma} &-\, X^{\ alfa _ {1}} {} _ {, \ gamma} T^{\ gamma alfa {2} \ cdots \ alpha _ {r} } {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} -\ cdots -X^{\ alfa _ {r}} {} _ {, \ gamma} T^{\ alfa _ {1 } \ cdots \ alpha _ {r-1} \ gamma} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ &+\, X^{\ gamma} {} _ {, \ beta _ {1}} T^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ gamma \ beta _ {2} \ cdots \ beta _ {s}} +\ cdots + X^{\ gamma} {} _ {, \ beta _ {s}} T^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ gamma} \,. \ end {igazítva}}}$

Ezt a deriváltot a termék szabálya jellemzi, és hogy egy kontravariáns vektormező Lie deriváltja maga mentén nulla:

${\ displaystyle ({\ mathcal {L}} _ {X} X)^{\ rho} = X^{\ gamma} X^{\ alpha} {} _ {, \ gamma} -X^{\ alpha} {} _ {, \ gamma} X^{\ gamma} = 0 \}}$

Nevezetes tenzorok

Kronecker -delta

A Kronecker -delta olyan, mint az identitásmátrix, ha megszorozzuk és összehúzzuk:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ delta _ {\ beta}^{\ alpha} \, A^{\ beta} & = A^{\ alpha} \\\ delta _ {\ nu}^{\ mu } \, B _ {\ mu} & = B _ {\ nu}. \ End {igazítva}}}$

A komponensek δ^α
_βazonosak minden alapot képeznek invariáns tenzora típusú (1, 1) , azaz a személyazonosságát a érintőnyalábbal az identitás feltérképezése a bázis sokrétű , és így annak nyoma egy változatlan. A nyoma van dimenzionalitásának a tér; például a négydimenziós téridőben ,

${\ displaystyle \ delta _ {\ rho}^{\ rho} = \ delta _ {0}^{0}+\ delta _ {1}^{1}+\ delta _ {2}^{2}+\ delta _ {3}^{3} = 4.}$

A Kronecker -delta az általános Kronecker -delták családja. A 2 p fokú általánosított Kronecker -delta a Kronecker -delta szerint definiálható (a közös meghatározás a p ! -Nek egy további szorzóját tartalmazza a jobb oldalon):

${\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}}^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} = \ delta _ {\ beta _ {1} }^{[\ alfa _ {1}} \ cdots \ delta _ {\ beta _ {p}}^{\ alfa _ {p}]},}$

és antiszimmetrizátorként működik a p indexeken:

${\ displaystyle \ delta _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}}^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}} \, A^{\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {p}} = A^{[\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {p}]}.}$

Torziós tenzor

Egy affin kapcsolat T ^α _βγ torziós tenzorral rendelkezik :

${\ displaystyle T ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = \ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma}-\ Gamma ^{\ alfa} {} _ {\ gamma \ béta}-\ gamma ^{\ alfa} {} _ {\ beta \ gamma},}$

ahol γ ^α _βγ a helyi bázis Lie zárójelének összetevői, amelyek eltűnnek, ha koordináta -bázis.

Levi-Civita kapcsolat esetén ez a tenzor nulla, ami koordináta-alapon adja meg az egyenleteket

${\ displaystyle \ Gamma ^{\ alpha} {} _ {\ beta \ gamma} = \ Gamma ^{\ alfa} {} _ {\ gamma \ beta}.}$

Riemann görbületfeszítő

Ha ezt a tenzort úgy definiáljuk

${\ displaystyle R ^{\ rho} {} _ {\ sigma \ mu \ nu} = \ Gamma ^{\ rho} {} _ {\ nu \ sigma, \ mu}-\ Gamma ^{\ rho} {} _ {\ mu \ sigma, \ nu}+\ Gamma ^{\ rho} {} _ {\ mu \ lambda} \ Gamma ^{\ lambda} {} _ {\ nu \ sigma}-\ Gamma ^{\ rho } {} _ {\ nu \ lambda} \ Gamma ^{\ lambda} {} _ {\ mu \ sigma} \ ,,}$

akkor ez a kovariáns derivált kommutátora önmagával:

${\ displaystyle A _ {\ nu; \ rho \ sigma} -A _ {\ nu; \ sigma \ rho} = A _ {\ beta} R^{\ beta} {} _ {\ nu \ rho \ sigma} \ ,, }$

mivel a kapcsolat csavarodásmentes, ami azt jelenti, hogy a torziós tenzor eltűnik.

Ezt általánosítva meg lehet kapni a kommutátort egy tetszőleges tenzor két kovariáns deriváltjára az alábbiak szerint:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} T^{\ alpha _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ gamma \ delta } &-T^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}; \ delta \ gamma} \\ & \! \! \! \! \! \! \! \! \! \! =-R^{\ alfa _ {1}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T^{\ rho \ alpha _ { 2} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} -\ cdots -R^{\ alpha _ {r}} {} _ {\ rho \ gamma \ delta} T^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {r-1} \ rho} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s}} \\ &+ R^{\ sigma} {} _ {\ beta _ {1} \ gamma \ delta} T^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ {r}} {} _ {\ sigma \ beta _ {2 } \ cdots \ beta _ {s}} +\ cdots +R^{\ sigma} {} _ {\ beta _ {s} \ gamma \ delta} T^{\ alfa _ {1} \ cdots \ alpha _ { r}} {} _ {\ beta _ {1} \ cdots \ beta _ {s-1} \ sigma} \, \ end {aligned}}}$

amelyeket gyakran Ricci -identitásoknak neveznek .

Metrikus tenzor

A g _αβ metrikus tenzort az indexek csökkentésére használják, és megadja bármely térbeli görbe hosszát

${\ displaystyle {\ text {length}} = \ int _ {y_ {1}}^{y_ {2}} {\ sqrt {g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx^{\ alpha}} { d \ gamma}} {\ frac {dx^{\ beta}} {d \ gamma}}}} \, d \ gamma \ ,,}$

ahol γ az út bármely sima, szigorúan monoton paraméterezése . Ezenkívül megadja bármely időszerű görbe időtartamát

${\ displaystyle {\ text {duration}} = \ int _ {t_ {1}}^{t_ {2}} {\ sqrt {{\ frac {-1} {c^{2}}} g _ {\ alpha \ beta} {\ frac {dx^{\ alpha}} {d \ gamma}} {\ frac {dx^{\ beta}} {d \ gamma}}}} \, d \ gamma \ ,,}$

ahol γ a pálya bármely sima, szigorúan monoton paraméterezése. Lásd még Vonal elem .

A metrikus tenzor g ^αβ fordított mátrixa egy másik fontos tenzor, amelyet az indexek emelésére használnak:

${\ displaystyle g^{\ alfa \ beta} g _ {\ beta \ gamma} = \ delta _ {\ gamma}^{\ alfa} \ ,.}$

Lásd még

Megjegyzések

Hivatkozások

Források

• Püspök, RL ; Goldberg, SI (1968), Tensor Analysis on Manifolds (First Dover 1980, szerk.), The Macmillan Company, ISBN 0-486-64039-6
• Danielson, Donald A. (2003). Vektorok és tenzorok a mérnöki és fizikai területen (2/e szerk.). Westview (Perseus). ISBN 978-0-8133-4080-7.
• Dimitrienko, Jurij (2002). Tenzorelemzés és nemlineáris tenzorfüggvények . Kluwer Academic Publishers (Springer). ISBN 1-4020-1015-X.
• Lovelock, David; Hanno Rund (1989) [1975]. Tenzorok, differenciálformák és variációs elvek . Dover. ISBN 978-0-486-65840-7.
• C. Møller (1952), A relativitáselmélet (3. kiadás), Oxford University Press
• Synge JL; Schild A. (1949). Tensor Calculus . első Dover Publications 1978 -as kiadás. ISBN 978-0-486-63612-2.
• JR Tyldesley (1975), Bevezetés a tenzorelemzésbe: mérnökök és alkalmazott tudósok számára , Longman, ISBN 0-582-44355-5
• DC Kay (1988), Tensor Calculus , Schaum's Outlines, McGraw Hill (USA), ISBN 0-07-033484-6
• T. Frankel (2012), The Geometry of Physics (3. kiadás), Cambridge University Press, ISBN 978-1107-602601