Félmező - Semifield

Algebrai szerkezet → Gyűrű elmélet Gyűrű elmélet
Alapfogalmak Gyűrűk • Subrings • Ideális • Kedvező gyűrű • Töredékes • Teljes hányados gyűrű • Termékgyűrű • Ingyenes asszociatív algebrák terméke • A gyűrűk tenzorterméke Gyűrűs homomorfizmusok • Kernel • Belső automorfizmus • Frobenius endomorfizmus Algebrai struktúrák • Modul • Asszociatív algebra • Osztályozott gyűrű • Vonzó gyűrű • A gyűrűk kategóriája • Kezdeti csengetés ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Sorkapocs gyűrű ${\ displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Kapcsolódó struktúrák • Mező • Véges mező • Nem asszociatív gyűrű • Hazugsággyűrű • Jordan gyűrű • Semiring • Félmező
Kommutatív algebra Kommutatív gyűrűk • Integrált tartomány • Integráltan zárt tartomány • GCD tartomány • Egyedülálló faktorizációs tartomány • Fő ideális tartomány • euklideszi tartomány • Mező • Véges mező • Kompozíciós gyűrű • Polinomiális gyűrű • Hivatalos teljesítménysor gyűrű Algebrai számelmélet • Algebrai számmező • Egész számok gyűrűje • Algebrai függetlenség • Transzcendentális számelmélet • Transzcendencia fokozat p -adikus számelmélet és tizedesjegyek • Közvetlen határ / inverz határ • Nulla gyűrű ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Egész számok modulo p n ${\ displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p- gyűrű ${\ displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Alap - p körgyűrű ${\ displaystyle \ mathbb {T}}$ • Alap - p egész szám ${\ displaystyle \ mathbb {Z}}$ • p -adikus racionalitás ${\ displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Bázis - p valós számok ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -adikus egész számok ${\ displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -adikus számok ${\ displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • p -adikus mágnesszelep ${\ displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Algebrai geometria • Affin változatosság
Nem kommutatív algebra Nem kommutatív gyűrűk • Osztógyűrű • Félig primitív gyűrű • Egyszerű gyűrű • kommutátor Nem kommutatív algebrai geometria Ingyenes algebra Clifford algebra • Geometriai algebra Operátor algebra
v t e

A matematikában a félmező két bináris művelettel , összeadással és szorzással rendelkező algebrai struktúra , amely hasonló egy mezőhöz , de néhány axiómával ellazul.

Áttekintés

A félmező kifejezésnek két ellentmondó jelentése van, mindkettő speciális mezőként tartalmazza a mezőket.

• A projektív geometriában és a véges geometriában ( MSC 51A, 51E, 12K10) a félmező nem asszociatív osztógyűrű , multiplikatív azonosságú elemmel. Pontosabban egy nem asszociatív gyűrűről van szó, amelynek nem nulla elemei a szorzás alatt hurkot alkotnak . Más szavakkal, a félmező egy S halmaz két művelettel + (összeadás) és · (szorzás), oly módon, hogy
  • ( S , +) egy abeli csoport ,
  • a szorzás balra és jobbra egyaránt disztributív ,
  • létezik multiplikatív identitáselem , és
  • osztály mindig lehetséges: minden egy , és minden nem nulla b az S léteznek egyedi x és y az S amelyre b · x = a és y · b = a .

Különösen vegye figyelembe, hogy a szorzást nem feltételezzük kommutatívnak vagy asszociatívnak . Az asszociatív félmező osztódási gyűrű , asszociatív és kommutatív is egy mező . A definíció szerint egy félmező a kvazifield speciális esete . Ha S véges, a fenti definíció utolsó axiómája helyettesíthető azzal a feltételezéssel, hogy nincs nulla osztó , így az a · b = 0 azt jelenti, hogy a = 0 vagy b = 0. Vegye figyelembe, hogy az asszociativitás hiánya miatt , az utolsó axióma nem egyenértékű azzal a feltételezéssel, hogy minden nem nulla elem multiplikatív inverzsel rendelkezik, amint az általában a mezők és osztódási gyűrűk definícióiban található meg.

• A gyűrűelméletben , a kombinatorikában , a funkcionális elemzésben és az elméleti számítástechnikában ( MSC 16Y60) a félmező egy olyan semiring ( S , +, ·), amelyben az összes nem nulla elem multiplikatív inverzsel rendelkezik. Ezeket az objektumokat megfelelő félmezőknek is nevezzük . Egy változata ezt a definíciót felmerül, ha S tartalmaz egy elnyelő nulla, amely eltér a multiplikatív egység e , az szükséges, hogy a nem nulla elemek lehetnek invertálható, és egy · 0 = 0 · egy = 0. Mivel szorzás asszociatív , a A félmező (nem nulla) elemei csoportot alkotnak . Az ( S , +) pár azonban csak félcsoport , azaz nem szükséges additív inverz, vagy köznyelven „nincs kivonás”. Néha nem feltételezik, hogy a szorzás asszociatív.

A félmezők primitívsége

A D félmezőt akkor nevezzük jobbnak (ill. Balnak) primitívnek, ha van olyan w eleme, hogy a D * nem nulla elemeinek halmaza megegyezzen a w összes jobb (ill. Bal) fő erejének halmazával.

Példák

Csak a második értelemben vett félmezőkre, azaz disztribúciós szorzással rendelkező additív félcsoportokra mutatunk be példákat. Ezenkívül az összeadás kommutatív és a szorzás asszociatív a példáinkban.

• A pozitív racionális számok a szokásos összeadással és szorzással kommutatív félmezőt alkotnak.

  Ez meghosszabbítható egy elnyelő 0-val.

• A pozitív valós számok a szokásos összeadással és szorzattal kommutatív félmezőt alkotnak.

  Ez meghosszabbítható egy abszorbeáló 0-val, kialakítva a valószínűségi szemirálást , amely izomorf a napló féligével .

• Az f / g alak racionális függvényei , ahol f és g egy polinom egy változóban, pozitív együtthatókkal, kommutatív félmezőt alkotnak.

  Ez kibővíthető 0-ra.

• Az R valós számok egy félmezőt tekinthetnek meg, ahol két elem összegét határozzák meg a maximumuknak, a szorzatot pedig a rendes összegüknek; ezt a félmezőt tömörebben jelöljük ( R , max, +). Hasonlóképpen ( R , min, +) egy félmező. Ezeket trópusi szemiringnek nevezzük .

  Ezt kiterjeszthetjük − an-vel (elnyelő 0); ez a határ ( tropicalization ) a log semiring bázisként tart a végtelenbe.

• Általánosítva az előző példában, ha ( A , ·, ≤) egy rács-rendezett csoportot , majd ( A , +, ·) egy additív idempotens semifield a semifield összeget meghatározott, hogy a supremum a két elem. Ezzel szemben bármely additívan idempotens félmező ( A , +, ·) meghatároz egy rácsrendezésű csoportot ( A , ·, ≤), ahol a ≤ b akkor és csak akkor, ha a + b = b .
• Boole logikai félmező B = {0, 1} logikai vagy összeadott összeadással és szorzással logikai és .

Lásd még

• Síkbeli hármas gyűrű (első érzék)

Hivatkozások