Valós szám - Real number

A matematikában a valós szám egy folytonos mennyiség értéke, amely egy egyenes mentén egy távolságot jelenthet (vagy alternatívaként egy olyan mennyiség, amely végtelen tizedes bővítésként ábrázolható ). A real jelzőt ebben az összefüggésben a 17. században René Descartes vezette be , aki különbséget tett a polinomok valós és képzeletbeli gyökerei között . A valós számok tartalmazzák az összes racionális számot , például az −5 egész számot és a 4/3 törtet , valamint az összes irracionális számot , például √ 2 (1.41421356 ..., 2 négyzetgyöke , irracionális algebrai szám ). Az irracionálisok közé tartoznak a valódi transzcendentális számok , például π (3.14159265 ...). A távolság mérésén kívül valós számok is használhatók olyan mennyiségek mérésére, mint az idő , tömeg , energia , sebesség és még sok más. A valós számok halmaza jelöli szimbólum használatával R vagy , és néha „a valós számok”. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

A valós számokat úgy tekinthetjük, mint a végtelen hosszú egyenes pontjait, amelyeket számegyenesnek vagy valós egyenesnek neveznek , ahol az egész számoknak megfelelő pontok egyenlő távolságra vannak. Bármely valós szám meghatározható egy esetlegesen végtelen tizedes ábrázolással , például a 8.632-gyel, ahol minden egyes egymást követő számjegyet az előző tizedrészével mért egységekben mérünk. A valódi egyenest a komplex sík részeként , a valós számokat pedig a komplex számok részeként lehet felfogni .

A valós számok ilyen leírása a tiszta matematika modern mércéje szerint nem elég szigorú. A valós számok megfelelően szigorú meghatározásának felfedezése-sőt, annak felismerése, hogy jobb meghatározásra van szükség-a 19. századi matematika egyik legfontosabb fejleménye volt. A jelenlegi standard axiomatikus definíció szerint a valós számok alkotják az egyedi Dedekind-teljes rendezett mezőt (  ; +; ·; <), ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ egészen az izomorfizmusig , míg a valós számok népszerű konstruktív definíciói között szerepel a (racionális) Cauchy-szekvenciák ekvivalenciaosztályokként való deklarálása számok), Dedekind -vágások vagy végtelen tizedes ábrázolások , az aritmetikai műveletek és a sorrendkapcsolatok pontos értelmezésével együtt. Mindezek a definíciók megfelelnek az axiomatikus definíciónak, és így egyenértékűek.

Az összes valós szám halmaza megszámlálhatatlan , abban az értelemben, hogy míg mind az összes természetes szám halmaza, mind az összes valós szám halmaza végtelen halmaz , a valós számoktól a természetes számokig nem lehet egy-egy függvény . Tény, hogy a számossága a készlet összes valós szám, jelöljük és az úgynevezett számossága a kontinuum , szigorúan nagyobb, mint a halmazának minden természetes szám (jelöljük , „Aleph-semmivé” ). ${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

Az a kijelentés, hogy a valóságnak nincs olyan részhalmaza, amelynek kardinalitása szigorúan nagyobb és szigorúan kisebb, mint a kontinuum hipotézis (CH). Ez sem bizonyítható, sem cáfolhatatlan a Zermelo – Fraenkel halmazelmélet axiómáit felhasználva, beleértve a választott axiómát (ZFC) - a modern matematika standard alapját. Valójában a ZFC egyes modelljei kielégítik a CH -t, míg mások megsértik azt. ${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {c}}}$

Történelem

Egyszerű frakciókat használtak az egyiptomiak ie 1000 körül; a védikus " Shulba Sutras " ("Az akkordok szabályai") c. Kr. E. 600 tartalmazza az irracionális számok első "használatát" . Az irracionalitás fogalmát hallgatólagosan elfogadták a korai indiai matematikusok , például Manava ( Kr. E. 750–690) , akik tisztában voltak azzal, hogy bizonyos számok, például a 2 és a 61 négyzetgyökét nem lehet pontosan meghatározni. Kr.e. 500 körül a Pythagoras által vezetett görög matematikusok felismerték az irracionális számok szükségességét, különösen a 2 négyzetgyök irracionalitását .

A középkor a nulla , negatív számok , egész számok és törtszámok elfogadását hozta létre , először az indiai és kínai matematikusok , majd az arab matematikusok , akik elsőként az irracionális számokat is algebrai objektumként kezelték (ez utóbbi lehetővé vált) az algebra fejlődésével). Az arab matematikusok a " szám " és a " nagyság " fogalmát egyesítették a valós számok általánosabb elképzelésébe. Az egyiptomi matematikus Abū KAMIL Shujā ibn Aslam ( c. 850-930) volt az első, hogy elfogadja irracionális számok, mint megoldásokat másodfokú egyenletek , vagy mint együtthatók egy egyenlet (gyakran formájában négyzetgyököket, kocka gyökerek és negyedik gyökerek ).

A 16. században Simon Stevin megteremtette a modern tizedes jelölés alapját , és ragaszkodott ahhoz, hogy ebben a tekintetben nincs különbség a racionális és az irracionális számok között.

A 17. században Descartes bevezette a "valódi" kifejezést egy polinom gyökereinek leírására, megkülönböztetve azokat a "képzeletbeli" gyökerektől.

A 18. és 19. században sok munka folyt az irracionális és a transzcendentális számokkal kapcsolatban . Johann Heinrich Lambert (1761) az első hibás bizonyítékot adta arra, hogy π nem lehet racionális; Adrien-Marie Legendre (1794) befejezte a bizonyítást, és megmutatta, hogy π nem egy racionális szám négyzetgyöke. Paolo Ruffini (1799) és Niels Henrik Abel (1842) mindketten bizonyítékokat állítottak fel az Abel -Ruffini -tételre : hogy az általános kvintikus vagy magasabb egyenleteket nem lehet megoldani olyan általános képlettel, amely csak számtani műveleteket és gyököket foglal magában.

Évariste Galois (1832) technikákat dolgozott ki annak meghatározására, hogy egy adott egyenletet meg tudnak -e oldani a gyökök, ami a Galois -elmélet területét eredményezte . Joseph Liouville (1840) kimutatta, hogy sem e, sem e ² nem lehet gyökere egy egész másodfokú egyenletnek , majd megállapította a transzcendentális számok létezését; Georg Cantor (1873) kiterjesztette és nagyban leegyszerűsítette ezt a bizonyítást. Charles Hermite (1873) először bebizonyította, hogy e transzcendentális, Ferdinand von Lindemann (1882) pedig azt mutatta, hogy π transzcendentális. Lindemann bizonyítását Weierstrass (1885), David Hilbert (1893) tovább egyszerűsítette, végül Adolf Hurwitz és Paul Gordan tette elemivé .

A számítástechnika 18. századi fejlesztése a valós számok teljes halmazát használta, anélkül, hogy szigorúan meghatározta volna őket. Az első szigorú definíciója által közzétett Georg Cantor 1871-ben 1874-ben azt mutatta, hogy a készlet minden valós számok uncountably végtelen , de a készlet minden algebrai számok is megszámlálhatóan végtelen . A széles körben elterjedt hiedelmekkel ellentétben első módszere nem a híres átlós érve volt , amelyet 1891 -ben publikált. Bővebben lásd Cantor első feloldhatatlan bizonyítékát .

Meghatározás

A valós számrendszer axiomatikusan definiálható egy izomorfizmusig , amelyet az alábbiakban ismertetünk. A "valós" számrendszer felépítésének is számos módja van, és egy népszerű megközelítés magában foglalja a természetes számokból való kiindulást, majd a racionális számok algebrai meghatározását, és végül a valós számok Cauchy -szekvenciáik egyenértékűségi osztályaiként vagy Dedekind -vágásokként való meghatározását, amelyek bizonyosak. racionális számok részhalmazai. Egy másik megközelítés az, hogy az euklideszi geometria (például Hilbert vagy Tarski ) néhány szigorú axiomatizációjából kell kiindulni , majd geometriailag meg kell határozni a valós számrendszert. A valós számok összes ilyen konstrukciója egyenértékűnek bizonyult abban az értelemben, hogy a kapott számrendszerek izomorfak . ${\ displaystyle (\ mathbb {R}; {}+{}; {} \ cdot {}; {} <{})}$

Axiomatikus megközelítés

Hagyja jelöli a sor összes valós szám, akkor: ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

• A halmaz egy mező , ami azt jelenti, hogy az összeadás és a szorzás meghatározott, és a szokásos tulajdonságokkal rendelkeznek.${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
• A mező nem rendelhető , ami azt jelenti, hogy van egy teljes megrendelést ≥ úgy, hogy minden valós számok x , y és z : ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$
  • ha x ≥ y , akkor x + z ≥ y + z ;
  • ha x ≥ 0 és y ≥ 0, akkor xy ≥ 0.
• A sorrend Dedekind-teljes , ami azt jelenti, hogy minden nem üres részhalmaza S az egy felső kötve a területén legalább a felső kötött (aka, szuprémum) a .${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Az utolsó tulajdonság az, ami megkülönbözteti a valóságot a racionálisaktól (és más egzotikusabb rendezett mezőktől ). Például van racionális felső határa (pl. 1,42), de nem utolsó sorban racionális felső határa, mert nem racionális. ${\ displaystyle \ {x \ in \ mathbb {Q}: x^{2} <2 \}}$${\ displaystyle {\ sqrt {2}}}$

Ezek a tulajdonságok magukban foglalják az archimédészi tulajdonságot (amit a teljesség más definíciói nem tartalmaznak), amely azt állítja, hogy az egész számok halmazának nincs felső határa a reálokban. Valójában, ha ez hamis lenne, akkor az egész számoknak a legkisebb felső korlátja lenne N ; akkor N- 1 nem lenne felső korlát, és lenne egy olyan egész n szám , hogy n > N- 1 , és így n + 1> N , ami ellentmond az N felső korlátos tulajdonságának .

A valós számokat a fenti tulajdonságok egyedileg határozzák meg. Pontosabban, ha bármelyik két Dedekind-teljes rendezett mezőt, és létezik egy egyedi mező izomorfizmus tól- ig . Ez az egyediség lehetővé teszi, hogy lényegében ugyanazon matematikai objektumként gondoljunk rájuk. ${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {2}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {1}}$${\ displaystyle \ mathbb {R_ {2}}}$

A másik axiomatizációját lásd Tarski valóságazatainak axiomatizálásában . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Építés a racionális számokból

A valós számok lehet kialakítani, mint a befejezése a racionális számok, oly módon, hogy egy szekvencia által meghatározott egy decimális vagy bináris expanziós hasonlók (3; 3.1; 3,14; 3,141; 3.1415; ...) konvergál , hogy egy egyedi valós szám - ebben az esetben π . A valós számok részleteit és más konstrukcióit lásd a valós számok felépítése című részben .

Tulajdonságok

Alaptulajdonságok

• Minden nullától eltérő valós szám negatív vagy pozitív .
• Az összeg és a terméket két nem negatív valós számok ismét egy nem negatív valós szám, vagyis vannak zárva E műveletek keretében, és így egy pozitív kúp , ami alapot ad a lineáris sorrendben a valós számok mentén több vonal .
• A valós számok végtelen számhalmazt alkotnak, amelyet injektív módon nem lehet a természetes számok végtelen halmazához leképezni , azaz kimondhatatlanul végtelen sok valós szám létezik, míg a természetes számokat megszámlálhatatlanul végtelennek nevezzük . Ez megállapítja, hogy bizonyos értelemben több valós szám van, mint bármely megszámlálható halmaz eleme.
• A valós számok számlálhatóan végtelen részhalmazainak hierarchiája létezik, pl. Egész számok , racionális értékek , algebrai számok és kiszámítható számok , amelyek mindegyike a sorozat következő részének megfelelő részhalmaza. A kiegészíti Mindezen készletek ( irracionális , transzcendentális , és nem kiszámítható valós számok) a valós számok minden uncountably végtelen halmazok.
• Valós számok kifejezésére használt mérési a folyamatos mennyiségben. Ezeket tizedes ábrázolások is kifejezhetik , legtöbbjük végtelen számjegysorral rendelkezik a tizedesponttól jobbra ; ezeket gyakran úgy ábrázolják, mint a 324.823122147 ..., ahol az ellipszis (három pont) azt jelzi, hogy még mindig több számjegy jön. Ez arra utal, hogy csak néhány, kiválasztott valós számot tudunk pontosan jelölni véges sok szimbólummal.

Formálisabban a valós számoknak két alapvető tulajdonsága van: rendezett mező , és a legkevesebb felső korlátú tulajdonság. Az első azt mondja, hogy a valós számok tartalmaznak egy mezőt , összeadással és szorzással, valamint osztással nem nulla számokkal, amelyek teljesen rendelhetők egy számsorra az összeadással és szorzással kompatibilis módon. A második azt mondja, hogy ha a valós számok nem üres halmazának felső határa van , akkor van egy valós legkisebb felső határa . A második feltétel megkülönbözteti a valós számokat a racionális számoktól: például az olyan racionális számok halmaza, amelyek négyzete kisebb 2 -nél, olyan halmaz, amelynek felső korlátja van (pl. 1,5), de nincs (racionális) legkisebb felső határa: ezért a racionális számok nem felel meg a legkevésbé felső korlátnak.

Teljesség

A valós számok használatának fő oka az, hogy sok sorozatnak vannak korlátai . Formálisabban a valóságok teljesek ( metrikus terek vagy egységes terek értelmében , ami más értelmet jelent, mint az előző szakasz Dedekind -féle teljessége):

A valós számok sorozatát ( x _n ) Cauchy -sorozatnak nevezzük, ha bármely ε> 0 esetén létezik egy N egész szám (valószínűleg ε függvényében), hogy a távolság | x _n - x _m | kevesebb, mint ε minden n és m , amelyek mind nagyobb, mint N . Ez a Cauchy által eredetileg megadott meghatározás formalizálja azt a tényt, hogy az x _n végül önkényesen közel kerül egymáshoz.

Egy ( x _n ) szekvencia konvergál az x határértékhez, ha elemei tetszőlegesen az x közelébe kerülnek és maradnak , vagyis ha bármely ε> 0 esetén létezik egy N egész szám (esetleg ε függvényében) úgy, hogy a távolság | x _n - x | kevesebb, mint ε az n nagyobb, mint N .

Minden konvergens szekvencia Cauchy -sorozat, és a fordított valós számokra is igaz, és ez azt jelenti, hogy a valós számok topológiai tere teljes.

A racionális számok halmaza nem teljes. Például az (1; 1,4; 1,41; 1,414; 1,4142; 1,41421; ...) sorozat, ahol minden egyes tag a 2 pozitív négyzetgyök tizedes kiterjesztésének számjegyét adja hozzá , Cauchy, de nem konvergál egy racionális szám (a valós számokban ezzel szemben a 2 pozitív négyzetgyökévé konvergál ).

A reálok teljesség tulajdonsága az alap, amelyre a számítás és általában a matematikai elemzés épül. Különösen az a teszt, hogy egy sorozat Cauchy szekvencia, lehetővé teszi annak bizonyítását, hogy egy szekvenciának van határa számítás nélkül, sőt anélkül, hogy tudnánk.

Például az exponenciális függvény standard sorozata

${\ displaystyle e^{x} = \ sum _ {n = 0}^{\ infty} {\ frac {x^{n}} {n!}}}$

minden x -re valós számra konvergál , mert az összegek

${\ displaystyle \ sum _ {n = N}^{M} {\ frac {x^{n}} {n!}}}$

tetszőlegesen kicsivé tehető ( M -től függetlenül ), ha N kellően nagyot választ . Ez azt bizonyítja, hogy a szekvencia Cauchy, és így konvergál, ami azt mutatja, hogy minden x esetében jól meghatározott . ${\ displaystyle e^{x}}$

"A teljes megrendelt mező"

A valós számokat gyakran "a teljes rendezett mezőnek" nevezik, amely kifejezés többféleképpen értelmezhető.

Először is, a sorrend lehet rács-teljes . Könnyen belátható, hogy egyetlen rendezett mező sem lehet rács-teljes, mert nem rendelkezhet legnagyobb elemmel (bármely z elem esetén z + 1 nagyobb).

Ezenkívül a megbízás teljes egészében teljesíthető , lásd § Axiomatikus megközelítés . A fejezet végén található egyediség eredménye indokolja az "a" szó használatát a "teljes rendezett mező" kifejezésben, ha ez a "teljes" értelme. Ez a teljesség érzése a legszorosabban összefügg a Dedekind-vágásokból származó reálok felépítésével, mivel ez az építkezés egy rendezett mezőről indul ki (a racionálisok), majd a Dedekind-befejezést szabványos módon alkotja.

A teljesség e két fogalma figyelmen kívül hagyja a mező szerkezetét. Azonban egy rendezett csoport (ebben az esetben a mező additív csoportja) egységes szerkezetet határoz meg , és az egységes struktúráknak a teljesség fogalma van ; a § -ban a teljesség leírása különleges eset. (Az egységes terek teljességének fogalmára utalunk, nem pedig a metrikus terek kapcsolódó és ismertebb fogalmára , mivel a metrikus tér meghatározása attól függ, hogy már van -e a valós számok jellemzése.) Nem igaz, hogy ez az egyetlen egységesen teljes rendezett mező, de ez az egyetlen egységesen teljes archimédészi mező , és az ember gyakran hallja a "teljes archimedesi mező" kifejezést a "teljes rendezett mező" helyett. Minden egységesen kitöltött archimédészi mezőnek is Dedekind-teljesnek kell lennie (és fordítva), indokolva a "the" használatát a "teljes archimedesi mező" kifejezésben. Ez a teljesség érzése a legszorosabban összefügg a Cauchy -szekvenciákból származó reálok felépítésével (ebben a cikkben teljes egészében megvalósítjuk), mivel egy Archimedész -mezővel kezdődik (a racionálisok), és egységesen fejezi be azt út. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

De a "teljes archimédészi mező" kifejezés eredeti használata David Hilbert volt , aki még mást értett alatta . Úgy értette, hogy a valós számok alkotják a legnagyobb archimédészi mezőt abban az értelemben, hogy minden más archimedészi mező részterülete . Így "teljes" abban az értelemben, hogy semmi további nem adható hozzá anélkül, hogy ne lenne többé archimedesi mező. Ez a teljesség érzése a legszorosabban összefügg a szürreális számokból álló reálképek felépítésével, mivel ez a konstrukció egy megfelelő osztállyal kezdődik, amely tartalmazza minden rendezett mezőt (a surreálokat), majd kiválasztja belőle a legnagyobb archimedesi almezőt. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

Speciális tulajdonságok

A valóság számtalan ; vagyis szigorúan több valós szám van, mint természetes szám , pedig mindkét halmaz végtelen . Valójában a reálszámok számossága megegyezik a természetes számok részhalmazaival (azaz a hatványhalmazéval), és Cantor átlós érve azt állítja, hogy az utóbbi halmaz számosságát szigorúan meghaladja a . Mivel az algebrai számok halmaza megszámolható, szinte minden valós szám transzcendentális . A valós értékek egy részhalmazának nem létezése, amely szigorúan az egész számok és a valós értékek között kardinális, kontinuumhipotézisként ismert . A kontinuum hipotézist nem lehet sem bizonyítani, sem cáfolni; ez független a halmazelmélet axiómáiból . ${\ displaystyle \ mathbb {N}}$

Topológiai térként a valós számok elkülöníthetők . Ez azért van, mert a racionális halmaz, amely megszámlálható, sűrű a valós számokban. Az irracionális számok a valós számokban is sűrűek, azonban megszámlálhatatlanok és ugyanolyan kardinalitással rendelkeznek, mint a valós értékek.

A valós számok alkotnak metrikus tér : a távolságot x és y definíciója abszolút értéke | x - y | . Mivel teljesen rendezett készlet, rendelési topológiát is hordoznak ; a metrikából és a sorrendből fakadó topológia megegyezik, de a topológiának különböző prezentációkat ad-a sorrend topológiájában rendezett intervallumokban, a metrikus topológiában mint epsilon-golyók. A Dedekind vágási konstrukció a rendelési topológia bemutatását használja, míg a Cauchy szekvenciák konstrukciója a metrikus topológia bemutatást használja. A valós értékek szerződéses (tehát összekapcsolt és egyszerűen összekapcsolt ), szétválasztható és teljes metrikus teret  képeznek a Hausdorff 1. dimenzióból . A valós számok helyileg kompaktak, de nem kompaktak . Különféle tulajdonságok vannak, amelyek egyedileg meghatározzák őket; például minden korlátlan, összekapcsolt és elkülöníthető sorrendű topológia szükségszerűen homeomorf a valósághoz.

Minden nemnegatív valós számnak négyzetgyöke van , bár nincs negatív szám. Ez azt mutatja, hogy a sorrendet az algebrai szerkezete határozza meg. Ezenkívül minden páratlan fokú polinom legalább egy valós gyököt fogad be: ez a két tulajdonság a valódi zárt mező elsődleges példája . Ennek bizonyítása az algebrai alaptétel egyik bizonyításának első fele . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

A reálok kanonikus mértéket hordoznak , a Lebesgue -mértéket , amely a Haar -mérték a szerkezetükben, mivel a topológiai csoport normalizálva van úgy, hogy a [0; 1] egységintervallumnak van 1. mértéke. Vannak valós számok, amelyek nem mérhetők Lebesgue -ban, pl. Vitali készletek .

A reálok felsőbbrendű axiómája a reálok részhalmazaira utal, ezért másodrendű logikai állítás. A valóságot nem lehet csak elsőrendű logikával jellemezni : a Löwenheim – Skolem-tétel azt sugallja, hogy létezik a valós számok megszámlálható sűrű részhalmaza, amelyek pontosan ugyanazokat a mondatokat elégítik ki az elsőrendű logikában, mint maguk a valós számok. A hiperreális számhalmaz ugyanazokat az elsőrendű mondatokat elégíti ki, mint a . Rendezett területeken, amelyek megfelelnek az ugyanezt az elsőrendű mondatokat nevezzük szabványos modellek a . Ez teszi a nem szabványos elemzést működőképessé; az elsőrendű állítás bizonyításával valamilyen nem szabványos modellben (ami könnyebb lehet, mint a bizonyítás ), tudjuk, hogy ugyanezen állításnak igaznak kell lennie . ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

A mező a valós számok egy bővítmény mezőt a mező racionális számok, és ezért kell tekinteni, mint egy vektortér felett . Zermelo-Fraenkel halmazelmélet az axiómának a választás garantálja, hogy létezik egy alapot e vektortér: létezik egy sor B valós számok, hogy minden valós szám felírható egyedileg véges lineáris kombináció elemei ennek a készletet, csak racionális együtthatók, és olyanok, hogy B egyetlen eleme sem racionális lineáris kombinációja a többinek. Ez a létezési tétel azonban pusztán elméleti, mivel ilyen alapot soha nem írtak le kifejezetten. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

A jól rendelési tétel azt jelenti, hogy a valós számok lehetnek jól rendezett , ha az axiómának a választás feltételezzük: létezik egy teljes megrendelést az a tulajdonság, hogy minden nem üres részhalmaza az egy legalább elem ebben a rendelés. (A valós számok ≤ szabványos sorrendje nem jól rendezett, mivel pl. Egy nyitott intervallum nem tartalmazza a legkevesebb elemet ebben a sorrendben.) Ismétlem, egy ilyen rendezés létezése pusztán elméleti, mivel nem kifejezetten leírták. Ha a ZF axiómái mellett V = L -t feltételezünk, akkor a valós számok jól berendezett sorrendje kimutatható, hogy képlettel határozható meg. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$

A valós szám lehet kiszámítható vagy kiszámíthatatlan; vagy algoritmikusan véletlenszerű, vagy nem; és vagy számtani véletlenszerű, vagy nem.

Alkalmazások és kapcsolatok más területekre

Valós számok és logika

A valós számokat leggyakrabban a halmazelmélet Zermelo – Fraenkel -axiomatizációjával formalizálják , de néhány matematikus a valós számokat a matematika más logikai alapjaival tanulmányozza. Különösen a valós számokat tanulmányozzák fordított matematikában és konstruktív matematikában .

Az Edwin Hewitt , Abraham Robinson és mások által kifejlesztett hiperreális számok kiterjesztik a valós számok halmazát azáltal, hogy végtelen és végtelen számokat vezetnek be , lehetővé téve a végtelen kicsi számítások felépítését, közelebb a Leibniz , Euler , Cauchy és mások eredeti megérzéseihez .

Edward Nelson „s belső halmazelmélet gazdagítja a Zermelo-Fraenkel halmazelméleti szintaktikailag bevezetésével egyváltozós predikátum»standard«. Ebben a megközelítésben a végtelen számok a valós számok halmazának (nem "standard") elemei (nem pedig annak kiterjesztései, mint Robinson elméletében).

A kontinuum hipotézis azt feltételezi, hogy a valós számok halmazának kardinalitása az ; azaz a legkisebb végtelen számosság után , a számossága az egész számok. Paul Cohen 1963 -ban bebizonyította, hogy a halmazelmélet többi axiómájától független axióma; vagyis: a halmazelmélet axiómájaként választhatjuk akár a kontinuum hipotézist, akár annak tagadását, ellentmondás nélkül. ${\ displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ displaystyle \ aleph _ {0}}$

A fizikában

A fizikai tudományokban a legtöbb fizikai állandót, mint például az univerzális gravitációs állandó, és a fizikai változókat, például a pozíciót, a tömeget, a sebességet és az elektromos töltést valós számok segítségével modellezik. Valójában az alapvető fizikai elméleteket, például a klasszikus mechanikát , az elektromágnesességet , a kvantummechanikát , az általános relativitáselméletet és a standard modellt matematikai szerkezetek, jellemzően sima elosztók vagy Hilbert -terek segítségével írják le , amelyek a valós számokon alapulnak, bár a fizikai mennyiségek tényleges mérései véges pontossággal és precizitással rendelkeznek .

A fizikusok időnként azt sugallják, hogy egy alapvetőbb elmélet helyettesítené a valós számokat olyan mennyiségekkel, amelyek nem képeznek kontinuumot, de az ilyen javaslatok továbbra is spekulatívak.

A számításban

Néhány kivételtől eltekintve a legtöbb számológép nem valós számokkal működik. Ehelyett lebegőpontos számoknak nevezett véges pontosságú közelítésekkel dolgoznak . Valójában a legtöbb tudományos számítás lebegőpontos aritmetikát használ. A valós számok megfelelnek a számítás szokásos szabályainak , de a lebegőpontos számok nem .

A számítógépek nem tárolhatnak közvetlenül tetszőleges, végtelen sok számjegyű valós számokat. Az elérhető pontosságot korlátozza a szám tárolására kijelölt bitek száma, legyen az lebegőpontos vagy tetszőleges pontosságú szám . A számítógépes algebra rendszerek azonban pontosan irracionális mennyiségeken is működhetnek , ha a számukra használt képleteket (például vagy ) manipulálják, nem pedig racionális vagy tizedes közelítésüket. Általában nem lehet megállapítani, hogy két ilyen kifejezés egyenlő -e (az állandó probléma ). ${\ displaystyle {\ sqrt {2}},}$ ${\ displaystyle \ arcsin (2/23),}$${\ displaystyle \ texttyle \ int _ {0}^{1} x^{x} \, dx}$

A valós szám akkor tekinthető kiszámíthatónak, ha létezik olyan algoritmus, amely megadja a számjegyeit. Mivel csak megszámlálhatóan sok algoritmus létezik , de megszámlálhatatlanul sok valós, szinte minden valós szám nem számítható ki. Ezenkívül két kiszámítható szám egyenlősége eldönthetetlen probléma . Néhány konstruktivista elfogadja, hogy csak azok a valós értékek léteznek, amelyek kiszámíthatók. A meghatározható számok halmaza szélesebb, de még mindig csak megszámlálható.

"Reals" a halmazelméletben

A halmazelméletben , különösen a leíró halmazelméletben a Baire -teret a valós számok helyettesítőjeként használják, mivel az utóbbiaknak vannak olyan topológiai tulajdonságaik (kapcsolódásuk), amelyek technikai kényelmetlenséget okoznak. A Baire tér elemeit "valóságnak" nevezzük.

Szókincs és jelölés

Matematikusok használja a szimbólum R , vagy alternatív módon , az „R” betű a táblára félkövér (kódolva Unicode , mint az U + 211D ℝ KETTŐS STRUCK CAPITAL R (HTML  · )), hogy képviselje a készlet összes valós szám. Mivel ez a halmaz természetesen fel van ruházva egy mező struktúrájával , a valós számok kifejezőmezőjét gyakran használják, ha annak algebrai tulajdonságait figyelembe vesszük. ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ℝ  ℝ, ℝ

A készlet a pozitív valós számok és a negatív valós számok gyakran megjegyezte , és rendre; és használják is. A nem negatív valós számokat fel lehet jegyezni, de gyakran látni ezt a halmazt. A francia matematikában a pozitív valós és a negatív valós számok általában nullát tartalmaznak , és ezeket a halmazokat jegyzik fel, és ebben az értelemben a megfelelő nulla nélküli halmazokat szigorúan pozitív valós számok és szigorúan negatív valós számok, és jegyzett és${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{-}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {\ geq 0}}$${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{+} \ cup \ {0 \}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R _ {+}}}$${\ displaystyle \ mathbb {R _ {-}}.}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {+}*}$${\ displaystyle \ mathbb {R} _ {-}*.}$

A jelölés utal, hogy a Descartes-szorzat az N példányban , amely egy n - dimenziós vektortér a mező fölé a valós számok; Ez a vektor helyet lehet azonosítani, hogy a N - dimenziós tér euklideszi geometria , amint a koordináta-rendszer került kiválasztásra az utóbbi. Például egy értéket tartalmaz egy tuple három valós számok, és meghatározza a koordináták egy pont 3-dimenziós térben. ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R} ^{3}}$

A matematikában a reál jelzőként használatos, ami azt jelenti, hogy a mögöttes mező a valós számok mezője (vagy a valós mező ). Például valódi mátrix , valódi polinom és valódi Lie algebra . A szót főnévként is használják , ami valós számot jelent (mint "az összes valóság halmazában").

Általánosítások és kiterjesztések

A valós számok általánosíthatók és több irányba is kiterjeszthetők:

• A komplex számok minden polinom -egyenlet megoldásait tartalmazzák, és ezért a valós számokkal ellentétben algebrailag zárt mező . A komplex számok azonban nem rendezett mezők .
• Az affinikusan kibővített valós számrendszer két elemet ad hozzá: +∞ és −∞. Ez egy kompakt tér . Ez már nem mező, sőt adalékcsoport sem, de mégis teljes sorrendje van ; ráadásul teljes rács .
• Az igazi projektív vonal csak egy ∞ értéket ad hozzá. Ez egy kompakt tér is. Ismétlem, hogy ez már nem mező, sőt adalékcsoport sem. Lehetővé teszi azonban egy nullától eltérő elem nullával való felosztását. Azt ciklikus sorrendben által leírt egy elválasztási kapcsolatban .
• A hosszú valódi vonal összeilleszkedik ℵ ₁ * + ℵ ₁ másolat a valós egyenesből és egyetlen pont (itt ℵ ₁ * a ℵ ₁ fordított sorrendjét jelöli ), hogy létrehozzon egy rendezett halmazt, amely "helyileg" megegyezik a valós számokkal, de valahogy tovább; például a hosszú valós sorba sorrendőrző emb ₁ beágyazás van, de nem a valós számokba. A hosszú valódi vonal a legnagyobb megrendelt készlet, amely teljes és helyben Archimedeus. Az előző két példához hasonlóan ez a halmaz már nem mező vagy additív csoport.
• A valóságot kiterjesztő rendezett mezők a hiperreal és a szürreális számok ; mindkettő végtelenül kicsi és végtelenül nagy számokat tartalmaz, ezért nem archimédészi rendezett mezők .
• Önadjungált operátorok egy Hilbert-tér (például önadjungált tér komplex mátrixok ) általánossá valós számok sok tekintetben: lehet rendelni (bár nem teljesen rendezett), ezek teljes körű, minden sajátérték valódi és alkotnak igazi asszociatív algebra . A pozitív-határozott operátorok a pozitív reálnak felelnek meg, a normál operátorok pedig a komplex számoknak.

Lásd még

• A valós számok teljessége
• Folytatott tört
• Meghatározható valós számok
• Pozitív valós számok
• Valódi elemzés

Megjegyzések

Hivatkozások

Idézetek

Források

Külső linkek

• "Valós szám" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]