Nyomkövetés (lineáris algebra) - Trace (linear algebra)

A lineáris algebra , a nyoma egy négyzetes mátrix Egy , jelöljük tr ( A ) , úgy definiáljuk, hogy az elemek összege a fő diagonális (a bal felső, hogy a jobb alsó) A A .

A nyoma egy mátrix összege a (komplex) sajátértékek (megszámoltuk sokszorozódással), és ez invariáns képest egy változás alapján . Ezzel a jellemzéssel általában meghatározható egy lineáris operátor nyoma. A nyomkövetés csak egy négyzetes mátrixra van definiálva ( n × n ).

A nyom a determináns származékához kapcsolódik (lásd Jacobi képletét ).

Meghatározás

A nyoma egy n × n négyzetes mátrix Egy definíciója

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) = \ összeg _ {i = 1}^{n} a_ {ii} = a_ {11}+a_ {22}+\ pontok+a_ {nn} }$

ahol egy _II jelöli a bejegyzést a i -edik sor és i edik oszlopa A .

Példa

Legyen A mátrix, with

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} a_ {11} & a_ {12} & a_ {13} \\ a_ {21} & a_ {22} & a_ {23} \\ a_ {31} & a_ {32 } & a_ {33} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 11 & 5 & 2 \\ 6 & 12 & -5 \ end {pmatrix}}}$

Azután

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) = \ sum _ {i = 1}^{3} a_ {ii} = a_ {11}+a_ {22}+a_ {33} = 1+ 5+(-5) = 1}$

Tulajdonságok

Alaptulajdonságok

A nyomvonal lineáris leképezés . Vagyis

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} +\ mathbf {B}) & = \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) +\ operatornév {tr} (\ mathbf {B}) \\\ operatornév {tr} (c \ mathbf {A}) & = c \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) \ end {igazított}}}$

minden A és B négyzetmátrixra , és minden skalárra c .

A mátrixnak és transzponálásának ugyanaz a nyoma:

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) = \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ right).}$

Ez azonnal következik abból a tényből, hogy a négyzetes mátrix transzponálása nem érinti a főátló mentén lévő elemeket.

A termék nyomai

A négyzetes mátrix nyoma, amely két mátrix szorzata, átírható elemeik belépési szorzatainak összegeként. Pontosabban, ha A és B két m  ×  n mátrix, akkor:

${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B } ^{\ mathsf {T}} \ jobb) = \ operatornév {tr} \ bal (\ mathbf {B} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {A} \ jobb) = \ operatornév {tr} \ bal (\ mathbf {B} \ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ right) = \ sum _ {i, j} a_ {ji} b_ {ji}.}$

Ez azt jelenti, hogy az egyenlő méretű mátrixok szorzatának nyoma hasonlóan működik, mint a vektorok pontozott szorzata (képzeljük el, hogy A és B hosszú vektorok, amelyek oszlopai egymásra vannak rakva). Emiatt a vektoros műveletek mátrixokra történő általánosítása (pl. Mátrixszámításban és statisztikákban ) gyakran magában foglalja a mátrixtermékek nyomát.

Valódi A és B mátrixok esetén a termék nyomait a következő formában is fel lehet írni:

${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ sum _ {i, j} (\ mathbf {A} \ circ \ matematika {B}) _ {ij}}$	(a Hadamard terméket , más néven belépő terméket használva).
${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {B} \ right) = \ operatorname {vec} (\ mathbf {B}) ^{\ mathsf { T}} \ operatornév {vec} (\ mathbf {A}) = \ operatornév {vec} (\ mathbf {A})^{\ mathsf {T}} \ operatornév {vec} (\ mathbf {B})}$	(a vektorizációs operátor használatával).

A mátrixok a nyoma egy terméket lehet kapcsolni megváltoztatása nélkül az eredmény: Ha A jelentése egy m × n mátrix és B jelentése egy n × m mátrix, akkor

Ezenkívül a valódi oszlopmátrixok és a külső termék nyomai egyenértékűek a belső termékkel: ${\ displaystyle \ mathbf {a} \ in \ mathbb {R} ^{n}}$${\ displaystyle \ mathbf {b} \ in \ mathbb {R} ^{n}}$

Ciklikus tulajdonság

Általánosságban elmondható, hogy a nyom invariáns a ciklikus permutációk alatt , azaz

Ezt ciklikus tulajdonságnak nevezik .

Az önkényes permutációk nem megengedettek: általában

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) \ neq \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {C} \ mathbf {B}). }$

Ha azonban három szimmetrikus mátrix szorzatát vesszük figyelembe, minden permutáció megengedett, mivel:

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf {C}) = \ operatorname {tr} \ left (\ left (\ left (\ mathbf {A} \ mathbf {B} \ mathbf { C} \ jobb)^{\ mathsf {T}} \ jobb) = \ operatornév {tr} (\ mathbf {C} \ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A } \ mathbf {C} \ mathbf {B}),}$

ahol az első egyenlőség azért van, mert a mátrix nyomai és transzponálása egyenlő. Vegye figyelembe, hogy ez általában nem igaz több mint három tényezőre.

Mátrixtermék nyomai

A determinánstól eltérően a termék nyoma nem a nyomok szorzata, vagyis vannak olyan A és B mátrixok , amelyek

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ neq \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) \ operatornév {tr} (\ mathbf {B})}$

Például, ha

${\ displaystyle \ mathbf {A} = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}, \ \ \ mathbf {B} = {\ begin {pmatrix} 0 & 0 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}} ,}$

akkor a termék az

${\ displaystyle \ mathbf {AB} = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}},}$

és a nyomok ${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 1 \ neq 0 \ cdot 0 = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf { B}).}$

Kronecker termék nyomai

A két mátrix Kronecker -termékének nyoma a nyomuk szorzata:

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ otimes \ mathbf {B}) = \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ operatorname {tr} (\ mathbf {B}).}$

A nyom teljes jellemzése

A következő három tulajdonság:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} +\ mathbf {B}) & = \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) +\ operatornév {tr} (\ mathbf {B}), \\\ operatornév {tr} (c \ mathbf {A}) & = c \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}), \\\ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) & = \ operatornév {tr} (\ mathbf {B} \ mathbf {A}), \ end {igazított}}}$

jellemezze teljesen a nyomot a következő értelemben. Legyen f egy lineáris működőképes a teret négyzetes mátrixok megfelelő f  ( xy ) = f  ( yx ) . Ekkor f és tr arányosak.

A hasonlóság változatlansága

A nyom hasonlóság-invariáns , amely azt jelenti, hogy minden olyan négyzetes mátrix A és bármely invertálható mátrix P az azonos méretű, a mátrixok A és P ^-1 AP azonos nyoma. Ez azért van, mert

${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {P} ^{-1} \ mathbf {A} \ mathbf {P} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {P} ^{ -1} (\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ right) = \ operatorname {tr} \ left ((\ mathbf {A} \ mathbf {P}) \ mathbf {P} ^{-1} \ jobb) = \ operatornév {tr} \ bal (\ mathbf {A} \ bal (\ mathbf {P} \ mathbf {P} ^{-1} \ jobb) \ jobb) = \ operatorname {tr} (\ mathbf { A}).}$

A szimmetrikus és ferde-szimmetrikus mátrix szorzatának nyoma

Ha A jelentése szimmetrikus és B jelentése ferdeség-szimmetrikus , majd

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = 0}$.

Kapcsolat a sajátértékekkel

Az identitás mátrix nyomai

Az n × n azonossági mátrix nyoma a tér dimenziója, mégpedig n .

${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n}$

Ez a dimenzió általánosításához vezet a nyomkövetés használatával .

Egy idempotens mátrix nyoma

A nyoma egy idempotens mátrix A (egy mátrixot, amely A ² = A ) egyenlő a rangot az A .

Nilpotens mátrix nyoma

Egy nilpotens mátrix nyoma nulla.

Ha az alapmező jellemzője nulla, akkor a fordított is érvényes: ha tr ( A ^k ) = 0 minden k esetében , akkor A nilpotens.

Ha az n > 0 karakterisztika pozitív, akkor az identitás n dimenzióban ellenpélda, mint , de az azonosság nem nilpotens. ${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n}^{k} \ right) = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {I} _ {n} \ right) = n \ ekvivalens 0}$

A nyomkövetés megegyezik a sajátértékek összegével

Általánosabban, ha

${\ displaystyle f (x) = \ prod _ {i = 1}^{k} \ left (x- \ lambda _ {i} \ right)^{d_ {i}}}$

a karakterisztikus polinomja egy mátrix Egy , majd

vagyis egy négyzetmátrix nyoma megegyezik a többszörösekkel számolt sajátértékek összegével.

A kommutátor nyomai

Ha mindkét A és B jelentése n × n mátrixok, a nyoma a (gyűrű-elméleti) kommutátor az A és a B eltűnik: TR ([ A , B ]) = 0 , mert a tr ( AB ) = tr ( BA ) és a tr lineáris. Ezt kijelenthetjük úgy, hogy "a nyom Lie algebras gl _n → k térképe az operátoroktól a skalárokig", mivel a skalárok kommutátora triviális (ez egy abeli Lie algebra). Különösen a hasonlóság invarianciáját használva következik, hogy az azonossági mátrix soha nem hasonlít egyetlen mátrixpár kommutátorához sem.

Ezzel szemben minden négyzetes mátrix nulla nyomkövetéssel a mátrixpárok kommutátorainak lineáris kombinációja. Ezenkívül minden nulla nyomvonalú négyzetmátrix egységesen egyenértékű az összes nullából álló átlós négyzetmátrixszal.

Hermit mátrix nyomai

Egy remete mátrix nyoma valós, mert az átló elemei valódiak.

A permutációs mátrix nyomai

A permutációs mátrix nyoma a rögzített pontok száma , mert az a _ii átlós tag 1, ha az i . Pont fix, és 0.

A vetítési mátrix nyomai

A vetítési mátrix nyoma a céltér dimenziója.

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} & = \ mathbf {X} \ left (\ mathbf {X} ^{\ mathsf {T}} \ mathbf {X} \ jobb) ^{-1} \ mathbf {X} ^{\ mathsf {T}} \\ [3pt] \ Longrightarrow \ operatornév {tr} \ bal (\ mathbf {P} _ {\ mathbf {X}} \ jobbra) & = \ operatornév {rang} (\ mathbf {X}). \ end {igazítva}}}$

A P _X mátrix idempotens, és általában véve bármely idempotens mátrix nyoma megegyezik saját rangjával.

Exponenciális nyom

Az olyan kifejezések, mint a tr (exp ( A )) , ahol A négyzetes mátrix, olyan gyakran fordulnak elő bizonyos területeken (pl. Többváltozós statisztikai elmélet), hogy a gyorsírásos jelölés általánossá vált:

${\ displaystyle \ operatornév {tre} (A): = \ operatornév {tr} (\ exp (A)).}$

a tre -t néha exponenciális nyomkövetési függvénynek nevezik ; a Golden – Thompson egyenlőtlenségben használják .

Lineáris operátor nyoma

Általában adott némi lineáris leképezés f  : V → V (ahol V egy finite- dimenziós vektortér ), tudjuk meg a nyoma ezen a térképen, figyelembe véve a nyoma egy mátrix reprezentációja az f , azaz, válasszon egy alapot az V és f -et mátrixként írja le ehhez az alaphoz képest, és ennek a négyzetmátrixnak a nyomát veszi. Az eredmény nem a választott alapon múlik, mivel a különböző bázisok hasonló mátrixokat eredményeznek , lehetővé téve a lineáris térkép nyomvonalának bázisfüggetlen meghatározását.

Egy ilyen meghatározás adható a kanonikus izomorfizmus közötti térben End ( V ) lineáris térképek V és V ⊗ V * , ahol V * a duális tér a V . Let v lennie V és hagyja, hogy f legyen V * . Ezután a nyoma a felbonthatatlanok elem v ⊗ f úgy definiáljuk, hogy f  ( V ) ; egy általános elem nyomát a linearitás határozza meg. V explicit alapja és V * megfelelő kettős bázisa alapján kimutatható, hogy ez ugyanazt a meghatározást adja a nyomnak, mint a fentiekben.

Sajátérték kapcsolatok

Ha A jelentése egy lineáris operátor által képviselt egy négyzetes mátrix, valós vagy komplex bejegyzéseket, és ha λ ₁ , ..., λ _n a sajátértékei a A (felsorolt aszerint, hogy azok algebrai multiplicitások ), majd a

Ez abból a tényből következik, hogy a A mindig hasonló annak Jordan formájában , egy felső háromszög mátrixot , amelynek λ ₁ , ..., λ _n a fő diagonális. Ezzel szemben, a meghatározó az A a terméket annak sajátértékek; vagyis

${\ displaystyle \ det (\ mathbf {A}) = \ prod _ {i} \ lambda _ {i}.}$

Általánosabban,

${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{k} \ right) = \ sum _ {i} \ lambda _ {i} ^{k}.}$

Származékok

A nyomvonal a determináns deriváltjának felel meg: ez a determináns ( Lie csoport ) térképének Lie algebra analógja . Ez tette pontos a Jacobi-formula a származékot a meghatározó .

Egy konkrét esetben a személyazonosság , a származékot meghatározó tényleges aránya a trace: tr = det ' _I . Ebből (vagy a nyomkövetés és a sajátértékek kapcsolatából) kapcsolatot lehet levezetni a nyomkövetési függvény, a Lie algebra és Lie csoportja (vagy konkrétan a mátrix exponenciális függvény) közötti exponenciális térkép és a determináns között :

${\ displaystyle \ det (\ exp (\ mathbf {A})) = \ exp (\ operatornév {tr} (\ mathbf {A})).}$

Vegyük például az egy-paraméteres családja lineáris transzformációk által adott forgási szöggel θ ,

${\ displaystyle \ mathbf {R} _ {\ theta} = {\ begin {pmatrix} \ cos \ theta &-\ sin \ theta \\\ sin \ theta & \ cos \ theta \ end {pmatrix}}.}$

Ezeknek az átalakulásoknak mindegyikük determináns 1, így megőrzik a területet. Ennek a családnak a származéka θ = 0 -nál , az azonosság forgatása, az antiszimmetrikus mátrix

${\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \ end {pmatrix}}}$

amelynek egyértelműen nulla nyoma van, ami azt jelzi, hogy ez a mátrix végtelenül kicsi transzformációt képvisel, amely megőrzi a területet.

A nyomvonal kapcsolódó jellemzése lineáris vektormezőkre vonatkozik . Adott egy mátrix Egy , határozza meg a vektor mező F a R ⁿ a F ( x ) = Ax . A komponensek ezen vektor mező lineáris függvények (által adott sorai A ). A divergencia div F konstans függvény, amelynek értéke egyenlő a tr ( A ) .

A divergencia tétel , hogy értelmezzük ezt tekintve áramlások: ha F ( x ) jelentése a sebessége a folyadékot helyen X és U jelentése egy régió R ⁿ , a nettó áramlás a folyadék ki a U adják tr ( a ) · térfogat ( U ) , ahol a térfogat ( U ) a térfogata a U .

A nyomvonal lineáris operátor, ezért ingázik a deriváltal:

${\ displaystyle \ operatornév {d} \ operatornév {tr} (\ mathbf {X}) = \ operatornév {tr} (\ operatornév {d} \ mathbf {X}).}$

Alkalmazások

A 2 × 2 komplex mátrix nyomait használják a Möbius transzformációk osztályozására . Először a mátrixot normalizáljuk, hogy a determinánsa egyenlő legyen. Ekkor, ha a nyom négyzete 4, a megfelelő transzformáció parabolikus . Ha a négyzet a [0,4] intervallumban van , akkor elliptikus . Végül, ha a négyzet nagyobb, mint 4, akkor a transzformáció loxodrom . Lásd a Möbius transzformációk osztályozását .

A nyomkövetés a csoportábrázolások karaktereinek meghatározására szolgál . Két reprezentációk A , B  : G → GL ( V ) egy csoport G egyenértékűek (akár változása alapon V ), ha tr ( A ( g )) = tr ( B ( g )) minden g ∈ G .

A nyomnak központi szerepe van a másodfokú formák elosztásában is .

Hazug algebra

A nyomvonal Lie algebrák térképe a lineáris operátorok Lie algebrájából egy n -dimenziós térben ( n × n mátrixok beírással) a skalárok K Lie algebrájáig ; mivel K Abel (a hazugság zárójele eltűnik), az a tény, hogy ez Lie algebras térképe, pontosan azt jelenti, hogy a zárójel nyoma eltűnik: ${\ displaystyle \ operatornév {tr}: {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ to K}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle K}$

${\ displaystyle \ operatornév {tr} ([\ mathbf {A}, \ mathbf {B}]) = 0 {\ text {mindegyikre}} \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ itt: {\ mathfrak { gl}} _ {n}.}$

Ennek a térképnek a kerneljét, egy mátrixot, amelynek nyoma nulla , gyakran mondják nyomtalan vagynyoma mentes , és ezek a mátrixok alkotják azegyszerű Lie algebrát , amely az1. determinánsúlineárismátrixcsoport Lie algebrája. Aspeciális lineáris csoporta mátrixokból áll, amelyek nem változtatják a térfogatot, míg aspeciális lineáris Lie algebraa mátrixok, amelyek nem változtatják meg avégtelen kicsihalmazoktérfogatát. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}} _ {n}}$

Valójában az operátorok/mátrixok belső közvetlen összege bontása nyomtalan operátorokká/mátrixokká és skaláris operátorokká/mátrixokká történik. A skaláris operátorokra vetített térkép a nyomkövetéssel kifejezhető, konkrétan a következőképpen: ${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ displaystyle \ mathbf {A} \ mapsto {\ frac {1} {n}} \ operatorname {tr} (\ mathbf {A}) \ mathbf {I}.}$

Formálisan a nyomkövetést (a számlálótérképet ) a " skalárok felvételének" egységtérképével lehet összeállítani , hogy egy térképet kapjunk a skalárokról, és megszorozzuk n -vel . Ha n -el osztjuk, akkor ez egy vetület, és a fenti képletet kapjuk. ${\ displaystyle K \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n}}$

Ami a rövid, pontos sorozatokat illeti , az embernek van

${\ displaystyle 0 \ to {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ to {\ mathfrak {gl}} _ {n} {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ to}} K \ to 0}$

ami analóg

${\ displaystyle 1 \ to \ operatorname {SL} _ {n} \ to \ operatorname {GL} _ {n} {\ overset {\ det} {\ to}} K^{*} \ to 1}$

(hol ) hazug csoportok számára. A nyom azonban természetesen szétválik ( időskalárokon keresztül ) , de a determináns felosztása az n -edik gyökérskáláris skála lenne, és ez általában nem definiál függvényt, így a determináns nem osztódik fel és az általános lineáris csoport nem bomlik: ${\ displaystyle K^{*} = K \ setminus \ {0 \}}$${\ displaystyle 1/n}$${\ displaystyle {\ mathfrak {gl}} _ {n} = {\ mathfrak {sl}} _ {n} \ oplus K}$

${\ displaystyle \ operatornév {GL} _ {n} \ neq \ operatornév {SL} _ {n} \ alkalommal K^{*}.}$

Bilineáris formák

A bilineáris forma (ahol X , Y négyzet alakú mátrixok)

${\ displaystyle B (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) = \ operatornév {tr} (\ operatornév {hirdetés} (\ mathbf {X}) \ operatornév {hirdetés} (\ mathbf {Y})) \ quad {\ text {where}} \ operatornév {ad} (\ mathbf {X}) \ mathbf {Y} = [\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] = \ mathbf {X} \ mathbf {Y} -\ mathbf {Y} \ mathbf {X}}$

Killing formának hívják , amelyet a Lie algebras osztályozására használnak.

A nyomvonal egy bilineáris formát határoz meg:

${\ displaystyle (\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}) \ mapsto \ operatorname {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}).}$

A forma szimmetrikus, nem degenerált és asszociatív abban az értelemben, hogy:

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {X} [\ mathbf {Y}, \ mathbf {Z}]) = \ operatornév {tr} ([\ mathbf {X}, \ mathbf {Y}] \ mathbf {Z}).}$

Egy összetett egyszerű Lie algebra (például _n ) esetén minden ilyen bilineáris forma arányos egymással; különösen a Killing formához. ${\ displaystyle {\ mathfrak {sl}}}$

Két X és Y mátrix állítólag ortogonális nyomvonal, ha

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {X} \ mathbf {Y}) = 0}$.

Belső termék

Egy m × n mátrix A esetén, amely összetett (vagy valós) bejegyzéseket tartalmaz, és ^H a konjugált transzponálás, megvan

${\ displaystyle \ operatornév {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {H}} \ mathbf {A} \ right) \ geq 0}$

egyenlőséggel akkor és csak akkor, ha A = 0 .

A megbízás

${\ displaystyle \ langle \ mathbf {A}, \ mathbf {B} \ rangle = \ operatorname {tr} \ left (\ mathbf {A} ^{\ mathsf {H}} \ mathbf {B} \ right)}$

minden komplex (vagy valós) m × n mátrix terén belső szorzatot eredményez .

A fenti belső termékből származtatott normát Frobenius normának nevezzük , amely mátrixnormaként kielégíti a szubmultiplikatív tulajdonságokat. Valójában egyszerűen euklideszi norma, ha a mátrixot m ⋅ n hosszúságú vektornak tekintjük .

Ebből következik, hogy ha A és B valós pozitív félig határozott , azonos méretű mátrixok , akkor

${\ displaystyle 0 \ leq \ left [\ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) \ jobb] ^{2} \ leq \ operatornév {tr} \ bal (\ mathbf {A} ^{ 2} \ jobb) \ operatnev bal [\ operatornév {tr} (\ mathbf {B}) \ jobb]^{2}.}$

Általánosítások

A mátrix nyomkövetésének fogalmát a Hilbert -tereken lévő kompakt operátorok nyomkövetési osztályára általánosítjuk, a Frobenius -norma analógját pedig Hilbert -Schmidt -normának nevezzük .

Ha K nyomkövetési osztály, akkor bármilyen ortonormális alapon a nyomkövetést a ${\ displaystyle (\ varphi _ {n}) _ {n}}$

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (K) = \ sum _ {n} \ left \ langle \ varphi _ {n}, K \ varphi _ {n} \ right \ rangle,}$

és véges és független az ortonormális alapoktól.

A részleges nyomkövetés a kezelő által értékelt nyomkövetés egy másik általánosítása. Az A ⊗ B terméktérben élő Z lineáris operátor nyoma megegyezik az A és B feletti résznyomokkal :

${\ displaystyle \ operatnev bal (\ operatornév {tr} _ {A} (Z) \ jobb).}$

További tulajdonságokért és a részleges nyom általánosításáért lásd a nyomon követett monoid kategóriákat .

Ha A egy általános asszociatív algebra egy mezőt k , majd nyomnyi on Egy gyakran definiálható bármely olyan térkép tr: A ↦ k , amely eltűnik a kommutátorok: TR ([ a , b ]) az összes olyan , b ∈ A . Az ilyen nyom nem egyedileg meghatározott; mindig legalább módosítható a nem nulla skalárral való szorzással.

A szupertrace a szuperalgebrák beállításának nyomának általánosítása .

A tenzorösszehúzódás működése általánosítja a nyomkövetést tetszőleges tenzorokra.

Koordinátamentes definíció

A nyomkövetés koordináta-mentes módon is megközelíthető, azaz az alapválasztásra való hivatkozás nélkül, az alábbiak szerint: a véges dimenziós V vektortéren (az F mező felett meghatározott ) lineáris operátorok tere izomorf a tér V ⊗ V ^* keresztül lineáris leképezés

${\ displaystyle V \ otimes V^{*} \ to \ operatorname {Hom} (V, V), v \ otimes h \ mapsto (w \ mapsto h (w) v).}$

Van is egy kanonikus bilineáris függvény t  : V × V ^* → F áll, hogy alkalmazása egy elem w ^* a V ^* hogy egy elem v a V , hogy egy elem a F :

${\ displaystyle t \ left (v, w^{*} \ right): = w^{*} (v) \ in F.}$

Ez lineáris függvényt indukál a tenzorterméken ( univerzális tulajdonsága alapján ) t  : V ⊗ V ^∗ → F , amely, mint kiderül, ha ezt a tenzorterméket az operátorok terének tekintjük, egyenlő a nyomával.

Különösen, ha egy első rangú A operátort kapunk (ennek megfelelően egy egyszerű tenzort ), a négyzet azért van, mert az egydimenziós képén A csak skaláris szorzás. Ami a tenzor kifejezés, és ez a nyom (és csak a nem nulla sajátérték) az A ; ez az átlós bejegyzés koordináta-mentes értelmezését adja. Minden operátor egy n -dimenziós térben kifejezhető n első számú operátor összegeként ; ez megadja az átlós bejegyzések összegének koordináta-mentes változatát. ${\ displaystyle v \ otimes w^{*}}$${\ displaystyle A^{2} = \ lambda A,}$${\ displaystyle \ lambda = w^{*} (v),}$

Ez azt is tisztázza, hogy miért tr ( AB ) = tr ( BA ) és miért tr ( AB ) ≠ tr ( A ) tr ( B ) , mint operátorok összetétele (mátrixok szorzata) és nyomkövetés értelmezhetők ugyanazon párosításként. Megtekintés

${\ displaystyle \ operatornév {End} (V) \ cong V \ otimes V^{*},}$

értelmezhető a kompozíciós térkép

${\ displaystyle \ operatornév {End} (V) \ times \ operatorname {End} (V) \ to \ operatorname {End} (V)}$

mint

${\ displaystyle (V \ otimes V^{*}) \ times (V \ otimes V^{*}) \ to (V \ otimes V^{*})}$

a párosításból származik V ^∗ × V → F a középső tagokon. A termék nyomkövetése ezután a külső feltételek szerinti párosításból származik, míg a termék ellenkező sorrendben történő felvétele, majd a nyomkövetés csak azt kapcsolja, hogy melyik párosítást alkalmazzák először. Másrészt az A és B nyomának levétele a párosításnak a bal és a helyes feltételek mellett történő alkalmazását jelenti (nem pedig a belső és a külső), és így más.

A koordinátákban ez az indexeknek felel meg: a szorzót a

${\ displaystyle (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) _ {ik} = \ sum _ {j} a_ {ij} b_ {jk},}$

így

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A} \ mathbf {B}) = \ sum _ {ij} a_ {ij} b_ {ji} \ quad {\ text {és}} \ quad \ operatornév {tr } (\ mathbf {B} \ mathbf {A}) = \ összeg _ {ij} b_ {ij} a_ {ji}}$

ami ugyanaz, míg

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) \ cdot \ operatornév {tr} (\ mathbf {B}) = \ sum _ {i} a_ {ii} \ cdot \ sum _ {j} b_ { jj},}$

ami más.

Véges dimenziós V , azzal alapján { e _i } és a kettős alapon { e ⁱ } , majd e _i ⊗ e ^j a ij -entry a mátrix az üzemeltető tekintetében az alapon. Minden gazdasági szereplő A , ezért egy bizonyos összeget formájában

${\ displaystyle \ mathbf {A} = a_ {ij} e_ {i} \ otimes e^{j}.}$

A t jelentése a fenti,

${\ displaystyle \ operatornév {tr} (\ mathbf {A}) = a_ {ij} \ operatorname {tr} \ left (e_ {i} \ otimes e^{j} \ right).}$

Ez utóbbi azonban csak a Kronecker -delta , mivel 1, ha i = j, és 0. Ez azt mutatja, hogy tr ( A ) egyszerűen az átló mentén lévő együtthatók összege. Ez a módszer azonban a koordináta -invarianciát a definíció azonnali következményévé teszi.

Dupla

Továbbá kettősíthetjük ezt a térképet, és kaphatunk egy térképet

${\ displaystyle F^{*} = F \ to V \ otimes V^{*} \ cong \ operatorname {End} (V).}$

Ez a térkép pontosan a skalárok szerepeltetése , 1 ∈ F -t küld az identitásmátrixba: "nyomkövetés kettős a skalárral". A bialgebras nyelvén a skalárok az egység , míg a nyom a számláló .

Ezeket aztán össze lehet állítani,

${\ displaystyle F ~ {\ overset {I} {\ to}} ~ \ operatorname {End} (V) ~ {\ overset {\ operatorname {tr}} {\ to}} ~ F,}$

amely n -vel való szorzást eredményez , mivel az azonosság nyoma a vektortér dimenziója.

Általánosítások

A dualizálható objektumok és a kategorikus nyomok fogalmát felhasználva ez a nyomkövetési megközelítés gyümölcsözően axiomatizálható és alkalmazható más matematikai területekre.

Lásd még

• Tenzor nyoma metrikus tenzorhoz képest
• Jellemző funkció
• Mezőnyomás
• Golden – Thompson egyenlőtlenség
• Szinguláris nyom
• Specht tétele
• Nyomkövetési osztály
• Azonosítás nyomon követése
• Nyomon követni az egyenlőtlenségeket
• von Neumann nyomagyenlőtlensége

Megjegyzések

Hivatkozások

Külső linkek

• "Négyzet alakú mátrix nyomai" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]