Pöttyös termék - Dot product
A matematikában a pont- vagy skaláris szorzat egy algebrai művelet , amely két azonos hosszúságú számsort (általában koordinátavektorokat ) vesz fel , és egyetlen számot ad vissza. Az euklideszi geometriában széles körben használják két vektor derékszögű koordinátáinak pont szorzatát . Gyakran nevezik az euklideszi tér belső termékének (vagy ritkán vetületi terméknek ), annak ellenére, hogy nem ez az egyetlen belső termék, amely az euklideszi térben definiálható (bővebben lásd: Belső terméktér ).
Algebrailag, a dot termék az összege a termékek a megfelelő bejegyzéseket a két szekvencia számok. Geometriai szempontból a két vektor euklideszi nagyságának és a köztük lévő szög koszinuszának szorzata . Ezek a definíciók egyenértékűek a derékszögű koordináták használatakor. A modern geometria , euklideszi terek gyakran határozza meg a vektorterek . Ebben az esetben a pont szorzatát használjuk a hosszúságok (egy vektor hossza önmagában a vektor pont szorzatának négyzetgyöke ) és szögek (két vektor szögének koszinusz a pont szorzatuk hányadosa) meghatározására hosszuk szorzatával).
A "ponttermék" elnevezés a " · " középpontú pontból származik , amelyet gyakran használnak a művelet megjelölésére; a "skaláris termék" alternatív elnevezés azt hangsúlyozza, hogy az eredmény skalár , nem pedig vektor , mint a háromdimenziós térben a vektor termék esetében.
Meghatározás
A pontszorzatot algebrai vagy geometriai módon lehet meghatározni. A geometriai meghatározás a szög és a távolság (vektorok nagysága) fogalmán alapul. E két definíció egyenértékűsége az euklideszi tér derékszögű koordinátarendszerétől függ .
Az euklideszi geometria modern bemutatásaiban a térpontokat derékszögű koordinátáik alapján határozzák meg , és magát az euklideszi teret általában az R n valós koordináta -térrel azonosítják . Egy ilyen prezentációban a hosszúság és a szögek fogalmát a pontszerű termék határozza meg. A vektor hosszát önmagában a vektor pont szorzatának négyzetgyökeként határozzuk meg, és két, egy hosszúságú vektor (nem orientált) szögének koszinuszát ponttermékként határozzuk meg. Tehát a pont -szorzat két definíciójának ekvivalenciája része az euklideszi geometria klasszikus és modern megfogalmazásának ekvivalenciájának.
Algebrai meghatározás
Két vektor a = [ a 1 , a 2 ,…, a n ] és b = [ b 1 , b 2 ,…, b n ] pont szorzatát a következőképpen határozzuk meg:
ahol Σ összegzést jelent , n pedig a vektortér dimenzióját . Például a háromdimenziós térben az [1, 3, -5] és a [4, -2, -1] vektorok pont szorzata :
Ha vektorok azonosítják sorban mátrixok , a dot termék is lehet írva, mint a mátrix termék
ahol jelöli a transzpo a .
A fenti példát így fejezve ki, az 1 × 3 mátrixot ( sorvektor ) megszorozzuk egy 3 × 1 mátrixszal ( oszlopvektor ), hogy 1 × 1 mátrixot kapjunk, amelyet egyedi bejegyzésével azonosítanak:
- .
Geometriai meghatározás
Az euklideszi térben az euklideszi vektor egy geometriai objektum, amelynek nagysága és iránya is van. Egy vektor nyílként ábrázolható. Nagysága a hossza, iránya pedig a nyíl iránya. Nagysága a vektor egy jelöljük . A dot termék két euklideszi vektorok egy , és b határozza
ahol θ a szög között egy és b .
Különösen, ha a vektorok egy , és b jelentése ortogonális (azaz, azok szög π / 2 vagy 90 °), majd , ami azt jelenti, hogy
A másik végletben, ha egyirányúak, akkor a közöttük levő szög nulla a és gombokkal
Ez azt jelenti, hogy a szorzata egy vektor egy a maga
amely ad
a vektor euklideszi hosszának képletét .
Skaláris vetület és első tulajdonságok
A skalár nyúlvány (vagy skalár komponens) egy vektor egy irányába egy vektor b adják
ahol θ közötti szög egy és b .
A ponttermék geometriai meghatározását tekintve ez átírható
hol van az egységvektor b irányában .
A pontszerű terméket tehát geometriailag az jellemzi
Az így definiált ponttermék skálázás alatt minden változóban homogén, ami azt jelenti, hogy bármely skaláris α esetén
Elosztási törvényt is kielégít , vagyis azt
Ezeket a tulajdonságokat összegezhetjük azzal, hogy a pontszerű termék egy bilineáris forma . Ezenkívül ez a bilineáris forma pozitív határozott , ami azt jelenti, hogy soha nem negatív, és akkor és csak akkor nulla, ha a nulla vektor.
A dot termék tehát egyenértékű megszorozzuk a norma (hossza) b által a norma a vetülete egy felett b .
A definíciók egyenértékűsége
Ha e 1 , ..., e n a standard bázisvektorok R n -ben , akkor írhatunk
A vektorok e i vannak egy ortonormáiis bázis , ami azt jelenti, hogy egységnyi hosszúságra és megfelelő szögben vannak egymáshoz. Ezért mivel ezek a vektorok egységhosszúak
és mivel derékszöget alkotnak egymással, ha i ≠ j ,
Így általánosságban elmondhatjuk, hogy:
Ahol δ ij a Kronecker -delta .
Továbbá, a geometriai definíció bármely vektor e i és a vektor egy , tudomásul vesszük,
ahol egy i az a komponense, vektor egy az irányt e i . Az egyenlőség utolsó lépése az ábrán látható.
Most a ponttermék geometriai változatának eloszlását alkalmazzuk
amely pontosan a pont szorzatának algebrai meghatározása. Tehát a geometriai pont szorzat megegyezik az algebrai pont szorzatával.
Tulajdonságok
A dot termék megfelel a következő tulajdonságokkal, ha egy , b , és c valós vektorok , és R jelentése egy skalár .
-
Kommutatív :
- amely meghatározásából következik ( θ az a szög között a és b ):
-
Eloszlás a vektor hozzáadása felett:
-
Bilineáris :
-
Skaláris szorzás :
- Nem asszociatív, mert a skalár ( a ⋅ b ) és a vektor ( c ) közötti pont szorzat nincs definiálva, ami azt jelenti, hogy az asszociatív tulajdonsághoz tartozó kifejezések ( a ⋅ b ) ⋅ c vagy a ⋅ ( b ⋅ c ) mindkettő rosszul meghatározott. Ne feledje azonban, hogy a korábban említett skaláris szorzási tulajdonságot néha "skaláris és pont szorzat asszociatív törvényének" is nevezik, vagy mondhatjuk, hogy "a pont szorzat asszociatív a skaláris szorzás szempontjából", mert c ( a ⋅ b ) = ( c a ) ⋅ b = a ⋅ ( c b ).
-
Ortogonális :
- Két nem nulla vektorok egy , és b jelentése ortogonális , ha, és csak akkor, ha egy ⋅ b = 0 .
-
Nincs lemondás :
- Ellentétben a közönséges számok szorzásával, ahol ha ab = ac , akkor b mindig egyenlő c -vel, hacsak a nem nulla, a pontszorzat nem tartja be a törlési törvényt :
- Ha a ⋅ b = a ⋅ c és a ≠ 0 , akkor felírhatjuk: a ⋅ ( b - c ) = 0 az elosztási törvény szerint ; A fenti eredmény szerint ez csak azt jelenti, hogy egy merőleges ( b - c ) , amely még lehetővé teszi ( b - c ) ≠ 0 , és ezért lehetővé teszi b ≠ c .
-
Termékszabály :
- Ha egy és b jelentése (vektor értékű) differenciálható függvények , majd ezt a származékot ( jelöli egy elsődleges ") az egy ⋅ b adja a szabály ( a ⋅ b ) '= a ' ⋅ b + a ⋅ b ' .
Alkalmazás a koszinuszok törvényére
Mivel két vektor egy és b elválasztott szög θ (lásd a képet jobbra), alkotnak egy háromszög harmadik oldala c = a - b . Ennek a pontszerű terméke önmagában:
ami a koszinuszok törvénye .
Háromszoros termék
Két három művelet létezik, amelyek pontszerű termékkel és kereszttermékkel járnak .
A skaláris hármas termék a három vektor definíciója
Ennek értéke a mátrix meghatározója , amelynek oszlopai a három vektor derékszögű koordinátái . Ez a Parallelepiped aláírt kötete , amelyet a három vektor definiál.
A vektor hármas szorzatát a
Ez az azonosság, más néven Lagrange -formula , emlékezhet „BAC mínusz CAB” -ra, szem előtt tartva, hogy mely vektorok vannak pontozva. Ez a képlet a fizika vektorszámításainak egyszerűsítésére szolgál .
Fizika
A fizikában a vektor nagysága fizikai értelemben vett skalár (azaz a koordináta -rendszertől független fizikai mennyiség ), amelyet egy számérték és egy fizikai egység szorzataként fejeznek ki , nem csak egy számot. A pont szorzat ebben az értelemben is skalár, a képlet adja meg, függetlenül a koordináta -rendszertől. Például:
- A mechanikai munka az erő- és elmozdulásvektorok pontszerű szorzata ,
- A teljesítmény az erő és a sebesség pontszerű szorzata .
Általánosítások
Komplex vektorok
Az összetett bejegyzésű vektorok esetében a pontszerű termék meghatározott definíciójának használata egészen más tulajdonságokhoz vezetne. Például egy vektor pontterméke önmagával tetszőleges komplex szám lehet, és lehet nulla is, anélkül, hogy a vektor a nulla vektor lenne (az ilyen vektorokat izotrópnak nevezzük ); ennek következményei lennének az olyan fogalmakra, mint a hossz és a szög. Az olyan tulajdonságok, mint a pozitív-határozott norma, megmenthetők a skaláris termék szimmetrikus és bilineáris tulajdonságainak feladása árán, az alternatív definíció révén
ahol a komplex konjugált a . Ha a vektorokat sorvektorok ábrázolják , akkor a ponttermék mátrixtermékként fejezhető ki, amely konjugált transzpozíciót foglal magában , és ezt a H felső index jelöli:
Valós komponensű vektorok esetében ez a definíció ugyanaz, mint a valós esetben. Bármely vektor skaláris szorzata önmagával nem negatív valós szám, és a nulla vektor kivételével nem nulla. A komplex skaláris szorzat azonban inkább szkquináris , mint bilineáris, mivel konjugált lineáris és nem lineáris a . A skaláris termék nem szimmetrikus, mivel
A két összetett vektor közötti szöget ezután a
A komplex skaláris szorzat a remetikus formák és az általános belső terméktér fogalmaihoz vezet , amelyeket széles körben használnak a matematikában és a fizikában .
A komplex vektor saját pont szorzata egy komplex szám abszolút négyzetének általánosítása .
Belső termék
A belső szorzat általánosítja a pontterméket absztrakt vektoros terekre a skaláris mező fölött , legyen az valós számok vagy komplex számok mezője . Ez általában jelöljük alkalmazásával szögletes zárójelben által .
A két vektor belső szorzata a komplex számok mezője fölött általában egy komplex szám, és bites lineáris helyett sesquilinear . A belső terméktér normált vektortér , és a vektor belső terméke önmagával valós és pozitív-határozott.
Funkciók
A pontozott termék olyan vektorokhoz van definiálva, amelyek véges számú bejegyzést tartalmaznak . Így ezek a vektorok tekinthető diszkrét funkciók : egy hosszirányú, n vektor u jelentése, akkor, a funkcióját a domént { k ∈ ℕ | 1 ≤ k ≤ n } , és u i egy jelölést a kép I függvény által /vektor u .
Ez a fogalom általánosítható a folytonos függvényekre : ahogyan a vektorok belső szorzata a megfelelő komponensek fölötti összeget használja, a függvények belső szorzata is meghatározott intervallumon belül a ≤ x ≤ b (ezt is [ a , b ] ) :
Generalizált tovább összetett funkciók ψ ( X ) és a χ ( X ) , analóg módon a komplex belső terméket a fenti, ad
Súly funkció
A belső termékeknek súlyfüggvényük lehet (azaz olyan funkciójuk, amely a belső termék minden tagját értékkel súlyozza). Kifejezetten, a belső termék funkciók és tekintetében a súlyfüggvény van
Dyadikusok és mátrixok
Mátrixok van Frobenius belső termék , ami analóg a vektor belső szorzata. Ezt két azonos méretű A és B mátrix megfelelő összetevőinek szorzataként határozzák meg :
- (Valódi mátrixokhoz)
A diadikusok pontszerű és "kettős" pontszerű termékkel rendelkeznek, definíciójukat lásd a Dyadics § -ban .
Tenzorok
Az n rendű tenzor és az m sorrendű tenzor között a belső termék n + m - 2 rendű tenzor, részletekért lásd: Tenzorösszehúzódás .
Számítás
Algoritmusok
A vektorok lebegőpontos pont szorzatának kiszámítására szolgáló egyszerű algoritmus katasztrofális törlést szenvedhet . Ennek elkerülése érdekében olyan megközelítéseket használnak, mint a Kahan összegzési algoritmus .
Könyvtárak
A pont termék funkciót a következők tartalmazzák:
- BLAS 1. szintű valódi SDOT, DDOT; komplex CDOTU, ZDOTU = X^T * Y, CDOTC ZDOTC = X^H * Y
- Matlab A ' * B vagy conj (transzponálás (A)) * B vagy összeg (conj (A). * B)
- GNU oktáv összegként (konj (X).* Y, halvány)
- Intel® oneAPI Math Kernel Library valós p? Dot dot = sub (x) '*sub (y); komplex p? dotc dotc = conjg (sub (x) ')*sub (y)
Lásd még
- Cauchy -Schwarz egyenlőtlenség
- Kereszttermék
- Egy grafikon pontozott termékábrázolása
- Euklideszi norma , az önpontos termék négyzetgyöke
- Mátrix szorzás
- Metrikus tenzor
- Vektorok szorzása
- Külső termék
Megjegyzések
Hivatkozások
Külső linkek
- "Belső termék" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
- A ponttermék magyarázata, beleértve a komplex vektorokat is
- Bruce Torrence "Dot Product" , Wolfram Demonstrations Project , 2007.