Köbgyök - Cube root

Az y = ³ √ x görbéje . A diagram szimmetrikus az eredet tekintetében, mivel ez egy páratlan függvény . A X = 0 Ez a grafikon egy függőleges érintője .

Egységkocka (oldal = 1) és kétszeres térfogatú kocka (oldal = ³ √ 2 = 1,2599 ... OEIS :  A002580 ).

A matematika , a köbgyökét számos x egy szám y oly módon, hogy y ³ = x . Minden nem nulla valós számnak pontosan egy valós kockagyöke és egy pár komplex konjugált kockagyöke van, és minden nem nulla komplex számnak három különböző komplex kockagyökere van. Például a 8 valós kockagyöke , amelyet jelölünk , 2 , mert 2 ³ = 8 , míg a többi 8 kockagyök az és . A −27 i három kockagyöke az ${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {8}}}$${\ displaystyle -1+i {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle -1 -i {\ sqrt {3}}}$

${\ displaystyle 3i, \ quad {\ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}} -{\ frac {3} {2}} i, \ quad {\ text {and}} \ quad -{ \ frac {3 {\ sqrt {3}}} {2}}-{\ frac {3} {2}} i.}$

Bizonyos összefüggésekben, különösen, ha a szám, amelynek köbgyök be kell venni olyan valós szám, az egyik kocka gyökerei (ebben a konkrét esetben az igazi) nevezik a fő köbgyök jelölt a radikális jele A kocka gyökér az inverz függvényt a kocka funkció , ha figyelembe csak a valós számok, de nem, ha figyelembe is komplex számok: bár az egyik mindig a köbgyökét a kocka számos nem mindig ezt a számot. Például egy kockagyök 8 , (azaz ), de${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {~^{~}}}.}$${\ displaystyle \ left ({\ sqrt [{3}] {x}} \ right)^{3} = x,}$${\ displaystyle -1+i {\ sqrt {3}}}$${\ displaystyle (-1+i {\ sqrt {3}})^{3} = 8}$${\ displaystyle -1+i {\ sqrt {3}} \ neq 2 = {\ sqrt [{3}] {( -1+i {\ sqrt {3}})^{3}}}.}$

Formális meghatározás

Az x szám kockagyökei azok az y számok, amelyek kielégítik az egyenletet

${\ displaystyle y^{3} = x. \}$

Tulajdonságok

Valós számok

Minden valós szám X , van egy valós szám y oly módon, hogy y ³  =  x . A kocka függvény növekszik, tehát nem ad ugyanazt az eredményt két különböző bemenetnél, és lefedi az összes valós számot. Más szóval, ez egy bijection, vagy egy az egyhez. Ezután definiálhatunk egy inverz függvényt, amely szintén egy az egyhez. Valós számok esetén minden valós számból egyedi kockagyökeret definiálhatunk. Ha ezt a definíciót használjuk, akkor a negatív szám kockagyöke negatív szám.

Az 1 három kockagyökere

Ha megengedett, hogy x és y összetett legyen , akkor három megoldás létezik (ha x nem nulla), és így x- nek három kockagyöke van. Egy valós számnak van egy valós kockagyökere és két további kockagyöke, amelyek összetett konjugált párt alkotnak. Például az 1 kocka gyökerei :

${\ displaystyle 1, \ quad -{\ frac {1} {2}}+{\ frac {\ sqrt {3}} {2}} i, \ quad -{\ frac {1} {2}} -{ \ frac {\ sqrt {3}} {2}} i.}$

Ezek közül az utolsó kettő kapcsolathoz vezet bármely valós vagy összetett szám összes gyöke között. Ha egy szám egy adott valós vagy komplex szám egyik kockagyöke, akkor a másik két kockagyökér megtalálható úgy, hogy megszorozzuk ezt a kockagyököt az egyik két komplex kockagyökével.

Komplex számok

A komplex kockagyökér ábrázolása két további levelével együtt. Az első képen a fő ág látható, amely a szövegben le van írva.

A kockagyökér Riemann -felülete . Látható, hogy mind a három levél illeszkedik egymáshoz.

Komplex számok esetén a fő kockagyökeret általában úgy határozzák meg, mint a legnagyobb valós részt tartalmazó kockagyökeret, vagy ennek megfelelően azt a kockagyökeret, amelynek argumentuma a legkevesebb abszolút értékkel rendelkezik . A képlet a természetes logaritmus fő értékéhez kapcsolódik

${\ displaystyle x^{\ frac {1} {3}} = \ exp \ left ({\ frac {1} {3}} \ ln {x} \ right).}$

Ha írunk x , mint

${\ displaystyle x = r \ exp (i \ theta) \,}$

ahol r egy nem negatív valós szám, és θ a tartományban van

${\ displaystyle -\ pi <\ theta \ leq \ pi}$,

akkor a fő komplex kockagyök az

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}} \ right).}$

Ez azt jelenti, hogy a poláris koordinátákban a sugár kockagyökét vesszük, és a sark sarkát elosztjuk hárommal annak érdekében, hogy meghatározzuk a kockagyökeret. Ezzel a definícióval a negatív szám fő kockagyöke összetett szám, és például ³ √ −8 nem −2 lesz, hanem 1 + i √ 3 .

Ezt a nehézséget úgy is meg lehet oldani, ha a kockagyöket többértékű függvénynek tekintjük: ha az eredeti x komplex számot három egyenértékű formában írjuk , nevezetesen

${\ displaystyle x = {\ begin {case} r \ exp (i \ theta), \\ [3px] r \ exp (i \ theta +2i \ pi), \\ [3px] r \ exp (i \ theta -2i \ pi). \ End {esetek}}}$

Z komplex szám ^{2-6 gyökének} geometriai ábrázolása , poláris formában re ^iφ  ahol r = | z  | és φ = arg z . Ha z valós, φ = 0 vagy π . A fő gyökerek feketén jelennek meg.

E három forma fő bonyolult kockagyökerei tehát

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {x}} = {\ begin {case} {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3} } \ jobbra), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}}+{\ frac {2i \ pi} {3}} \ jobb), \\ {\ sqrt [{3}] {r}} \ exp \ left ({\ frac {i \ theta} {3}}-{\ frac {2i \ pi} {3}} \ jobb) . \ end {tok}}}$

Hacsak x = 0 , akkor ez a három komplex szám különbözik egymástól, annak ellenére, hogy az x három ábrázolása egyenértékű volt. Például a ³ √ −8 kiszámítható -2, 1 + i √ 3 vagy 1 - i √ 3 .

Ez összefügg a monodrómia fogalmával : ha valaki folytonossággal követi a kockagyök függvényt a zéró körüli zárt út mentén, akkor egy kanyar után a kockagyök értékét megszorozzuk (vagy elosztjuk)${\ displaystyle e^{2i \ pi /3}.}$

Az iránytű és az egyenes él kialakításának lehetetlensége

A kockagyökerek abban a problémában merülnek fel, hogy megtalálják azt a szöget, amelynek mértéke egy adott szög egyharmada ( szöghárítás ), és abban a problémában, hogy megtaláljuk egy olyan kocka szélét, amelynek térfogata kétszerese egy adott élű kocka térfogatának ( kétszeres kocka ). 1837-ben Pierre Wantzel bebizonyította, hogy ezek egyikét sem lehet megtenni iránytűvel és egyenes szegéllyel .

Numerikus módszerek

A Newton -módszer egy iteratív módszer , amellyel a kockagyök kiszámítható. Valódi lebegőpontos számok esetén ez a módszer a következő iteratív algoritmusra redukálódik, hogy egymás után jobb közelítéseket kapjunk a :

${\ displaystyle x_ {n+1} = {\ frac {1} {3}} \ left ({\ frac {a} {x_ {n}^{2}}}+2x_ {n} \ right).}$

A módszer egyszerűen átlagolja a három tényezőt, amelyeket úgy választottak meg

${\ displaystyle x_ {n} \ times x_ {n} \ times {\ frac {a} {x_ {n}^{2}}} = a}$

minden iterációnál.

Halley módszere ezen az algoritmuson javul, amely gyorsabban konvergál minden egyes iterációval, bár több iterációval:

${\ displaystyle x_ {n+1} = x_ {n} \ left ({\ frac {x_ {n}^{3}+2a} {2x_ {n}^{3}+a}} \ right).}$

Ez köbös módon konvergál , így két iteráció ugyanannyi munkát végez, mint Newton módszerének három iterációja. Newton módszerének minden iterációja két szorzásba kerül, egy összeadás és egy osztás, feltételezve, hogy 1/3az a előre kiszámított, tehát három iteráció és az előszámítás hét szorzást, három összeadást és három osztást igényel.

A Halley -féle módszer minden iterációja három szorzást, három összeadást és egy osztást igényel, így két iteráció hat szorzásba, hat összeadásba és két osztásba kerül. Így Halley módszere gyorsabb lehet, ha egy részleg drágább, mint három kiegészítés.

Bármelyik módszerrel is az x ₀ gyenge kezdeti közelítése nagyon gyenge algoritmusteljesítményt eredményezhet, és a jó kezdeti közelítés elérése némileg fekete művészet. Egyes megvalósítások manipulálják a lebegőpontos szám kitevő bitjeit; azaz a kezdeti közelítéshez úgy jutnak el, hogy a kitevőt elosztják 3 -mal.

Szintén hasznos ez az általánosított folytatásos tört , az n -edik gyökér módszer alapján:

Ha X egy jó első közelítés a kocka gyökere egy és y = a - x ³ , akkor:

${\ displaystyle {\ sqrt [{3}] {a}} = {\ sqrt [{3}] {x^{3}+y}} = x+{\ cfrac {y} {3x^{2}+{ \ cfrac {2y} {2x+{\ cfrac {4y} {9x^{2}+{\ cfrac {5y} {2x+{\ cfrac {7y} {15x^{2}+{\ cfrac {8y} {2x+\ pontok}}}}}}}}}}}}}}$

${\ displaystyle = x+{\ cfrac {2x \ cdot y} {3 (2x^{3}+y) -y-{\ cfrac {2 \ cdot 4y^{2}} {9 (2x^{3}+ y)-{\ cfrac {5 \ cdot 7y^{2}} {15 (2x^{3}+y)-{\ cfrac {8 \ cdot 10y^{2}} {21 (2x^{3}+ y)-\ pöttyök}}}}}}}}}.}$

A második egyenlet egyesíti az egyes frakciópárokat az elsőből egyetlen törtbe, így megduplázza a konvergencia sebességét.

Megjelenés harmadik és negyedik fokú egyenletek megoldásaiban

A köbös egyenletek , amelyek a harmadfokú polinomiális egyenletek (vagyis az ismeretlen legnagyobb hatalma 3), mindig megoldhatók a kockagyök és a négyzetgyök szempontjából három megoldásukra (bár egyszerűbb kifejezések csak négyzetgyökre vonatkoznak mindhárom megoldás, ha legalább az egyik racionális szám ). Ha a megoldások közül kettő összetett szám, akkor mindhárom megoldási kifejezés egy valós szám valós kockagyökét foglalja magában, míg ha mindhárom megoldás valós szám, akkor egy komplex szám komplex kockagyökében fejezhető ki .

A kvart egyenletek a kocka és a négyzetgyök szempontjából is megoldhatók.

Történelem

A kockagyök kiszámítása már i. E. 1800 -ban a babiloni matematikusokhoz vezethető vissza . Az i. E. Negyedik században Platón a kocka megkétszerezésének problémáját vetette fel , amihez egy adott kocka kétszeres térfogatú kocka szélének iránytű-egyenes szerkezete kellett ; ehhez a ³ √ 2 hosszúságú, ma már lehetetlennek ismert konstrukcióra volt szükség .

A kockagyökerek kinyerésének módszere megjelenik a The Nine Chapters on the Mathematical Art című kínai matematikai szövegben, az i. E. 2. század környékén, amelyet Liu Hui kommentált a 3. században. Az alexandriai hős görög matematikus kifejlesztett egy módszert a kockagyökerek kiszámítására az I. században. Képletét Eutokiosz ismét említi az Archimedeshez írt kommentárjában . 499 -ben Aryabhata , az indiai matematika és az indiai csillagászat klasszikus korából származó matematikus - csillagász , módszert adott az Aryabhatiya -ban található számjegyek kockagyökének megtalálására (2.5. Szakasz).

Lásd még

• A négyzetgyök számításának módszerei
• Polinom témák listája
• N-edik gyök
• Négyzetgyök
• Beágyazott radikális
• Az egység gyökere
• N-gyökös algoritmus eltolása

Hivatkozások

Külső linkek

• A kockagyök számológép a számokat a legegyszerűbb radikális formára csökkenti
• A kockagyök számítása, Ken Turkowski, Apple Technical Report #KT-32, 1998 . C forráskódot tartalmaz.
• Weisstein, Eric W. "Kockagyökér" . MathWorld .