Racionális szám - Rational number

A matematikában a racionális szám olyan szám , amely hányadosként vagy törtként fejezhető ki o/qkét egész számból , egy p számlálóból és egy nullától eltérő nevezőből q . Például, −3/7racionális szám, mint minden egész szám (pl. 5 =5/1). A készlet az összes racionális számokat, más néven „ a racionális ”, a mező a racionális , vagy a területén a racionális számok általában jelöli egy félkövér Q (vagy táblára félkövér , Unicode U + 1D410 𝐐 MATEMATIKAI FÉLKÖVÉR CAPITAL Q vagy U + 211A ℚ KETTŐS TŐKE Q ); így jelölte meg 1895 -ben Giuseppe Peano quoziente után , olaszul " hányados " -ként, és először Bourbaki Algèbre -ben jelent meg . ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$

A racionális szám tizedes bővítése vagy véges számú számjegy után fejeződik be (példa:3/4= 0,75 ), illetve végül kezd ismételjük azonos véges szekvenciája a számjegyek újra és újra (például:9/44= 0,20454545 ... ). Ezzel szemben minden ismétlődő vagy befejező tizedes szám racionális számot jelent. Ezek az állítások igazak a 10. bázisban és minden más egész bázisban (például bináris vagy hexadecimális ).

A valós számot , amely nem racionális, irracionálisnak nevezzük . Az irracionális számok közé tartozik a √ 2 , π , e és φ . Az irracionális szám tizedes bővítése ismétlés nélkül folytatódik. Mivel a racionális számok halmaza megszámolható , a valós számok pedig megszámlálhatatlanok , szinte minden valós szám irracionális.

A racionális számok formálisan definiálhatók egész számok ( p , q ) egyenértékűségi osztályaiként q ≠ 0 -val , az alábbiak szerint definiált ekvivalencia reláció használatával :

${\ displaystyle \ left (p_ {1}, q_ {1} \ right) \ sim \ left (p_ {2}, q_ {2} \ right) \ iff p_ {1} q_ {2} = p_ {2} q_ {1}.}$

A tört o/qmajd a ( p , q ) egyenértékűségi osztályát jelöli .

A racionális számok az összeadással és a szorzással együtt olyan mezőt alkotnak, amely tartalmazza az egész számokat , és minden, az egész számokat tartalmazó mezőben megtalálható. Más szóval, a racionális számok mezője prímmező , és egy mezőnek akkor és csak akkor van karakterisztikus nullája, ha a racionális számokat részmezőként tartalmazza. Véges kiterjesztések a Q nevezzük algebrai területeken , és a algebrai lezárását a Q az a terület, algebrai számok .

A matematikai elemzésben a racionális számok a valós számok sűrű részhalmazát alkotják. A valós számok lehet kialakítani a racionális számok befejezésére , a Cauchy sorozatok , Dedekind vágások , vagy végtelen tizedes jegyek (további lásd építése a valós számok ).

Terminológia

A racionális kifejezés a Q halmazra hivatkozva arra a tényre utal, hogy a racionális szám két egész szám arányát jelenti. A matematikában a "racionális" -ot gyakran használják "racionális számot" rövidítő főnévként. A racionális melléknév néha azt jelenti, hogy az együtthatók racionális számok. Például a racionális pont egy racionális koordinátákkal rendelkező pont (azaz olyan pont, amelynek koordinátái racionális számok); egy racionális mátrix egy mátrix racionális szám; a racionális polinom lehet racionális együtthatójú polinom, bár általában a "polinom a racionálisokkal szemben" kifejezést részesítik előnyben, hogy elkerüljék a " racionális kifejezés " és a " racionális függvény " közötti összetévesztést (a polinom racionális kifejezés, és racionális függvényt határoz meg, még akkor is, ha együtthatói nem racionális számok). A racionális görbe azonban nem a racionálisok felett meghatározott görbe, hanem egy görbe, amelyet racionális függvényekkel lehet paraméterezni.

Etimológia

Bár manapság a racionális számokat arányokban határozzák meg , a racionális kifejezés nem az arány levezetése . A szemközti, ez az arány , amely származó ésszerű : az első használat aránya a modern értelmében került igazolt angol mintegy 1660, míg a racionális jogosító számok jelentek meg majdnem egy évszázaddal korábban, 1570 Ez a értelmében ésszerű az irracionális matematikai jelentéséből származik , amelyet először 1551 -ben használtak, és "Euklidész fordításaiban (a ἄλογος sajátos használatát követve )" használták.

Ez a szokatlan történelem abból a tényből ered, hogy az ókori görögök „elkerülték az eretnekséget azzal, hogy megtiltották maguknak, hogy ezeket az [irracionális] hosszúságokat számoknak gondolják”. Tehát az ilyen hosszúságok irracionálisak voltak , az illogikus értelemben , vagyis "nem szabad beszélni" ( ἄλογος görögül).

Ez az etimológia hasonló a képzeletbeli számokhoz és a valós számokhoz .

Számtan

Redukálhatatlan frakció

Minden racionális szám egyedi módon kifejezhető redukálhatatlan törtként a/b, Ahol egy és b jelentése relatív prím egész számok , és b > 0 . Ezt gyakran a racionális szám kanonikus formájának nevezik .

Racionális számból kiindulva a/b, kanonikus formáját úgy kaphatjuk meg, hogy az a -t és a b -t elosztjuk a legnagyobb közös osztójukkal , és ha b <0 , akkor a kapott számláló és nevező előjelének megváltoztatásával.

Egész számok beágyazása

Bármely n egész egész kifejezhető racionális számkéntn/1, amely racionális számként kanonikus formája.

Egyenlőség

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}$ ha, és csak akkor ha ${\ displaystyle ad = bc}$

Ha mindkét tört kanonikus formában van, akkor:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} = {\ frac {c} {d}}}$ha és csak akkor és ha${\ displaystyle a = c}$${\ displaystyle b = d}$

Rendelés

Ha mindkét nevező pozitív (különösen, ha mindkét tört kanonikus formában van):

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}$ ha, és csak akkor ha ${\ displaystyle hirdetés <bc.}$

Másrészt, ha bármelyik nevező negatív, akkor minden negatív nevezővel rendelkező törtet először át kell alakítani egy pozitív nevezővel egyenértékű formává - a számláló és a nevező előjeleinek megváltoztatásával.

Kiegészítés

Két frakciót adunk hozzá a következőképpen:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}+{\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad+bc} {bd}}.}$

Ha mindkét frakciók a kanonikus formában, az eredmény a kanonikus formában, ha, és csak akkor, ha b és d jelentése relatív prímek .

Kivonás

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}}-{\ frac {c} {d}} = {\ frac {ad-bc} {bd}}.}$

Ha mindkét frakciók a kanonikus formában, az eredmény a kanonikus formában, ha, és csak akkor, ha b és d jelentése relatív prímek .

Szorzás

A szorzás szabálya:

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {c} {d}} = {\ frac {ac} {bd}}.}$

ahol az eredmény egy redukálható tört lehet - még akkor is, ha mindkét eredeti tört kanonikus formában van.

Fordított

Minden racionális szám a/bvan egy additív inverze , amelyet gyakran az ellenkezőjének neveznek ,

${\ displaystyle -\ left ({\ frac {a} {b}} \ right) = {\ frac {-a} {b}}.}$

Ha a/b kanonikus formában van, ugyanez igaz az ellenkezőjére is.

Nem nulla racionális szám a/begy reciprok , más néven a kölcsönös ,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right)^{-1} = {\ frac {b} {a}}.}$

Ha a/b kanonikus formában van, akkor reciprokának kanonikus formája vagy b/a vagy - b/- aFüggően jele egy .

Osztály

Ha b , c és d nem nulla, akkor az osztási szabály az

${\ displaystyle {\ frac {\ frac {a} {b}} {\ frac {c} {d}}} = {\ frac {ad} {bc}}.}$

Így osztva a/b által c/d egyenértékű a szorzással a/bA kölcsönös azc/d:

${\ displaystyle {\ frac {ad} {bc}} = {\ frac {a} {b}} \ cdot {\ frac {d} {c}}.}$

Hatványozás egész hatványra

Ha n nem negatív egész szám, akkor

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right)^{n} = {\ frac {a^{n}} {b^{n}}}.}$

Az eredmény kanonikus formában van, ha ugyanez igaz a/b. Különösen,

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right)^{0} = 1.}$

Ha a ≠ 0 , akkor

${\ displaystyle \ left ({\ frac {a} {b}} \ right)^{-n} = {\ frac {b^{n}} {a^{n}}}.}$

Ha a/b kanonikus formában van, az eredmény kanonikus formája b ⁿ/a ⁿha a > 0 vagy n páros. Ellenkező esetben az eredmény kanonikus formája az- b ⁿ/- a ⁿ.

Folyamatos törtábrázolás

A véges folytonos tört olyan kifejezés, mint

${\ displaystyle a_ {0}+{\ cfrac {1} {a_ {1}+{\ cfrac {1} {a_ {2}+{\ cfrac {1} {\ ddots+{\ cfrac {1} {a_ {n}}}}}}}}},}$

ahol a _n egész szám. Minden racionális száma/bleírható mint egy véges lánctört, amelynek együtthatók egy _n lehet alkalmazásával határozzák meg euklideszi algoritmus , hogy ( a , b ) .

Egyéb ábrázolások

• közös tört :8/3
• vegyes szám : 2+2/3
• ismétlődő tizedes alkalmazásával Vinculum : 2. 6
• tizedes tizedes ismétlése zárójelek használatával : 2. (6)
• folytatás tört a hagyományos tipográfia segítségével: 2 +1/1 + 1/2
• folytatott tört rövidített jelöléssel: [2; 1, 2]
• Egyiptomi tört : 2 +1/2 + 1/6
• elsődleges teljesítménybontás : 2 ³ × 3 ⁻¹
• idézet : 3'6

ugyanazon racionális érték ábrázolásának különböző módjai.

Formális felépítés

A racionális számok lehetnek épült ekvivalencia osztályok a rendezett párok az egész .

Pontosabban, legyen ( Z × ( Z \ {0})) kell a készlet a párok ( m , n ) az egész számok, n ≠ 0 . Egy ekvivalencia relációt határoz meg ezen a halmazon

${\ displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) \ sim \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ iff m_ {1} n_ {2} = m_ {2} n_ {1}.}$

Az összeadást és a szorzást a következő szabályok határozzák meg:

${\ displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right)+\ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ equiv \ left (m_ {1} n_ {2}+n_ { 1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ jobb),}$

${\ displaystyle \ left (m_ {1}, n_ {1} \ right) \ times \ left (m_ {2}, n_ {2} \ right) \ equiv \ left (m_ {1} m_ {2}, n_ {1} n_ {2} \ jobb).}$

Ez az egyenértékűségi összefüggés kongruencia reláció , ami azt jelenti, hogy kompatibilis a fent meghatározott összeadással és szorzással; a racionális számok Q jelentése a definíció szerint a hányados beállított e ekvivalencia reláció, ( Z × ( Z \ {0})) / ~ , felszerelve a hozzáadásával, és a szorzás által indukált a fenti műveleteket. (Ez a konstrukció bármilyen integrált doménnel végrehajtható, és létrehozza a törtek mezőjét .)

A pár ekvivalenciaosztályát ( m , n ) jelöljükm/n. Két pár ( m ₁ , n ₁ ) és ( m ₂ , n ₂ ) ugyanabba az egyenértékűségi osztályba tartozik (azaz egyenértékű), és csak akkor, ha m ₁ n ₂ = m ₂ n ₁ . Ez azt jelentim ₁/n ₁ = m ₂/n ₂ha és csak m ₁ n ₂ = m ₂ n ₁ .

Minden ekvivalencia osztály m/n végtelen sok pár képviseli, hiszen

${\ displaystyle \ cdots = {\ frac {-2m} {-2n}} = {\ frac {-m} {-n}} = {\ frac {m} {n}} = {\ frac {2m} { 2n}} = \ cdots.}$

Minden ekvivalenciaosztály egyedi kanonikus reprezentatív elemet tartalmaz . A kanonikus képviselője az egyedülálló pár ( m , n ) az ekvivalencia osztály olyan, hogy m és n jelentése relatív prím , és n > 0 . Ezt a racionális szám legalacsonyabb értelemben vett ábrázolásának nevezik .

Az egész számokat racionális számoknak tekinthetjük, amelyek azonosítják az n egész számot a racionális számmaln/1.

A racionális számokon teljes sorrend határozható meg, amely kiterjeszti az egész számok természetes sorrendjét. Az egyiknek van

${\ displaystyle {\ frac {m_ {1}} {n_ {1}}} \ leq {\ frac {m_ {2}} {n_ {2}}}}$

ha

${\ displaystyle (n_ {1} n_ {2}> 0 \ quad {\ text {and}} \ quad m_ {1} n_ {2} \ leq n_ {1} m_ {2}) \ qquad {\ text { vagy}} \ qquad (n_ {1} n_ {2} <0 \ quad {\ text {és}} \ quad m_ {1} n_ {2} \ geq n_ {1} m_ {2}).}$

Tulajdonságok

Az összes racionális szám Q halmaza a fent látható összeadási és szorzási műveletekkel együtt mezőt képez .

A Q -nak nincsmás terepi automorfizmusa, mint az azonosság.

A fent meghatározott sorrendben a Q olyan rendezett mező, amelyen kívül nincs almező, és ez a legkisebb rendezett mező, abban az értelemben, hogy minden rendezett mező egyedi almezőt tartalmaz Q -ra izomorf módon .

Q jelentése elsődleges mező , amely egy terület, amely nem részterület eltérő is. A racionális a legkisebb mező, amelynek jellemzője a nulla. A karakterisztikus nulla minden mezője egyedi almezőt tartalmaz Q -ra izomorf módon.

Q jelentése a hányadostest az egészek Z . A algebrai lezárása a Q , azaz a területén a gyökerek a racionális polinomok, az a terület, algebrai számok .

Az összes racionális szám halmaza megszámlálható (lásd az ábrát), míg az összes valós szám halmaza (valamint az irracionális számok halmaza) megszámlálhatatlan. Mivel a megszámlálható, a racionális számok halmaza nullhalmaz , vagyis szinte minden valós szám irracionális a Lebesgue -mérték értelmében .

A racionálisok sűrűn rendezett halmazok: bármelyik két racionális között ott ül egy másik, és ezért végtelenül sok más. Például bármely két frakcióra úgy, hogy

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {c} {d}}}$

(ahol pozitívak), van ${\ displaystyle b, d}$

${\ displaystyle {\ frac {a} {b}} <{\ frac {a+c} {b+d}} <{\ frac {c} {d}}.}$

Minden teljesen rendezett halmaz, amely megszámlálható, sűrű (a fenti értelemben), és nem rendelkezik a legkisebb vagy legnagyobb elemmel, a sorrend izomorf a racionális számokkal szemben.

Valós számok és topológiai tulajdonságok

A racionálisok a valós számok sűrű részhalmazai : minden valós számhoz tetszőlegesen közel vannak racionális számok. A kapcsolódó tulajdonság az, hogy a racionális számok az egyetlen számok, amelyek véges kiterjesztéssel rendelkeznek, mint rendszeres folytonos törtek .

Rendjük alapján a racionálisok sorrend topológiát hordoznak . A racionális számok, mint a valós számok alterei , szintén tartalmaznak egy altér topológiát . A racionális számok metrikus teret képeznek a d ( x , y ) = | abszolút különbség metrika használatával x - y | , és ez egy harmadik topológiát eredményez Q -n . Mindhárom topológia egybeesik, és a racionálisokat topológiai mezővé alakítja . A racionális számok fontos példái a helyileg nem kompakt térnek . A racionálisokat topológiailag az egyedi, számlálható metrizálható térként jellemzik , izolált pontok nélkül . A tér is teljesen le van választva . A racionális számok nem alkotnak teljes metrikus teret ; a valós számok Q befejezése a d ( x , y ) = | metrika alatt x - y | felett.

p -adikus számok

A fent említett abszolútérték -mutatón kívül vannak más mutatók is, amelyek Q -t topológiai mezővé alakítják:

Hadd p egy prímszám és minden nem nulla egész egy , hadd | a | _p = p ^{- n} , ahol p ⁿ a p legnagyobb osztóereje a .

Ezen kívül | 0 | _p = 0 . Bármilyen racionális számraa/b, beállítottuk |a/b| _p =| a | _o/| b | _o.

Ekkor d _p ( x , y ) = | x - y | _p egy metrikát határoz meg Q -n .

A metrikus tér ( Q , d _p ) nem teljes, és befejezése a p p -adic számmező Q _p . Ostrowski tétele kimondja, hogy a Q racionális számok bármely nem triviális abszolút értéke egyenértékű a szokásos valós abszolút értékkel vagy egy p -adicus abszolút értékkel.

Lásd még

• Dyadikus racionális
• Lebegőpont
• Ford köröz
• Gauss racionális
• Naiv magasság - racionális szám magassága a legalacsonyabb távon
• Niven tétele
• Racionális adattípus
• Isteni arányok: racionális trigonometria az univerzális geometriához

Hivatkozások

Külső linkek

• "Racionális szám" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• "Racionális szám" a MathWorld -től - Wolfram webes forrás