Vektor differenciál operátor
Ez a cikk a del matematikai használatáról szól. A szimbólummal kapcsolatos információkért lásd a
nabla szimbólumot .
Del , vagy nabla , egy üzemben alkalmazott matematika (különösen a vektorban fogkő ), mint egy vektor differenciáloperátor , általában által képviselt nabla szimbólum ∇ . Ha egy egydimenziós tartományban definiált függvényre alkalmazzuk , akkor a függvény kalkulusban meghatározott standard származékát jelöli . Ha egy mezőre alkalmazzák (többdimenziós területen definiált függvény), akkor az alkalmazás módjától függően a három operátor bármelyikét jelölheti: a színátmenet vagy (helyileg) a legmeredekebb lejtőskaláris mező (vagy néha egy vektormező , mint a Navier – Stokes egyenletekben ); a vektormező divergenciája ; vagy egy vektormező göndörödése (forgása).
Szigorúan véve a del nem egy konkrét operátor, hanem egy kényelmes matematikai jelölés e három operátor számára, amely megkönnyíti sok egyenlet írását és emlékezését. A del szimbólum (vagy nabla) a részleges derivált operátorok vektoraként értelmezhető ; és három lehetséges jelentése-gradiens, divergencia, és a fürt-lehet hivatalosan tekinthető a termék egy skalár, egy pont termék , és egy kereszt terméket , illetve a „del üzemeltető” a területen. Ezek a hivatalos termékek nem feltétlenül ingáznak más üzemeltetőkkel vagy termékekkel. Ez a három felhasználás, az alábbiakban részletezve, a következőképpen foglalható össze:
- Gradiens:
- Eltérés:
- Becsavar:
Meghatározás
Az R n derékszögű koordinátarendszerben , koordinátákkal és standard bázissal , del del részleges derivált operátorok
Az R 3 háromdimenziós derékszögű koordinátarendszerben, a koordinátákkal és a tengelyek standard bázis- vagy egységvektorával , a del
- Példa:
A del más koordináta -rendszerekben is kifejezhető, lásd például del hengeres és gömb koordinátákban .
Jegyzethasználat
A Del rövidített űrlapként sok hosszú matematikai kifejezés egyszerűsítésére szolgál. Leggyakrabban a gradiens , a divergencia , a curl , az irányított derivált és a Laplacian kifejezéseinek egyszerűsítésére használják .
Gradiens
A skaláris mező vektorszármazékát gradiensnek nevezzük , és ez a következőképpen ábrázolható:
Mindig a legnagyobb növekedés irányába mutat , és nagysága megegyezik az adott pont maximális növekedési ütemével - csakúgy, mint egy standard derivált. Különösen, ha egy dombot egy sík feletti magasságfüggvényként definiálunk , akkor az adott helyen lévő gradiens az xy-síkban lévő vektor (a térképen nyílként látható) a legmeredekebb irányba mutat. A lejtő nagysága ennek a legmeredekebb lejtőnek az értéke.
Ez a jelölés különösen azért hatékony, mert a gradiens termék szabálya nagyon hasonlít az 1d-derivált esetre:
A pontozott termékekre vonatkozó szabályok azonban nem bizonyulnak egyszerűnek, amint azt a következők is szemléltetik:
Eltérés
A divergencia Egy vektor mező
egy skalár funkciót lehet képviseletében a:
Az eltérés nagyjából a vektormező növekedésének mértéke az általa mutatott irányban; de pontosabban ez a mező azon mértékének mértékét méri, hogy egy pont felé közeledik vagy eltér.
A jelölés erejét a következő termékszabály mutatja:
A vektor termék képlete valamivel kevésbé intuitív, mivel ez a termék nem kommutatív:
Becsavar
A curl egy vektor mező egy vektor funkció, amely úgy reprezentálható, mint:
A göndörödés egy ponton arányos a tengelyen lévő forgatónyomatékkal, amelyre egy apró csapkerék lenne kitéve, ha az adott pont középpontjában állna.
A vektortermék működése pszeudodeterminánsként jeleníthető meg :
Ismét a jelölés erejét mutatja a termék szabálya:
Sajnos a vektortermékre vonatkozó szabály nem bizonyul egyszerűnek:
Irányított derivált
A skaláris mező irányított deriváltja az irányban
a következő:
Ez adja meg a mező irányának változási sebességét , skálázva a nagyságával . Az operátor jelölésében a zárójelben lévő elem egyetlen koherens egységnek tekinthető; A folyadékdinamika széles körben használja ezt a konvenciót, konvektív származéknak nevezi - a folyadék "mozgó" származékának.
Ne feledje, hogy ez egy operátor, amely a skalárt skalárrá alakítja. Kiterjeszthető egy vektorra való működésre, külön -külön működtetve minden egyes összetevőjét.
Lappiai
A Laplace operátor egy skalár operátor, amely akár vektoros, akár skaláris mezőkre alkalmazható; a derékszögű koordináta -rendszerek esetében a következőképpen van meghatározva:
és az általánosabb koordináta -rendszerek meghatározását Laplacian vektorban adjuk meg .
A Laplacian mindenütt jelen van a modern matematikai fizikában , például Laplace egyenletében , Poisson -egyenletében , a hőegyenletben , a hullámegyenletben és a Schrödinger -egyenletben .
Hesseni mátrix
Míg általában a lappiai , néha a hesseni mátrixot is képviseli . Az előbbi a belső termékre , míg az utóbbi a következők diadikus termékére utal :
-
.
Tehát a laplaci vagy a hessiai mátrixra való utalás a kontextustól függ.
Tenzor származék
A Del alkalmazható vektormezőre is, az eredmény egy tenzor . A vektormező tenzorszármazéka (három dimenzióban) egy 9 tagú második rangú tenzor-azaz egy 3 × 3 mátrix-, de egyszerűen jelölhető, mint ahol a diadikus szorzat . Ez a mennyiség egyenértékű a vektormező jakobi mátrixának transzponálásával a tér tekintetében. A vektormező divergenciája e mátrix nyomaként fejezhető ki .
Kis elmozdulás esetén a vektormező változását a következők adják meg:
Termékszabályok
Mert vektor kalkulus :
A mátrix kalkulus (amelyekre lehet írva ):
Egy másik érdekviszony (lásd pl. Euler -egyenletek ) a következő, ahol a külső termék tenzor található:
Második származékok
DCG diagram: Egy egyszerű diagram, amely a második származtatott termékekre vonatkozó összes szabályt ábrázolja. A D, C, G, L és CC a divergenciát, a göndörödést, a színátmenetet, a laplaciust és a göndörödést jelenti. A nyilak a második derivált létezését jelzik. A középen látható kék kör a göndör hullámosságot jelzi, míg a másik két piros kör (szaggatott) azt jelenti, hogy a DD és a GG nem létezik.
Amikor a del egy skaláron vagy vektoron operál, akkor egy skalárt vagy vektort ad vissza. A vektoros termékek (skalár, pont, kereszt) sokfélesége miatt a del egy alkalmazása már három fő származékot eredményez: a gradiens (skaláris szorzat), a divergencia (ponttermék) és a göndörítés (kereszttermék). Hogy e három típusú származékok ismét egymáshoz ad öt lehetséges második származékok, egy skaláris mező f vagy vektor mező v ; a skaláris Laplacian és a Laplacian vektor használata további kettőt ad:
Ezek elsősorban azért érdekesek, mert nem mindig egyediek vagy függetlenek egymástól. Amíg a funkciók jól viselkednek , kettő mindig nulla:
Kettő közülük mindig egyenlő:
A fennmaradó 3 vektorszármazékot az alábbi egyenlet kapcsolja össze:
És az egyik akár a tenzortermékkel is kifejezhető, ha a funkciók jól viselkednek:
Óvintézkedések
A fenti vektortulajdonságok többsége (kivéve azokat, amelyek kifejezetten a del differenciális tulajdonságaira támaszkodnak - például a termékszabály) - csak a szimbólum átrendezésére támaszkodik, és szükségszerűen meg kell tartani őket, ha a del szimbólumot bármely más vektor helyettesíti. Ez része annak az értéknek, amelyet meg kell szerezni, ha ezt az operátort vektorként jelöljük.
Bár a del -t gyakran le lehet cserélni vektorral, és vektor -azonosságot lehet szerezni, így az azonosságok mnemonikusak, a fordított nem feltétlenül megbízható, mert a del általában nem ingázik.
Egy ellenpélda, amely arra támaszkodik, hogy del nem tud ingázni:
Egy ellenpélda, amely a del differenciális tulajdonságain alapul:
E megkülönböztetések középpontjában az a tény áll, hogy a del nem egyszerűen vektor; ez egy vektor operátor . Míg a vektor egy nagyságú és irányú objektum, addig a delnek nincs sem nagysága, sem iránya, amíg nem működik egy függvényen.
Emiatt a del -t magában foglaló azonosságokat óvatosan kell levezetni, mind a vektor -azonosságok, mind a differenciálási azonosságok, például a termékszabály használatával.
Lásd még
Hivatkozások
Külső linkek