Eisenstein kritériuma - Eisenstein's criterion

A matematika , Eisenstein kritérium ad elégséges feltétele egy polinom az egész együtthatók irreducibilis felett racionális számok - azaz az, hogy nem lehet factorizable a termék nem konstans polinomok racionális együtthatós.

Ez a kritérium nem alkalmazható minden olyan polinomra, amelynek egész együtthatói nem redukálhatók a racionális számokhoz képest, de bizonyos fontos esetekben lehetővé teszi, hogy az irreducibilitást nagyon kevés erőfeszítéssel bizonyítsák. Alkalmazható közvetlenül vagy az eredeti polinom transzformálása után.

Ezt a kritériumot Gotthold Eisensteinről nevezték el . A 20. század elején Schönemann – Eisenstein-tételként is ismerték, mert Theodor Schönemann jelentette meg elsőként.

Kritérium

Tegyük fel, hogy a következő polinom van egész számokkal .

${\ displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

Ha létezik olyan p prímszám , amelyre a következő három feltétel vonatkozik:

• p osztja minden a _i- t 0 ≤ i < n-re ,
• p -nak nem osztja egy _N , és
• p ² -nak nem osztja a ₀ ,

akkor Q a racionális számok fölött nem olvasható. Az egész számok felett is visszavonhatatlan lesz, kivéve, ha minden együtthatójának van egy nem triviális tényezője (ebben az esetben Q egész polinomnak van valamilyen prímszáma, amely szükségszerűen elkülönül a p-től , mint irreducibilis tényező). Az utóbbi lehetőség lehet kerülni, hogy először a Q primitív , elosztjuk azt a legnagyobb közös osztója a saját együtthatók (a tartalmát a Q ). Ez a felosztás nem változtatja meg, hogy a Q redukálható-e vagy sem a racionális számok fölé ( a részletekért lásd az Primitív rész-tartalom faktorizációt ), és nem fogja érvényteleníteni a p kritérium hipotéziseit (éppen ellenkezőleg, a kritériumot érvényre juttathatja néhány prím esetében. , még ha a megosztottság előtt sem volt).

Példák

Eisenstein kritériuma alkalmazható akár közvetlenül (azaz az eredeti polinom használatával), akár az eredeti polinom transzformálása után.

Közvetlen (átalakítás nélkül)

Tekintsük a Q (x) = 3 x ⁴ + 15 x ² + 10 polinomot . Ahhoz, hogy Eisenstein kritériuma a p prímszámra érvényes legyen, el kell osztania a nem vezető 15 - ös és 10 -es együtthatót is , ami azt jelenti, hogy csak p = 5 működhet, és valóban így is van, mivel az 5 nem osztja fel a 3 vezető együtthatót , és a négyzetét A 25. ábra nem osztja a 10 állandó együtthatót . Ezért arra a következtetésre juthatunk, hogy Q nem redukálható Q felett (és mivel primitív, Z felett is). Megjegyezzük, hogy mivel Q 4. fokozatú, ezt a következtetést nem lehetett volna megállapítani azzal, hogy csak azt ellenőriztük, hogy Q- nak nincs-e racionális gyöke (ami kiküszöböli az 1. fokú lehetséges tényezőket), mivel két kvadratikus tényezőre történő bontás is lehetséges.

Közvetett (átalakítás után)

Eisenstein kritériuma gyakran egyetlen prímszámra sem érvényes. Ez azonban lehet, hogy azt alkalmazni (néhány prímszám) a polinom után kapott helyettesítési (néhány integer a ) az X + egy az x . Az a tény, hogy a szubsztitúció utáni polinom nem redukálható, lehetővé teszi annak megállapítását, hogy az eredeti polinom is. Ezt az eljárást váltás alkalmazásának nevezik .

Tekintsük például H = x ² + x + 2 , amelyben az x 1-es együtthatója nem osztható egyetlen primmel sem, Eisenstein kritériuma nem vonatkozik H-ra . De ha az egyik helyettesítő az X + 3 az X a H , így termékként a polinom x ² + 7 x + 14 , amely kielégíti a Eisenstein kritériuma a prímszám 7 . Mivel a szubsztitúció a Q [ x ] gyűrű automorfizmusa , az a tény, hogy a szubsztitúció után irreducibilis polinomot kapunk, azt jelenti, hogy eredetileg redukálhatatlan polinomunk volt. Ebben a konkrét példában egyszerűbb lett volna azzal érvelni, hogy H (mivel a 2. fok monicsa) csak akkor redukálható, ha egész gyöke van, ami nyilvánvalóan nem; azonban a helyettesítés kipróbálásának általános elve Eisenstein kritériumának alkalmazása érdekében hasznos módja annak kiterjesztésére.

Egy másik lehetőség egy polinom átalakítására a kritérium teljesítése érdekében, amely kombinálható egy eltolás alkalmazásával, az együtthatók sorrendjének megfordítása, feltéve, hogy állandó tagja nem nulla (amely nélkül egyébként is osztható x- szel). Ez azért van így, mert az ilyen polinomok redukálható a R [ X ] , ha, és csak akkor, ha azok redukálható a R [ x , x ^-1 ] (bármilyen integritástartomány R ), és a gyűrűt a helyettesítése x ^-1 számára x megfordítja az együtthatók sorrendje (a konstans együtthatóval szimmetrikus módon, de a kitevő következő elmozdulása egységgel szorozódik). Például 2 x ⁵ - 4 x ² - 3 eleget tesz a p = 2 kritériumának az együtthatók megfordítása után, és (mivel primitív) ezért Z [ x ] -ben nem redukálható .

Cyclotomic polinomok

A polinomok fontos osztálya, amelyek irreducibilitását az Eisenstein-kritérium alapján meg lehet állapítani, a p prímszámok ciklotomikus polinomjainak osztálya . Egy ilyen polinom úgy kapjuk meg, a polinom x ^p - 1 a lineáris tényezőt x - 1 , megfelelő nyilvánvaló gyökér 1 (amely az egyetlen racionális gyökér, ha p > 2 ):

${\ displaystyle {\ frac {x ^ {p} -1} {x-1}} = x ^ {p-1} + x ^ {p-2} + \ cdots + x + 1.}$

Itt, hasonlóan a H korábbi példájához , az 1-es együtthatók megakadályozzák Eisenstein-kritérium közvetlen alkalmazását. Azonban a polinom kielégíti a p kritériumot, miután x + 1- et x-re cseréltük : ez megadja

${\ displaystyle {\ frac {(x + 1) ^ {p} -1} {x}} = x ^ {p-1} + {\ binom {p} {p-1}} x ^ {p-2 } + \ cdots + {\ binom {p} {2}} x + {\ binom {p} {1}},}$

amelyek nem vezető együtthatói oszthatók p- vel a binomiális együtthatók tulajdonságai alapján , és amelyek állandó együtthatója egyenlő p-vel , ezért nem osztható p ^2-vel . Alternatív módszer ennek a következtetésnek az eléréséhez az ( a + b ) ^p = a ^p + b ^p azonosság használata, amely érvényes a p karakterisztikában (és amely a binomiális együtthatók ugyanazon tulajdonságain alapul, és a Frobenius-t eredményezi) endomorfizmus ), a polinomok hányadosának redukciós modulo p kiszámításához :

${\ displaystyle {\ frac {(x + 1) ^ {p} -1} {x}} \ equiv {\ frac {x ^ {p} + 1 ^ {p} -1} {x}} = {\ frac {x ^ {p}} {x}} = x ^ {p-1} {\ pmod {p}},}$

ami azt jelenti, hogy a hányados nem vezető együtthatói oszthatók p-vel ; a fennmaradó ellenőrzése, hogy a konstans tag A hányados p lehet tenni helyettesítésével 1 (helyett x + 1 ) az x a kibővített formában x ^{p -1} + ... + x + 1 .

Történelem

Theodor Schönemann elsőként jelentette meg a kritérium egy változatát, 1846-ban a Crelle's Journal-ban , amely fordításban olvasható

Ez ( x - a ) ⁿ + pF ( x ) lesz irreducibilis, hogy a modulus p ² , ha F ( x ) , hogy a modulus p nem tartalmaz faktor X - egy .

Ez a készítmény már magában foglalja az elmozdulást, hogy egy helyett 0 ; az F ( x ) -re vonatkozó feltétel azt jelenti, hogy F ( a ) nem osztható p-vel , és így pF ( a ) osztható p- vel, de nem p ^2-vel . Amint ez nem teljesen pontos, mivel nem tesz feltételezéseket a polinom foka F ( x ) , úgy, hogy a polinom tekinthető szükségességét nem lehet a mértéke n , hogy az expressziója azt sugallja; Az x ² + p ( x ³ + 1) ≡ ( x ² + p ) ( px + 1) mod p ² példa azt mutatja, hogy a következtetés nem érvényes ilyen hipotézis nélkül. Feltételezve, hogy az F ( x ) mértéke nem haladja meg az n értéket , a kritérium azonban helyes és valamivel erősebb, mint a fent megadott megfogalmazás, mivel ha ( x - a ) ⁿ + pF ( x ) nem redukálható modulo  p ² , akkor minden bizonnyal nem bomolhat le Z [ x ] -ben nem konstans tényezőkre.

Ezt követően Eisenstein 1850-ben publikált egy kissé eltérő verziót, szintén a Crelle's Journal-ban. Ez a változat fordításban olvasható

Amikor egy polinom F ( x ) az x tetszőleges mértékben együttható a legmagasabb kifejezés 1 , és minden következő együtthatók egész (valós, komplex) szám, amelybe egy bizonyos (valós, ill. Komplex) prímszám m oszt, és ha ezenkívül az utolsó együttható egyenlő εm-vel , ahol ε olyan számot jelöl, amely nem osztható m- mel : akkor lehetetlen F ( x ) -et hozni az alakba

${\ displaystyle \ left (x ^ {\ mu} + a_ {1} x ^ {\ mu -1} + \ cdots + a _ {\ mu} \ right) \ bal (x ^ {\ nu} + b_ {1 } x ^ {\ nu -1} + \ cdots + b _ {\ nu} \ right)}$

ahol μ , ν ≥ 1 , μ + ν = deg ( F ( x )) , és az összes a és b jelentése egész (valós ill. komplex) szám; az F ( x ) = 0 egyenlet tehát nem olvasható.

Itt az "egész valós számok" közönséges egész számok , az "egész komplex számok" pedig Gauss-számok ; hasonlóan kell értelmezni a "valós és komplex prímszámokat". Az alkalmazás, amelyre Eisenstein kifejlesztette kritériumát, bizonyos polinomok együtthatójú redukálhatatlanságának megállapítását jelentette a Gauss-egész számokban, amelyek a lemniszkát egyenlő ívhosszúságú darabokra történő felosztásának tanulmányozása során merülnek fel .

Figyelemre méltó, hogy Schönemann és Eisenstein, miután megfogalmazták az irreducibilitás kritériumait, mindketten azonnal alkalmazzák, hogy elemi bizonyítékot szolgáltassanak a ciklotomikus polinomok prímszámok redukálhatatlanságára, amelyet Gauss az Disquisitiones Arithmeticae című művében sokkal bonyolultabb bizonyítékkal kapott . Valójában Eisenstein lábjegyzetben hozzáteszi, hogy ennek a redukálhatatlanságnak az ismerete, Gauss kivételével, csak Kronecker bizonyította 1845-ben. Ez azt mutatja, hogy nem volt tisztában e nyilatkozat két különböző bizonyítékával, amelyet Schönemann adott 1846-os cikkében, ahol a második bizonyítás a fent említett kritériumon alapult. Ez annál meglepőbb, ha figyelembe vesszük azt a tényt, hogy két oldallal tovább Eisenstein (más kérdésben) Schönemann cikkének első részére hivatkozik. A Journal következő számában megjelent feljegyzésében ("Notiz") Schönemann rámutat erre Eisensteinre, és jelzi, hogy utóbbi módszere lényegében nem különbözik attól, amelyet a második bizonyításban használt.

Alapvető bizonyíték

A kritérium érvényességének bizonyításához tegyük fel, hogy Q megfelel a p prímszám kritériumának , de ennek ellenére csökkenthető Q [ x ] -ben , amelyből ellentmondást kívánunk szerezni. Tól Gauss lemma következik, hogy Q jelentése redukálható a Z [ x ] is, és valójában a következőképpen írható fel a terméket Q = GH két nem konstans polinomok G , H (abban az esetben Q nem primitív, az egyik alkalmazza a lemma a primitív Q / c polinomra (ahol a c egész szám a Q tartalma ), hogy bomlást kapjunk rá, és c- t szorozzuk az egyik tényezőbe, hogy Q bomlását kapjuk . Most csökkentse a Q = GH modulo p értéket , hogy bomlást kapjon ( Z / p Z ) [ x ] -ben . De hipotézis ez a csökkenés a Q elhagyja vezető távon, a forma ax ⁿ egy nem nulla konstans a ∈ Z / p Z , mint az egyetlen nem zéró távon. De akkor feltétlenül a csökkentések modulo p a G és H is, hogy az összes nem-vezető kifejezések eltűnik (és nem tud a vezető szempontjából eltűnnek), mivel nincs más lebomlását ax ⁿ lehetségesek ( Z / p Z ) [ X ] , amely egy egyedi faktorizációs tartomány . Különösen a G és H állandó tagjai tűnnek el a redukcióban, ezért oszthatók p-vel , de akkor a Q szorzata, amely szorzatuk, osztható p ^2-vel , ellentétben a hipotézissel, és az egyiknek ellentmondása van .

Eisenstein kritériumának második bizonyítéka szintén abból indul ki, hogy a Q ( x ) polinom redukálható. Kimutatták, hogy ez a feltételezés ellentmondást von maga után.

Az a feltételezés, hogy

${\ displaystyle Q (x) = a_ {n} x ^ {n} + a_ {n-1} x ^ {n-1} + \ cdots + a_ {1} x + a_ {0}}$

a redukálható azt jelenti, hogy vannak polinomok

${\ displaystyle {\ begin {aligned} G (x) & = c_ {r} x ^ {r} + c_ {r-1} x ^ {r-1} + \ cdots + c_ {0} && r \ geq 1 \\ H (x) & = d_ {s} x ^ {s} + d_ {s-1} x ^ {s-1} + \ cdots + d_ {0} && s \ geq 1 \ end {igazítva}}}$

Oly módon, hogy

${\ displaystyle Q (x) = G (x) \ cdot H (x), \ qquad n = r + s.}$

A Q ( x ) polinom a ₀ együtthatója elosztható a p primmel , p ^2-vel azonban nem . Mivel egy ₀ = C ₀ d ₀ , akkor lehet osztani c ₀ vagy d ₀ által p , de nem mindkettő. Lehet folytatni az általánosság elvesztése nélkül

• együtthatóval c ₀ , hogy el lehet osztani p és

• d ₀ együtthatóval , amelyet nem lehet osztani p-vel .

A feltételezés szerint nem oszt . Mivel a _n = c _r d _s , sem c _r, sem d _s nem osztható fel p-vel . Így, ha a -edik együtthatója redukálható polinom , akkor (esetleg esetén ) ${\ displaystyle p}$${\ displaystyle a_ {n}}$${\ displaystyle a_ {r}}$${\ displaystyle r}$${\ displaystyle Q}$${\ displaystyle d_ {t} = 0}$${\ displaystyle t> s}$

${\ displaystyle a_ {r} = c_ {r} d_ {0} + c_ {r-1} d_ {1} + \ cdots + c_ {0} d_ {r}}$

ahol nem osztható fel , mert sem, sem nem osztható fel . ${\ displaystyle c_ {r} d_ {0}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle d_ {0}}$${\ displaystyle c_ {r}}$${\ displaystyle p}$

Be fogjuk bizonyítani, hogy ezek mind oszthatók p-vel . Amint az szintén osztható p-vel (a kritérium hipotézise alapján), ez arra utal ${\ displaystyle c_ {0}, c_ {1}, \ ldots, c_ {r-1}}$${\ displaystyle a_ {r}}$

${\ displaystyle c_ {r} d_ {0} = a_ {r} - \ bal (c_ {r-1} d_ {1} + \ cdots + c_ {0} d_ {r} \ jobb)}$

osztható p-vel , a kritériumot bizonyító ellentmondás.

Lehetőség van ossza meg , mert lehet osztani . ${\ displaystyle c_ {0} d_ {r}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle c_ {0}}$${\ displaystyle p}$

A kiinduló feltételezés, hogy lehetséges, hogy osztja a együtthatót egy ₁ a polinom Q ( X ) által p . Mivel

${\ displaystyle a_ {1} = c_ {0} d_ {1} + c_ {1} d_ {0}}$

és mivel d ₀ nem többszöröse p lehetővé kell tenni, hogy osztani c ₁ által p . Analóg módon, indukció útján többszöröse minden , ami befejezi a bizonyíték. ${\ displaystyle c_ {i}}$${\ displaystyle p}$${\ displaystyle i <r}$

Részletes magyarázat

Alkalmazása az elmélet a Newton poligon a p -adic szám mezőt, egy Eisenstein polinom, akkor elvárják, hogy az alsó domború boríték pontok

(0, 1), (1, v ₁ ), (2, v ₂ ), ..., ( n - 1, v _{n -1} ), ( n , 0) ,

ahol v _i a p -adic értékelési az egy _i (azaz a legnagyobb ereje p elosztjuk). Most az adatok csak adott a v _i a 0 < i < n , nevezetesen, hogy azok legalább egy, csak erre van szükségünk a következtetés, hogy az alsó domború borítékot pontosan egyetlen sort szegmenst (0, 1) a ( n , 0) , a meredekség pedig -1 / n .

Ez azt mondja nekünk, hogy a Q minden gyökének van p -adikus értékelése 1 / n, és ezért Q nem redukálható a p- adikus mező felett (mivel például a gyökerek egyik megfelelő részhalmazának egyetlen terméke sem rendelkezik egészértékkel); és még inkább a racionális számmező fölött.

Ez az érv sokkal bonyolultabb, mint a közvetlen érv a redukció mod p . Lehetővé teszi azonban, hogy az algebrai számelmélet szempontjából lássuk, milyen gyakorisággal alkalmazható Eisenstein kritériuma a változó némi változtatása után; és így szigorúan korlátozza a p lehetséges választásait , amelyek vonatkozásában a polinomnak Eisenstein-fordítása lehet (vagyis a változók additív változása után válik Eisensteinné, mint a p- edik ciklotomikus polinom esetében).

Valójában csak telíti p szerteágazó a kiterjesztése Q által generált gyöke Q bármilyen esélye dolgozó. Ezek megtalálhatók a Q diszkriminánsa szempontjából . Például a fent megadott x ² + x + 2 esetben a diszkrimináns −7, tehát 7 az egyetlen prím, amelynek esélye van arra, hogy megfeleljen a kritériumnak. A Modulo 7 -ből ez lesz ( x - 3) ² - az ismételt gyök elkerülhetetlen, mivel a diszkrimináns 0 mod 7 . Ezért a változó eltolódás valójában valami kiszámítható.

Ismét a ciklotomikus polinom számára válik

( x - 1) ^{p -1} mod p ;

a diszkrimináns lehet kimutatható, hogy (akár jel) p ^{p -2} , a lineáris algebra módszerekkel.

Pontosabban: csak a teljesen elágazó prímeknek van esélyük arra, hogy Eisenstein prímjei legyenek a polinomnak. (Másodfokú mezőkben a leválasztás mindig teljes, ezért a különbség nem látható olyan másodfokú esetben, mint a fenti x ² + x + 2. ) Valójában az Eisenstein-polinomok közvetlenül kapcsolódnak a teljesen elágazó prímekhez, az alábbiak szerint: ha egy mező kiterjesztése az ésszerűségeket egy polinom gyöke generálja, amely p-ben Eisenstein, majd p- t teljesen elágazik a kiterjesztés, és fordítva, ha p- t teljesen elágazik egy számmezőben, akkor a mezőt egy p-es Eisenstein-polinom gyöke generálja . .

Általánosítás

Általános kritérium

Adott integrált D tartomány , legyen

${\ displaystyle Q = \ sum _ {i = 0} ^ {n} a_ {i} x ^ {i}}$

lehet egy elem a D [ x ] , a polinom gyűrű a együtthatók D .

Tegyük fel, hogy létezik egy elsődleges ideális p a D úgy, hogy

• a _i ∈ p minden i ≠ n esetében ,
• a _n ∉ p , és
• Egy ₀ ∉ p ² , ahol p ² jelentése a ideális termék a p önmagával.

Ekkor Q nem írható két nem konstans polinom szorzataként D [ x ] -ben . Ha ráadásul Q jelentése primitív (azaz, nincs nem-triviális állandó osztója), akkor irreduk- D [ x ] . Ha D egy egyedülálló faktorizáció domént a hányadostest F , majd Gauss-lemma Q irreduk- F [ x ] , függetlenül attól, hogy primitív (mivel az állandó tényezők invertálható F [ x ] ); ebben az esetben a fő ideál lehetséges megválasztása a fő ideál, amelyet a D bármely redukálhatatlan eleme generál . Ez utóbbi állítás eredeti tételt ad meg D = Z vagy (Eisenstein megfogalmazásában) D = Z [ i ] esetén .

Bizonyíték

Ennek az általánosításnak a bizonyítéka hasonló az eredeti állításhoz, figyelembe véve a modulo p együtthatók csökkentését ; a lényeges pont az, hogy a D / p integrált tartományon belüli egy távú polinom nem bomolhat el olyan termékként, amelyben legalább egy tényező egynél több kifejezéssel rendelkezik (mert egy ilyen termékben sem lehet törlés az együtthatóban) a lehető legmagasabb vagy a legalacsonyabb fokú).

Példa

Z után az integrális tartomány egyik alapvető példája a D = k [ u ] polinomi gyűrű az u változóban a k mező fölött . Ebben az esetben az u által generált főideál elsődleges ideál. Eisenstein kritérium alkalmas lehet bizonyítani visszavezethetetlenségét egy polinom, például Q ( X ) = x ³ + ux + u in D [ x ] . Valójában u nem osztja a _3-at , u ² nem osztja a _0-t , és u osztja a ₀ , a ₁ és a _{2 értékeket} . Ez azt mutatja, hogy ez a polinom kielégíti a p = ( u ) elsődleges ideál Eisenstein-kritériumának általánosításának hipotéziseit, mivel az ( u ) főideál esetében az ( u ) eleme egyenértékű az u-val oszthatóval .

Lásd még

• Cohn irreducibilitási kritériuma
• Perron irreducibilitási kritériuma

Megjegyzések

Hivatkozások

• Cox, David A. (2011), "Miért bizonyította Eisenstein az Eisenstein-kritériumot, és miért Schönemann fedezte fel először?", American Mathematical Monthly , 118 (1): 3–31, CiteSeerX   10.1.1.398.3440 , doi : 10.4169 / amer. matek.havi.118.01.003 .

• Dorwart, HL (1935), "Irreducibility of polynomials", American Mathematical Monthly , 42 (6): 369–381, doi : 10.2307 / 2301357 , JSTOR   2301357 .

• Eisenstein, Gotthold (1850), "Über die Irreductibilität und einige andere Eigenschaften der Gleichung, von welcher die Theilung der ganzen Lemniscate abhängt" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (39): 160–179, doi : 10.1515 / .1850.39.160 .

• Garling, DJH (1986), A kurzus a Galois elméletben , Cambridge University Press , ISBN   978-0-521-31249-3 .

• "Algebrai egyenlet" , Matematika Enciklopédia , EMS Press , 2001 [1994] .
• Schönemann, Theodor (1846), "Von denjenigen Moduln, welche Potenzen von Primzahlen sind" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1846 (32): 93–118, doi : 10.1515 / crll.1846.32.93 .

• Schönemann, Theodor (1850), "Über einige von Herrn Dr. Eisenstein aufgestellte Lehrsätze, irreductible Congruenzen betreffend (S.182 Bd. 39 dieses Journals)" , Journal für die reine und angewandte Mathematik , 1850 (40): 185–188, doi : 10.1515 / crll.1850.40.185 .