Logaritmikus származék - Logarithmic derivative

Egy cikksorozat része a témáról
Számítás
Alaptétel Leibniz integrálszabálya A funkciók korlátai Folytonosság Átlagérték -tétel Rolle tétele
Differenciális Definíciók Származékos  ( általánosítások ) Differenciális elenyésző függvényről teljes Fogalmak Differenciálási jelölés Második derivált Implicit differenciálás Logaritmikus differenciálás Kapcsolódó árak Taylor tétele Szabályok és identitások Összeg Termék Lánc Erő Hányados L'Hôpital uralma Fordított Leibniz tábornok Faà di Bruno formulája Reynolds
Integrál Az integrálok listája Integrált transzformáció Definíciók Antiderivatív Integrált  ( helytelen ) Riemann integrál Lebesgue integráció Kontúr integráció Inverz függvények integrálja Integráció Alkatrészek Korongok Hengeres kagylók Csere  ( trigonometrikus , Weierstrass , Euler ) Euler formulája Részleges törtek A sorrend megváltoztatása Redukciós képletek Megkülönböztetés az integráljel alatt Risch algoritmus
Sorozat Geometriai  ( aritmetikai-geometriai ) Harmonikus Váltva Erő Binomiális Taylor Konvergencia tesztek Összegzési korlát (kifejezés teszt) Hányados Gyökér Integrál Közvetlen összehasonlítás Limit összehasonlítás Váltó sorozat Cauchy kondenzáció Dirichlet Ábel
Vektor Gradiens Eltérés Becsavar Lappiai Irányított derivált Identitások Tételek Gradiens Zöldek Stokes Eltérés általánosított Stokes
Többváltozós Formalizmusok Mátrix Tensor Külső Geometriai Definíciók Részleges származtatott Több integrál Vonalintegrál Felületi integrál Hangerő integrál Jacobian Zsákvászon
Specializált Töredékes Malliavin Sztochasztikus Variációk
Vegyes Prekalkulus Történelem Szójegyzék Témák listája Integrációs méh Elemzés
v t e

A matematika , különösen a fogkő és a komplex elemzése , a logaritmikus származékot egy függvény f definiáljuk a következő képlet

${\ displaystyle {\ frac {f '} {f}}}$

ahol a származék a F . Intuitíve, ez az infinitezimális relatív változás az F ; vagyis f végtelen kicsi abszolút változása , mégpedig f aktuális értékével méretezve .${\ displaystyle f '}$${\ displaystyle f ',}$

Amikor f egy függvény F ( x ) egy valós változó X , és veszi a valós , szigorúan pozitív értékek, ez megegyezik a származékot ln ( F ), vagy a természetes logaritmusa az f . Ez közvetlenül a láncszabályból következik :

${\ displaystyle {\ frac {d} {dx}} \ ln f (x) = {\ frac {1} {f (x)}} {\ frac {df (x)} {dx}}}$

Alaptulajdonságok

A valódi logaritmus számos tulajdonsága a logaritmikus deriváltra is vonatkozik, még akkor is, ha a függvény nem veszi fel a pozitív valós értékeket. Például, mivel egy termék logaritmusa a tényezők logaritmusainak összege, megvan

${\ displaystyle (\ log uv) '= (\ log u+\ log v)' = (\ log u) '+(\ log v)'. \!}$

Tehát a pozitív-valós értékű függvények esetében a termék logaritmikus származéka a tényezők logaritmikus származékainak összege. De a Leibniz -törvényt felhasználhatjuk egy termék származékának megszerzésére is

${\ displaystyle {\ frac {(uv) '} {uv}} = {\ frac {u'v+uv'} {uv}} = {\ frac {u '} {u}}+{\ frac {v '} {v}}. \!}$

Így minden függvényre igaz, hogy egy termék logaritmikus származéka a tényezők logaritmikus származékainak összege (amikor definiáltak).

Ennek következménye , hogy a függvény reciproka logaritmikus deriváltja a függvény logaritmikus deriváltjának tagadása:

${\ displaystyle {\ frac {(1/u) '} {1/u}} = {\ frac {-u'/u^{2}} {1/u}} =-{\ frac {u '} {u}}, \!}$

mint ahogy a pozitív valós szám reciprokának logaritmusa a szám logaritmusának tagadása.

Általánosságban elmondható, hogy a hányados logaritmikus származéka az osztalék és az osztó logaritmikus származékainak különbsége:

${\ displaystyle {\ frac {(u/v) '} {u/v}} = {\ frac {(u'v-uv')/v^{2}} {u/v}} = {\ frac {u '} {u}}-{\ frac {v'} {v}}, \!}$

ahogy a hányados logaritmusa az osztalék és az osztó logaritmusainak különbsége.

Más irányban általánosítva, egy teljesítmény logaritmikus származéka (állandó valós kitevővel) a kitevő és az alap logaritmikus származéka szorzata:

${\ displaystyle {\ frac {(u^{k}) '} {u^{k}}} = {\ frac {ku^{k-1} u'} {u^{k}}} = k { \ frac {u '} {u}}, \!}$

ahogy a hatvány logaritmusa a kitevő és az alap logaritmusa.

Összefoglalva: a deriváltnak és a logaritmusnak is van termékszabálya , reciprok szabálya , hányados szabálya és hatalmi szabálya (hasonlítsa össze a logaritmikus azonosságok listáját ); minden szabálypár a logaritmikus deriválton keresztül kapcsolódik egymáshoz.

Hétköznapi származékok kiszámítása logaritmikus származékok használatával

A logaritmikus származékok egyszerűsíthetik a termékszabályt igénylő származékok kiszámítását, miközben ugyanazt az eredményt hozzák. Az eljárás a következő: Tegyük fel, hogy ƒ ( x ) =  u ( x ) v ( x ), és hogy ƒ '( x ) -et szeretnénk kiszámítani . Ahelyett, hogy közvetlenül kiszámítanánk, mint ƒ '=  u' v + v 'u , kiszámítjuk a logaritmikus deriváltját. Vagyis kiszámoljuk:

${\ displaystyle {\ frac {f '} {f}} = {\ frac {u'} {u}}+{\ frac {v '} {v}}.}$

Szorzás by -val ƒ ' :

${\ displaystyle f '= f \ cdot \ left ({\ frac {u'} {u}}+{\ frac {v '} {v}} \ jobb).}$

Ez a technika akkor a leghasznosabb, ha ƒ számos tényező szorzata. Ez a technika lehetővé teszi az ƒ ' kiszámítását az egyes tényezők logaritmikus deriváltjának kiszámításával, összegzéssel és szorzással ƒ -val.

Például, ki tudjuk számolni a logaritmikus származéka lehet . ${\ displaystyle e^{x^{2}} {\ frac {(x-2)^{3} (x-3)} {x-1}}}$${\ displaystyle 2x+{\ frac {3} {x-2}}+{\ frac {1} {x-3}}-{\ frac {1} {x-1}}}$

Integráló tényezők

A logaritmikus derivált ötlet szorosan kapcsolódik az elsőrendű differenciálegyenletek integráló tényező módszeréhez . Az üzemeltető szempontjából, write

${\ displaystyle D = {\ frac {d} {dx}}}$

${\ displaystyle}$

és M jelölje a szorzás operátorát valamilyen G ( x ) függvénnyel . Azután

${\ displaystyle M^{-1} DM}$

írható (a termék szabálya szerint )

${\ displaystyle D+M^{*}}$

ahol most a szorzás operátort jelöli a logaritmikus derivált ${\ displaystyle M^{*}}$

${\ displaystyle {\ frac {G '} {G}}}$

A gyakorlatban olyan operátort kapunk, mint pl

${\ displaystyle D+F = L}$

és egyenleteket szeretnének megoldani

${\ displaystyle L (h) = f}$

a h függvényre , adott f . Ez aztán megoldásra szorul

${\ displaystyle {\ frac {G '} {G}} = F}$

amelynek van megoldása

${\ displaystyle \ exp \ texttyle (\ int F)}$

az F bármely határozatlan integráljával .

Komplex elemzés

A megadott képlet szélesebb körben alkalmazható; például ha f ( z ) meromorf függvény , akkor minden olyan komplex z értéknél van értelme , amelynél f -nek sem nulla, sem pólusa nincs . Továbbá, nulla vagy pólus esetén a logaritmikus derivált úgy viselkedik, hogy könnyen elemezhető az adott eset szempontjából

z ⁿ

a n egy egész szám, n  ≠ 0. A logaritmikus-származékból ezután az

n / z ;

és egy levonhatjuk azt az általános következtetést, hogy az F Meromorf, szingularitások a logaritmikus származék f mind egyszerű oszlop, maradékot n zéró rendű N , maradékot - n egy pólusa rend n . Lásd az érvelés elvét . Ezt az információt gyakran használják ki a kontúrintegráció során .

A Nevanlinna elmélet területén egy fontos lemma kimondja, hogy a logaritmikus származék közelségi függvénye kicsi az eredeti függvény Nevanlinna jellemzőjéhez képest . ${\ displaystyle m (r, h '/h) = S (r, h) = o (T (r, h))}$

A multiplikatív csoport

A logaritmikus derivált használata mögött két alapvető tény rejlik a GL ₁ -ről , vagyis a valós számok vagy más mező multiplikatív csoportjáról . A differenciálmű kezelője

${\ displaystyle X {\ frac {d} {dX}}}$

jelentése invariáns alatt tágulása (helyett X által aX számára egy konstans). És a differenciális forma

dX/X

ugyanúgy változatlan. Az F és GL ₁ függvények esetében a képlet

dF/F

ezért az invariáns forma visszahúzódása .

Példák

• Az exponenciális növekedés és az exponenciális bomlás állandó logaritmikus derivált folyamatok.
• A matematikai pénzügyekben a görög  λ a származtatott ár logaritmikus származéka az alapárhoz képest.
• A numerikus elemzésben a feltételszám a kimenet végtelen kicsi relatív változása a bemenet relatív változásához képest, és így a logaritmikus származékok aránya.

Hivatkozások

Lásd még

• Logaritmikus differenciálás