Vonal integrál - Line integral

A matematikában a vonali integrál olyan integrál, ahol az integrálandó funkciót egy görbe mentén értékelik . Az ún integrál , görbe integrál és görbe vonal integrál kifejezéseket is használják; a kontúrintegrált is használják, bár ezt általában a komplex síkban lévő vonalbegylek számára tartják fenn .

Az integrálandó funkció lehet skalármező vagy vektormező . Az érték a vonal integrál értékek összege a mező minden pontján a görbén, súlyozva néhány skalárfüggvény a görbe (szokásosan ív hossza , vagy, egy vektor mező, a skaláris szorzata a vektor mező egy differenciál vektor a görbében). Ez a súlyozás megkülönbözteti a vonalintegrált az egyszerűbb, időközönként meghatározott integráloktól . Sok egyszerű képletek fizika, mint a meghatározása a munka , mint , természetes folyamatos analógok szempontjából sorban integrálok, ebben az esetben , amely kiszámítja a munkát végzett egy tárgy halad keresztül egy elektromos vagy gravitációs mező F pálya mentén . ${\ displaystyle W = \ mathbf {F} \ cdot \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle \ textstyle W = \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {s}) \ cdot d \ mathbf {s}}$ ${\ displaystyle L}$

Vektor számológép

Kvalitatív értelemben a vektorszámításban egy egyenes integrál felfogható úgy, mint egy adott tenzor mező teljes hatásának mérője egy adott görbe mentén. Például a skaláris mező fölötti vonallegér (0. rang tenzor) úgy értelmezhető, mint a mező alatti terület, amelyet egy adott görbe farag. Ez úgy képzelhető el, mint a z = f ( x , y ) és egy C görbe által létrehozott felület az xy síkban. Az f egyenesintegrálja a létrehozott "függöny" területe - amikor a felület azon pontjai, amelyek közvetlenül C felett vannak, kivágódnak.

Egy skaláris mező vonalintegrálja

Az f skaláris mező feletti egyenes integrálnak azt a területét lehet elképzelni, amely a C görbe alatti terület egy z = f ( x , y ) felület mentén , amelyet a mező leír.

Meghatározás

Néhány skaláris mező esetében, ahol a darabonként sima görbe mentén az egyenesintegrál a ${\ displaystyle f: U \ to \ mathbb {R}}$ ${\ displaystyle U \ subseteq \ mathbb {R} ^ {n}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}} \ U részhalmaz$

{\ displaystyle \ int _ {\ mathcal {C}} f (\ mathbf {r}) \, ds = \ int _ {a} ^ {b} f \ balra (\ mathbf {r} (t) \ jobbra) \ balra | \ mathbf {r} '(t) \ jobbra | \, dt.}

hol van a görbe tetszőleges bijektív paraméterezése úgy, hogy $r$ $($ $a$ $)$ és $r$ $($ $b$ $)$ megadja az és $a$ $<$ $b$ végpontokat . Itt és a cikk további részében az abszolút érték oszlopok jelölik a vektor standard (euklideszi) normáját . ${\ displaystyle \ mathbf {r}: [a, b] \ - {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Az $f$ függvényt integránsnak nevezzük, a görbe az integráció területe, és a $ds$ szimbólum intuitív módon elemi ívhosszként értelmezhető . Vonal integráljainak skalártér az ívben nem függ a választott parametrizálását $r$ a . ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$ ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Geometriai szempontból, ha az $f$ skaláris mező egy sík felett van meghatározva $(n = 2)$ , akkor a gráfja egy $z = f (x, y)$ felület a térben, és a vonali integrál megadja a (szignált) keresztmetszeti területet, amelyet a görbe és az $f$ grafikonja . Lásd a jobb oldali animációt. ${\ displaystyle {\ mathcal {C}}}$

Származtatás

A skaláris mező feletti vonali integrál esetében az integrál Riemann-összegből összeállítható az $f$ , $C$ fenti definíciók és a $C$ $r$ paraméterezése alapján . Ez úgy valósítható meg, partíciózását intervallum $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ be $n$ al-intervallumok $[$ $t$ $i$ $-1$ $,$ $t$ $i$ $]$ hosszúságú $Δ$ $t$ $= ($ $b$ $-$ $a$ $) /$ $n$ , akkor $az R$ $($ $t$ $i$ $)$ jelöli bizonyos ponton, nevezzük mintapontnak a $C$ görbén . Tudjuk használni a beállított minta pontok ${$ $r$ $($ $t$ $i$ $): 1 \leq$ $i$ $\leq$ $n$ $}$ , hogy közelítse a görbe $C$ egy sokszög utat bevezetésével egy egyenes vonal darab között egyes mintavételi pontok $r$ $($ $t$ $i$ $-1$ $)$ és $r$ $($ $t$ $i$ $)$ . Ezután a görbe egyes mintapontjai közötti távolságot $Δ$ $s$ $i-vel$ $jelöljük$ . Az $f$ $($ $r$ $($ $t$ $i$ $))$ és $Δ$ $s$ $i$ szorzat összekapcsolható egy téglalap előjelzett területével, amelynek magassága és szélessége $f$ $($ $r$ $($ $t$ $i$ $)),$ illetve $Δ$ $s$ $i$ . Figyelembe határa az összeget a feltételek, mint a hossza a válaszfalak nullához közelít ad nekünk

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta s_ {i} \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \, \ Delta s_ {én}.}

Az átlagérték tétel szerint a görbe következő pontjai közötti távolság

{\ displaystyle \ Delta s_ {i} = \ balra | \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ jobbra | \ kb \ balra | \ mathbf {r} '(t_ {i}) \ jobbra | \ Delta t.}

Ha ezt a fenti Riemann-összeggel helyettesítjük, akkor megkapjuk

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} f (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ balra | \ mathbf {r} '(t_ {i}) \ right | \ Delta t}

amely az integrál Riemann-összege

{\ displaystyle I = \ int _ {a} ^ {b} f (\ mathbf {r} (t)) \ balra | \ mathbf {r} '(t) \ jobbra | dt.}

Vektormező vonalintegrálja

Meghatározás

Egy vektor mező F : U ⊆ R ⁿ → R ⁿ , a vonal integráns mentén szakaszosan sima görbe C ⊂ U , abba az irányba, R , jelentése a

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt}

ahol · a pont termék , és R : [ a , b ] → C egy bijektív parametrizálását a görbe C úgy, hogy az R ( a ) és R ( b ), így a végpontja C .

A skalármező egyenesintegrálja tehát egy vektormező egyenesintegrálja, ahol a vektorok mindig érintőlegesek a vonalra.

Vonal integrálok vektor mezők függetlenek paraméterezni r az abszolút érték , de mégis függ annak orientációját . Pontosabban, a paraméterezés orientációjának megfordulása megváltoztatja a vonali integrál előjelét.

A szempontjából differenciál geometria , a vonal integráns egy vektor mező egy görbe mentén van a szerves a megfelelő 1-formában a zenei izomorfizmus (ami a vektor mezőt a megfelelő covector mező), a görbe fölött tekinthető elmerül 1-sokas.

Származtatás

A részecskék pályája (piros színnel) egy vektormező belsejében lévő görbe mentén. Kezdve egy , a részecske nyomok az utat C mentén, a vektor mezőt F . Érintővektorának (piros nyíl) és a mezővektor (kék nyíl) pontterméke (zöld vonal) meghatározza a görbe alatti területet, amely egyenértékű az útvonal egyenes integráljával. (A részletes leírásért kattintson a képre.)

A vektormező vonalintegrálja nagyon hasonló módon vezethető le, mint egy skaláris mező, de ezúttal egy dot szorzat felvételével. Ismét az $F$ , $C$ fenti definícióinak és $r (t)$ paraméterezésének felhasználásával Riemann-összegből építjük fel az integrált . Az $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ intervallumot (amely a $t$ paraméter értéktartománya ) $n$ $Δ$ $t$ $= ($ $b$ $-$ $a$ $) /$ $n$ hosszúságú intervallumokra osztjuk . Ha hagyjuk, hogy $t$ $i$ legyen az $[$ $a$ $,$ $b$ $]$ $i-$ edik pontja , akkor $r$ $($ $t$ $i$ $)$ megadja az $i-$ edik pont helyzetét a görbén. A következő pontok közötti távolság kiszámítása helyett azonban kiszámítanunk kell elmozdulásvektoraikat , $Δ$ $r$ $i$ . Akárcsak korábban, az $F$ görbének minden pontján történő értékelése és az egyes elmozdulási vektorok ponttermékének felvétele megadja számunkra az $F$ minden partíciójának végtelen kis részét a $C-n$ . Ha hagyjuk, hogy a partíciók mérete nulla legyen, összeget kapunk

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ Delta \ mathbf {r} _ {i}}

Az átlagérték-tétel alapján azt látjuk, hogy a görbe szomszédos pontjai közötti elmozdulásvektor

{\ displaystyle \ Delta \ mathbf {r} _ {i} = \ mathbf {r} (t_ {i} + \ Delta t) - \ mathbf {r} (t_ {i}) \ kb \ mathbf {r} ' (t_ {i}) \, \ Delta t.}

Ha ezt a fenti Riemann-összeggel helyettesítjük, akkor megkapjuk

{\ displaystyle I = \ lim _ {\ Delta t \ to 0} \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t_ {i})) \ cdot \ mathbf {r} '(t_ {i}) \, \ Delta t,}

amely a fent definiált integrál Riemann-összege.

Útfüggetlenség

Ha egy vektor mező F a gradiens egy skalármező G (azaz, ha F jelentése konzervatív ), azaz,

{\ displaystyle \ mathbf {F} = \ nabla G,}

majd a többváltozós láncszabályt a származékot a készítmény a G és R ( t ) jelentése

{\ displaystyle {\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt}} = \ nabla G (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) = \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t)}

ami történetesen az r ( t ) F egyenesintegráljának integranduma . Ebből következik, ha megadjuk a C utat , hogy

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt = \ int _ {a} ^ {b} {\ frac {dG (\ mathbf {r} (t))} {dt }} \, dt = G (\ mathbf {r} (b)) - G (\ mathbf {r} (a)).}

Más szóval, az integrál F feletti C kizárólag attól függ, értékeit G azokon a pontokon r ( b ) és r ( a ), és így független az út között. Emiatt a konzervatív vektormező egy vonalas integrálját úttól függetlennek nevezzük .

Alkalmazások

A vonalintegrálnak sok felhasználása van a fizikában. Például, a munkát végzett részecske utazás egy görbe C belsejében egy erőteret képviselt, mint egy vektor mező F az a vonal integrálja F a C .

Áthalad egy görbén

Egy vektormező esetében , $F$ $($ $x$ $,$ $y$ $) = ($ $P$ $($ $x$ $,$ $y$ $),$ $Q$ $($ $x$ $,$ $y$ $))$ , a C ⊂ U görbe keresztirányú integrálját , amelyet fluxusintegrálnak is nevezünk , a darabonként sima paraméterezés $r$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $C$ , $r$ $($ $t$ $) = ($ $x$ $($ $t$ $),$ $y$ $($ $t$ $))$ , mint: ${\ displaystyle \ mathbf {F}: U \ subset \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} ^ {2}}$

{\ displaystyle \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} = \ int _ {a} ^ {b} (P (x ( t), y (t)), Q (x (t), y (t))) \ cdot (y '(t), - x' (t)) \, dt = \ int _ {a} ^ { b} -Q \, dx + P \, dy.}

Itt a pontszorzat és a sebességvektor merőleges az óramutató járásával megegyező irányban . ${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) ^ {\ perp} = (y' (t), - x '(t))}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} '(t) = (x' (t), y '(t))}$

Az áramlást orientált értelemben számoljuk: a $C$ görbének meghatározott előre iránya van $r (a)$ -tól $r (b)$ -ig , és az áramlást pozitívnak számítjuk, ha $F (r (t))$ a előre $'r' (t)$ sebességvektor .

Komplex vonalas integrál

A komplex elemzés során a vonalintegrált a komplex számok szorzása és összeadása alapján határozzuk meg . Tegyük fel, hogy U egy nyitott részhalmaza a komplex síkban C , F : U → C egy olyan funkció, és egy görbe véges hosszúságú, parametrizálhatók $γ$ $: [$ $a$ $,$ $b$ $] \to$ $L$ , ahol $γ$ $($ $t$ $) =$ $x$ $($ $t$ $) +$ $iy$ $($ $t$ $)$ . A vonali integrál ${\ displaystyle L \ U részhalmaz$

{\ displaystyle \ int _ {L} f (z) \, dz}

lehet meghatározni felosztásával az intervallum [ a , b ] be egy = t ₀ < t ₁ <... < t _n = b , és figyelembe véve az expressziós

{\ displaystyle \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma (t_ {k})) \, [\ gamma (t_ {k}) - \ gamma (t_ {k-1})] = \ sum _ {k = 1} ^ {n} f (\ gamma _ {k}) \, \ Delta \ gamma _ {k}.}

Az integrál ekkor ennek a Riemann-összegnek a határértéke, amikor a felosztási intervallumok hossza megközelíti a nullát.

Ha paraméterezni $γ$ van folytonosan differenciálható , a vonalintegrál lehet értékelni szerves függvény egy valós változó:

{\ displaystyle \ int _ {L} f (z) \, dz = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) \ gamma '(t) \, dt.}

Ha $L$ zárt görbe (a kezdő és a végpont egybeesik), akkor a vonali integrált gyakran jelölik a műszaki tervezés során, mint ciklikus integrált . ${\ textstyle \ ken _ {L} f (z) \, dz,}$

A konjugált komplex differenciáldiagrammhoz tartozó egyenes integrál meghatározása szerint ${\ displaystyle {\ overline {dz}}}$

{\ displaystyle \ int _ {L} f (z) {\ overline {dz}}: = {\ overline {\ int _ {L} {\ overline {f (z)}} \, dz}} = \ int _ {a} ^ {b} f (\ gamma (t)) {\ overline {\ gamma '(t)}} \, dt.}

A komplex függvények vonalas integráljai számos technikával értékelhetők. A legközvetlenebb a valós és képzeletbeli részekre bontás, a probléma két valós értékű vonalintegrál értékelésére redukálva. A Cauchy-integrál tétel felhasználható arra, hogy az analitikai függvény egyenes integrálját egy kényelmesebb görbén egyenlővé tegyük ugyanazzal az integrállal. Ez azt is magában foglalja, hogy egy zárt görbén, amely olyan régiót zár be, ahol $f (z)$ analitikus anélkül , hogy szingularitások lennének , az integrál értéke egyszerűen nulla, vagy ha a régió szingularitásokat tartalmaz, a maradék tétel kiszámítja az integrált a szingularitások szempontjából.

Példa

Tekintsük az f ( z ) = 1 / z , és hagyja, hogy a kontúr L az óramutató járásával ellentétes egység kör körülbelül 0, parametrizálhatók z ( t ) = e ^ez a t a [0, 2π] alkalmazásával a komplex exponenciális . Helyettesítve azt találjuk:

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ ken _ {L} {\ frac {1} {z}} \, dz & = \ int _ {0} ^ {2 \ pi} {\ frac {1} {e ^ {it}}} azaz ^ {it} \, dt = i \ int _ {0} ^ {2 \ pi} e ^ {- it} e ^ {it} \, dt \\ & = i \ int _ { 0} ^ {2 \ pi} dt = i (2 \ pi -0) = 2 \ pi i. \ Vége {igazítva}}}

Ez Cauchy integrálképletének és a maradéktételnek tipikus eredménye .

A komplex vonalintegrál és a vektormező vonalas integráljának kapcsolata

Megtekintése komplex számok, mint 2-dimenziós vektorok , a vonal integráns egy komplex értékű függvény van valós és komplex alkatrészek egyenlő a vonalintegrál és a fluxus integrálját a vektor mezőt, amely megfelel a konjugátum funkciót Különösen, ha parametrizes L , és megfelel a vektor mező akkor: ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle {\ overline {f (z)}}.}$ ${\ displaystyle \ mathbf {r} (t) = (x (t), y (t))}$ ${\ displaystyle f (z) = u (z) + iv (z)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} (x, y) = {\ overline {f (x + iy)}} = (u (x + iy), - v (x + iy)),}$

{\ displaystyle {\ begin {aligned} \ int _ {L} f (z) \, dz & = \ int _ {L} (u + iv) (dx + i \, dy) \\ & = \ int _ { L} (u, -v) \ cdot (dx, dy) + i \ int _ {L} (u, -v) \ cdot (dy, -dx) \\ & = \ int _ {L} \ mathbf { F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} + i \ int _ {L} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot d \ mathbf {r} ^ {\ perp} . \ end {igazítva}}}

By Cauchy-tétel , a bal oldali integrál értéke nulla, ha az analitikus (kielégítésére Cauchy-Riemann egyenletek ) bármilyen sima zárt görbe L. Ennek megfelelően a Zöld-tétel , a jobb oldali integrál nullára van lehessen beállítani ( curl mentes) és összenyomhatatlan ( divergencia- mentes). Tény, hogy a Cauchy-Riemann egyenletek azonosak a eltűnő a göndör és a divergencia a F . ${\ displaystyle f (z)}$ ${\ displaystyle \ mathbf {F} = {\ overline {f (z)}}}$ ${\ displaystyle f (z)}$

By Green-tétel , a terület egy bezárt területen sima, zárt, pozitívan orientált görbe által adott szerves Ezt a tényt használják, például a bizonyíték a területen tétel . ${\ displaystyle L}$ ${\ displaystyle \ textstyle {\ frac {1} {2i}} \ int _ {L} {\ overline {z}} \, dz.}$

Kvantummechanika

A pályaintegrál készítményt a kvantummechanika valójában utal, hogy nem utat integrálok ebben az értelemben, de a funkcionális integrálok , azaz integrálok egy térben utak, a függvény a egy lehetséges útját. A cikk értelmében vett útintegrálok azonban fontosak a kvantummechanikában; például komplex kontúr integrációt gyakran értékelésére használható valószínűségi amplitúdó a kvantum szórás elmélet.

Languages

In other projects

Vonal integrál - Line integral

Tartalom

Vektor számológép

Egy skaláris mező vonalintegrálja

Meghatározás

Származtatás

Vektormező vonalintegrálja

Meghatározás

Származtatás

Útfüggetlenség

Alkalmazások

Áthalad egy görbén

Komplex vonalas integrál

Példa

A komplex vonalintegrál és a vektormező vonalas integráljának kapcsolata

Kvantummechanika

Lásd még

Hivatkozások

Külső linkek