n- dimenziós szekvenciális lépés puzzle - n-dimensional sequential move puzzle

Ötdimenziós 2 ⁵ puzzle részleges kivágás, amely megmutatja, hogy még a legkisebb méretben is 5-D-ben a puzzle messze nem triviális. A matricák 4-D jellege jól látható ebben a képernyőn.

A Rubik-kocka az eredeti és legismertebb a háromdimenziós szekvenciális mozdulatok közül . Ennek a rejtvénynek számos virtuális megvalósítása történt a szoftverekben . Természetes kiterjesztés, hogy egymás után mozgó rejtvényeket hoznak létre több mint három dimenzióban . Bár soha nem lehet ilyen rejtvényt fizikailag felépíteni, a működésük szabályait matematikailag meglehetősen szigorúan határozzák meg, és analógak a háromdimenziós geometriában található szabályokkal. Ezért szoftveresen szimulálhatók. Csakúgy, mint a mechanikus szekvenciális mozdulatoknál, vannak megoldások a megoldók számára, bár még nem azonos szintű versenyszervezés.

Szójegyzék

• Csúcs . Egy nulla dimenziós pont, ahol a magasabb dimenziójú ábrák találkoznak.
• Edge . Egydimenziós ábra, amelynél a magasabb dimenziójú ábrák találkoznak.
• Arc . Kétdimenziós ábra, amelynél (háromnál nagyobb dimenziójú tárgyaknál) magasabb dimenziójú alakok találkoznak.
• Cell . Háromdimenziós ábra, amelynél (négynél nagyobb dimenziójú tárgyaknál) magasabb dimenziójú alakok találkoznak.
• n - Politop . Afentiek szerint folytatott n- dimenziós ábra. Egy adott geometriai forma helyettesítheti a politopot, ahol ez megfelelő, például 4 kockás a tesseraktust jelenti.
• n -cellás . N celláttartalmazó nagyobb dimenziójú ábra.
• Darab . A puzzle egyetlen mozgatható része, amelynek méretei megegyeznek az egész puzzle-val.
• Cubie . A megoldó közösségben ezt a kifejezést szokták használni egy „darabra”.
• Matrica . A puzzle színes címkéi, amelyek azonosítják a puzzle állapotát. Például a Rubik-kocka sarokkockái egyetlen darabból állnak, de mindegyiken három matrica van. A magasabb dimenziós rejtvények matricáinak mérete nagyobb, mint kettő. Például a 4 kockában a matricák háromdimenziós szilárd anyagok.

Összehasonlítás céljából a standard 3 ³ Rubik-kockára vonatkozó adatok a következők;

Elérhető kombinációk száma  ${\ displaystyle = {\ frac {12! \ cdot 8!} {2}} \ cdot {\ frac {2 ^ {12}} {2}} \ cdot {\ frac {3 ^ {8}} {3} } \ sim 10 ^ {20}}$

Van némi vita arról, hogy az arcközép kockákat külön daraboknak kell-e számítani, mivel nem mozgathatók egymáshoz képest. Különböző darabszámokat lehet megadni különböző forrásokban. Ebben a cikkben az arcközép kockákat számoljuk, mivel ez következetesebbé teszi az aritmetikai szekvenciákat, és minden bizonnyal forgatható, amelyek megoldásához algoritmusokra van szükség. Azonban a közepén lévő cubie nem számít bele, mert nincsenek látható matricái, ezért nem igényel megoldást. Számtani szempontból meg kellett volna

${\ displaystyle P = V + E + F + C \, \!}$

De P ebben a cikkben megadott ábrákon mindig rövid (vagy ennek a képletnek az n- dimenziós kiterjesztése), mert a C-t (vagy a megfelelő legmagasabb dimenziójú polipot, a magasabb dimenziók esetében) nem számoljuk.

Varázslatos 4D kocka

4-kocka 3 ⁴ virtuális rejtvény, megoldva. Ebben a vetületben egy cella nem látható. Ennek a cellának a helye a 4. dimenzió legszélső előtere a néző képernyőjének helyzetén túl.

4-kocka 3 ⁴ virtuális puzzle, a 4. dimenzióban elforgatva, hogy megmutassa a rejtett cella színét.

4-kocka 3 ⁴ virtuális puzzle, forgatva a normál 3D-s térben.

4-kocka 3 ⁴ virtuális puzzle, kódolt.

4-kocka 2 ⁴ virtuális rejtvény, egy kölyök kiemelve annak bemutatására, hogy a matricák hogyan oszlanak el a kockán. Vegye figyelembe, hogy a 2 ⁴ puzzle mindegyik kockáján négy matrica van, de csak három van kiemelve, a hiányzó a rejtett cellán található.

4-kocka 5 ⁴ virtuális rejtvény ugyanazon kölyök matricáival, amelyek pontosan egymáshoz érnek.

Geometriai forma: tesseract

A Superliminal MagicCube4D szoftver a 4D polipok sok fordulatos puzzle változatát valósítja meg, köztük N ⁴ kockát. A kezelőfelület lehetővé teszi a 4D-s csavarásokat és forgatásokat, valamint a 4D-s megtekintési paraméterek, például a 3D-re vetítés, a cubie méret és a térköz, valamint a matrica méretét.

A Superliminal Software a Hírességek Csarnokát tartja fenn ennek a rejtélynek a rekorddöntő megoldói számára.

3 ⁴ 4-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = {\ frac {24! \ cdot 32!} {2}} \ cdot {\ frac {16!} {2}} \ cdot 2 ^ {23} \ cdot (3!) ^ {31} \ cdot 3 \ cdot {\ left ({\ frac {4!} {2}} \ right)} ^ {15} \ cdot 4}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {120} \, \!}$

2 ⁴ 4-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle {} = {\ frac {15!} {2}} \ cdot {\ balra ({\ frac {4!} {2}} \ jobbra)} ^ {14} \ cdot 4}$

${\ displaystyle {} \ sim 10 ^ {28} \, \!}$

4 ⁴ 4-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = {\ frac {15!} {2}} \ cdot \ left ({\ frac {4!} {2}} \ right) ^ {14} \ cdot 4 \ cdot {\ frac {64!} {2}} \ cdot 3 ^ {63} \ cdot {\ frac {96! \ Cdot 2} {2 \ cdot (4!) ^ {24}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {95} \ cdot 64! \ Cdot 2} {2 \ cdot (8!) ^ {8}}}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {334} \, \!}$

5 ⁴ 4-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = {\ frac {48!} {(6!) ^ {8}}} \ cdot {\ frac {96!} {(12!) ^ {8}}} \ cdot {\ frac {64! } {(8!) ^ {8}}} \ cdot {\ frac {24! \ Cdot 32!} {2}} \ cdot (3!) ^ {31} \ cdot 2 ^ {23} \ cdot {\ frac {64!} {2}} \ cdot}$${\ displaystyle 3 ^ {63} \ cdot 16! \ cdot \ left ({\ frac {4!} {2}} \ right) ^ {15} \ cdot 4 \ cdot {\ frac {96!} {(4 !) ^ {24}}} \ cdot 2 ^ {95} \ cdot {\ frac {96!} {(4!) ^ {24}}} \ cdot 2 ^ {95}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {701} \, \!}$

Varázslat 5D kocka

5-kocka 3 ⁵ virtuális puzzle, bezárva, oldott állapotban.

5-kocka 3 ⁵ virtuális puzzle, kódolt.

5-kocka 7 ⁵ virtuális puzzle, bizonyos darabokkal kiemelve. A többiek el vannak árnyékolva, hogy segítsék a megoldót megérteni a feladványt.

5-kocka 7 ⁵ virtuális puzzle, megoldva.

Szoftver kezelőpanel az 5 kocka elforgatásához, bemutatva az 5 dimenzióban lehetséges megnövekedett forgatási síkok számát .

Geometriai forma: penteract

A Gravitation3d Magic 5D Cube szoftver képes 5 kockás rejtvények megjelenítésére hat méretben, 2 ⁵ és 7 ^{5 között} . Amellett, hogy mozoghat a kockán, vannak vezérlők a nézet megváltoztatására. Ide tartoznak a kocka 3-téres, 4-es és 5-ös, 4-D és 5-D perspektivikus vezérléssel történő vezérlései, a cubie és a matricák távolsága és a méret-vezérlők, hasonlóan a Superliminal 4D kockájához.

Az 5-D puzzle-t azonban sokkal nehezebb megérteni a 2-D képernyőn, mint a 4-D puzzle-t. A Gravitation3d megvalósításának alapvető jellemzője a kiválasztott kockák és matricák kikapcsolása vagy kiemelése. Ennek ellenére a gyártott képek bonyolultsága továbbra is meglehetősen súlyos, amint az a képernyőképekből is kiderül.

A Gravitation3d az őrület csarnokát tartja fenn ennek a rejtélynek a rekorddöntő megoldói számára. 2011. január 6-án két sikeres megoldás született a 7 ⁵ méretű 5-kockás méretre.

3 ⁵ 5-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = {\ frac {32!} {2}} \ cdot 60 ^ {32} \ cdot {\ frac {80!} {2}} \ cdot {\ frac {24 ^ {80}} {2} } \ cdot {\ frac {40! \ cdot 80!} {2}} \ cdot {\ frac {6 ^ {80}} {2}} \ cdot {\ frac {2 ^ {40}} {2}} }$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {561} \, \!}$

2 ⁵ 5-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = {\ frac {31!} {2}} \ cdot 60 ^ {31}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {89} \, \!}$

4 ⁵ 5-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = {\ frac {31!} {2}} \ cdot 60 ^ {31} \ cdot {\ frac {160!} {2}} \ cdot {\ frac {12 ^ {160}} {3} } \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80}}} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {8! ^ {40} }} \ cdot {\ frac {2 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {160!} {16! ^ {10}}}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {2075} \, \!}$

5 ⁵ 5-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} = {\ frac {32!} {2}} \ cdot 60 ^ {32} \ cdot {\ frac {80!} {2}} \ cdot {\ frac {24 ^ { 80}} {2}} \ cdot {\ frac {160!} {2}} \ cdot {\ frac {12 ^ {160}} {3}} \ cdot {\ frac {40! \ Cdot 80!} { 2}} \ cdot {\ frac {6 ^ {80}} {2}} \ cdot {\ frac {2 ^ {40}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80} }} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80}}} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2} } \ cdot {\ frac {240!} {(6!) ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {240}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {(8! ) ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {480!} {(12!) ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {480}} {2}} \ cdot {\ frac {80!} {(8!) ^ {10}}} \ cdot {\ frac {160!} {(16!) ^ {10}}} \ cdot \\ {\ frac {240!} {(24!) ^ {10}}} \ cdot {\ frac {320!} {(32!) ^ {10}}} \ end {mátrix}}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {5267} \, \!}$

6 ⁵ 5-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} = {\ frac {31!} {2}} \ cdot 60 ^ {31} \ cdot {\ frac {160!} {2}} \ cdot {\ frac {12 ^ { 160}} {3}} \ cdot {\ frac {160!} {2}} \ cdot {\ frac {12 ^ {160}} {3}} \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80 }}} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80}}} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2 }} \ cdot {\ frac {640!} {24 ^ {160}}} \ cdot {\ frac {3 ^ {640}} {3}} \ cdot {\ frac {320!} {8! ^ {40 }}} \ cdot {\ frac {2 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {8! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {320}} { 2}} \ cdot {\ frac {960!} {24! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {960}} {2}} \ cdot {\ frac {960!} {24! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {960}} {2}} \ cdot {\ frac {640!} {64! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {960!} {96 ! ^ {10}}} \ cdot \\ {\ frac {640!} {64! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {160!} {16! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {160!} {16! ^ {10}}} \ end {mátrix}}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {11441} \, \!}$

7 ⁵ 5-kocka

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle {\ begin {matrix} = {\ frac {32!} {2}} \ cdot 60 ^ {32} \ cdot {\ frac {80!} {2}} \ cdot {\ frac {24 ^ { 80}} {2}} \ cdot {\ frac {160!} {2}} \ cdot {\ frac {12 ^ {160}} {3}} \ cdot {\ frac {160!} {2}} \ cdot {\ frac {12 ^ {160}} {3}} \ cdot {\ frac {80! \ cdot 40!} {2}} \ cdot {\ frac {6 ^ {80}} {2}} \ cdot {\ frac {2 ^ {40}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80}}} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2}} \ cdot { \ frac {320!} {24 ^ {80}}} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80}}} \ cdot { \ frac {6 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {640!} {24 ^ {160}}} \ cdot {\ frac {3 ^ {640}} {3}} \ cdot {\ frac {320!} {24 ^ {80}}} \ cdot {\ frac {6 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {240!} {6! ^ {40}}} \ cdot \ \ {\ frac {2 ^ {240}} {2}} \ cdot {\ frac {480!} {12! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {480}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {8! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac {240!} {6! ^ {40}} } \ cdot {\ frac {2 ^ {240}} {2}} \ cdot {\ frac {960!} {24! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {960}} {2} } \ cdot {\ frac {960!} {24! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {960}} {2}} \ cdot {\ frac {480!} {12! ^ {40 }}} \ cdot {\ frac {2 ^ {480}} {2}} \ cdot {\ frac {960!} {24! ^ {40}}} \ cdot {\ frac { 2 ^ {960}} {2}} \ cdot {\ frac {320!} {8! ^ {40}}} \ cdot {\ frac {2 ^ {320}} {2}} \ cdot {\ frac { 80!} {8! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {240!} {24! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {320!} {32! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {160!} {16! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {80!} {8! ^ {10}}} \ cdot \\ {\ frac {480!} {48! ^ { 10}}} \ cdot {\ frac {960!} {96! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {640!} {64! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {240!} { 24! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {960!} {96! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {960!} {96! ^ {10}}} \ cdot {\ frac { 320!} {32! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {640!} {64! ^ {10}}} \ cdot {\ frac {160!} {16! ^ {10}}} \ end {mátrix}}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {21503} \, \!}$

Magic Cube 7D

Geometriai forma: hexeract (6D) és hepteract (7D)

7-kocka 5 ⁷ virtuális puzzle, kódolt.

Andrey Astrelin Magic Cube 7D szoftvere akár 7 dimenziós rejtvényeket képes megjeleníteni tizenkét méretben, 3 ⁴ és 5 ^{7 között} .

2016. májusától csak a 3 ⁶ , 3 ⁷ , 4 ⁶ és 5 ⁶ rejtvényeket oldották meg.

Varázslat 120 cellás

120 cellás virtuális rejtvény, közelről, megoldott állapotban

120 cellás virtuális rejtvény, megoldva

Geometriai forma: 120 sejt (más néven hecatonicosachoron vagy dodecacontachoron)

A 120-sejt egy 4-D geometriai ábra ( 4-politóp ), amely 120 dodekaéderből áll , ami viszont egy 12- ötszögből álló 3D-s ábra . A 120 sejt a dodekaéder 4-D analógja ugyanúgy, mint a tesseract (4-kocka) a kocka 4-D-analógja. A Gravitation3d 4-D 120 cellás szoftveres szekvenciális mozgató puzzle tehát a Megaminx , 3-D puzzle 4-D analógja , amely dodekaéder alakú .

A puzzle csak egy méretben, azaz három köböl oldalán jelenik meg, de hat különböző nehézségű színezésben. A teljes rejtvény minden cellához más színt igényel, vagyis 120 színt. Ez a sok szín megnehezíti a rejtvény nehézségét, mivel egyes árnyalatokat meglehetősen nehéz megkülönböztetni. A legegyszerűbb forma két egymásba záródó tori, mindegyik tórus különböző méretű kockákból álló gyűrűt képez. A színezési sémák teljes listája a következő;

• 2 színű tori.
• 9 színű 4 kockás sejtek. Vagyis ugyanaz a színvilág, mint a 4-kockával.
• 9 színű réteg.
• 12 színű gyűrű.
• 60 színű antipodal. A párhuzamosan ellentétes dodekaéder sejtek mindegyike azonos színű.
• 120 színű teljes puzzle.

A kezelőszervek nagyon hasonlítanak a 4-D Magic Cube-hoz, 4-D perspektíva, cellaméret, matrica méret és távolság vezérlésével, valamint a szokásos zoomolással és forgatással. Ezenkívül lehetőség van a sejtcsoportok teljes kikapcsolására a tori, 4 kockás sejtek, rétegek vagy gyűrűk kiválasztása alapján.

A Gravitation3d létrehozott egy "Hírességek csarnokát" a megoldók számára, akiknek naplófájlt kell adniuk megoldásukhoz. 2017. áprilisától a rejtvényt tizenkétszer oldották meg.

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = {\ frac {600!} {2}} \ cdot {\ frac {1200!} {2}} \ cdot {\ frac {720!} {2}} \ cdot {\ frac {2 ^ { 720}} {2}} \ cdot {\ frac {6 ^ {1200}} {2}} \ cdot {\ frac {12 ^ {600}} {3}}}$

${\ displaystyle \ sim 10 ^ {8126} \,}$

Az elérhető kombinációk ilyen számítását matematikailag nem igazolták, és csak felső határnak tekinthető. Levezetése feltételezi az összes "minimális változás" kombinációhoz szükséges algoritmuskészlet létezését. Nincs ok azt feltételezni, hogy ezek az algoritmusok nem találhatók meg, mivel a rejtvényfejtőknek sikerült megtalálniuk őket az összes hasonló rejtvényen, amelyeket eddig megoldottak.

3x3 2D négyzet

2-kocka 3 × 3 virtuális puzzle

Geometriai forma: négyzet

A 2-D Rubik típusú puzzle nem építhető fel fizikailag, mint egy 4-D. Egy 3D-s puzzle összeállítható matricák nélkül a harmadik dimenzióban, amely akkor 2-D puzzle-ként viselkedne, de a puzzle igazi megvalósítása a virtuális világban marad. Az itt bemutatott megvalósítás a Superliminal-tól származik, aki 2D Magic Cube-nak hívja.

A rejtvény a megoldókat nem érdekli nagyban, mivel megoldása meglehetősen triviális. Nagyrészt ennek az az oka, hogy egy darabot nem lehet csavarral helyére tenni. A Rubik-kocka legnehezebb algoritmusainak egyike az ilyen fordulatok kezelése, amikor egy darab a megfelelő helyzetben van, de nem a megfelelő tájolásban. Magasabb dimenziós rejtvényeknél ez a csavarás meglehetősen zavaró formát ölthet, amikor egy darab látszólag belülről kifelé van. Csak össze kell hasonlítanunk a 2 × 2 × 2 puzzle nehézségét a 3 × 3-zal (amelynek ugyanannyi darabja van), hogy lássuk, ez a magasabb dimenziókban fordulatot okozó képesség sokban kapcsolódik a nehézségekhez, és ezért az elégedettséghez megoldással az egyre népszerűbb Rubik-kocka.

Elérhető kombinációk:

${\ displaystyle = 4! \, \! = 24}$

A középső darabok egymáshoz képest rögzített helyzetben vannak (pontosan ugyanúgy, mint a standard 3 × 3 × 3 kocka középső darabjai), és ezért nem szerepelnek a kombinációk számításánál.

Ez a rejtvény valójában nem egy igazi kétdimenziós analógja a Rubik-kockának. Ha az n- dimenziós puzzle egyetlen polipján végzett műveletek csoportját az ( n  - 1) -dimenziós polip bármely forgatásaként definiáljuk ( n  - 1) -dimenziós térben, akkor a csoport mérete,

• mert az 5-kocka egy 4-polip forgatása a 4-térben = 8 × 6 × 4 = 192,
• mert a 4-kocka egy 3-politóp (kocka) forgása 3 térben = 6 × 4 = 24,
• mert a 3-kocka egy 2-politóp (négyzet) forgása a 2-térben = 4
• mert a 2-kocka egy 1-polip forgatása az 1-térben = 1

Más szavakkal, a 2D-s puzzle egyáltalán nem keverhető, ha ugyanazok a korlátozások vannak érvényben a mozdulatokra, mint a valódi 3D-s puzzle esetében. A 2D mágikus kockának adott mozdulatok a visszaverődés műveletei. Ez a reflexiós művelet kiterjeszthető a nagyobb dimenziós rejtvényekre is. A 3D kocka esetében az analóg művelet egy arc eltávolítása és a kocka felé néző matricákkal történő helyettesítése lenne. A 4 kocka esetében az analóg művelet egy kocka eltávolítása és kifelé történő cseréje.

1D vetítés

Egy másik alternatív dimenziós rejtvény David Vanderschel Magic Cube 3D-jében elérhető kilátás. A 2D-s számítógép képernyőjére vetített 4-kockás példa egy n- dimenziós puzzle általános típusára ( n  - 2) dimenziós térre vetítve . Ennek 3D analógja az, hogy a kockát egydimenziós ábrázolásra vetíti, amire Vanderschel programja képes.

Vanderschel azt súgja, hogy senki sem állította, hogy megoldotta volna a rejtvény 1D vetületét. Mivel azonban erről a rejtvényről nem vezetnek nyilvántartást, valószínűleg nem az a helyzet, hogy megoldatlan lenne.

A 3x3x3 Rubik-kocka egydimenziós vetülete a Magic Cube 3D-ben látható módon.

Lásd még

• Rubik-kocka csoport
• A Rubik's Cube szoftver listája
• Négy dimenziós játékok listája

Hivatkozások

További irodalom

• HJ Kamack és TR Keane, The Rubik Tesseract , online elérhető itt és 2008. december 25-én archiválva .
• Velleman, D., "Rubik's Tesseract", Matematika Magazine , Vol. 65. szám, 1. szám (1992. február), 27–36. Oldal, Amerikai Matematikai Egyesület .
• Pickover, C, Surfing Through Hyperspace , pp. 120–122, Oxford University Press, 1999.
• Pickover, C, Alien IQ Test , 24. fejezet, Dover Publications, 2001.
• Pickover, C, A mágikus négyzetek, körök és csillagok zenéje, 130–133, Princeton University Press, 2001.
• David Singmaster, Computer Cubists, 2001. június. A Singmaster által vezetett lista, 4D referenciákkal együtt. Letöltve: 2008. június 19.

Külső linkek

• Fölösleges
• A Gravitation3d anatómiája egy dimenziós Rubik-kocka
• David Vanderschel 3D mágikus kockája