Operátor (matematika) - Operator (mathematics)

A matematikában az operátor általában egy térképezés vagy függvény, amely egy tér elemeire hatva egy másik tér elemeit állítja elő (esetleg ugyanazt a teret, néha ugyanazt a teret kell előírni). Az operátornak nincs általános definíciója , de a kifejezést gyakran használják a funkció helyett, ha a tartomány függvények vagy más strukturált objektumok halmaza. Ezenkívül az operátor tartományát gyakran nehéz kifejezetten jellemezni (például integrált operátor esetén ), és kiterjeszthető a kapcsolódó objektumokra is (a függvényekre ható operátor hathat a differenciálegyenletekre is, amelyek megoldásai függvények amelyek kielégítik az egyenletet). További példákat lásd: Kezelő (fizika) .

A legalapvetőbb operátorok (bizonyos értelemben) a lineáris térképek , amelyek vektoros terekre hatnak . Amikor azonban a "lineáris operátor" -ot "lineáris térkép" helyett használják, a matematikusok gyakran a függvények vektorterein végrehajtott műveleteket értik , amelyek más tulajdonságokat is megőriznek, például a folytonosságot . Például a differenciálás és a határozatlan integráció lineáris operátorok; a belőlük felépített operátorokat differenciál operátoroknak , integrált operátoroknak vagy integrált differenciál operátoroknak nevezzük .

Az operátor a matematikai művelet szimbólumának jelölésére is szolgál . Ez összefüggésben van a "kezelő" jelentésével a számítógépes programozásban , lásd operátor (számítógépes programozás) .

Lineáris operátorok

A leggyakrabban előforduló operátorok a lineáris operátorok . Legyen U és V vektor tér a K mező felett . Az A : U → V leképezés lineáris, ha

{\ displaystyle A (\ alpha \ mathbf {x} +\ beta \ mathbf {y}) = \ alpha A \ mathbf {x} +\ beta A \ mathbf {y}}

minden x , y az U és az összes α, β a K . Ez azt jelenti, hogy a lineáris operátor megőrzi a vektoros térműveleteket abban az értelemben, hogy nem mindegy, hogy a lineáris operátort az összeadás és a skaláris szorzás műveletei előtt vagy után alkalmazza. Szakosabban fogalmazva, a lineáris operátorok morfizmusok a vektorterek között.

Véges dimenziós esetben a lineáris operátorokat mátrixokkal lehet ábrázolni a következő módon. Hagy egy mezőt, és lehet véges dimenziós vektorterek felett . Válasszuk ki az alapot befelé és befelé . Akkor legyen egy tetszőleges vektor (feltételezve az Einstein -konvenciót ), és legyen lineáris operátor. Azután ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle K}$ ${\ displaystyle \ mathbf {u} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {u} _ {n}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle \ mathbf {v} _ {1}, \ ldots, \ mathbf {v} _ {m}}$ ${\ displaystyle V}$ ${\ displaystyle \ mathbf {x} = x^{i} \ mathbf {u} _ {i}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle A: U \ to V}$

{\ displaystyle A \ mathbf {x} = x^{i} A \ mathbf {u} _ {i} = x^{i} (A \ mathbf {u} _ {i})^{j} \ mathbf { v} _ {j}}

.

Ekkor az operátor mátrixa rögzített bázisokban. nem függ a választástól , és ha . Így fix bázisok N-a-m mátrixok bijektív levelezés lineáris operátorok a a . ${\ displaystyle a_ {i}^{j}: = (A \ mathbf {u} _ {i})^{j} \ in K}$ ${\ displaystyle A}$ ${\ displaystyle a_ {i}^{j}}$ ${\ displaystyle x}$ ${\ displaystyle A \ mathbf {x} = \ mathbf {y}}$ ${\ displaystyle a_ {i}^{j} x^{i} = y^{j}}$ ${\ displaystyle U}$ ${\ displaystyle V}$

A véges dimenziós vektorterek közötti operátorokhoz közvetlenül kapcsolódó fontos fogalmak a rang , a determináns , az inverz operátor és a saját tér .

A végtelen dimenziós esetben a lineáris operátorok is nagy szerepet játszanak. A rang és a meghatározó fogalma nem terjeszthető ki végtelen dimenziós mátrixokra. Ezért nagyon különböző technikákat alkalmaznak a végtelen dimenziójú lineáris operátorok (és általában az operátorok) tanulmányozásakor. A lineáris operátorok tanulmányozása a végtelen dimenziós esetben funkcionális elemzés (más néven azért, mert a különböző függvényosztályok érdekes példákat képeznek a végtelen dimenziós vektorterekre).

A valós számok sorozatának tere , vagy általában vektorsorozatok bármely vektor térben maguk végtelen dimenziós vektorteret alkotnak. A legfontosabb esetek szekvenciák valós vagy komplex számok, és ezek a terek, együtt a lineáris altér, ismert szekvencia terek . Ezeken a területeken az operátorokat szekvencia transzformációknak nevezik .

Korlátos lineáris operátorok felett Banach tér forma egy Banach algebra tekintetében a normál üzemben norma. A Banach -algebrák elmélete kifejleszt egy nagyon általános spektrumkoncepciót, amely elegánsan általánosítja a sajátterek elméletét.

Korlátozott operátorok

Legyen U és V két vektortér ugyanazon rendezett mező felett (például ), és normákkal vannak ellátva . Ekkor egy U -ból V -ig tartó lineáris operátort korlátnak neveznek , ha létezik C > 0 úgy, hogy ${\ displaystyle \ mathbf {R}}$

{\ displaystyle \ | A \ mathbf {x} \ | _ {V} \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | _ {U}}

az összes X a U .

A határolt operátorok vektorteret alkotnak. Ezen a vektortéren bevezethetünk egy normát, amely kompatibilis az U és V normáival :

{\ displaystyle \ | A \ | = \ inf \ {C: \ | A \ mathbf {x} \ | _ {V} \ leq C \ | \ mathbf {x} \ | _ {U} \}}

.

Az U -tól önmagáig tartó operátorok esetében kimutatható, hogy

{\ displaystyle \ | AB \ | \ leq \ | A \ | \ cdot \ | B \ |}

.

Az ezzel a tulajdonsággal rendelkező minden unitális normált algebrát Banach -algebrának nevezzük . Lehetőség van a spektrális elmélet általánosítására az ilyen algebrákra. A C*-algebrák , amelyek Banach-algebrák némi kiegészítő szerkezettel, fontos szerepet játszanak a kvantummechanikában .

Példák

Geometria

A geometriában a vektoros terek további szerkezeteit tanulmányozzák. Azok a kezelők, akik biológiailag feltérképezik az ilyen vektoros tereket, nagyon hasznosak ezekben a tanulmányokban, természetesen összetétel szerint csoportokat alkotnak .

Például a vektoros tér szerkezetét megőrző bijektív operátorok pontosan az invertálható lineáris operátorok . Ők alkotják az általános lineáris csoportot összetételük alatt. Ezek nem képezik vektortérnek hozzáadása mellett a piaci szereplők, például mind id és -ID vannak invertálható (bijektív), de az összegük 0, nem az.

Az euklideszi metrikát ilyen téren megőrző operátorok alkotják az izometriacsoportot , és azok, amelyek rögzítik az eredetet, egy alcsoportot alkotnak, amelyet ortogonális csoportnak neveznek . Az ortogonális csoport operátorai, amelyek szintén megőrzik a vektoros sorok irányultságát, alkotják a speciális ortogonális csoportot , vagy a forgatások csoportját.

Valószínűségi elmélet

Az operátorok részt vesznek a valószínűségelméletben is, mint például az elvárás , a variancia és a kovariancia . Valóban minden kovariancia alapvetően pontszerű termék; minden szórás egy vektor pontterméke önmagával, és így másodfokú norma; minden szórás norma (a másodfokú normál négyzetgyöke); ennek a pontterméknek a megfelelő koszinusz a Pearson -korrelációs együttható ; a várható érték alapvetően integrált operátor (a térben lévő súlyozott alakzatok mérésére szolgál).

Számítás

A szempontból funkcionális elemzés , fogkő van a vizsgálat két lineáris operátorok: a differenciál operátor , és a Volterra operátor . ${\ displaystyle {\ frac {\ mathrm {d}} {\ mathrm {d} t}}}$ ${\ displaystyle \ int _ {0}^{t}}$

Fourier -sorozat és Fourier -transzformáció

A Fourier -transzformáció hasznos az alkalmazott matematikában, különösen a fizikában és a jelfeldolgozásban. Ez egy másik szerves operátor; főleg azért hasznos, mert az egyik (időbeli) tartományban lévő függvényt egy másik (frekvencia) tartománybeli funkcióvá alakítja, hatékonyan megfordítható módon . Nem vesznek el információk, mivel van egy inverz transzformátor operátor. A periodikus függvények egyszerű esetben ez az eredmény azon a tételen alapul, hogy bármely folytonos periodikus függvény ábrázolható szinusz- és koszinuszhullám -sorozat összegeként :

{\ displaystyle f (t) = {a_ {0} \ over 2}+\ sum _ {n = 1}^{\ infty} {a_ {n} \ cos (\ omega nt)+b_ {n} \ sin (\ omega nt)}}

A sor ( a ₀ , a ₁ , b ₁ , a ₂ , b ₂ ,…) valójában egy ℓ ² végtelen dimenziós vektor tér eleme , és így a Fourier-sorozat lineáris operátor.

Az R → C általános függvény kezelésénél az átalakítás integrált formát ölt:

{\ displaystyle f (t) = {1 \ over {\ sqrt {2 \ pi}}} \ int _ {-\ infty}^{+\ infty} {g (\ omega) e^{i \ omega t} \, d \ omega}.}

Laplace -transzformáció

A Laplace -transzformáció egy másik integrált operátor, és részt vesz a differenciálegyenletek megoldásának leegyszerűsítésében.

Ha f = f ( s ), ezt a következőképpen határozzuk meg:

{\ displaystyle F (s) = {\ mathcal {L}} \ {f \} (s) = \ int _ {0}^{\ infty} e^{-st} f (t) \, dt.}

Alapvető operátorok skaláris és vektoros mezőkön

Három operátor a kulcs a vektoros számításhoz :

A gradiens ( gradiens ), (operátor szimbólummal ) a skaláris mező minden pontjához egy vektort rendel, amely az adott mező legnagyobb változási sebességének irányába mutat, és amelynek normája a legnagyobb változási sebesség abszolút értékét méri. ${\ displaystyle \ nabla}$
A div ( divergencia ), (operátor szimbólummal ) egy vektoroperátor, amely egy vektor mező eltérését méri egy adott ponttól vagy annak felé. ${\ displaystyle \ nabla \ cdot}$
Curl , (operátor szimbólummal ) egy vektor operátor, amely méri a vektormező göndörödési (kanyargós, körbeforgó) trendjét egy adott pont körül. ${\ displaystyle \ nabla \ times}$

A vektoros számítási operátorok kiterjesztéseként a fizikára, a mérnöki és a tenzorterekre, a grad, div és curl operátorokat gyakran társítják a tenzorszámításhoz és a vektoros számításhoz is.

Languages

In other projects