RLC áramkör - RLC circuit

Soros RLC hálózat (sorrendben): ellenállás, induktivitás és kondenzátor

Egy RLC áramkör egy elektromos áramkör , amely egy ellenállással (R), egy induktivitás (L), valamint egy kondenzátort (C), sorosan vagy párhuzamosan. Az áramkör neve azokból a betűkből származik, amelyeket az áramkör alkotóelemeinek jelölésére használnak, ahol az összetevők sorrendje eltérhet az RLC -től.

Az áramkör harmonikus oszcillátort képez az áram számára, és hasonló módon rezonál , mint az LC áramkör . Az ellenállás bevezetése növeli ezen rezgések bomlását, amit csillapításnak is neveznek . Az ellenállás csökkenti a rezonancia csúcsfrekvenciáját is. Rendes körülmények között bizonyos ellenállások elkerülhetetlenek, még akkor is, ha az ellenállást nem kifejezetten alkatrészként tartalmazzák; az ideális, tiszta LC áramkör csak a szupravezető képesség területén létezik , fizikai hatás eddig csak a Föld felszínén természetesen bárhol alacsonyabb hőmérsékleten és/vagy jóval magasabb nyomáson bizonyított.

Az RLC áramkörök oszcillátor áramkörként számos alkalmazást tartalmaznak . A rádió -vevőkészülékek és a televíziókészülékek hangolásra használják a szűk frekvenciatartomány kiválasztását a környezeti rádióhullámok közül. Ebben a szerepkörben az áramkört gyakran hangolt áramkörnek nevezik. Az RLC áramkör használható sávszűrőként , sávelzáró szűrőként , aluláteresztő szűrőként vagy felüláteresztő szűrőként . A hangolóalkalmazás például példa a sávszűrésre. Az RLC szűrőt másodrendű áramkörként írják le , ami azt jelenti, hogy az áramkörben lévő feszültséget vagy áramot az áramkör- elemzés másodrendű differenciálegyenletével lehet leírni .

A három áramköri elem, R, L és C, számos különböző topológiában kombinálható . Mindhárom sorozat vagy mindhárom elem párhuzamosan a legegyszerűbb és a legegyszerűbben elemezhető. Vannak azonban más elrendezések is, amelyeknek gyakorlati jelentőségük van a valós áramkörökben. Az egyik gyakran előforduló probléma az induktivitás ellenállásának figyelembevétele. Az induktorokat jellemzően huzaltekercsekből építik, amelyek ellenállása általában nem kívánatos, de gyakran jelentős hatással van az áramkörre.

Alapfogalmak

Rezonancia

Ennek az áramkörnek fontos tulajdonsága, hogy képes rezonálni egy meghatározott frekvencián, a rezonanciafrekvencián , f ₀ . A gyakoriságot hertz egységben mérik . Ebben a cikkben, körfrekvencia , ω ₀ , azért használjuk, mert ez sokkal kényelmesebb matematikailag. Ezt radiánban másodpercenként mérik . Egyszerű arányban kapcsolódnak egymáshoz,

${\ displaystyle \ omega _ {0} = 2 \ pi f_ {0} \ ,.}$

A rezonancia azért fordul elő, mert az ehhez a helyzethez szükséges energia kétféle módon tárolódik: elektromos térben, amikor a kondenzátor fel van töltve, és mágneses térben, amikor az áram áthalad az induktoron. Az áramkörön belül az energia átvihető egyikről a másikra, és ez oszcilláló lehet. A mechanikai analógia egy rugóra felfüggesztett súly, amely felszabadításkor felfelé és lefelé ingadozik. Ez nem múló metafora; a rugó súlyát pontosan ugyanaz a másodrendű differenciálegyenlet írja le, mint az RLC áramkört, és az egyik rendszer összes tulajdonsága esetén megtalálható a másik hasonló tulajdonsága. Az áramkörben lévő ellenállás mechanikai tulajdonsága a rugós súlyú rendszer súrlódása. A súrlódás lassan leállítja az ingadozást, ha nincs külső erő. Hasonlóképpen, az RLC áramkör ellenállása "csillapítja" az oszcillációt, és idővel csökkenti azt, ha nincs áramvezető áramforrás az áramkörben.

A rezonanciafrekvencia az a frekvencia, amelyen az áramkör impedanciája minimális. Hasonlóképpen meghatározható, mint az a frekvencia, amelyen az impedancia tisztán valós (azaz tisztán ellenálló). Ez azért fordul elő, mert az induktivitás és a kondenzátor rezonanciájának impedanciája egyenlő, de ellentétes előjelű, és kiiktatódik. Azok az áramkörök, ahol L és C párhuzamosak, nem sorosak, valójában maximális impedanciájukkal rendelkeznek, nem pedig minimális impedanciával. Emiatt gyakran antirezonátorként írják le őket , még mindig szokás, hogy ezt a frekvenciát rezonanciafrekvenciának nevezik .

Természetes frekvencia

A rezonanciafrekvenciát a meghajtóforrás impedanciája határozza meg. Továbbra is lehetséges, hogy az áramkör oszcilláljon (egy ideig) azután, hogy a meghajtó forrást eltávolították, vagy feszültségfokozatnak vetették alá (beleértve a nullára való lecsökkenést). Ez hasonlít ahhoz a módhoz, ahogyan a hangvilla az ütés után tovább csörög, és ezt a hatást gyakran csengésnek nevezik. Ez a hatás az áramkör legnagyobb természetes rezonanciafrekvenciája, és általában nem teljesen azonos a hajtott rezonanciafrekvenciával, bár a kettő általában elég közel lesz egymáshoz. A különböző szerzők különböző kifejezéseket használnak a kettő megkülönböztetésére, de a minősítetlen rezonanciafrekvencia általában a hajtott rezonanciafrekvenciát jelenti. A hajtott frekvenciát nevezhetjük csillapítatlan rezonanciafrekvenciának vagy csillapítatlan természetes frekvenciának, a csúcsfrekvenciát pedig csillapított rezonanciafrekvenciának vagy csillapított természetes frekvenciának. Ennek a terminológiának az az oka, hogy a hajtott rezonanciafrekvencia egy soros vagy párhuzamos rezonancia áramkörben rendelkezik értékkel

${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {L \, C ~}}} \, ~.}$

Ez pontosan megegyezik az LC áramkör rezonanciafrekvenciájával, azaz olyannal, amelyben nincs ellenállás. Az RLC áramkör rezonanciafrekvenciája megegyezik az áramkörrel, amelyben nincs csillapítás, ezért csillapítatlan rezonanciafrekvencia. A rezonancia csúcsfrekvencia viszont az ellenállás értékétől függ, és csillapított rezonanciafrekvenciaként írják le. Egy erősen csillapított áramkör egyáltalán nem rezonál, ha nem hajtják. Azt az áramkört, amelynek ellenállási értéke éppen a csengetés szélén van, kritikusan csillapítottnak nevezzük . Mindkét oldalán kritikusan csillapított kerülnek leírásra alulcsillapítottak (csengő történik) és OVERDAMPED (csengetés van nyomva).

Az egyszerű sorozatoknál vagy párhuzamosan bonyolultabb topológiájú áramkörök (néhány példa a cikk későbbi részében) hajtott rezonanciafrekvenciája eltér ettől , és ezeknél a csillapítatlan rezonanciafrekvencia, a csillapított rezonanciafrekvencia és a hajtott rezonanciafrekvencia eltérő lehet. ${\ displaystyle \ omega _ {0} = 1/{\ sqrt {L \, C ~}}}$

Csillapítás

A csillapítást az áramkör ellenállása okozza. Ez határozza meg, hogy az áramkör rezonál -e természetesen (azaz hajtóforrás nélkül). Az ilyen módon rezonáló áramköröket alulpárásítják, és azokat, amelyek nem, túlnyomásosak. A csillapítás csillapítását ( α szimbólum ) nepers / másodpercben mérik . Azonban, a mértékegység nélküli csillapítási tényezője (szimbólum ζ , zéta) gyakran hasznosabb intézkedés, amely kapcsolódik a α által

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {\ alpha} {\ omega _ {0}}} \ ,.}$

A ζ = 1 speciális esetet kritikus csillapításnak nevezzük, és egy olyan áramkör esetét ábrázolja, amely éppen az oszcilláció határán van. Ez a minimális csillapítás, amely rezgés okozása nélkül alkalmazható.

Sávszélesség

A rezonanciahatás szűrésre használható, a rezonancia közeli impedancia gyors változása felhasználható a rezonanciafrekvenciához közeli jelek átadására vagy blokkolására. Mind a sávos, mind a sávszűrő szűrők kialakíthatók, és néhány szűrőáramkör a cikk későbbi részében látható. A szűrőtervezés egyik kulcsparamétere a sávszélesség . A sávszélességet a határfrekvenciák között mérik , leggyakrabban azoknak a frekvenciáknak a meghatározásával, amelyeken az áramkörön áthaladó teljesítmény a rezonanciakor eltelt érték felére csökkent. E félteljesítményű frekvenciák közül kettő van, az egyik a rezonanciafrekvencia felett és a másik alatta

${\ displaystyle \ Delta \ omega = \ omega _ {2}-\ omega _ {1} \ ,,}$

ahol Δ ω a sávszélesség, ω ₁ az alsó félteljesítményű frekvencia és ω ₂ a felső félteljesítményű frekvencia. A sávszélesség a csillapítással függ össze

${\ displaystyle \ Delta \ omega = 2 \ alpha \ ,,}$

ahol az egységek radián / másodperc, illetve nepper / másodperc. Más egységekhez átváltási tényező szükséges. A sávszélesség általánosabb mértéke a tört sávszélesség, amely a sávszélességet a rezonanciafrekvencia töredékeként fejezi ki, és

${\ displaystyle B _ {\ mathrm {f}} = {\ frac {\ Delta \ omega} {\ omega _ {0}}} \ ,.}$

A töredékes sávszélességet gyakran százalékban is megadják. A szűrőkörök csillapítását úgy állítják be, hogy a kívánt sávszélességet eredményezze. Egy keskeny sávú szűrő, például egy bevágásos szűrő , alacsony csillapítást igényel. A széles sávú szűrő nagy csillapítást igényel.

Q tényező

A Q tényező széles körben elterjedt mérték a rezonátorok jellemzésére. Ezt úgy határozzuk meg, mint az áramkörben tárolt csúcsenergiát osztva a benne rezonancián radiánonként eloszló átlagos energiával. Az alacsony Q áramkörök ezért csillapítottak és veszteségesek, a magas Q áramkörök pedig alulcsillapítottak. Q összefügg a sávszélességgel; Az alacsony Q áramkörök széles sávúak, a magas Q áramkörök pedig keskeny sávúak. Valójában előfordul, hogy Q a tört sávszélesség fordítottja

${\ displaystyle Q = {\ frac {1} {B _ {\ mathrm {f}}}} = {\ frac {\ omega _ {0}} {\ Delta \ omega}} \ ,.}$

A Q tényező közvetlenül arányos a szelektivitással , mivel a Q tényező fordítottan függ a sávszélességtől.

Soros rezonanciakör esetén a Q tényező a következőképpen számítható ki:

${\ displaystyle Q = {\ frac {1} {\ omega _ {0} RC}} = {\ frac {\ omega _ {0} L} {R}} = {\ frac {1} {R}} { \ sqrt {\ frac {L} {C}}} \ ,.}$

Méretezett paraméterek

A ζ , F _b és Q paraméterek ω ₀ -ra vannak méretezve . Ez azt jelenti, hogy a hasonló paraméterekkel rendelkező áramkörök azonos jellemzőkkel rendelkeznek, függetlenül attól, hogy ugyanazon a frekvenciasávon működnek -e.

A következő cikk részletesen bemutatja a soros RLC áramkör elemzését. Más konfigurációkat nem írnak le ilyen részletesen, de a legfontosabb különbségeket a sorozathoz képest megadjuk. A soros áramkör szakaszban megadott differenciálegyenletek általános formája minden másodrendű áramkörre alkalmazható, és leírható az egyes áramkörök bármely elemének feszültségére vagy áramára .

Soros áramkör

1. ábra: RLC sorozatú áramkör

Ebben az áramkörben a három alkatrész sorba van kötve a feszültségforrással . Az irányító differenciálegyenlet megtalálható úgy, hogy Kirchhoff feszültségtörvényébe (KVL) behelyettesítjük a három elem konstitutív egyenletét . A KVL -ből,

${\ displaystyle V_ {R}+V_ {L}+V_ {C} = V (t) \ ,,}$

ahol V _R , V _L és V _C az R, L és C közötti feszültségek, és V ( t ) a forrásból származó, időben változó feszültség.

Behelyettesítve , és a fenti egyenlet hozamok: ${\ displaystyle V_ {R} = RI (t)}$${\ displaystyle V_ {L} = L {dI (t) \ over dt}}$${\ displaystyle V_ {C} = V (0)+{\ frac {1} {C}} \ int _ {0}^{t} I (\ tau) \, d \ tau}$

${\ displaystyle RI (t)+L {\ frac {dI (t)} {dt}}+V (0)+{\ frac {1} {C}} \ int _ {0}^{t} I ( \ tau) \, d \ tau = V (t) \,}$

Abban az esetben, ha a forrás változatlan feszültségű, az időderivált felvétele és L -el való osztása a következő másodrendű differenciálegyenlethez vezet:

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}} {dt^{2}}} I (t)+{\ frac {R} {L}} {\ frac {d} {dt}} I (t) +{\ frac {1} {LC}} I (t) = 0 \,}$

Ez hasznos módon kifejezhető egy általánosan alkalmazható formában:

${\ displaystyle {\ frac {d^{2}} {dt^{2}}} I (t) +2 \ alfa {\ frac {d} {dt}} I (t)+\ omega _ {0} ^{2} I (t) = 0 \}}$

α és ω ₀ egyaránt szögfrekvenciás egységek . Az α -t neperfrekvenciának vagy csillapításnak nevezik , és azt méri, hogy az áramkör átmeneti válasza milyen gyorsan fog elhalni az inger eltávolítása után. Neper azért fordul elő a névben, mert az egységeket másodpercenkénti nepereknek is tekinthetjük , a neper pedig csillapítási egység. ω ₀ a szögrezonancia -frekvencia.

A soros RLC áramkör esetében ezt a két paramétert a következők adják meg:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} \ alpha & = {\ frac {R} {2L}} \\\ omega _ {0} & = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,. \ end {igazítva}}}$

Hasznos paraméter a csillapítási tényező , ζ , amelyet e kettő arányaként határozunk meg; bár néha az α -t csillapítási tényezőnek nevezik, és a ζ -t nem használják.

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {\ alpha} {\ omega _ {0}}} \ ,.}$

Soros RLC áramkör esetén a csillapítási tényezőt a

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {R} {2}} {\ sqrt {\ frac {C} {L}}} \ ,.}$

A csillapítási tényező értéke határozza meg az áramkörben megjelenő tranziens típusát.

Tranziens átvitel

A diagram egy soros RLC áramkör alul- és túlnyomásos válaszait mutatja 1 V feszültség bemeneti lépésre. A kritikus csillapítási diagram a vastag piros görbe. A diagramokat L = 1 , C = 1 és ω ₀ = 1 esetén normalizáltuk .

A differenciálegyenlet jellemző egyenlete ,

${\ displaystyle s^{2} +2 \ alpha s+\ omega _ {0}^{2} = 0 \,}$

Az s -domain egyenletének gyökerei:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} s_ {1} & =-\ alpha +{\ sqrt {\ alpha ^{2}-\ omega _ {0} ^{2}}} =-\ omega _ {0} \ bal (\ zeta-{\ sqrt {\ zeta ^{2} -1}} \ jobb) \\ s_ {2} & =-\ alfa-{\ sqrt {\ alfa ^{2}-\ omega _ { 0} ^{2}}} =-\ omega _ {0} \ left (\ zeta +{\ sqrt {\ zeta ^{2} -1}} \ right) \,. \ End {aligned}}}$

A differenciálegyenlet általános megoldása exponenciális gyökérben vagy mindkettő lineáris szuperpozíciójában,

${\ displaystyle I (t) = A_ {1} e^{s_ {1} t}+A_ {2} e^{s_ {2} t} \ ,.}$

Az A ₁ és A ₂ együtthatókat az elemzendő konkrét probléma határfeltételei határozzák meg . Vagyis az áramkörben lévő áramok és feszültségek értékei határozzák meg a tranziens kezdetén, és a feltételezett érték, amellyel végtelen idő elteltével rendezni fogják. A differenciálegyenlet az áramkör megoldja három különböző módon értékétől függően a ζ . Ezek túlnyomásosak ( ζ > 1 ), alulcsillapítottak ( ζ <1 ) és kritikusan csillapítottak ( ζ = 1 ).

Túlcsillapított válasz

A túlcsillapított válasz ( ζ > 1 ) az

${\ displaystyle I (t) = A_ {1} e ^{-\ omega _ {0} \ left (\ zeta +{\ sqrt {\ zeta ^{2} -1}} \ right) t} +A_ { 2} e ^{-\ omega _ {0} \ bal (\ zeta-{\ sqrt {\ zeta ^{2} -1}} \ jobb) t} \,}$

A túlcsillapított válasz az átmeneti áram rezgés nélküli bomlása.

Alul csillapított válasz

Az alul csillapított válasz ( ζ <1 ) az

${\ displaystyle I (t) = B_ {1} e^{-\ alpha t} \ cos (\ omega _ {\ mathrm {d}} t)+B_ {2} e^{-\ alpha t} \ sin (\ omega _ {\ mathrm {d}} t) \ ,.}$

A szabványos trigonometrikus azonosságok alkalmazásával a két trigonometriai függvény egyetlen szinuszként fejezhető ki fáziseltolódással,

${\ displaystyle I (t) = B_ {3} e^{-\ alpha t} \ sin (\ omega _ {\ mathrm {d}} t+\ varphi) \ ,.}$

Az alulcsillapított válasz a ω _d frekvencián lebomló rezgés . Az oszcilláció az α csillapítás által meghatározott sebességgel bomlik . Az α exponenciális értéke az oszcilláció burkát írja le . B ₁ és B ₂ (vagy B ₃ és a fáziseltolódás φ a második formában) tetszőleges állandók, amelyeket a peremfeltételek határoznak meg. A ω _d frekvenciát a

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {d}} = {\ sqrt {\ omega _ {0} ^{2}-\ alpha ^{2}}} = \ omega _ {0} {\ sqrt {1- \ zeta ^{2}}} \ ,.}$

Ezt nevezzük csillapított rezonanciafrekvenciának vagy csillapított természetes frekvenciának. Ez az a frekvencia, amelyen az áramkör természetesen oszcillál, ha nem külső forrás vezérli. A rezonanciafrekvenciát, ω ₀ , azaz azt a frekvenciát, amelyen az áramkör rezegni fog, ha külső rezgés hajtja, gyakran csillapítatlan rezonanciafrekvenciának nevezzük.

Kritikusan csillapított válasz

A kritikusan csillapított válasz ( ζ = 1 ) az

${\ displaystyle I (t) = D_ {1} te^{-\ alpha t}+D_ {2} e^{-\ alpha t} \ ,.}$

A kritikusan csillapított válasz azt az áramköri választ jelzi, amely a lehető leggyorsabban lebomlik, anélkül, hogy rezgésbe lépne. Ez a megfontolás fontos azokban a vezérlőrendszerekben, ahol a lehető leggyorsabban el kell érni a kívánt állapotot, túlzás nélkül. D ₁ és D ₂ tetszőleges állandók, amelyeket a peremfeltételek határoznak meg.

Laplace domain

A sorozat RLC elemzése a Laplace -transzformáció segítségével elemezhető mind az átmeneti, mind az állandó váltakozó áramú állapotokban . Ha a fenti feszültségforrás Laplace-transzformált V ( s ) hullámformát állít elő (ahol s az s komplex frekvencia s = σ + jω ), akkor a KVL alkalmazható a Laplace tartományban:

${\ displaystyle V (s) = I (s) \ left (R+Ls+{\ frac {1} {Cs}} \ right) \ ,,}$

ahol I ( k ) a Laplace-transzformált áram minden komponensen keresztül. Megoldás I ( k ) számára :

${\ displaystyle I (s) = {\ frac {1} {R+Ls+{\ frac {1} {Cs}}}} V (ek) \ ,.}$

És átrendeződünk

${\ displaystyle I (s) = {\ frac {s} {L \ left (s^{2}+{\ frac {R} {L}} s+{\ frac {1} {LC}} \ right)} } V (ek) \ ,.}$

Laplace belépés

A Laplace -bejutás megoldása Y ( k ) :

${\ displaystyle Y (s) = {\ frac {I (s)} {V (s)}} = {\ frac {s} {L \ left (s^{2}+{\ frac {R} {L }} s+{\ frac {1} {LC}} \ jobb)}} \ ,.}$

Egyszerűsítés az előző részben meghatározott α és ω ₀ paraméterek használatával

${\ displaystyle Y (s) = {\ frac {I (s)} {V (s)}} = {\ frac {s} {L \ left (s^{2} +2 \ alpha s+\ omega _ { 0}^{2} \ jobb)}} \,}$

Pólusok és nullák

A nullák a Y ( ek ) azok értékei s ahol Y ( s ) = 0 :

${\ displaystyle s = 0 \ quad {\ mbox {és}} \ quad | s | \ rightarrow \ infty \,}$

A pólusok a Y ( ek ) azok értékei s ahol Y ( ek ) → ∞ . A másodfokú képlet szerint azt találjuk

${\ displaystyle s =-\ alpha \ pm {\ sqrt {\ alpha ^{2}-\ omega _ {0} ^{2}}} \ ,.}$

Y ( s ) pólusai megegyeznek a fenti szakasz differenciálegyenlet jellemző polinomjának s ₁ és s ₂ gyökével.

Általános megoldás

Egy tetszőleges V ( t ) , a kapott oldatot inverz transzformáltja I ( k ) jelentése:

• Alulpárásított esetben ω ₀ > α :

  ${\ displaystyle I (t) = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0}^{t} V (t- \ tau) e^{-\ alpha \ tau} \ left (\ cos \ omega _ {\ mathrm {d}} \ tau -{\ frac {\ alfa} {\ omega _ {\ mathrm {d}}}} \ sin \ omega _ {\ mathrm {d}} \ tau \ right) \ , d \ tau \ ,,}$

• A kritikusan csillapított esetben ω ₀ = α :

  ${\ displaystyle I (t) = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0}^{t} V (t- \ tau) e^{-\ alpha \ tau} (1- \ alfa \ tau) \, d \ tau \ ,,}$

• Túlerősített esetben ω ₀ < α :

  ${\ displaystyle I (t) = {\ frac {1} {L}} \ int _ {0}^{t} V (t- \ tau) e^{-\ alpha \ tau} \ left (\ cosh \ omega _ {\ mathrm {r}} \ tau -{\ alfa \ over \ omega _ {\ mathrm {r}}} \ sinh \ omega _ {\ mathrm {r}} \ tau \ right) \, d \ tau \ ,,}$

ahol ω _r = √ α ² - ω ₀ ² , és cosh és sinh a szokásos hiperbolikus függvények .

Szinuszos egyensúlyi állapot

Bode magnitúdó diagram az RLC sorozatú áramkör elemeinek feszültségeire. Természetes frekvencia ω ₀ = 1 rad/s , csillapítási arány ζ = 0,4 .

A szinuszos egyensúlyi állapotot s = jω hagyásával ábrázoljuk , ahol j a képzeletbeli egység . A fenti egyenlet nagyságát figyelembe véve ezzel a helyettesítéssel:

${\ displaystyle {\ big |} Y (j \ omega) {\ big |} = {\ frac {1} {\ sqrt {R^{2}+\ bal (\ omega L-{\ frac {1} { \ omega C}} \ ugye)^{2}}}} \ ,.}$

és az áram ω függvényében megtalálható innen

${\ displaystyle {\ big |} I (j \ omega) {\ big |} = {\ big |} Y (j \ omega) {\ big |} \ cdot {\ big |} V (j \ omega) { \ nagy |} \ ,.}$

Van egy csúcsértéke | I ( jω ) | . A ω értéke ezen a csúcson ebben az esetben megegyezik a csillapítatlan természetes rezonanciafrekvenciával:

${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,.}$

Az áram frekvenciaválaszából a különböző áramköri elemek feszültségeinek frekvenciaválasza is meghatározható.

Párhuzamos áramkör

2. ábra: RLC párhuzamos áramkör
V - az
I áramkört tápláló feszültségforrás - az
R áramkörön átáramolt áram - a kombinált forrás, a terhelés és az
L komponensek egyenértékű ellenállása - a
C induktív komponens induktivitása - az áramkör kapacitása kondenzátor alkatrész

A párhuzamos RLC áramkör tulajdonságai az elektromos áramkörök kettősségi kapcsolatából nyerhetők, és figyelembe véve, hogy a párhuzamos RLC egy soros RLC kettős impedanciája . Ezt figyelembe véve világossá válik, hogy az ezt az áramkört leíró differenciálegyenletek megegyeznek a soros RLC -t leíró általános formával.

A párhuzamos kapcsolás, a csillapítás α adják

${\ displaystyle \ alpha = {\ frac {1} {\, 2 \, R \, C \,}}}$

és a csillapítási tényező következésképpen

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {\, 2 \, R \,}} {\ sqrt {{\ frac {L} {C}} ~}} \, ~.}$

Hasonlóképpen, a többi skálázott paraméter, a töredékes sávszélesség és a Q is kölcsönös. Ez azt jelenti, hogy egy széles sávú, alacsony Q áramkör az egyik topológiában keskeny sávú, magas Q áramkör lesz a másik topológiában, ha azonos értékű komponensekből épül fel. A párhuzamos áramkör töredékes sávszélességét és Q értékét a

${\ displaystyle {\ begin {aligned} B _ {\ mathrm {f}} & = {\ frac {1} {\, R \,}} {\ sqrt {{\ frac {L} {C}} ~}} \\ Q & = R {\ sqrt {{\ frac {C} {L}} ~}} \, ~. \ End {aligned}}}$

Figyelje meg, hogy az itt található képletek a soros áramkör képleteinek reciprokjai, a fentiek szerint.

Frekvenciatartomány

3. ábra Szinuszos egyensúlyi állapot elemzése. Normalizált R = 1 Ω , C = 1 F , L = 1 H , és V = 1 V .

Ennek az áramkörnek az összetett befogadóképességét az összetevők felvételének összeadásával adjuk meg:

${\ displaystyle {\ begin {aligned} {\ frac {1} {\, Z \,}} & = {\ frac {1} {\, Z_ {L} \,}}+{\ frac {1} { \, Z_ {C} \,}}+{\ frac {1} {\, Z_ {R} \,}} \\ & = {\ frac {1} {\, j \, \ omega \, L \ ,}}+j \, \ omega \, C+{\ frac {1} {\, R \,}} \,. \ end {aligned}}}$

A soros elrendezésről párhuzamos elrendezésre való áttérés azt eredményezi, hogy az áramkör impedanciájának csúcspontja rezonancián van, nem pedig minimális, tehát az áramkör antirezonátor.

A szemközti grafikon azt mutatja, hogy a rezonanciafrekvencián az áram frekvenciaválaszában minimum van, ha az áramkört állandó feszültség hajtja. Másrészről, ha állandó árammal hajtják, akkor a feszültségben egy maximum lenne, amely ugyanazt a görbét követné, mint a soros áramkörben lévő áram. ${\ displaystyle ~ \ omega _ {0} = 1/{\ sqrt {\, L \, C ~}} ~}$

Más konfigurációk

4. ábra RLC párhuzamos áramkör ellenállással sorban az induktorral

A soros ellenállás az induktorral párhuzamos LC áramkörben, amint az a 4. ábrán látható, egy olyan topológia, amely általában akkor fordul elő, amikor figyelembe kell venni a tekercs tekercsének ellenállását. A párhuzamos LC áramköröket gyakran használják sávszűrésre, és a Q -t nagymértékben ez az ellenállás szabályozza. Ennek az áramkörnek a rezonanciafrekvenciája az

${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {1} {LC}}-\ bal ({\ frac {R} {L}} \ jobb)^{2}}} \ ,. }$

Ez az áramkör rezonanciafrekvenciája, amelyet úgy definiálnak, mint azt a frekvenciát, amelyen a bemenetnek nulla képzelt része van. A frekvencia, amely a jellemző egyenlet általánosított alakjában jelenik meg (amely ugyanaz az áramkör esetében, mint korábban)

${\ displaystyle s^{2} +2 \ alpha s+{\ omega '_ {0}}^{2} = 0}$

nem ugyanaz a frekvencia. Ebben az esetben ez a természetes csillapítatlan rezonanciafrekvencia:

${\ displaystyle \ omega '_ {0} = {\ sqrt {\ frac {1} {LC}}} \ ,.}$

Az ω _m frekvenciát , amelynél az impedancia nagysága maximális, az adja

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {m}} = \ omega '_ {0} {\ sqrt {-{\ frac {1} {Q_ {L}^{2}}}+{\ sqrt {1+ {\ frac {2} {Q_ {L}^{2}}}}}}} \ ,,}$

ahol Q _L = ₀ ′ ₀ L./Ra minőségi tényező a tekercs. Ezt jól hozzá lehet közelíteni

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {m}} \ kb \ omega '_ {0} {\ sqrt {1-{\ frac {1} {2Q_ {L}^{4}}}}}} \ ,. }$

Ezenkívül a pontos maximális impedancia nagyságot a

${\ displaystyle | Z | _ {\ mathrm {max}} = RQ_ {L}^{2} {\ sqrt {\ frac {1} {2Q_ {L} {\ sqrt {Q_ {L}^{2}+ 2}}-2Q_ {L}^{2} -1}}} \ ,.}$

Az egységnél nagyobb Q _L értékeknél ezt jól meg lehet közelíteni

${\ displaystyle | Z | _ {\ mathrm {max}} \ kb {RQ_ {L}^{2}} \ ,.}$

5. ábra RLC sorozatú áramkör, ellenállással párhuzamosan a kondenzátorral

Ugyanebben az értelemben egy soros LC áramkör kondenzátorával párhuzamos ellenállás használható veszteséges dielektromos kondenzátor ábrázolására. Ez a konfiguráció az 5. ábrán látható. A rezonanciafrekvenciát (frekvenciát, amelynél az impedanciának nulla képzelt része van) ebben az esetben a

${\ displaystyle \ omega _ {0} = {\ sqrt {{\ frac {1} {LC}}-{\ frac {1} {(RC)^{2}}}}}} \ ,,}$

míg az ω _m frekvenciát , amelynél az impedancia nagysága minimális, az adja

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {m}} = \ omega '_ {0} {\ sqrt {-{\ frac {1} {Q_ {C}^{2}}}+{\ sqrt {1+ {\ frac {2} {Q_ {C}^{2}}}}}}} \ ,,}$

ahol Q _C = ω ′ ₀ RC .

Történelem

Felix Savary francia tudós 1826 -ban fedezte fel az első bizonyítékot arra, hogy a kondenzátor elektromos rezgéseket okozhat . Megállapította, hogy amikor egy Leyden -edényt egy vas tű köré tekercselt dróton keresztül engedtek ki, néha a tűt az egyik irányba, néha az ellenkező irányba mágnesezték. Helyesen következtetett arra, hogy ezt a huzalban lévő csillapított rezgő kisülési áram okozta, amely megfordította a tű mágnesezését oda -vissza, amíg túl kicsi nem volt a hatáshoz, így a tű véletlenszerű irányba mágnesezett.

Joseph Henry amerikai fizikus megismételte Savary kísérletét 1842 -ben, és ugyanezre a következtetésre jutott, látszólag függetlenül. William Thomson brit tudós (Lord Kelvin) 1853 -ban matematikailag kimutatta, hogy a Leyden -edény induktivitáson keresztüli kisülésének oszcillálónak kell lennie, és levezette rezonanciafrekvenciáját.

Oliver Lodge brit rádiókutató azzal, hogy egy hosszú vezetéken keresztül kisütötte a Leyden -üvegek nagy elemét, egy hangolt áramkört hozott létre, amelynek rezonanciafrekvenciája az audio tartományban volt, és amely zenei hangot adott ki a szikrából, amikor lemerült. 1857 -ben Berend Wilhelm Feddersen német fizikus egy forgó tükörben lefényképezte a szikrát, amelyet egy rezonáns Leyden tégelykör okozott, és látható bizonyítékot szolgáltatott az oszcillációkról. 1868 -ban James Clerk Maxwell skót fizikus kiszámította azt a hatást, amelyet a váltakozó áramnak az induktivitással és kapacitással rendelkező áramkörre gyakorolt ​​hatása mutat, és azt mutatja, hogy a válasz a rezonanciafrekvencián maximális.

Az elektromos rezonanciagörbe első példáját Heinrich Hertz német fizikus tette közzé 1887-ben a rádióhullámok felfedezéséről szóló úttörő cikkében, amely bemutatja a szikraközű LC-rezonátor-detektorokból nyerhető szikra hosszát a frekvencia függvényében.

A hangolt áramkörök közötti rezonancia egyik első demonstrációja a Lodge "szintetikus üvegek" kísérlete volt 1889 körül. Két rezonanciaáramkört helyezett egymás mellé, mindegyik egy Leyden-edényből állt, amely egy állítható egyfordulatú tekercshez volt csatlakoztatva, szikraközökkel. Amikor egy indukciós tekercsből nagyfeszültséget alkalmaztak az egyik hangolt áramkörre, ami szikrákat és ezáltal oszcilláló áramokat hozott létre, a szikrák csak akkor gerjedtek a másik hangolt áramkörben, amikor az induktivitásokat rezonanciára állították. Lodge és néhány angol tudós ezt a hatást részesítette előnyben a " syntony " kifejezéssel, de a " rezonancia " kifejezés végül megragadt.

Az RLC áramkörök első gyakorlati alkalmazása az 1890 - es években volt a szikraközű rádióadókban, hogy lehetővé tegye a vevőegységnek az adóra történő hangolását. A tuningolást lehetővé tevő rádiórendszer első szabadalmát 1897 -ben nyújtotta be a Lodge, bár az első gyakorlati rendszereket 1900 -ban Guglielmo Marconi angol rádió -úttörő találta fel .

Alkalmazások

Változtatható hangolt áramkörök

Ezeket az áramköröket nagyon gyakran használják az analóg rádiók hangoló áramköreiben. Az állítható hangolást általában párhuzamos lemezváltozó kondenzátorral érik el, amely lehetővé teszi a C értékének megváltoztatását és a különböző frekvenciákon lévő állomásokra való hangolást. A rádió IF szakaszában , ahol a hangolás gyárilag előre be van állítva, a szokásos megoldás az induktor állítható magja az L beállításához . Ennél a kialakításnál a magot (nagy áteresztőképességű anyagból készítik, amely növeli az induktivitást) úgy menetesítik, hogy szükség szerint tovább csavarozható, vagy tovább csavarható ki az induktivitás tekercséből.

Szűrők

6. ábra RLC áramkör aluláteresztő szűrőként	7. ábra RLC áramkör, mint felüláteresztő szűrő
8. ábra Az RLC áramkör soros sávszűrőként a vonallal sorban	9. ábra. Az RLC áramkör párhuzamos sávszűrőként a vonalon áthaladó söntben
10. ábra. Az RLC áramkör soros sávszűrő szűrőként a vonalon keresztüli söntben	11. ábra. RLC áramkör, mint párhuzamos sáv-leállító szűrő sorban a vonallal

A szűrőalkalmazásban az ellenállás lesz a terhelés, amelybe a szűrő dolgozik. A csillapítási tényező értékét a szűrő kívánt sávszélessége alapján választják ki. A szélesebb sávszélesség érdekében nagyobb csillapítási tényezőre van szükség (és fordítva). A három komponens három szabadságfokot biztosít a tervezőnek. Ezek közül kettő szükséges a sávszélesség és a rezonanciafrekvencia beállításához. A tervezőnek még mindig maradt egy, amely felhasználható az R , L és C kényelmes gyakorlati értékekre történő skálázására . Alternatív megoldásként az R -t előre meghatározhatja a külső áramkör, amely az utolsó szabadságfokot fogja használni.

Aluláteresztő szűrő

Az RLC áramkör aluláteresztő szűrőként használható. Az áramkör konfigurációját a 6. ábra mutatja. A sarokfrekvenciát, azaz a 3 dB -es pont frekvenciáját a

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,.}$

Ez a szűrő sávszélessége is. A csillapítási tényezőt a

${\ displaystyle \ zeta = {\ frac {1} {2R_ {L}}} {\ sqrt {\ frac {L} {C}}} \ ,.}$

Magasáramú szűrő

A felüláteresztő szűrő a 7. ábrán látható. A sarokfrekvencia megegyezik az aluláteresztő szűrővel:

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,.}$

A szűrő ilyen szélességű ütközősávval rendelkezik.

Sávszűrő

A sávszűrő kialakítható RLC áramkörrel úgy, hogy sorba helyezi a soros LC áramkört a terhelési ellenállással, vagy egy párhuzamos LC áramkört párhuzamosan helyez el a terhelési ellenállással. Ezeket az elrendezéseket a 8. és a 9. ábra mutatja be. A középfrekvenciát a

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {c}} = {\ frac {1} {\ sqrt {LC}}} \ ,,}$

és a soros áramkör sávszélessége

${\ displaystyle \ Delta \ omega = {\ frac {R_ {L}} {L}} \ ,.}$

Az áramkör shunt verzióját nagy impedanciájú forrás, azaz állandó áramforrás hajtja. Ilyen körülmények között a sávszélesség

${\ displaystyle \ Delta \ omega = {\ frac {1} {CR_ {L}}} \ ,.}$

Sáv-stop szűrő

A 10. ábrán egy soros LC áramkör által kialakított sávos leállító szűrő látható a terhelésen. A 11. ábra egy sávos leállító szűrő, amelyet a terheléssel párhuzamos LC áramkör alkot. Az első eset nagy impedanciájú forrást igényel, így az áramot a rezonátorba terelik, amikor a rezonancia során alacsony impedanciájú lesz. A második eset alacsony impedanciájú forrást igényel, így a feszültség leesik az antirezonátoron, amikor nagy impedanciájú lesz a rezonancián.

Oszcillátorok

Az oszcillátor áramkörökben alkalmazott alkalmazásoknál általában kívánatos, hogy a csillapítás (vagy ezzel egyenértékű csillapítási tényező) a lehető legkisebb legyen. A gyakorlatban ez a cél megköveteli, hogy az áramkör R ellenállását a soros áramkör esetében fizikailag a lehető legkisebbre csökkentsük, vagy alternatívaként az R -t a lehető legnagyobbra növeljük egy párhuzamos áramkör esetén. Mindkét esetben az RLC áramkör jól megközelíti az ideális LC áramkört . A nagyon alacsony csillapítású áramköröknél (magas Q -tényező) azonban olyan kérdések válhatnak fontossá, mint a tekercsek és a kondenzátorok dielektromos vesztesége.

Egy oszcillátor áramkörben

${\ displaystyle \ alpha \ ll \ omega _ {0} \ ,,}$

vagy ezzel egyenértékűen

${\ displaystyle \ zeta \ ll 1 \ ,.}$

Ennek eredményeként

${\ displaystyle \ omega _ {\ mathrm {d}} \ kb \ omega _ {0} \ ,.}$

Feszültségszorzó

Soros RLC áramkörben rezonancia esetén az áramot csak az áramkör ellenállása korlátozza

${\ displaystyle I = {\ frac {V} {R}} \ ,.}$

Ha R kicsi, és csak az induktivitás tekercselési ellenállásából áll, akkor ez az áram nagy lesz. Ez csökkenti a feszültséget az induktoron

${\ displaystyle V_ {L} = {\ frac {V} {R}} \ omega _ {0} L \}}$

A kondenzátoron keresztül ugyanolyan nagyságú feszültség is látható, de az induktor ellenfázisában. Ha R kellően kicsi lehet, ezek a feszültségek többszörösei lehetnek a bemeneti feszültségnek. A feszültségviszony valójában az áramkör Q

${\ displaystyle {\ frac {V_ {L}} {V}} = Q \,}$

Hasonló hatás figyelhető meg a párhuzamos áramkörben lévő áramokkal. Annak ellenére, hogy az áramkör nagy impedanciának tűnik a külső forrás számára, a párhuzamos induktivitás és a kondenzátor belső hurkában nagy áram kering.

Impulzus kisülési kör

Túlcsillapított sorozatú RLC áramkör használható impulzus kisülési körként. Gyakran hasznos tudni a komponensek értékeit, amelyek felhasználhatók egy hullámforma előállításához. Ezt az űrlap írja le

${\ displaystyle I (t) = I_ {0} \ left (\, e^{-\ alpha \, t} -e^{-\ beta \, t} \ right) \ ,.}$

Egy ilyen áramkör tartalmazhat energiatároló kondenzátort, terhelést ellenállás formájában, némi áramköri induktivitást és kapcsolót - mindezt sorban. A kezdeti feltételek az, hogy a kondenzátor feszültsége, V ₀ , és nincs áram az induktorban. Ha az L induktivitás ismert, akkor a fennmaradó paramétereket a következő - kapacitás:

${\ displaystyle C = {\ frac {1} {~ L \, \ alpha \, \ beta \, ~}} \ ,,}$

ellenállás (teljes áramkör és terhelés):

${\ displaystyle R = L \, (\, \ alpha +\ beta \,) \ ,,}$

a kondenzátor kezdeti kapocsfeszültsége:

${\ displaystyle V_ {0} =-I_ {0} L \, \ alpha \, \ beta \, \ left ({\ frac {1} {\ beta}}-{\ frac {1} {\ alpha}} \jobb)\,.}$

Átrendezés arra az esetre, amikor R ismert - kapacitás:

${\ displaystyle C = {\ frac {~ \ alpha +\ beta ~} {R \, \ alpha \, \ beta}} \ ,,}$

induktivitás (teljes áramkör és terhelés):

${\ displaystyle L = {\ frac {R} {\, \ alpha +\ beta ~}} \ ,,}$

a kondenzátor kezdeti kapocsfeszültsége:

${\ displaystyle V_ {0} = {\ frac {\,-I_ {0} R \, \ alpha \, \ beta ~} {\ alpha +\ beta}} \ left ({\ frac {1} {\ beta }}-{\ frac {1} {\ alfa}} \ jobb) \,}$

Lásd még

• RC áramkör
• RL áramkör
• Lineáris áramkör

Hivatkozások

Bibliográfia

• Agarwal, Anant; Lang, Jeffrey H. (2005). Analóg és digitális elektronikus áramkörök alapjai . Morgan Kaufmann. ISBN 1-55860-735-8.
• Humar, JL (2002). A szerkezetek dinamikája . Taylor és Francis. ISBN 90-5809-245-3.
• Irwin, J. David (2006). Alapvető mérnöki áramkör elemzés . Wiley. ISBN 7-302-13021-3.
• Kaiser, Kenneth L. (2004). Elektromágneses összeférhetőségi kézikönyv . CRC Press. ISBN 0-8493-2087-9.
• Nilsson, James William; Riedel, Susan A. (2008). Elektromos áramkörök . Prentice Hall. ISBN 978-0-13-198925-2.