Folyamatos egyenletes elosztás - Continuous uniform distribution

Egyenruha

Valószínűségi sűrűség függvény A maximális konvenciót használva
Kumulatív eloszlásfüggvény
Jelölés	${\ displaystyle {\ mathcal {U}} _ {[a, b]}}$
Paraméterek	${\ displaystyle -\ infty <a <b <\ infty \,}$
Támogatás	${\ displaystyle x \ itt: [a, b]}$
PDF	${\ displaystyle {\ begin {case} {\ frac {1} {ba}} & {\ text {for}} x \ in [a, b] \\ 0 & {\ text {egyébként}} \ end {case} }}$
CDF	${\ displaystyle {\ begin {case} 0 & {\ text {for}} x <a \\ {\ frac {xa} {ba}} & {\ text {for}} x \ in [a, b] \\ 1 & {\ text {for}} x> b \ end {tok}}}$
Átlagos	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (a+b)}$
Középső	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {2}} (a+b)}$
Mód	bármilyen érték ${\ displaystyle (a, b)}$
Variancia	${\ displaystyle {\ tfrac {1} {12}} (ba)^{2}}$
Ferdeség	0
Volt. kurtosis	${\ displaystyle -{\ tfrac {6} {5}}}$
Entrópia	${\ displaystyle \ ln (ba) \,}$
MGF	${\ displaystyle {\ begin {case} {\ frac {\ mathrm {e} ^{tb}-\ mathrm {e} ^{ta}} {t (ba)}} és {\ text {for}} t \ neq 0 \\ 1 & {\ text {for}} t = 0 \ end {case}}}$
CF	${\ displaystyle {\ begin {case} {\ frac {\ mathrm {e} ^{itb}-\ mathrm {e} ^{ita}} {it (ba)}} és {\ text {for}} t \ neq 0 \\ 1 & {\ text {for}} t = 0 \ end {case}}}$

A valószínűségelméletben és a statisztikákban a folyamatos egyenletes eloszlás vagy téglalap alakú eloszlás a szimmetrikus valószínűségi eloszlások családja . Az eloszlás egy olyan kísérletet ír le, amelyben tetszőleges eredmény van, amely bizonyos határok között helyezkedik el. A határokat az a és b paraméterek határozzák meg , amelyek a minimális és maximális értékek. Az intervallum lehet zárt (pl. [A, b]) vagy nyitott (pl. (A, b)). Ezért az eloszlást gyakran rövidítik U ( a , b ), ahol az U egyenletes eloszlást jelent. A határok közötti különbség határozza meg az intervallum hosszát; minden azonos hosszúságú intervallum az elosztás alátámasztásán ugyanolyan valószínű. Ez az X véletlen változó legnagyobb entrópiás valószínűségi eloszlása , amely nem korlátozódik más módon, mint az, hogy az eloszlás támogatása tartalmazza.

Definíciók

Valószínűségi sűrűség függvény

A folytonos egyenletes eloszlás valószínűségi sűrűségfüggvénye :

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {ba}} & \ mathrm {for} \ a \ leq x \ leq b, \\ [8pt] 0 & \ mathrm {for} \ x <a \ \ mathrm {vagy} \ x> b \ end {tok}}}$

Az f ( x ) értékei az a és b két határon általában nem fontosak, mert nem változtatják meg f ( x )  dx integráljainak értékeit semmilyen intervallumon belül, sem x  f ( x )  dx vagy bármely magasabb pillanatban. Néha úgy döntenek, hogy nulla, és néha úgy vannak 1/b  -  a. Ez utóbbi a maximális valószínűség módszerével történő becslés összefüggésében megfelelő . Az összefüggésben Fourier-analízis , az egyik lehet az értéke a F ( a ) vagy F ( b ), hogy1/2 ( b  -  a ), azóta ennek az egységes függvénynek a sok integrált transzformációjának fordított transzformációja magát a függvényt fogja visszaadni, nem pedig a " szinte mindenhol " egyenlő függvényt , azaz egy nulla mértékű ponthalmaz kivételével . Ezenkívül összhangban van a jel funkcióval is, amelynek nincs ilyen kétértelműsége.

Grafikailag a valószínűségi sűrűség függvényt téglalapként ábrázoljuk, ahol az alap és a magasság. Az a és b közötti távolság növekedésével a sűrűség az eloszlási határokon belül bármely adott értéken csökken. Mivel a valószínűségi sűrűség függvény 1 -be integrálódik, a valószínűségi sűrűség függvény magassága az alaphossz növekedésével csökken. ${\ displaystyle ba}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {ba}}}$

Az átlagos μ -t és a σ ² varianciát tekintve a valószínűségi sűrűség a következőképpen írható fel:

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {2 \ sigma {\ sqrt {3}}}} és {\ mbox {for}}-\ sigma {\ sqrt {3} } \ leq x- \ mu \ leq \ sigma {\ sqrt {3}} \\ 0 & {\ text {egyébként}} \ vége {esetek}}}$

Kumulatív eloszlásfüggvény

A kumulatív eloszlás függvény :

${\ displaystyle F (x) = {\ begin {case} 0 & {\ text {for}} x <a \\ [8pt] {\ frac {xa} {ba}} és {\ text {for}} a \ leq x \ leq b \\ [8pt] 1 & {\ text {for}} x> b \ end {tok}}}$

Fordítottja a következő:

${\ displaystyle F^{-1} (p) = a+p (ba) \, \, {\ text {for}} 0 <p <1}$

Az átlag és variancia jelölésben a kumulatív eloszlásfüggvény:

${\ displaystyle F (x) = {\ begin {case} 0 & {\ text {for}} x- \ mu <-\ sigma {\ sqrt {3}} \\ {\ frac {1} {2}} \ bal ({\ frac {x- \ mu} {\ sigma {\ sqrt {3}}}}+1 \ jobb) & {\ text {for}}-\ sigma {\ sqrt {3}} \ leq x- \ mu <\ sigma {\ sqrt {3}} \\ 1 & {\ text {for}} x- \ mu \ geq \ sigma {\ sqrt {3}} \ end {case}}}$

és fordítva:

${\ displaystyle F^{-1} (p) = \ sigma {\ sqrt {3}} (2p-1)+\ mu \, \, {\ text {for}} 0 \ leq p \ leq 1}$

Példa 1. Az Egységes kumulatív elosztási függvény használata

Az X véletlen változóra

${\ displaystyle X \ sim U (0,23)}$

Keresse : ${\ displaystyle \ scriptstyle P (2 <X <18)}$

${\ displaystyle P (2 <X <18) = (18-2) \ cdot {\ frac {1} {23-0}} = {\ frac {16} {23}}}$.

Az egyenletes eloszlásfüggvény grafikus ábrázolásában [f (x) vs x] a görbe alatti terület a megadott határokon belül megjeleníti a valószínűséget (az árnyékos terület téglalapként van ábrázolva). A fenti konkrét példa esetében az alap és a magasság lenne . ${\ displaystyle \ scriptstyle 18-2}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {23}}}$

2. példa Az egységes kumulatív elosztási függvény használata (feltételes)

Az X véletlen változóra

${\ displaystyle X \ sim U (0,23)}$

Keresse : ${\ displaystyle \ scriptstyle P (X> 12 \ | \ X> 8)}$

${\ displaystyle P (X> 12 \ | \ X> 8) = (23-12) \ cdot {\ frac {1} {23-8}} = {\ frac {11} {15}}}$.

A fenti példa az egyenletes eloszlás feltételes valószínűségi esetére vonatkozik: adott igaz, mekkora annak valószínűsége . A feltételes valószínűség megváltoztatja a mintaterületet, ezért új intervallumhosszat kell kiszámítani, ahol b 23, a pedig 8. A grafikus ábrázolás továbbra is az 1. példát követné, ahol a görbe alatti terület a megadott határokon belül megjeleníti a valószínűséget és a bázist a téglalap és a magasság . ${\ displaystyle \ scriptstyle X> 8}$${\ displaystyle \ scriptstyle X> 12}$${\ displaystyle ba}$${\ displaystyle \ scriptstyle 23-12}$${\ displaystyle \ scriptstyle {\ frac {1} {15}}}$

Funkciók generálása

Pillanatképző funkció

A pillanatgeneráló funkció a következő:

${\ displaystyle M_ {x} = E (e^{tx}) = {\ frac {e^{tb} -e^{ta}} {t (ba)}} \, \!}$

amelyből kiszámíthatjuk a nyers momentumokat m _k

${\ displaystyle m_ {1} = {\ frac {a+b} {2}}, \, \!}$

${\ displaystyle m_ {2} = {\ frac {a^{2}+ab+b^{2}} {3}}, \, \!}$

${\ displaystyle m_ {k} = {\ frac {1} {k+1}} \ sum _ {i = 0}^{k} a^{i} b^{ki}. \, \!}$

Abban a különleges esetben egy  = - b , azaz a

${\ displaystyle f (x) = {\ begin {case} {\ frac {1} {2b}} & {\ text {for}} \ -b \ leq x \ leq b, \\ [8pt] 0 & {\ szöveg {egyébként}}, \ end {esetek}}}$

a pillanatgeneráló függvények egyszerű formára redukálódnak

${\ displaystyle M_ {x} = {\ frac {\ sinh bt} {bt}}.}$

Az ezt az eloszlást követő véletlen változó esetén a várható érték ekkor m ₁ = ( a  +  b ) /2, a szórás pedig m ₂  -  m ₁ ² = ( b  -  a ) ² /12.

Cumulant generáló funkció

Az n  ≥ 2 , a n- edik kumuláns az egyenletes eloszlás intervallumon [-1/2, 1/2] jelentése B _n / n , ahol B _n jelentése a N edik Bernoulli számát .

Szabványos egyenruha

Korlátozó és a kapott U (0,1) eloszlást szabványos egyenletes eloszlásnak nevezzük . ${\ displaystyle a = 0}$${\ displaystyle b = 1}$

A standard egyenletes eloszlás egyik érdekes tulajdonsága, hogy ha u _1- nek szabványos egyenletes eloszlása ​​van, akkor az 1- u _{1-nek is} . Ez a tulajdonság többek között antitetikus variánsok előállítására is használható . Más szóval, ezt a tulajdonságot inverziós módszerként ismerik, ahol a folyamatos szabványos egyenletes eloszlás használható véletlen számok generálására bármely más folyamatos eloszláshoz. Ha u egy egyenletes véletlen szám standard egyenletes eloszlással (0,1), akkor egy x véletlen számot generál minden folyamatos eloszlásból a meghatározott F halmozott eloszlásfüggvénnyel . ${\ displaystyle x = F^{-1} (u)}$

Kapcsolat más funkciókkal

Amíg ugyanazokat a konvenciókat követik az átmeneti pontokon, a valószínűségi sűrűség függvénye kifejezhető a Heaviside lépésfüggvényben is :

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ operatornév {H} (xa)-\ operatornév {H} (xb)} {ba}}, \, \!}$

vagy a téglalap függvény szempontjából

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {1} {ba}} \, \ operatornév {rect} \ left ({\ frac {x- \ left ({\ frac {a+b} {2}}) jobb)}} {ba}} \ jobb).}$

Nincs kétértelműség az átmeneti ponton a jel funkció . Az átmeneti pontokon a félmaximális konvenciót alkalmazva az egyenletes eloszlás az előjel függvényében a következőképpen fejezhető ki:

${\ displaystyle f (x) = {\ frac {\ operatornév {sgn} {(xa)}-\ operatornév {sgn} {(xb)}} {2 (ba)}}.}$

Tulajdonságok

Pillanatok

Az eloszlás átlaga (első pillanata ):

${\ displaystyle E (X) = {\ frac {1} {2}} (b+a).}$

Az elosztás második mozzanata:

${\ displaystyle E (X^{2}) = {\ frac {b^{3} -a^{3}} {3b-3a}}.}$

Általában az egyenletes eloszlás n -edik pillanata:

${\ displaystyle E (X^{n}) = {\ frac {b^{n+1} -a^{n+1}} {(n+1) (ba)}} = {\ frac {1} {n+1}} \ összeg _ {k = 0}^{n} a^{k} b^{nk}.}$

A szórás (második központi momentum ):

${\ displaystyle V (X) = {\ frac {1} {12}} (ba)^{2}}$

Rendelési statisztika

Legyen X ₁ , ..., X _n egy iid minta az U (0,1) -ből . Legyen X _{( k )} a k -edrendű statisztika ebből a mintából. Ekkor X _{( k )} valószínűségi eloszlása egy béta -eloszlás , k és n - k + 1 paraméterekkel . A várható érték az

${\ displaystyle \ operatornév {E} (X _ {(k)}) = {k \ over n+1}.}$

Ez a tény hasznos a Q – Q ábrák készítésekor .

Az eltérések az

${\ displaystyle \ operatornév {V} (X _ {(k)}) = {k (n-k+1) \ over (n+1)^{2} (n+2)}.}$

Lásd még: Rendelési statisztika § A rendelési statisztika valószínűségi eloszlása

Egységesség

Annak a valószínűsége, hogy egy egyenletes eloszlású véletlen változó a rögzített hosszúságú intervallumok bármelyikébe esik, független az intervallum helyétől (de függ az intervallum méretétől), mindaddig, amíg az intervallumot az eloszlás támogatása tartalmazza.

Ennek megtekintéséhez, ha X ~ U ( a , b ) és [ x , x + d ] az [ a , b ] részintervalluma , fix d > 0 -val , akkor

${\ displaystyle P \ left (X \ in \ left [x, x+d \ right] \ right) = \ int _ {x}^{x+d} {\ frac {\ mathrm {d} y} {ba }} \, = {\ frac {d} {ba}} \, \!}$amely független x -től . Ez a tény motiválja a terjesztés nevét.

Általánosítás a Borel halmazokra

Ez az eloszlás bonyolultabb halmazokra általánosítható, mint az intervallumok. Ha S jelentése egy Borel sor pozitív, véges mérték, egyenletes valószínűségi eloszlás S megadható meghatározásával PDF nullának kívül S és folyamatosan egyenlő 1 / K a S , ahol K jelentése a Lebesgue intézkedés az S .

Kapcsolódó disztribúciók

• Ha X szabványos egyenletes eloszlású, akkor az inverz transzformációs mintavételi módszerrel Y = - λ ⁻¹ ln (X) exponenciális eloszlással rendelkezik (λ) (sebesség) paraméterrel.
• Ha X egy szabványos egyenletes eloszlású, akkor Y = X ⁿ van egy beta eloszlású paraméterekkel ( 1 / n, 1) . Mint olyan,
• A szabványos egyenletes eloszlás egy speciális esete a béta eloszlás paraméterekkel ( 1,1) .
• Az Irwin – Hall eloszlás az n i.id U (0,1) eloszlás összege .
• Két független, egyenlő eloszlású, egyenletes eloszlás összege szimmetrikus háromszög eloszlást eredményez .
• A távolság két azonos eloszlású egyenletes eloszlású véletlen változók is van egy háromszög alakú elosztó , bár nem szimmetrikus.

Statisztikai következtetés

A paraméterek becslése

A maximum becslése

Minimális szórású elfogulatlan becslő

Ha a [0, b ] egyenletes eloszlása  ismeretlen , a b minimális variancia elfogulatlan becslője (UMVUE) a

${\ displaystyle {\ hat {b}} _ {\ text {UMVU}} = {\ frac {k+1} {k}} m = m+{\ frac {m} {k}}}$

ahol m a minta maximum és k a minta mérete , mintavétel helyettesítés nélkül (bár ez a megkülönböztetés szinte biztosan nem tesz különbséget a folyamatos eloszlás esetén). Ez ugyanazon okokból következik, mint a diszkrét eloszlás becslése , és a maximális távolság becslésének nagyon egyszerű esetének tekinthető . Ez a probléma általánosan német tartályprobléma néven ismert, mivel a második világháború alatti német tankgyártás becsléseihez maximális becslést alkalmaznak .

Maximális valószínűségbecslő

A maximális valószínűségbecslőt a következők adják meg:

${\ displaystyle {\ hat {b}} _ {ML} = m}$

ahol m a minta maximum , a minta maximális rendelési statisztikájaként is jelölve . ${\ displaystyle m = X _ {(n)}}$

Nyomatékbecslő módszer

A pillanatbecslő módszerét a következőképpen adjuk meg:

${\ displaystyle {\ hat {b}} _ {MM} = 2 {\ bar {X}}}$

hol van a minta átlaga. ${\ displaystyle {\ bar {X}}}$

A középpont becslése

Az eloszlás felezőpontja ( a  +  b ) / 2 az egyenletes eloszlás átlaga és mediánja is. Bár mind a minta átlaga, mind a minta mediánja elfogulatlan becslése a középpontnak, egyik sem olyan hatékony, mint a minta középtartománya , azaz a minta maximumának és a minta minimumának számtani átlaga, amely a középpont UMVU becslője (és a maximális valószínűségi becslés is ).

Megbízhatósági intervallum

A maximumért

Legyen X ₁ , X ₂ , X ₃ , ..., X _n minta, ahonnan L a populáció maximuma. Ekkor X _{( n )} = max ( X ₁ , X ₂ , X ₃ , ..., X _n ) Lebesgue-Borel sűrűséggel rendelkezik${\ displaystyle U _ {[0, L]}}$${\ displaystyle f: = {\ frac {d \ Pr _ {X _ {(n)}}} {d \ lambda}}}$

${\ displaystyle f (t) = n {\ frac {1} {L}} \ bal ({\ frac {t} {L}} \ jobb)^{n-1} = n {\ frac {t^{ n-1}} {L^{n}}}, 0 \ leq t \ leq L}$

A korábban megadott bizalmi intervallum matematikailag helytelen, mivel ennek ismerete nélkül nem oldható meg . Az ember azonban meg tudja oldani ${\ displaystyle \ Pr ([{{kalap {\ theta}}, {\ kalap {\ theta}}+\ epsilon] \ ni \ theta) \ geq 1- \ alpha}$${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle \ theta}$

${\displaystyle \Pr([{\hat {\theta }},{\hat {\theta }}(1+\epsilon )]\ni \theta )\geq 1-\alpha }$ for  ${\displaystyle \epsilon \geq (1-\alpha )^{-1/n}-1}$ for any unknown but valid ${\displaystyle \theta }$,

azután a lehető legkisebbet választja, amely megfelel a fenti feltételnek. Vegye figyelembe, hogy az intervallum hossza a véletlen változótól függ . ${\ displaystyle \ epsilon}$${\ displaystyle {\ hat {\ theta}}}$

Előfordulás és alkalmazások

Az egyenletes eloszlásfüggvény valószínűségeit egyszerű kiszámítani a függvényforma egyszerűsége miatt. Ezért számos alkalmazás használható erre az eloszlásra az alábbiak szerint: hipotézisvizsgálati helyzetek, véletlenszerű mintavételi esetek, pénzügy stb. Továbbá általában a fizikai eredetű kísérletek egyenletes eloszlást követnek (pl. Radioaktív részecskék kibocsátása ). Fontos azonban megjegyezni, hogy minden alkalmazásban fennáll a változatlan feltételezés, hogy a rögzített hosszúságú intervallumban való esés valószínűsége állandó.

Gazdasági példa az egységes elosztásra

A közgazdaságtan területén általában a kereslet és az utánpótlás nem követi a várt normál eloszlást. Ennek eredményeként más eloszlási modelleket használnak a valószínűségek és tendenciák jobb előrejelzésére, mint például a Bernoulli -folyamat . Wanke (2008) szerint azonban abban a konkrét esetben, amikor a készletgazdálkodás átfutási idejét kell vizsgálni az életciklus elején, amikor egy teljesen új terméket elemeznek, az egységes elosztás hasznosabbnak bizonyul. Ebben a helyzetben előfordulhat, hogy más forgalmazás nem életképes, mivel nincsenek meglévő adatok az új termékről, vagy hogy a keresleti előzmények nem érhetők el, tehát valójában nincs megfelelő vagy ismert forgalmazás. Az egyenletes eloszlás ideális lenne ebben a helyzetben, mivel az átfutási idő véletlen változója (a kereslethez kapcsolódóan) ismeretlen az új terméknél, de az eredmények valószínűleg két elfogadható tartomány között mozognak. Az átfutási idő tehát a véletlen változót képviseli. Az egységes elosztási modellből más, az átfutási idővel kapcsolatos tényezőket is ki lehetett számítani, mint például a ciklusszolgáltatás szintjét és a ciklusonkénti hiányt . Azt is megjegyezték, hogy a számítások egyszerűsége miatt az egyenletes eloszlást is alkalmazták.

Mintavétel tetszőleges eloszlásból

Az egyenletes eloszlás hasznos az önkényes eloszlásokból történő mintavételhez. Általános módszer az inverz transzformációs mintavételi módszer, amely a cél véletlen változó kumulatív eloszlási függvényét (CDF) használja. Ez a módszer nagyon hasznos az elméleti munkában. Mivel az ezzel a módszerrel végzett szimulációk a célváltozó CDF -jének megfordítását igénylik, alternatív módszereket dolgoztak ki azokban az esetekben, amikor a cdf nem ismert zárt formában. Az egyik ilyen módszer az elutasító mintavétel .

A normális eloszlás fontos példa, ahol az inverz transzformációs módszer nem hatékony. Van azonban egy pontos módszer, a Box – Muller transzformáció , amely az inverz transzformációt használja fel két független egységes véletlen változó két független normál eloszlású véletlen változóvá alakítására .

Kvantálási hiba

Az analóg-digitális átalakítás során kvantálási hiba lép fel. Ez a hiba kerekítésből vagy csonkolásból ered. Ha az eredeti jel sokkal nagyobb, mint egy legkevésbé szignifikáns bit (LSB) , akkor a kvantálási hiba nincs szignifikáns korrelációban a jellel, és hozzávetőleg egyenletes eloszlású. Az RMS hiba tehát ennek az eloszlásnak a varianciájából következik.

Számítási módszerek

Mintavétel egyenletes eloszlásból

Sok olyan alkalmazás létezik, amelyekben hasznos szimulációs kísérleteket futtatni. Sok programozási nyelv megvalósítással rendelkezik ál-véletlen számok generálására, amelyek hatékonyan oszlanak el a szabványos egységes eloszlás szerint.

Ha u a standard egyenletes eloszlásból vett minta, akkor az a + ( b - a ) u érték követi az a és b paraméterekkel egyenletes eloszlást , a fentiek szerint.

Történelem

Míg az egységes eloszlás felfogásának történelmi eredete nem meggyőző, feltételezések szerint az „egyenruha” kifejezés a kockajátékok esélyegyenlőségének koncepciójából ered (vegye figyelembe, hogy a kockajátékok diszkrét és nem folyamatos egységes mintaterülettel rendelkeznének). Az esélyegyenlőséget megemlítette Gerolamo Cardano Liber de Ludo Aleae című, 16. századi kézikönyve, amely részletesen ismerteti a kockákra vonatkozó fejlett valószínűségi számításokat.

Lásd még

• Egységes eloszlás (diszkrét)
• Béta forgalmazás
• Box – Muller transzformáció
• Valószínűségi ábrázolás
• Q – Q görbe
• Téglalap alakú funkció
• Irwin – Hall eloszlás- A degenerált esetben, ahol n = 1, az Irwin-Hall eloszlás egyenletes eloszlást generál 0 és 1 között.
• Bates eloszlás- Hasonló az Irwin-Hall disztribúcióhoz, de n-re méretezve. Az Irwin-Hall eloszláshoz hasonlóan, degenerált esetben, ahol n = 1, a Bates-eloszlás egyenletes eloszlást generál 0 és 1 között.

Hivatkozások

További irodalom

• Casella, George; Roger L. Berger (2001), Statisztikai közlemény (2. kiadás), ISBN 978-0-534-24312-8, LCCN  2001025794

Külső linkek

• Egységes online elosztó számológép (folyamatos)