Analitikus számelmélet -Analytic number theory

Riemann zéta függvény ζ ( s ) a komplex síkban . Az s pont színe ζ ( s ) értékét kódolja : a feketéhez közeli színek a nullához közeli értékeket jelölik, míg a színárnyalat az érték argumentumát kódolja .

A matematikában az analitikus számelmélet a számelmélet egyik ága , amely a matematikai elemzés módszereit használja az egész számokkal kapcsolatos problémák megoldására . Gyakran mondják, hogy Peter Gustav Lejeune Dirichlet 1837-es Dirichlet L -függvényeinek bevezetésével kezdődött , és ez adta az első bizonyítékot Dirichlet aritmetikai progresszióról szóló tételére . Jól ismert a prímszámokra vonatkozó eredményeiről (beleértve a prímszám-tételt és a Riemann-zéta-függvényt ) és az additív számelméletről (mint például a Goldbach-sejtés és a Waring-probléma ).

Az analitikus számelmélet ágai

Az analitikus számelmélet két nagy részre osztható, amelyeket inkább a megoldani kívánt problémák típusa, mintsem a technika alapvető különbségei osztanak szét.

• A szorzószámelmélet a prímszámok eloszlásával foglalkozik , például egy intervallumban lévő prímszámok becslésével, és magában foglalja a prímszám-tételt és Dirichlet-tételt a prímszámokról aritmetikai sorozatokban .
• Az additív számelmélet az egész számok additív szerkezetével foglalkozik, mint például Goldbach sejtése , hogy minden 2-nél nagyobb páros szám két prímszám összege. Az additív számelmélet egyik fő eredménye a Waring-probléma megoldása .

Történelem

Prekurzorok

Az analitikus számelmélet nagy részét a prímszámtétel ihlette . Legyen π( x ) az a prímszámláló függvény , amely bármely  x valós szám esetén megadja az x -nél kisebb vagy azzal egyenlő prímszámokat . Például π(10) = 4, mert négy prímszám van (2, 3, 5 és 7), amelyek kisebbek vagy egyenlőek 10-nél. A prímszámtétel ezután kimondja, hogy x / ln( x ) jó közelítése π - hez . ( x ), abban az értelemben, hogy a két π( x ) és x / ln( x ) függvény hányadosának határa x a végtelenhez közeledve 1:

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\ln(x)}}=1,}$

a prímszámok eloszlásának aszimptotikus törvényeként ismert.

Adrien-Marie Legendre 1797-ben vagy 1798-ban sejtette, hogy a π( a )-t az a /( A ln( a ) +  B ) függvény közelíti , ahol A és B nem meghatározott állandók. Számelméleti könyvének második kiadásában (1808) aztán pontosabb sejtést tett, ahol A  = 1 és B  ≈ −1,08366. Carl Friedrich Gauss ugyanezt a kérdést fontolgatta: "Im Jahr 1792 oder 1793" ('1792-ben vagy 1793-ban'), saját emlékei szerint közel hatvan évvel később Enckének írt levelében (1849) írta logaritmustáblázatába. (akkor 15 vagy 16 éves volt) a "Primzahlen unter " ("prímszámok ") rövid hangjegy. De Gauss soha nem publikálta ezt a sejtést. 1838-ban Peter Gustav Lejeune Dirichlet kitalálta a saját közelítő függvényét, a li( x ) logaritmikus integrált (a sorozat kissé eltérő alakjában, amelyet Gaussnak közölt). Mind a Legendre-, mind a Dirichlet-képlet ugyanazt a π( x ) és x  / ln( x ) sejtett aszimptotikus ekvivalenciáját jelenti, bár kiderült, hogy a Dirichlet-féle közelítés lényegesen jobb, ha hányadosok helyett a különbségeket vesszük figyelembe. ${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$${\displaystyle a(=\infty ){\frac {a}{\ln a}}}$

Dirichlet

Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet nevéhez fűződik az analitikus számelmélet megalkotása, amely területen számos mélyreható eredményre jutott, és ezek bizonyítása során bevezetett néhány alapvető eszközt, amelyek közül sokat később róla neveztek el. 1837-ben publikálta Dirichlet tételét az aritmetikai progresszióról , amely matematikai elemzési koncepciókat használt egy algebrai probléma megoldására, és ezzel létrehozta az analitikus számelmélet ágát. A tétel bizonyítása során bevezette a Dirichlet-karaktereket és az L-függvényeket . 1841 - ben általánosította az aritmetikai progressziós tételt egész számokról a Gauss - egész számok gyűrűjére . ${\displaystyle \mathbb {Z} [i]}$

Csebisev

Pafnuty L'vovich Chebisev orosz matematikus két, 1848-ból és 1850-ből származó cikkében megpróbálta bizonyítani a prímszámok eloszlásának aszimptotikus törvényét. Munkája figyelemre méltó a zéta ζ( s ) függvény használatáról (az "s" argumentum valódi értékeihez, ahogy Leonhard Euler munkái már 1737-ben), ami megelőzte Riemann ünnepelt 1859-es emlékiratát, és sikerült bebizonyítania. az aszimptotikus törvény egy kicsit gyengébb formája, nevezetesen, hogy ha egyáltalán létezik π( x )/( x /ln( x )) határértéke, amikor x a végtelenbe megy, akkor az szükségszerűen egyenlő eggyel. Feltétlenül be tudta bizonyítani, hogy ezt az arányt fent és lent két, explicit módon megadott, 1-hez közeli állandó korlátozza minden x esetén . Bár Csebisev dolgozata nem igazolta a prímszám-tételt, π( x )-re vonatkozó becslései elég erősek voltak ahhoz, hogy bebizonyítsa Bertrand feltevését , miszerint létezik n és 2 n közötti prímszám bármely n  ≥ 2 egész számra .

Riemann

Bernhard Riemann néhány híres hozzájárulást tett a modern analitikus számelmélethez. Egyetlen rövid írásában ( az egyetlen, amelyet a számelmélet témakörében publikált) megvizsgálta a Riemann zéta-függvényt , és megállapította annak fontosságát a prímszámok eloszlásának megértésében . Számos sejtést tett a zéta-függvény tulajdonságairól , amelyek közül az egyik a jól ismert Riemann-hipotézis .

Hadamard és de la Vallée-Poussin

Riemann gondolatait kiterjesztve a prímszámtétel két bizonyítását egymástól függetlenül Jacques Hadamard és Charles Jean de la Vallée-Poussin szerezte meg , és ugyanabban az évben (1896) jelent meg. Mindkét bizonyítás komplex analízis módszereit használta, a bizonyítás fő lépéseként megállapítva, hogy a ζ( s ) Riemann-zéta függvény nullától eltérő az s változó összes olyan komplex értékére , amely s  = 1 +  it , ha t  > 0. .

Modern idők

1950 után a legnagyobb technikai változást a szitamódszerek fejlesztése jelentette , különösen a multiplikatív problémák esetében. Ezek kombinatorikus jellegűek, és meglehetősen változatosak. A kombinatorikus elmélet szélsőséges ágát cserébe nagymértékben befolyásolta az analitikus számelméletben a mennyiségi felső és alsó korlátokra helyezett érték. Egy másik közelmúltbeli fejlemény a valószínűségi számelmélet , amely a valószínűségszámítás módszereit használja a számelméleti függvények eloszlásának becslésére, például arra, hogy egy számnak hány prímosztója van.

Konkrétan Yitang Zhang , James Maynard , Terence Tao és Ben Green áttörései a területen a Goldston – Pintz – Yıldırım módszert alkalmazták . Amit eredetileg ennek bizonyítására használtak

$${\displaystyle p_{n+1}-p_{n}\geq o(\log p_{n}).}$$

Az analitikus számelméleten belüli fejlesztések gyakran a korábbi technikák finomításai, amelyek csökkentik a hibatagokat és kiterjesztik alkalmazhatóságukat. Például Hardy és Littlewood körmódszerét úgy képzelték el, hogy az összetett síkban az egységkör közelében lévő hatványsorokra vonatkozik ; most véges exponenciális összegekben gondolkodik (vagyis az egységkörön, de a hatványsor csonkolásával). A diofantin közelítést olyan segédfüggvényekre kell alkalmazni , amelyek nem generálnak függvényeket – együtthatóikat a galamblyuk elv alapján állítják össze – és több összetett változót foglalnak magukban . A diofantini közelítés és a transzcendenciaelmélet területei odáig bővültek, hogy a technikákat a Mordell-sejtésben alkalmazták .

Problémák és eredmények

Az analitikus számelméleten belüli tételek és eredmények általában nem pontos strukturális eredmények az egész számokról, amelyekre az algebrai és geometriai eszközök alkalmasabbak. Ehelyett hozzávetőleges korlátokat és becsléseket adnak különböző számelméleti függvényekre, amint azt a következő példák illusztrálják.

Szorzószámelmélet

Eukleidész megmutatta, hogy végtelen sok prímszám létezik. Fontos kérdés a prímszámok aszimptotikus eloszlásának meghatározása; vagyis durva leírása annak, hogy hány prím kisebb egy adott számnál. Többek között Gauss , miután kiszámolta a prímek nagy listáját, azt sejtette, hogy a nagy N számnál kisebb vagy azzal egyenlő prímek száma közel van az integrál értékéhez.

${\displaystyle \int _{2}^{N}{\frac {1}{\log t}}\,dt.}$

1859-ben Bernhard Riemann komplex elemzést és egy speciális meromorf függvényt használt, amely ma Riemann zéta-függvényként ismert, hogy analitikus kifejezést származtasson az x valós számnál kisebb vagy azzal egyenlő prímszámokra  . Figyelemre méltó, hogy Riemann formulájában a fő kifejezés pontosan a fenti integrál volt, jelentős súlyt kölcsönözve Gauss sejtésének. Riemann azt találta, hogy ebben a kifejezésben a hibatagok, és így a prímek elosztásának módja is szorosan összefüggenek a zéta-függvény összetett nulláival. Riemann ötleteit felhasználva, és a zéta-függvény nulláiról több információt szerezve, Jacques Hadamardnak és Charles Jean de la Vallée-Poussinnak sikerült befejeznie Gauss sejtésének bizonyítását. Különösen azt bizonyították, hogy ha

${\displaystyle \pi (x)=({\szöveg{prímszámok száma }}\leq x),}$

akkor

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x)}{x/\log x}}=1.}$

Ez a figyelemre méltó eredmény az, amit ma prímszámtételként ismerünk . Az analitikus számelmélet központi eredménye. Lazán szólva azt állítja, hogy nagy N szám mellett az N- nél kisebb vagy egyenlő prímszámok száma körülbelül N /log( N ).

Általánosságban elmondható, hogy ugyanaz a kérdés feltehető bármely a+nq aritmetikai sorozat prímszámaira vonatkozóan bármely n egész számra . Az analitikai technikák egyik első számelméleti alkalmazásában Dirichlet bebizonyította, hogy minden a és q koprímszámmal rendelkező aritmetikai sorozat végtelen sok prímszámot tartalmaz. A prímszámtétel általánosítható erre a problémára; bérbeadása

${\displaystyle \pi (x,a,q)=({\szöveg{prímszámok száma }}\leq x{\text{ úgy, hogy }}p{\szöveg{ a számtani folyamatban legyen }}a+nq, n\in \mathbf {Z} ),}$

akkor ha a és q koprím,

${\displaystyle \lim _{x\to \infty }{\frac {\pi (x,a,q)\phi (q)}{x/\log x}}=1.}$

A számelméletben sok mély és széles körű sejtés is létezik, amelyek bizonyítása túl nehéznek tűnik a jelenlegi technikákhoz, mint például az ikerprím-sejtés , amely azt kérdezi, hogy van-e végtelenül sok p prím , amelyre p  + 2 prím. Az Elliott–Halberstam-sejtés feltételezése alapján a közelmúltban bebizonyosodott, hogy végtelen sok p prím van úgy, hogy p  +  k prímje valamilyen pozitívnak, még legfeljebb 12-nek. Ezenkívül feltétel nélkül bebizonyosodott (azaz nem függ a bizonytalanoktól). sejtések), hogy végtelenül sok p prím van úgy, hogy p  +  k prímjele néhány pozitívnak, még legfeljebb 246- nak .

Additív számelmélet

Az additív számelmélet egyik legfontosabb problémája a Waring-probléma , amely azt kérdezi, hogy lehetséges-e bármely k ≥ 2 esetén bármilyen pozitív egész számot felírni korlátos számú k -edik hatvány  összegeként ,

${\displaystyle n=x_{1}^{k}+\cdots +x_{\ell }^{k}.}$

A négyzetek esetére, k  = 2, Lagrange válaszolt 1770-ben, aki bebizonyította, hogy minden pozitív egész legfeljebb négy négyzet összege. Az általános esetet Hilbert bizonyította 1909-ben, olyan algebrai technikákkal, amelyek nem adtak kifejezett határokat. Fontos áttörést jelentett, hogy Hardy és Littlewood analitikai eszközöket alkalmaz a problémára . Ezeket a technikákat kör-módszernek nevezik, és kifejezett felső korlátot adnak a G ( k ) függvénynek , a legkisebb számú k -edik hatványra, mint például a Vinogradov -féle korlátra.

${\displaystyle G(k)\leq k(3\log k+11).}$

Diofantin problémák

A diofantin feladatok polinomiális egyenletek egész számú megoldására vonatkoznak: tanulmányozhatjuk a megoldások eloszlását, vagyis a megoldások megszámlálását valamilyen "méret" vagy magasság mértéke szerint .

Fontos példa erre a Gauss-kör probléma , amely olyan egész pontokat ( x  y ) kér, amelyek kielégítik

${\displaystyle x^{2}+y^{2}\leq r^{2}.}$

Geometriai értelemben, ha adott egy kör, amelynek középpontja az origó körül van az r sugarú síkban , a feladat azt kérdezi, hogy hány egész rácspont található a körön vagy azon belül. Nem nehéz bebizonyítani, hogy a válasz az , hogy hol as . Az analitikus számelmélet nehéz része és nagy eredménye ismét az E ( r ) hibatag specifikus felső határának megszerzése  . ${\displaystyle \pi r^{2}+E(r)}$${\displaystyle E(r)/r^{2}\to 0}$${\displaystyle r\to \infty }$

Gauss kimutatta, hogy . Általánosságban elmondható, hogy egy O ( r ) hibatag lehetséges, ha az egységkört (vagy pontosabban a zárt egységkorongot) bármely, darabonként sima határvonalú, határolt síkrégió dilatációival helyettesítjük. Továbbá, ha az egységkört az egységnégyzetre cseréljük, az általános probléma hibatagja akkora lehet, mint  r lineáris függvénye . Ezért a kör esetében jelentős előrelépést jelent, ha egyeseknél az űrlap hibakorlátját kapjuk . Ezt elsőként Sierpiński érte el 1906-ban, aki megmutatta . 1915-ben Hardy és Landau egyaránt megmutatta, hogy nincs . Azóta a cél az, hogy megmutassuk, hogy minden rögzítetthez létezik egy valós szám , amely . ${\displaystyle E(r)=O(r)}$${\displaystyle O(r^{\delta })}$${\displaystyle \delta <1}$${\displaystyle E(r)=O(r^{2/3})}$${\displaystyle E(r)=O(r^{1/2})}$${\displaystyle \epsilon >0}$${\displaystyle C(\epsilon )}$${\displaystyle E(r)\leq C(\epsilon )r^{1/2+\epsilon }}$

2000-ben Huxley ezt mutatta meg , ami a legjobb publikált eredmény. ${\displaystyle E(r)=O(r^{131/208})}$

Az analitikus számelmélet módszerei

Dirichlet sorozat

A szorzószámelmélet egyik leghasznosabb eszköze a Dirichlet-sorok , amelyek egy végtelen alaksorral meghatározott komplex változó függvényei.

${\displaystyle f(s)=\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}.}$

Az együtthatók megválasztásától függően ez a sorozat mindenhol, sehol vagy valamilyen félsíkon konvergálhat. Sok esetben még akkor is, ha a sorozat nem mindenhol konvergál, az általa definiált holomorf függvény analitikusan továbbvihető egy meromorf függvényre a teljes komplex síkon. Az ehhez hasonló függvények multiplikatív problémákban való hasznossága a formális identitásban látható ${\displaystyle a_{n}}$

${\displaystyle \left(\sum _{n=1}^{\infty }a_{n}n^{-s}\right)\left(\sum _{n=1}^{\infty }b_{ n}n^{-s}\right)=\sum _{n=1}^{\infty }\left(\sum _{k\ell =n}a_{k}b_{\ell }\right) n^{-s};}$

ezért két Dirichlet-sor szorzatának együtthatói az eredeti együtthatók multiplikatív konvolúciói . Ezen túlmenően olyan technikák, mint a részleges összegzés és a Tauber-tételek felhasználhatók arra, hogy információt szerezzenek az együtthatókról a Dirichlet-sorral kapcsolatos analitikai információkból. Így a multiplikatív függvény becslésének elterjedt módszere az, hogy Dirichlet-sorként fejezzük ki (vagy egyszerűbb Dirichlet-sorok szorzataként konvolúciós azonosságokat használva), ezt a sorozatot komplex függvényként vizsgáljuk, majd ezt az analitikus információt visszakonvertáljuk az eredeti függvényre vonatkozó információvá. .

Riemann zéta függvény

Euler megmutatta, hogy az aritmetika alaptétele (legalábbis formálisan) magában foglalja az Euler-szorzatot

${\displaystyle \sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\prod _{p}^{\infty }{\frac {1}{1 -p^{-s}}}{\text{ for }}s>1}$

ahol a szorzat átveszi az összes p prímszámot .

A prímszámok végtelenségének Euler-féle bizonyítása a kifejezés bal oldali divergenciáját használja fel s = 1 esetén (az úgynevezett harmonikus sorozat ), ami pusztán analitikus eredmény. Euler volt az első, aki analitikai érveket használt az egész számok tulajdonságainak tanulmányozására, különösen a generáló hatványsorok létrehozásával . Ez volt az analitikus számelmélet kezdete.

Később Riemann megvizsgálta ezt a függvényt s komplex értékeire, és megmutatta, hogy ez a függvény kiterjeszthető egy meromorf függvényre az egész síkon, egy egyszerű pólussal, ahol s =  1. Ezt a függvényt ma Riemann Zeta függvényként ismerik, és a ζ ( s ). Rengeteg irodalom létezik erről a függvényről, és a függvény az általánosabb Dirichlet L-függvények speciális esete .

Az analitikus számelméleteket gyakran érdekli a közelítések hibája, például a prímszámtétel. Ebben az esetben a hiba kisebb, mint x /log  x . A π( x ) Riemann-képlete azt mutatja, hogy ebben a közelítésben a hibatag a zéta-függvény nulláival fejezhető ki. 1859-es tanulmányában Riemann úgy sejtette, hogy a ζ összes "nem triviális" nullája a vonalon fekszik, de soha nem támasztotta alá ezt az állítást. Ezt a híres és régóta fennálló sejtést Riemann-hipotézisként ismerik , és számos mélyreható vonatkozása van a számelméletben; valójában sok fontos tétel bizonyítást nyert azzal a feltételezéssel, hogy a hipotézis igaz. Például a Riemann-hipotézis feltételezése szerint a prímszámtétel hibatagja .${\displaystyle \Re (s)=1/2}$${\displaystyle O(x^{1/2+\varepsilon })}$

A 20. század elején GH Hardy és Littlewood számos eredményt bizonyított a zéta-függvényről a Riemann-hipotézis bizonyítása érdekében. Valójában 1914-ben Hardy bebizonyította, hogy a zéta-függvény végtelen sok nullája van a kritikus egyenesen.

${\displaystyle \Re (z)=1/2.}$

Ez több tételhez vezetett, amelyek a kritikus egyenes nullák sűrűségét írják le.

Lásd még

• Automorf L-funkció
• Automorf forma
• Langlands program
• Maier-féle mátrix módszer

Megjegyzések

Hivatkozások

• Apostol, Tom M. (1976), Bevezetés az analitikus számelméletbe , Matematika egyetemi szövegei, New York-Heidelberg: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-90163-3, MR  0434929 , Zbl  0335.10001
• Borwein, Peter ; Choi, István; Rooney, Brendan; Weirathmueller, Andrea, szerk. (2008), The Riemann Hypothesis: A Resource for the Afficionado and Virtuoso Alike , CMS Books in Mathematics, New York: Springer, doi : 10.1007/978-0-387-72126-2 , ISBN 978-0-387-72125-5
• Davenport, Harold (2000), Multiplikatív számelmélet , Graduate Texts in Mathematics, vol. 74 (3. javított kiadás), New York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-95097-6, MR  1790423
• Edwards, HM (1974), Riemann's Zeta Function , New York: Dover Publications , ISBN 978-0-486-41740-0, MR  0466039
• Tenenbaum, Gérald (1995), Introduction to Analytic and Probabilistic Number Theory , Cambridge-i tanulmányok haladó matematikában, vol. 46, Cambridge University Press , ISBN 0-521-41261-7

További irodalom

• Ayoub, Bevezetés az analitikus számelméletbe
• HL Montgomery és RC Vaughan, Multiplikatív számelmélet I  : Klasszikus elmélet
• H. Iwaniec és E. Kowalski: Analitikus számelmélet .
• DJ Newman, Analitikus számelmélet , Springer, 1998

Speciális szempontból a következő könyvek váltak különösen ismertté:

• Titchmarsh, Edward Charles (1986), Theory of the Riemann Zeta Function (2. kiadás), Oxford University Press
• H. Halberstam és HE Richert, Sieve Methods
• RC Vaughan, A Hardy–Littlewood módszer , 2. edn.

Egyes témák még nem értek el mélységben könyvformát. Néhány példa erre (i) Montgomery párkorrelációs sejtése és az abból kiinduló munka, (ii) Goldston, Pintz és Yilidrim új eredményei a prímek közötti kis hézagokról , és (iii) a Green–Tao tétel , amely megmutatja, hogy az önkényesen hosszú aritmetika léteznek prímszámok progressziói.