Aritmetikai – geometriai átlag - Arithmetic–geometric mean

A számtani -geometriai átlag ábrázolása (sötétkékben)

{\ displaystyle \ operatornév {agm} (1, x)}

A matematika , a számtani-mértani középértéke a két pozitív valós számok $x$ és $y$ jelentése a következő:

Hívja $x$ és $y$ $a 0$ $-t$ és $g 0 -t$ :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} a_ {0} & = x, \\ g_ {0} & = y. \ end {aligned}}}

Ezután definiálja a két, egymással összefüggő szekvencia $(a n)$ és $(g n)$ , mint

{\ displaystyle {\ begin {aligned} a_ {n+1} & = {\ tfrac {1} {2}} (a_ {n}+g_ {n}), \\ g_ {n+1} & = { \ sqrt {a_ {n} g_ {n}}} \,. \ end {igazítva}}}

Ez a két sorozat ugyanahhoz a számhoz konvergál , az $x$ és $y$ aritmetikai – geometriai átlaga ; $M (x, y)$ , vagy néha $agm (x, y)$ vagy $AGM (x, y)$ jelöli .

A számtani-mértani közép alkalmazhatók gyorsan algoritmusok számára exponenciális és trigonometrikus függvények , valamint néhány matematikai állandók , különösen, számítástechnikai $π$ .

Példa

Ahhoz, hogy megtalálja a számtani-mértani átlagát $egy 0 = 24$ és $g 0 = 6$ , iterate az alábbiak szerint:

{\ displaystyle {\ begin {array} {rcccl} a_ {1} & = & {\ tfrac {1} {2}} (24+6) & = & 15 \\ g_ {1} & = & {\ sqrt { 24 \ cdot 6}} & = & 12 \\ a_ {2} & = & {\ tfrac {1} {2}} (15+12) & = & 13,5 \\ g_ {2} & = & {\ sqrt {15 \ cdot 12}} & = & 13.416 \ 407 \ 8649 \ dot \\ && \ vdots && \ end {array}}}

Az első öt iteráció a következő értékeket adja meg:

$n$	$a n$	$g n$
0	24	6
1	1 5	1 2
2	13 .5	13 .416 407 864 998 738 178 455 042 ...
3	13,458 203 932 499 369 089 227 521 ...	13,458 139 030 990 984 877 207 090 ...
4	13,458 171 481 7 45 176 983 217 305 ...	13,458 171 481 7 06 053 858 316 334 ...
5	13,458 171 481 725 615 420 766 8 20 ...	13,458 171 481 725 615 420 766 8 06 ...

A számjegyek száma, amelyben $egy n$ és $g N$ egyetért (aláhúzva) kb páros minden egyes iteráció. A 24 és 6 számtani -geometriai átlaga e két sorozat közös határa, ami kb13,458 171 481 725 615 420 766 813 156 974 399 243 053 838 8544 .

Történelem

Az első algoritmus ezen a szekvenciapáron alapult Lagrange munkáiban . Gauss tovább elemezte tulajdonságait .

Tulajdonságok

Két pozitív szám geometriai átlaga soha nem nagyobb, mint a számtani átlag (lásd a számtani és geometriai átlagok egyenlőtlenségét ). Ennek következtében $n > 0$ esetén $(g n)$ növekvő szekvencia, $(a n)$ csökkenő szekvencia, és $g n \leq M (x, y) \leq a n$ . Ezek szigorú egyenlőtlenségek, ha $x \neq y$ .

$M (x, y)$ tehát $x$ és $y$ geometriai és számtani átlaga közötti szám; ez is $x$ és $y között van$ .

Ha $r \geq 0$ , akkor $M (rx, ry) = r M (x, y)$ .

Van egy integrális formájú kifejezés $M (x, y)$ :

{\ displaystyle {\ begin {aligned} M (x, y) & = {\ frac {\ pi} {2}} \ left (\ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} { \ frac {d \ theta} {\ sqrt {x^{2} \ cos^{2} \ theta +y^{2} \ sin^{2} \ theta}}} \ right)^{-1} \ \ & = \ pi \ balra (\ int _ {0}^{\ infty} {\ frac {dt} {\ sqrt {t (t+x^{2}) (t+y^{2})}} } \ jobb)^{-1} \\ & = {\ frac {\ pi} {4}} \ cdot {\ frac {x+y} {K \ bal ({\ frac {xy} {x+y} } \ jobbra}}} \ vége {igazítva}}}

ahol $K (k)$ az a teljes elliptikus integrál az első fajta :

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0}^{\ frac {\ pi} {2}} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {1-k^{2} \ sin^{2 } (\ téta)}}}}

Valójában, mivel az aritmetikai -geometriai folyamat olyan gyorsan konvergál, hatékony módszert biztosít az elliptikus integrálok kiszámítására ezen a képleten keresztül. A mérnöki szakmában például elliptikus szűrők tervezésére használják.

A számtani-mértani átlaga csatlakozik a Jacobi théta funkció által ${\ displaystyle \ theta _ {3}}$

{\ displaystyle M (1, x) = \ theta _ {3}^{-2} \ left (\ exp \ left (-\ pi {\ frac {M (1, x)} {M \ left (1, {\ sqrt {1-x^{2}}} \ jobb)}} \ jobb) \ jobb) = \ bal (\ sum _ {n \ in \ mathbb {Z}} \ exp \ left (-n^{ 2} \ pi {\ frac {M (1, x)} {M \ bal (1, {\ sqrt {1-x^{2}}} \ jobb)}} \ jobb) \ jobb)^{-2 }.}

Kapcsolódó fogalmak

Az 1 számtani -geometriai átlagának és a 2 négyzetgyökének reciprokát Gauss -állandónak nevezik , Carl Friedrich Gauss után .

{\ displaystyle {\ frac {1} {M (1, {\ sqrt {2}})}} = G = 0,8346268 \ pont}

1941-ben (és így ) bizonyították transzcendentális által Theodor Schneider . ${\ displaystyle M (1, {\ sqrt {2}})}$ ${\ displaystyle G}$

A geometriai -harmonikus átlag analóg módszerrel, geometriai és harmonikus átlagok alkalmazásával számítható ki . Az egyik megállapítja, hogy $GH (x, y) = 1/ M (1/ x, 1/ y) = xy / M (x, y)$ . A számtani – harmonikus átlag hasonlóan definiálható, de ugyanazt az értéket veszi fel, mint a geometriai átlag (lásd ott a „Számítás” részt ).

A számtani -geometriai átlag felhasználható többek között logaritmusok , első és második típusú teljes és hiányos elliptikus integrálok , valamint Jacobi elliptikus függvények kiszámítására .

A létezés bizonyítéka

A számtani és geometriai eszközök egyenlőtlenségeiből arra következtethetünk, hogy:

{\ displaystyle g_ {n} \ leq a_ {n}}

és így

{\ displaystyle g_ {n+1} = {\ sqrt {g_ {n} \ cdot a_ {n}}} \ geq {\ sqrt {g_ {n} \ cdot g_ {n}}} = g_ {n}}

vagyis a $g n$ szekvencia nem csökken.

Továbbá könnyen belátható, hogy fent is az $x$ és $y közül$ a nagyobbik határolja (ami abból következik, hogy két szám mind a számtani, mind a geometriai átlaga közöttük van). Így a monoton konvergencia tétel szerint a szekvencia konvergens, tehát létezik olyan $g$ , hogy:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} g_ {n} = g}

Láthatjuk azonban azt is, hogy:

{\ displaystyle a_ {n} = {\ frac {g_ {n+1}^{2}} {g_ {n}}}}

és aztán:

{\ displaystyle \ lim _ {n \ to \ infty} a_ {n} = \ lim _ {n \ to \ infty} {\ frac {g_ {n+1}^{2}} {g_ {n}}} = {\ frac {g^{2}} {g}} = g}

QED

Az integrál-forma kifejezés bizonyítása

Ezt a bizonyítékot Gauss adja. Hagyja

{\ displaystyle I (x, y) = \ int _ {0}^{\ pi /2} {\ frac {d \ theta} {\ sqrt {x^{2} \ cos^{2} \ theta +y ^{2} \ sin ^{2} \ theta}}},}

Az integráció változójának megváltoztatása , ahol ${\ displaystyle \ theta '}$

{\ displaystyle \ sin \ theta = {\ frac {2x \ sin \ theta '} {(x+y)+(xy) \ sin ^{2} \ theta'}},}

ad

{\ displaystyle {\ begin {aligned} I (x, y) & = \ int _ {0}^{\ pi /2} {\ frac {d \ theta '} {\ sqrt {{\ bigl (} {\ frac {1} {2}} (x+y) {\ bigr)}^{2} \ cos^{2} \ theta '+{\ bigl (} {\ sqrt {xy}} {\ bigr)}^ {2} \ sin ^{2} \ theta '}}} \\ & = I {\ bigl (} {\ tfrac {1} {2}} (x+y), {\ sqrt {xy}} {\ bigr)}. \ end {igazítva}}}

Így van

{\ displaystyle {\ begin {aligned} I (x, y) & = I (a_ {1}, g_ {1}) = I (a_ {2}, g_ {2}) = \ cdots \\ & = I {\ bigl (} M (x, y), M (x, y) {\ bigr)} = \ pi /{\ bigr (} 2M (x, y) {\ bigl)}. \ end {aligned}} }

Az utolsó egyenlőség ennek megfigyeléséből származik .

{\ displaystyle I (z, z) = \ pi /(2z)}

Végül megkapjuk a kívánt eredményt

{\ displaystyle M (x, y) = \ pi /{\ bigl (} 2I (x, y) {\ bigr)}.}

Alkalmazások

A π szám

Például a Gauss -Legendre algoritmus szerint :

{\ displaystyle \ pi = {\ frac {4 \, M (1,1/{\ sqrt {2}})^{2}} {1- \ sum _ {j = 1}^{\ infty} 2^ {j+1} c_ {j}^{2}}},}

ahol

{\ displaystyle c_ {j} = {\ frac {1} {2}} \ left (a_ {j-1} -g_ {j-1} \ right),}

A és , ami lehet számítani veszteség nélkül pontosság segítségével ${\ displaystyle a_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle g_ {0} = 1/{\ sqrt {2}}}$

{\ displaystyle c_ {j} = {\ frac {c_ {j-1}^{2}} {4a_ {j}}}.}

Teljes elliptikus integrál K (sin α )

A közgyűlés meghozatala és hozama ${\ displaystyle a_ {0} = 1}$ ${\ displaystyle g_ {0} = \ cos \ alpha}$

{\ displaystyle M (1, \ cos \ alpha) = {\ frac {\ pi} {2K (\ sin \ alpha)}},}

ahol $K (k)$ az első típusú teljes elliptikus integrál :

{\ displaystyle K (k) = \ int _ {0}^{\ pi /2} (1-k^{2} \ sin^{2} \ theta)^{-1/2} \, d \ theta .}

Ez azt jelenti, hogy ez a negyedéves időszak hatékonyan kiszámítható a közgyűlésen keresztül,

{\ displaystyle K (k) = {\ frac {\ pi} {2M (1, {\ sqrt {1-k^{2}}})}}}}

Egyéb alkalmazások

A tulajdonság az AGM együtt emelkedő átalakulások John Landen , Richard P. Brent javasolt az első AGM algoritmusok gyors értékelésére elemi transzcendens függvények ( $e x$ , $cos x$ , $sin x$ ). Ezt követően sok szerző tanulmányozta az AGM algoritmusok használatát.

Lásd még

Külső linkek

Aritmetikai – geometriai átlag számológép

Hivatkozások

Megjegyzések

Egyéb

Daróczy, Zoltán; Páles, Zsolt (2002). "Az eszközök Gauss-összetétele és a Matkowski – Suto-probléma megoldása". Publicationses Mathematicae Debrecen . 61. (1–2): 157–218.
"Aritmetikai – geometriai középfolyamat" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
Weisstein, Eric W. "Aritmetikai – geometriai átlag" . MathWorld .

^ agm (24, 6) a Wolfram Alpha -nál
^ ^a ^b Cox, David A. (2004). "Gauss számtani -geometriai átlaga" . In Berggren, J. Lennart; Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter (szerk.). Pi: Forráskönyv (harmadik szerk.). Springer. o. 481. ISBN 978-0-387-20571-7.először a L'Enseignement Mathématique -ban jelent meg , t. 30 (1984), p. 275-330
^ Carson, BC (2010), "Elliptikus integrálok" , Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (szerk.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248
^ Dimopoulos, Hercules G. (2011). Analóg elektronikus szűrők: elmélet, tervezés és szintézis . Springer. 147–155. ISBN 978-94-007-2189-0.
^ Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (Első szerk.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. 35., 40. oldal
^ Schneider, Theodor (1941). Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale . Journal für die reine und angewandte Mathematik [ Journal for Pure and Applied Mathematics ] . 183 . 110–128.
^ Todd, John (1975). "A Lemniscate -állandók" . Az ACM kommunikációja . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 .
^ R [álnév], Martin, Geometric-Harmonic Mean (válasz) , StackExchange , letöltve : 2020. szeptember 19.
^ Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , szerk. (1983) [1964. június]. "17. fejezet" . Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal . Alkalmazott matematika sorozat. 55 (Kilencedik újranyomtatás a tizedik eredeti nyomtatás további javításaival javításokkal (1972. december); első szerk.). Washington DC; New York: Egyesült Államok Kereskedelmi Minisztériuma, Nemzeti Hivatal; Dover Publications. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .
^ V. Lajos király (1924). Az elliptikus függvények és integrálok közvetlen számszerű számításáról . Cambridge University Press.
^ Salamin, Eugene (1976). "Π kiszámítása aritmetikai -geometriai átlaggal" . A számítás matematikája . 30 (135): 565–570. doi : 10.2307/2005327 . JSTOR 2005327 . MR 0404124 .
^ Landen, János (1775). "Egy általános tétel vizsgálata bármely kúp alakú hiperbola bármely ívének hosszának megállapítására két elliptikus ív segítségével, amelyekből néhány más új és hasznos tételt vontak le". A Királyi Társaság filozófiai tranzakciói . 65 : 283–289. doi : 10.1098/rstl.1775.0028 . S2CID 186208828 .
^ Brent, Richard P. (1976). "Az elemi funkciók gyors, több pontosságú értékelése" . Az ACM folyóirata . 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721 . doi : 10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . S2CID 6761843 .
^ Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi és a közgyűlés . New York: Wiley. ISBN 0-471-83138-7. MR 0877728 .

[1] (24, 6) a Wolfram Alpha -nál

[BerggrenBorwein2004-2] Cox, David A. (2004). "Gauss számtani -geometriai átlaga" . In Berggren, J. Lennart; Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter (szerk.). Pi: Forráskönyv (harmadik szerk.). Springer. o. 481. ISBN 978-0-387-20571-7.először a L'Enseignement Mathématique -ban jelent meg , t. 30 (1984), p. 275-330

[3] Carson, BC (2010), "Elliptikus integrálok" , Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M .; Boisvert, Ronald F .; Clark, Charles W. (szerk.), NIST Handbook of Mathematical Functions , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, MR 2723248

[Dimopoulos2011-4] Dimopoulos, Hercules G. (2011). Analóg elektronikus szűrők: elmélet, tervezés és szintézis . Springer. 147–155. ISBN 978-94-007-2189-0.

[5] Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi and the AGM: A Study in Analytic Number Theory and Computational Complexity (Első szerk.). Wiley-Interscience. ISBN 0-471-83138-7. 35., 40. oldal

[7] Schneider, Theodor (1941). Zur Theorie der Abelschen Funktionen und Integrale . Journal für die reine und angewandte Mathematik [ Journal for Pure and Applied Mathematics ] . 183 . 110–128.

[8] Todd, John (1975). "A Lemniscate -állandók" . Az ACM kommunikációja . 18 (1): 14–19. doi : 10.1145/360569.360580 .

[9] R [álnév], Martin, Geometric-Harmonic Mean (válasz) , StackExchange , letöltve : 2020. szeptember 19.

[10] Abramowitz, Milton ; Stegun, Irene Ann , szerk. (1983) [1964. június]. "17. fejezet" . Matematikai függvények kézikönyve képletekkel, grafikonokkal és matematikai táblázatokkal . Alkalmazott matematika sorozat. 55 (Kilencedik újranyomtatás a tizedik eredeti nyomtatás további javításaival javításokkal (1972. december); első szerk.). Washington DC; New York: Egyesült Államok Kereskedelmi Minisztériuma, Nemzeti Hivatal; Dover Publications. 598–599. ISBN 978-0-486-61272-0. LCCN 64-60036 . MR 0167642 . LCCN 65-12253 .

[11] V. Lajos király (1924). Az elliptikus függvények és integrálok közvetlen számszerű számításáról . Cambridge University Press.

[12] Salamin, Eugene (1976). "Π kiszámítása aritmetikai -geometriai átlaggal" . A számítás matematikája . 30 (135): 565–570. doi : 10.2307/2005327 . JSTOR 2005327 . MR 0404124 .

[13] Landen, János (1775). "Egy általános tétel vizsgálata bármely kúp alakú hiperbola bármely ívének hosszának megállapítására két elliptikus ív segítségével, amelyekből néhány más új és hasznos tételt vontak le". A Királyi Társaság filozófiai tranzakciói . 65 : 283–289. doi : 10.1098/rstl.1775.0028 . S2CID 186208828 .

[14] Brent, Richard P. (1976). "Az elemi funkciók gyors, több pontosságú értékelése" . Az ACM folyóirata . 23 (2): 242–251. CiteSeerX 10.1.1.98.4721 . doi : 10.1145/321941.321944 . MR 0395314 . S2CID 6761843 .

[15] Borwein, Jonathan M .; Borwein, Peter B. (1987). Pi és a közgyűlés . New York: Wiley. ISBN 0-471-83138-7. MR 0877728 .

Languages

In other projects