A sorozat határa - Limit of a sequence

A matematika , a határ szekvencia az az érték, hogy a feltételek egy szekvenciát „hajlamosak”, és gyakran jelöljük a szimbólumot (pl, ). Ha létezik ilyen korlát, akkor a sorozatot konvergensnek nevezzük . Azt a sorozatot, amely nem konvergál, divergensnek mondják . A szekvencia határa az alapfogalom, amelyen az egész matematikai elemzés végső soron nyugszik. ${\displaystyle \lim }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}}$

A határokat bármilyen metrikus vagy topológiai térben meg lehet határozni , de általában először a valós számokban találkozunk .

Történelem

Zene, Elea görög filozófus híres a korlátozó folyamatokat magában foglaló paradoxonok megfogalmazásáról .

Leucippus , Democritus , Antiphon , Eudoxus és Archimedes kifejlesztették a kimerülési módszert , amely végtelen közelítési sorozatot használ egy terület vagy térfogat meghatározására. Archimedesnek sikerült összefoglalnia az úgynevezett geometriai sorozatot .

Newton foglalkozott sorozatokkal az Analysis with infinite series (1669 -ben írott, kéziratban keringő, 1711 -ben megjelent), a fluxusok és a végtelen sorozatok című munkáiban (1671 -ben, angol fordításban 1736 -ban, latin eredetiben jóval később) és Tractatus de Quadratura Curvarum (írott 1693-ban megjelent 1704-ben, mint egy függelék az ő Optiks ). Az utóbbi munka, Newton úgy véli, a binomiális bővülése ( X  +  O ) ⁿ , amelyet aztán linearizálja által figyelembe a határérték , mint o  hajlamos 0.

A 18. században az olyan matematikusoknak , mint Euler, sikerült összefoglalniuk néhány eltérő sorozatot úgy, hogy a megfelelő pillanatban megálltak; nem sokat törődtek azzal, hogy létezik -e határ, amíg ki lehet számítani. A század végén Lagrange a Théorie des fonctions analytiques -ban (1797) úgy vélte, hogy a szigor hiánya kizárja a számítás további fejlődését. Gauss a hipergeometriai sorozat etűdjében (1813) először szigorúan vizsgálta azokat a feltételeket, amelyek mellett egy sorozat határértékhez közeledett.

A határ modern definícióját (minden ε esetében létezik egy N index, így ...) Bernhard Bolzano ( Der binomische Lehrsatz , Prága 1816, akkoriban alig vették észre) és Karl Weierstrass adta meg az 1870 -es években .

Valós számok

A valós számok , szám a határ a szekvencia , ha a számokat a sorozat közelebb és közelebb -és nem más számot. ${\displaystyle L}$ ${\displaystyle (x_{n}),}$${\displaystyle L}$

Példák

• Ha állandó c -re , akkor${\displaystyle x_{n}=c}$${\displaystyle x_{n}\to c.}$
• Ha akkor${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n}},}$${\displaystyle x_{n}\to 0.}$
• Ha a mikor páros, és mikor páratlan, akkor (Az a tény, hogy amikor páratlan, lényegtelen.)${\displaystyle x_{n}=1/n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}={\frac {1}{n^{2}}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle x_{n}\to 0.}$${\displaystyle x_{n+1}>x_{n}}$${\displaystyle n}$
• Bármilyen valós számot figyelembe véve, tizedes közelítéssel könnyen konstruálható az a számhoz konvergáló sorozat. Például a sorozat konvergál Megjegyezzük, hogy a decimális a határ a korábbi szekvencia által meghatározott${\displaystyle 0.3,0.33,0.333,0.3333,\dots }$${\displaystyle 1/3.}$ ${\displaystyle 0.3333...}$
  $${\displaystyle 0.3333...:=\lim _{n\to \infty }\sum _{i=1}^{n}{\frac {3}{10^{i}}}.}$$

  
• A sorozat határainak megtalálása nem mindig nyilvánvaló. Két példa (amelynek határa az e szám ) és az aritmetikai -geometriai átlag . A szorítási tétel gyakran hasznos az ilyen korlátok megállapításában.${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left(1+{\tfrac {1}{n}}\right)^{n}}$

Formális meghatározás

Hívjuk a határ a szekvencia , ha teljesül a következő feltétel: ${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (x_{n})}$

• Minden valós számhoz létezik olyan természetes szám , amely minden természetes számunkra vonatkozik${\displaystyle \varepsilon >0,}$ ${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N,}$${\displaystyle |x_{n}-x|<\varepsilon .}$

Más szóval, a közelség minden mértékére a szekvencia tagjai végül olyan közel vannak a határhoz. A szekvencia állítólag konvergál vagy hajlamos az írott határértékre , ill${\displaystyle \varepsilon ,}$${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=x.}$

Szimbolikusan ez:

Ha egy szekvencia valamilyen határhoz konvergál, akkor konvergens és az egyetlen határ; egyébként is eltérő . Azokat a sorozatokat, amelyek korlátja nulla, néha null sorozatnak nevezik . ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle x}$${\displaystyle (x_{n})}$

Ábra

• 

  Példa a határértékhez konvergáló sorozatra ${\displaystyle a.}$

• 

  Függetlenül attól, hogy mi van, van egy index, így a szekvencia utána teljesen az epsilon csőben fekszik${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle N_{0},}$${\displaystyle (a-\varepsilon ,a+\varepsilon ).}$

• 

  Van egy kisebb index is , hogy a szekvencia később az epsilon csőben legyen${\displaystyle \epsilon _{1}>0}$${\displaystyle N_{1},}$${\displaystyle (a-\varepsilon _{1},a+\varepsilon _{1}).}$

• 

  Mindegyikhez csak véges sok szekvenciatag tartozik az epsilon csövön kívül. ${\displaystyle \varepsilon >0}$

Tulajdonságok

A sorozatok korlátai jól viselkednek a szokásos számtani műveletekhez képest . Ha és akkor, és ha sem b, sem bármelyik nulla,${\displaystyle a_{n}\to a}$${\displaystyle b_{n}\to b,}$${\displaystyle a_{n}+b_{n}\to a+b,}$ ${\displaystyle a_{n}\cdot b_{n}\to ab}$${\displaystyle b_{n}}$${\displaystyle {\frac {a_{n}}{b_{n}}}\to {\frac {a}{b}}.}$

Bármely f folytonos függvényre , ha akkor Valójában minden valós értékű f függvény akkor és csak akkor folyamatos, ha megőrzi a sorozatok határait (bár ez nem feltétlenül igaz a folytonosság általánosabb fogalmainak használatakor). ${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle f(x_{n})\to f(x).}$

A valós szekvenciák határainak néhány fontos tulajdonsága a következő (feltéve, hogy az alábbi egyenletekben a jobb oldali korlátok léteznek).

• A sorozat határa egyedi.
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\pm b_{n})=\lim _{n\to \infty }a_{n}\pm \lim _{n\to \infty }b_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }ca_{n}=c\cdot \lim _{n\to \infty }a_{n}}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }(a_{n}\cdot b_{n})=(\lim _{n\to \infty }a_{n})\cdot (\lim _{n\to \infty }b_{n})}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }\left({\frac {a_{n}}{b_{n}}}\right)={\frac {\lim \limits _{n\to \infty }a_{n}}{\lim \limits _{n\to \infty }b_{n}}}}$ biztosítani ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }b_{n}\neq 0}$
• ${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}^{p}=\left[\lim _{n\to \infty }a_{n}\right]^{p}}$
• Ha minden nagyobb, mint néhány, akkor${\displaystyle a_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle N,}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}\leq \lim _{n\to \infty }b_{n}.}$
• ( Összenyomási tétel ) Ha mindenre és akkor${\displaystyle a_{n}\leq c_{n}\leq b_{n}}$${\displaystyle n>N,}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }a_{n}=\lim _{n\to \infty }b_{n}=L,}$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }c_{n}=L.}$
• Ha egy szekvencia határolt és monoton , akkor konvergens.
• Egy sorozat akkor és csak akkor konvergens, ha minden alsorozat konvergens.
• Ha egy szekvencia minden alsorozatának megvan a maga alszekvenciája, amely ugyanabba a pontba konvergál, akkor az eredeti sorozat ehhez a ponthoz konvergál.

Ezeket a tulajdonságokat széles körben használják a korlátok bizonyítására, anélkül, hogy közvetlenül használni kellene a nehézkes formai meghatározást. Például. ha bebizonyosodik, hogy a fenti tulajdonságok használatával könnyen megmutatható, hogy (feltételezve ). ${\displaystyle 1/n\to 0,}$${\displaystyle {\frac {a}{b+{\frac {c}{n}}}}\to {\frac {a}{b}}}$${\displaystyle b\neq 0}$

Végtelen korlátok

Egy sorozatról azt mondják, hogy a végtelenségig hajlik , írva, vagy ha minden K -ra van olyan N , hogy minden ; azaz, a szekvencia kifejezések végül nagyobb, mint bármilyen rögzített K . ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle x_{n}\to \infty }$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }x_{n}=\infty ,}$${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle x_{n}>K}$

Hasonlóképpen, ha minden K esetében létezik olyan N , hogy minden Ha egy szekvencia a végtelenségig vagy mínusz végtelenig hajlik, akkor divergens. Azonban az eltérő szekvenciának nem kell plusz vagy mínusz végtelennek lennie, és a szekvencia egy ilyen példát kínál. ${\displaystyle x_{n}\to -\infty }$${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle x_{n}<K.}$${\displaystyle x_{n}=(-1)^{n}}$

Metrikus terek

Meghatározás

Egy pont a metrikus tér a határ a szekvencia , ha minden van egy olyan, hogy minden ez egybeesik a meghatározás a valós számokat, ha és${\displaystyle x}$ ${\displaystyle (X,d)}$ ${\displaystyle (x_{n})}$${\displaystyle \epsilon >0,}$${\displaystyle N}$${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle d(x_{n},x)<\epsilon .}$${\displaystyle X=\mathbb {R} }$${\displaystyle d(x,y)=|x-y|.}$

Tulajdonságok

Bármely f folytonos függvény esetén , ha akkor Valójában az f függvény akkor és csak akkor folyamatos, ha megőrzi a sorozatok határait. ${\displaystyle x_{n}\to x}$${\displaystyle f(x_{n})\to f(x).}$

A szekvenciák határai akkor egyediek, ha léteznek, mivel a különböző pontokat valamilyen pozitív távolság választja el egymástól, így ennek a távolságnak kevesebb mint a felénél a szekvenciakifejezések nem lehetnek mindkét ponton belül. ${\displaystyle \epsilon }$${\displaystyle \epsilon }$

Topológiai terek

Meghatározás

A topológiai tér egy pontja a${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (X,\tau )}$ korlát illhatárpont aszekvencia , ha mindenszomszédságábanazlétezik néhányolyan, hogy mindenez egybeesik a meghatározás metrikus terek, haegy metrikus tér, ésa topológia által generált${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle x,}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle n\geq N,}$ ${\displaystyle x_{n}\in U.}$${\displaystyle (X,d)}$${\displaystyle \tau }$${\displaystyle d.}$

A limit sorozatából pontok egy topologikus tér egy speciális esete a határ függvénye : a tartomány van a térben az indukált topológia a affinely kiterjesztett valós szám rendszer , a tartomány van , és a függvény argumentum hajlamos amely ebben a térben a határpont a${\displaystyle \left(x_{n}\right)_{n\in \mathbb {N} }}$${\displaystyle T}$${\displaystyle \mathbb {N} }$${\displaystyle \mathbb {N} \cup \lbrace +\infty \rbrace ,}$${\displaystyle T,}$${\displaystyle n}$${\displaystyle +\infty ,}$${\displaystyle \mathbb {N} .}$

Tulajdonságok

Egy Hausdorff helyet , határait szekvenciák egyedi amikor léteznek. Ne feledje, hogy ez nem szükséges a nem Hausdorff terekben; különösen akkor, ha a két pont és a topológiai megkülönböztethetetlen , akkor bármilyen szekvencia konvergál must konvergálnak , és fordítva. ${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Cauchy szekvenciák

A Cauchy szekvencia olyan sorozat, amelynek tagjai végül tetszőlegesen egymáshoz kerülnek, miután kellően sok kezdeti kifejezést elvetettek. A Cauchy szekvencia fogalma fontos a metrikus terekben lezajló szekvenciák tanulmányozásakor , és különösen a valós elemzés során . A valódi elemzés egyik különösen fontos eredménye a sorozatok konvergenciájának Cauchy -kritériuma : a valós számok sorozata akkor és csak akkor konvergens, ha Cauchy -sorozat. Ez más teljes metrikus terekben is igaz .

Definíció hiperreális számokban

A határ hiperreális számokat használó meghatározása formálja az intuíciót, miszerint az index "nagyon nagy" értéke esetén a megfelelő kifejezés "nagyon közel" van a határhoz. Pontosabban, egy valódi szekvenciát hajlamos L , ha minden végtelen hypernatural H , a kifejezés van végtelenül közel L (azaz, a különbség az, infinitezimális ). Ekvivalensen, L jelentése a szabvány része a${\displaystyle (x_{n})}$ ${\displaystyle x_{H}}$${\displaystyle x_{H}-L}$${\displaystyle x_{H}}$

Így a határt a képlet határozza meg

ahol a határ akkor és csak akkor létezik, ha a jobb oldal független a végtelen H választásától .

Lásd még

• A függvény határa  - Az a pont, amelyre a függvények a topológiában konvergálnak
• Határpont  - Egy pont x egy topologikus tér, amelynek minden fajta környéken tartalmaz néhány más pontján egy adott részhalmaza, amely eltér x
• Limit superior és limit inferior
• A konvergencia módjai
• A háló határa - A háló egy sorozat topológiai általánosítása.
• Állításelméleti határ
• Shift szabály
• Szubszekvenciális korlát  - Néhány alsorozat határa

Megjegyzések

Bizonyítékok

Hivatkozások

• Császár, Ákos (1978). Általános topológia . Fordította: Császár, Klára. Bristol Anglia: Adam Hilger Ltd. ISBN 0-85274-275-4. OCLC  4146011 .
• Dugundji, James (1966). Topológia . Boston: Allyn és Bacon. ISBN 978-0-697-06889-7. OCLC  395340485 .
• Courant, Richard (1961). "Differenciál- és integrálszámítás I. kötet", Blackie & Son, Ltd., Glasgow.
• Frank Morley és James Harkness Értekezés a függvényelméletről (New York: Macmillan, 1893)

Külső linkek

• "Limit" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• A számítás története , beleértve a korlátokat is