Minkowski - Bouligand dimenzió - Minkowski–Bouligand dimension

Nagy-Britannia partjainak dobozszámlálási dimenziójának becslése

A fraktál geometria , a Minkowski-Bouligand dimenzió , más néven Minkowski dimenziót vagy dobozszámláló dimenzió , egy módja a meghatározó a fraktál dimenzió egy sor S egy euklideszi térben R ⁿ , vagy általánosabban egy metrikus tér ( X , d ). Nevét Hermann Minkowski lengyel matematikusról és Georges Bouligand francia matematikusról kapta .

Ennek a méretnek a kiszámításához egy S fraktálra képzeljük el, hogy ez a fraktál egyenletesen elhelyezett rácson fekszik, és számoljuk meg, hány dobozra van szükség a készlet lefedéséhez . A dobozszámlálási dimenziót úgy számoljuk ki, hogy látjuk, hogyan változik ez a szám, amikor finomítjuk a rácsot egy dobozszámláló algoritmus alkalmazásával.

Tegyük fel, hogy N ( ε ) a halmaz lefedéséhez szükséges ε oldalhosszúságú dobozok száma. Ezután a dobozszámlálási dimenziót a következőképpen határozzák meg:

{\ displaystyle \ dim _ {\ rm {box}} (S): = \ lim _ {\ varepsilon \ to 0} {\ frac {\ log N (\ varepsilon)} {{log (1/\ varepsilon)} }.}

Nagyjából ez azt jelenti, hogy a dimenzió olyan d kitevő , hogy N (1/ n ) ≈ C n ^d , ez az, amit el lehet várni abban a triviális esetben, amikor S a d egész dimenzió sima tere (sokasága).

Ha a fenti határérték nem létezik, akkor is veheti a felső és alsó határértékeket , amelyek meghatározzák a felső és alsó doboz méretét . A felső doboz dimenzióját néha entrópia dimenziónak , Kolmogorov dimenziónak , Kolmogorov kapacitásnak , limit kapacitásnak vagy felső Minkowski dimenziónak nevezik, míg az alsó doboz dimenziót alsó Minkowski dimenziónak is nevezik .

A felső és az alsó doboz méretei szorosan kapcsolódnak a népszerűbb Hausdorff mérethez . Csak nagyon speciális alkalmazásoknál fontos különbséget tenni a három között (lásd alább ). A fraktáldimenzió egy másik mértéke a korrelációs dimenzió .

Alternatív definíciók

Példák labdacsomagolásra, labdafedésre és dobozborításra.

Lehetőség van golyókkal meghatározni a doboz méreteit, akár a fedő számmal, akár a csomagolási számmal. A fedő száma a minimális számú nyílt golyó sugara ε szükséges fedezni a fraktál, vagy más szavakkal, hogy ezek az unió tartalmazza a fraktál. Figyelembe vehetjük a belső fedőszámot is , amelyet ugyanúgy határozunk meg, de azzal a további követelménysel, hogy a nyitott golyók középpontjai az S halmazon belül legyenek . A csomagolási szám az ε sugarú szétválasztott golyók maximális száma, amely úgy helyezhető el, hogy középpontjuk a fraktálon belül legyen. Míg az N , az N _burkolat , az N ' _burkolat és az N _csomagolás nem teljesen azonosak, szorosan összefüggnek egymással, és azonos definíciókat adnak a felső és az alsó doboz méreteire. Ezt könnyű bizonyítani, ha a következő egyenlőtlenségek bebizonyosodtak: ${\ displaystyle N _ {\ rm {cover}} (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle N '_ {\ rm {cover}} (\ varepsilon)}$ ${\ displaystyle N _ {\ rm {packing}} (\ varepsilon)}$

{\ displaystyle N _ {\ text {packing}} (\ varepsilon) \ leq N '_ {\ text {cover}} (\ varepsilon) \ leq N _ {\ text {cover}} (\ varepsilon /2). \, }

Ezek viszont kis erőfeszítéssel következnek a háromszög -egyenlőtlenségből .

A golyók és a négyzetek helyett az az előnye, hogy ez a meghatározás minden metrikus térre általánosít . Más szóval, a dobozdefiníció külső - feltételezzük, hogy az S fraktál tér egy euklideszi térben van , és a dobozokat a tartalomtér külső geometriája szerint határozza meg. Ugyanakkor a dimenziója S legyen valódi , független a környezet, amelybe S van elhelyezve, és a labda meghatározás lehet kiszerelni önmagában. Az egyik úgy definiálja a belső golyót, mint S minden pontját a kiválasztott középpont egy bizonyos távolságán belül, egy pedig számolja az ilyen golyókat, hogy megkapja a méretet. (Pontosabban, az N _borító definíciója külső, de a másik kettő belső.)

A dobozok használatának előnye, hogy sok esetben az N ( ε ) könnyen kiszámítható, és a dobozok esetében a fedő- és csomagolási számok (azonos módon meghatározva) egyenlők.

A csomagoló és fedő számok logaritmusát néha entrópiás számoknak nevezik , és némileg analógok a termodinamikai entrópia és az információelméleti entrópia fogalmaival , mivel mérik a "rendellenesség" mennyiségét a metrikus térben vagy a fraktálban ε , és azt is mérje meg, hogy hány bitre vagy számjegyre lenne szüksége ahhoz, hogy a tér pontját ε pontossággal adja meg .

A dobozszámlálási dimenzió másik ekvivalens (külső) definícióját a következő képlet adja meg:

{\ displaystyle \ dim _ {\ text {box}} (S) = n- \ lim _ {r \ to 0} {\ frac {\ log {\ text {vol}} (S_ {r})} {\ napló r}},}

ahol az egyes R > 0, a beállított úgy definiáljuk, hogy az r -neighborhood az S , azaz a készlet minden pontján , amelyek a távolság kisebb, mint az R a S (vagy ezzel egyenértékűen, az unió összes nyitott golyó sugara r amelyek középpontjában egy S ) pont áll . ${\ displaystyle S_ {r}}$ ${\ displaystyle R^{n}}$ ${\ displaystyle S_ {r}}$

Tulajdonságok

Mindkét doboz mérete végesen additív, azaz ha { A ₁ , .... A _n } akkor véges halmaz

{\ displaystyle \ dim (A_ {1} \ cup \ dotsb \ cup A_ {n}) = \ max \ {\ dim A_ {1}, \ pöttyök, \ dim A_ {n} \}. \,}

Ezek azonban nem számlálható módon additívak, azaz ez az egyenlőség nem érvényes a halmazok végtelen sorozata esetén. Például egyetlen pont dobozdimenziója 0, de a [0, 1] intervallumban található racionális számok gyűjteményének dobozdimenziója 1. dimenzióval rendelkezik. A Hausdorff -mérték összehasonlításképpen kiszámíthatóan additív.

A felső doboz dimenziójának egy érdekes tulajdonsága, amelyet nem oszt meg sem az alsó doboz, sem a Hausdorff dimenzió, az összeköttetés beállítása. Ha A és B jelentése két euklideszi térben, akkor A + B képződik azáltal, hogy minden pár pont a, b , ahol egy van a A és b jelentése a B és hozzá a + b . Az egyiknek van

{\ displaystyle \ dim _ {\ text {felső mező}} (A+B) \ leq \ dim _ {\ text {felső mező}} (A)+\ dim _ {\ text {felső mező}} (B) .}

Kapcsolatok a Hausdorff dimenzióval

A dobozszámláló dimenzió egyike a fraktálokra alkalmazható dimenzió számos definíciójának. Sok jól viselkedő fraktál esetében ezek a méretek egyenlők; különösen ezek a méretek egybeesnek, amikor a fraktál kielégíti a nyílt halmaz feltételt (OSC) . Például a Cantor halmaz Hausdorff , alsó doboz és felső doboz mérete egyenlő a log (2)/log (3) értékkel. A definíciók azonban nem egyenértékűek.

A doboz méretei és a Hausdorff dimenzió összefügg az egyenlőtlenséggel

{\ displaystyle \ dim _ {\ operatornév {Haus}} \ leq \ dim _ {\ operatornév {alsó doboz}} \ leq \ dim _ {\ operatornév {felső doboz}}.}

Általában mindkét egyenlőtlenség szigorú lehet . A felső doboz mérete nagyobb lehet, mint az alsó dobozé, ha a fraktál különböző skálákban eltérő viselkedést mutat. Például vizsgálja meg a [0,1] intervallum számhalmazát, amely megfelel a feltételnek

bármely n esetén a 2 ^{2 n} -edik számjegy és a (2 ^{2 n +1} -1) számjegy közötti számjegy nulla

A "páratlan hely-intervallumok" számjegyei, azaz a 2 ^{2 n +1} és a 2 ^{2 n +}^2-1 számjegyek között nincs korlátozás, és bármilyen értéket felvehetnek. Ennek a fraktálnak a felső doboz mérete 2/3, az alsó dobozé pedig 1/3, ez a tény könnyen ellenőrizhető az N ( ε ) számításával , és megjegyezve, hogy értékeik másképp viselkednek n páros és páratlan esetén. ${\ displaystyle \ varepsilon = 10^{-2^{n}}}$

További példák: A racionális számok halmaza , amely számolható halmazával , azért van, mert a lezárása, dimenziója 1. Valójában ${\ displaystyle \ mathbb {Q}}$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ operatornév {Haus}} = 0}$ ${\ displaystyle \ dim _ {\ operatornév {box}} = 1}$ ${\ displaystyle \ mathbb {R}}$