Méret nélküli mennyiség - Dimensionless quantity

A többdimenziós elemzést , egy dimenzió nélküli mennyiség egy olyan mennyiség , amely nem fizikai dimenzió van hozzárendelve, továbbá ismert, mint a csupasz, tiszta, vagy skalár mennyiség vagy mennyiség a dimenzió egyik, egy megfelelő mértékegység az SI az egység egy ( vagy 1 ), amely nincs kifejezetten feltüntetve. A dimenzió nélküli mennyiségeket széles körben használják számos területen, például matematikában , fizikában , kémiában , mérnöki tudományban és közgazdaságtanban . A dimenzió nélküli mennyiségek különböznek azoktól a mennyiségektől, amelyekhez kapcsolódó méretek tartoznak, például az idő ( másodpercben mérve ). A rad és az sr szimbólumokat azonban adott esetben kifejezetten kell írni annak érdekében, hogy hangsúlyozzuk, hogy a radiánok vagy a szteradiánok esetében a figyelembe vett mennyiség a sík vagy a szilárd szög. Például az etendue úgy van definiálva, hogy a mértékegységek a szteradiánok.

Történelem

Az első dimenzióval rendelkező, dimenzió nélküli mennyiségek a tudományokban rendszeresen előfordulnak, és hivatalosan a dimenzióelemzés területén kerülnek kezelésre . A XIX. Században Joseph Fourier francia matematikus és James Clerk Maxwell skót fizikus jelentős fejlődést vezetett a dimenzió és az egység modern fogalmaiban . Osborne Reynolds és Lord Rayleigh brit fizikusok későbbi munkái hozzájárultak a fizika dimenzió nélküli számok megértéséhez. Rayleigh dimenzióelemzési módszerére építve Edgar Buckingham bebizonyította a π tételt ( Joseph Bertrand francia matematikus korábbi munkájától függetlenül), hogy formalizálja ezen mennyiségek jellegét.

Az 1900 -as évek elején számos dimenzió nélküli számot, többnyire arányokat találtak ki, különösen a folyadékmechanika és a hőátadás területén . A mérési arányok a (származtatott) dB ( decibel ) egységben manapság széles körben elterjedtek.

A 2000 -es évek elején a Nemzetközi Súly- és Méretbizottság megvitatta, hogy az 1 -es egységet " uno " -nak nevezzék el , de az ötlet, hogy csak egy új SI nevet vezessenek be, elvetették.

Arányok, arányok és szögek

Dimenziótlan mennyiségek gyakran kapunk arányok a mennyiségeket , amelyek nem dimenzió, de amelynek méretei kioltják a matematikai műveletet. Ilyen például a meredekségek vagy az egységátszámítási tényezők kiszámítása . Az ilyen arány összetettebb példája a mérnöki megterhelés , a fizikai deformáció mértéke, amelyet a hosszváltozásnak és a kezdeti hossznak osztva határoznak meg. Mivel mindkét mennyiség mérethosszúságú , arányuk dimenziómentes. Egy másik példahalmaz a tömegrészek vagy a móltöredékek, amelyeket gyakran részenkénti jelöléssel írnak , például ppm (= ^10-6 ), ppb (= ^10-9 ) és ppt (= ^10-12 ), vagy esetleg zavaróan két azonos egység ( kg /kg vagy mol /mol). Például az alkoholtartalmú italok etanolkoncentrációját jellemző térfogatszázalékot ml / 100 ml -re lehet írni .

További gyakori arányok a százalékos %  (= 0,01),   ‰  (= 0,001) és a szögegységek , például radián , fok (° = π/180) és grad (= π/200). A statisztikákban a szórási együttható a szórás és az átlag aránya, és az adatok szórásának mérésére szolgál .

Arra hivatkoztak, hogy a Q = A / B hányadosként meghatározott mennyiségek, amelyek számlálójában és nevezőjében egyenlő méretűek, valójában csak egység nélküli mennyiségek, és fizikai méretük még mindig halvány Q = halvány A × dim B ⁻¹ . Például a nedvességtartalom meghatározható a térfogat arányaként (térfogati nedvesség, m ³ ⋅m ⁻³ , L ³ ⋅L ⁻³ méret ) vagy a tömegek arányaként (gravimetrikus nedvesség, mértékegységek kg⋅kg ⁻¹ , méret M⋅M ^-1 ); mindkettő egység nélküli mennyiség lenne, de eltérő dimenziójú.

Buckingham π -tétel

A Buckingham π -tétel azt jelzi, hogy a fizika törvényeinek érvényessége nem függ egy adott egységrendszertől. Ennek a tételnek az a megállapítása, hogy bármely fizikai törvény kifejezhető azonosságként, amely csak a törvényhez kapcsolódó változók dimenzió nélküli kombinációit (arányokat vagy szorzatokat) foglalja magában (pl. A nyomást és a térfogatot Boyle -törvény kapcsolja össze - fordítottan arányosak). Ha a dimenzió nélküli kombinációk értékei az egységrendszerekkel megváltoznának, akkor az egyenlet nem lenne identitás, és Buckingham tétele nem állna meg.

A tétel másik következménye, hogy a változók bizonyos száma (mondjuk n ) közötti funkcionális függőség csökkenthető az ezekben a változókban előforduló független dimenziók számával (mondjuk, k ) , hogy p = n - k független halmazot kapjunk , dimenzió nélküli mennyiségek . A kísérletező szempontjából a különböző rendszerek, amelyek dimenzió nélküli mennyiség szerint azonos leírást adnak, egyenértékűek.

Példa

Annak igazolására, az alkalmazás a π -tétel, úgy a teljesítmény fogyasztás egy keverővel egy adott alakot. A P teljesítmény [M · L ² /T ³ ] méretekben a sűrűség , ρ [M/L ³ ] és a keverendő folyadék viszkozitásának függvénye, μ [M/(L · T )], valamint a keverő méretét az átmérője , D [L] és a keverő szögsebessége , n [1/T]. Ezért összesen n = 5 változó van a példánkban. Ezek az n = 5 változók k = 3 alapvető dimenzióból épülnek fel , a hosszúság: L ( SI egységek: m ), idő: T ( s ) és tömege: M ( kg ).

Szerint a π -theorem, a n = 5 változó lehet csökkenteni a k = 3 dimenzióban formává p = n - k = 5 - 3 = 2 független dimenzió nélküli számok. Ezeket a mennyiségeket általában a folyadékáramlási rendszert leíró Reynolds -számnak nevezik , és a teljesítményszámot , amely a keverő méret nélküli leírása. ${\ texttyle \ mathrm {Re} = {\ frac {\ rho nD^{2}} {\ mu}}}$${\ texttyle N _ {\ mathrm {p}} = {\ frac {P} {\ rho n^{3} D^{5}}}}$

Vegye figyelembe, hogy a két dimenzió nélküli mennyiség nem egyedi, és attól függ, hogy az n = 5 változó közül melyiket választjuk k = 3 független bázisváltozónak, amelyek mindkét dimenzió nélküli mennyiségben jelennek meg. A Reynolds-szám és a teljesítmény szám esik a fenti elemzés, ha , n , és D vannak megválasztva, hogy az alapja változók. Ha ehelyett, , N , és a D van kiválasztva, a Reynolds-számot kinyerjük, míg a második dimenzió nélküli mennyiség válik . Megjegyezzük, hogy ez a Reynolds -szám és a teljesítményszám szorzata. ${\ texttyle \ rho}$${\ texttyle \ mu}$${\ texttyle N _ {\ mathrm {Rep}} = {\ frac {P} {\ mu D^{3} n^{2}}}}$${\ texttyle N _ {\ mathrm {Rep}}}$

Dimenzió nélküli fizikai állandók

Bizonyos univerzális méretezett fizikai állandók, mint például a fény sebessége vákuumban, a univerzális gravitációs állandó , Planck-állandó , Coulomb-állandó , és a Boltzmann állandó normalizálni lehet, hogy 1, ha a megfelelő egységek számára időben , hossza , tömege , töltés , és a hőmérséklet a választott. Az így kapott egységrendszer természetes egységek néven ismert , különös tekintettel erre az öt konstansra, a Planck -egységekre . Azonban nem minden fizikai állandót lehet ilyen módon normalizálni. Például a következő konstansok értékei függetlenek az egységek rendszerétől, nem definiálhatók, és csak kísérletileg határozhatók meg:

• α ≈ 1/137, a finom szerkezetű állandó , amely az elektronok közötti elektromágneses kölcsönhatás nagyságát jellemzi .
• β (vagy μ ) ≈ 1836, a proton-elektron tömegarány . Ez az arány a proton nyugalmi tömege osztva az elektron tömegével . Hasonló arány definiálható bármely elemi részecske esetén ;
• α _s ≈ 1, az erős nukleáris erő csatolószilárdságát jellemző állandó ;
• Az arány a tömege adott elemi részecskék a Planck-tömeg , .${\ displaystyle {\ sqrt {\ hbar c/G}}}$

Más mennyiségek, amelyeket nemdimenzionálással állítanak elő

A fizika gyakran dimenzió nélküli mennyiségeket használ, hogy egyszerűsítse a többszörös kölcsönhatásban lévő fizikai jelenségekkel rendelkező rendszerek jellemzését. Ezek megtalálhatók alkalmazásával Buckingham π tétel , vagy más módon lehet kilábalni hogy parciális differenciálegyenletek mértékegység nélküli szerinti eljárással nondimensionalization . A mérnöki, gazdasági és egyéb területek gyakran kiterjesztik ezeket az elképzeléseket a vonatkozó rendszerek tervezése és elemzése során.

Fizika és mérnöki tudomány

• Fresnel -szám - hullámszám a távolságon keresztül
• Mach szám - egy tárgy vagy áramlás sebességének aránya a folyadék hangsebességéhez viszonyítva.

• Béta (plazmafizika) - a plazma nyomás és a mágneses nyomás aránya, amelyet a magnetoszféra fizikájában és a fúziós plazmafizikában használnak.
• Damköhler -számok (Da) - a vegyiparban használják a kémiai reakció időskálájának (reakciósebesség) és a rendszerben előforduló szállítási jelenségek arányának összekapcsolására.
• Thiele modulus - leírja a diffúzió és a reakciósebesség közötti kapcsolatot porózus katalizátor pelletben, tömegátviteli korlátozások nélkül.
• Numerikus apertúra - azt a szögtartományt jellemzi, amelyen a rendszer fényt tud fogadni vagy kibocsátani.
• Sherwood szám- (más néven tömegátviteli Nusselt-szám ) egy dimenzió nélküli szám, amelyet tömegátviteli műveletben használnak. Ez a konvektív tömegátvitel és a diffúz tömegszállítás sebességének arányát jelenti.
• Schmidt -szám - a lendület diffúzivitásának (kinematikai viszkozitás) és a tömegadiffúzió arányaként definiálva, és olyan folyadékáramok jellemzésére szolgál, amelyekben egyidejűleg lendület- és tömegdiffúziós konvekciós folyamatok zajlanak.
• A Reynolds -számot általában a folyadékmechanikában használják az áramlás jellemzésére, beleértve a folyadék és az áramlás tulajdonságait is. Úgy értelmezik, mint a tehetetlenségi erők és a viszkózus erők arányát, és jelezheti az áramlási rendszert, valamint korrelálhat a súrlódó fűtéssel a csövekben történő áramlás során.

Kémia

• Relatív sűrűség - sűrűség a vízhez képest
• Relatív atomtömeg , Standard atomtömeg
• Egyensúlyi állandó (ami néha dimenzió nélküli)

Más mezők

• Történő szállítás költsége a hatékonyság az egyik helyről a másikra
• A rugalmasság egy gazdasági változó arányos változásának mérése egy másik változására reagálva

Lásd még

• Önkényes egység
• Dimenziós elemzés
• Normalizáció (statisztika) és standardizált mozzanat , a statisztika analóg fogalmai
• Nagyságrendek (számok)
• Similitude (modell)
• Dimenzió nélküli mennyiségek listája

Hivatkozások

Külső linkek

• Méret nélküli számokhoz kapcsolódó média a Wikimedia Commonsban