A millenniumi díj problémái - Millennium Prize Problems
A millenniumi díj problémái |
---|
A Millenniumi Díj Problémái hét megoldatlan feladat volt a matematikában , amelyeket a Clay Mathematics Institute 2000. május 24-én állított. A problémák a Birch és Swinnerton-Dyer sejtés , Hodge-sejtés , Navier-Stokes létezése és simasága , P és NP probléma , Poincaré sejtés , Riemann -hipotézis és Yang – Mills létezése és tömeges szakadéka . A helyes megoldás bármely problémát eredményez US $ 1 millió nyeremény elnyerésére az intézet a felfedezője (ek).
A mai napig az egyetlen megoldott Millenniumi Díj -probléma a Poincaré -sejtés , amelyet 2003 -ban Grigori Perelman orosz matematikus oldott meg . Elutasította a nyereményt.
Megoldott probléma
Poincaré sejtés
A 2. dimenzióban a gömböt az jellemzi, hogy ez az egyetlen zárt és egyszerűen összekapcsolt felület. A Poincaré-sejtés azt állítja, hogy ez a 3. dimenzióban is igaz. Központi része az általánosabb problémának, az összes 3-elosztó osztályozásának . A sejtés pontos megfogalmazása szerint:
Minden egyszerűen csatlakoztatható , zárt 3-sokaság van homeomorf a 3-gömb .
Ezt a sejtést Grigori Perelman bizonyította 2003 -ban. Perelman megoldása Richard Hamilton Ricci -áramlás elméletén alapult . Ez a megoldás azonban magában foglalta Perelman jelentős eredeti fejlesztéseit, és felhasználta a Cheeger, Gromov és maga Perelman miatti mérési terek eredményeit. Perelman bebizonyította William Thurston Geometrization Conjecture -jét is, amelynek különleges esete a Poincaré -sejtés, amely nélkül a Poincaré -sejtés bizonyítása nem lett volna lehetséges; Perelman 2010. március 18 -án hivatalosan elnyerte a Millenniumi Díjat, de ő is elutasította a díjat és az ezzel járó díjazást az Agyag Matematikai Intézettől, ahogy a Fields -éremmel is tette . Az Interfax hírügynökség idézte Perelmant, aki szerint a díj igazságtalan, mivel úgy véli, hogy a Poincaré -sejtés megoldásához való hozzájárulása nem nagyobb, mint Hamiltoné.
Megoldatlan problémák
Nyír és Swinnerton-Dyer sejtése
A Birch és Swinnerton-Dyer sejtés bizonyos típusú egyenletekkel foglalkozik: azokkal, amelyek a racionális számok felett elliptikus görbéket határoznak meg . A sejtés szerint egyszerű módon meg lehet állapítani, hogy az ilyen egyenleteknek véges vagy végtelen számú racionális megoldása van -e. Hilbert tizedik feladata egy általánosabb típusú egyenlettel foglalkozott, és ebben az esetben bebizonyosodott, hogy nincs mód eldönteni, hogy adott egyenletnek van -e egyáltalán megoldása.
A hivatalos nyilatkozatot a problémáról Andrew Wiles adta .
Hodge sejtés
A Hodge -sejtés szerint a projektív algebrai változatok esetében a Hodge -ciklusok az algebrai ciklusok racionális lineáris kombinációi .
Ezt hívjuk az X k 2 fokú Hodge osztályainak csoportjának .
A Hodge -sejtés modern kijelentése:
- Legyen X nem szinguláris komplex projektív sokaság. Ekkor minden X -en lévő Hodge -osztály lineáris kombináció az X komplex alvarienciáinak kohomológiai osztályainak racionális együtthatóival .
A probléma hivatalos nyilatkozatát Pierre Deligne mondta .
A Navier-Stokes egyenletek írják le a mozgás a folyadékok , és az egyik pillére folyadék mechanika . Megoldásaik elméleti megértése azonban hiányos, annak ellenére, hogy jelentősége van a tudományban és a mérnöki tudományban. A háromdimenziós egyenletrendszerhez és néhány kezdeti feltételhez képest a matematikusok még nem bizonyították be, hogy sima megoldások mindig léteznek. Ezt hívják Navier – Stokes létezési és simasági problémának.
A probléma, amely az összenyomhatatlan folyadékra korlátozódik , annak bizonyítása, hogy léteznek -e sima, globálisan meghatározott megoldások, amelyek megfelelnek bizonyos feltételeknek, vagy nem mindig léteznek, és az egyenletek felbomlanak. A probléma hivatalos nyilatkozatát Charles Fefferman mondta .
P kontra NP
A kérdés az, hogy minden olyan probléma esetén, amelyekre egy algoritmus gyorsan (azaz polinomidőben ) képes ellenőrizni egy adott megoldást , az algoritmus is gyorsan megtalálja ezt a megoldást. Mivel az előbbi leírja az NP -nek nevezett problémaosztályt, míg az utóbbi a P -t, a kérdés egyenlő azzal a kérdéssel, hogy az NP -ben minden probléma szintén P -ben van -e. Ezt általában a matematika és az elméleti informatika egyik legfontosabb nyitott kérdésének tekintik mivel messzemenő következményekkel jár a matematika egyéb problémái , valamint a biológia , a filozófia és a kriptográfia szempontjából (lásd P versus NP problémamentes következmények ). A P -ben nem ismert NP -probléma gyakori példája a Boole -féle kielégítési probléma .
A legtöbb matematikus és informatikus azt várja, hogy P ≠ NP; azonban bizonyítatlan marad.
A hivatalos nyilatkozatot a problémáról Stephen Cook adta .
Riemann hipotézis
A iem (s) Riemann -féle zéta -függvény olyan függvény, amelynek s argumentuma az 1 -től eltérő bármilyen komplex szám lehet, és értékei szintén összetettek. A negatív páros egész számokban nullák vannak; vagyis ζ (s) = 0, ha s az egyik a −2, −4, −6, .... Ezeket triviális nulláinak nevezzük. A negatív páros egész számok azonban nem az egyetlen érték, amelynél a zeta függvény nulla. A többit nem triviális nulláknak nevezik. A Riemann -hipotézis ezen nem triviális nullák helyével foglalkozik, és megállapítja, hogy:
- A Riemann zeta függvény minden nem triviális nulla valós része 1/2.
A Riemann -hipotézis szerint a Riemann -zéta -függvény analitikus folytatásának minden nem triviális nullája 1 / 2 -es valós része . Ennek bizonyítása vagy cáfolása messzemenő következményekkel járna a számelméletben , különösen a prímszámok eloszlása szempontjából . Ez volt Hilbert nyolcadik problémája , és egy évszázaddal később is fontos nyitott problémának számít.
A hivatalos nyilatkozatot a problémáról Enrico Bombieri mondta .
Yang – Mills léte és tömegkülönbsége
A kvantumtér -elméletben a tömegrés a vákuum és a következő legalacsonyabb energiaállapot közötti energiakülönbség . A vákuum energiája definíció szerint nulla, és ha feltételezzük, hogy minden energiaállapot síkhullámú részecskének tekinthető, akkor a tömegrés a legkönnyebb részecske tömege.
Egy adott valós mezőre azt mondhatjuk, hogy az elméletnek tömeges rése van, ha a kétpontos függvény rendelkezik a tulajdonsággal
azzal, hogy ez a legalacsonyabb energiaérték a Hamilton -spektrumban és ezáltal a tömeges rés. Ezt a mennyiséget, amelyet más területekre könnyű általánosítani, általában a rácsos számításokban mérik.
A Quantum Yang -Mills elmélet a jelenlegi alapja a gondolatok elméleti alkalmazásának többségének az elemi részecskefizika valóságához és lehetséges realitásaihoz . Az elmélet általánosítása Maxwell elmélete az elektromágnesesség , ahol a króm -electromagnetic mező maga végzi díjat. Klasszikus mezőelméletként olyan megoldások vannak, amelyek fénysebességgel haladnak, így kvantumváltozatának tömeges részecskéket ( gluonokat ) kell leírnia . A színmeghatározás feltételezett jelensége azonban csak a gluonok kötött állapotát teszi lehetővé, és hatalmas részecskéket képez. Ez a tömegkülönbség . A bezártság másik aspektusa az aszimptotikus szabadság, ami miatt elképzelhető, hogy a kvantum Yang-Mills elmélet az alacsony energia skálák korlátozása nélkül létezik. A probléma az, hogy szigorúan meg kell állapítani a kvantum Yang – Mills elméletet és a tömegkülönbséget.
- Igazoljuk, hogy bármely kompakt egyszerű nyomtávú G csoport, egy nem-triviális kvantum Yang-Mills elmélet létezik , tömege rés Δ> 0. megléte magában létrehozó axiomatikus tulajdonságai legalább olyan erős, mint azok a hivatkozott Streater & Wightman (1964) , Osterwalder & Schrader (1973) és Osterwalder & Schrader (1975) .
A hivatalos nyilatkozatot a problémáról Arthur Jaffe és Edward Witten adták .
Lásd még
- Beal sejtése
- Hilbert problémái
- A matematikai díjak listája
- A matematika megoldatlan feladatainak listája
- Smale problémái
- Paul Wolfskehl (pénzjutalmat ajánlott fel Fermat utolsó tételének megoldásáért )
Hivatkozások
- Ez a cikk a Millennium Problems on PlanetMath webhelyén található anyagokat tartalmazza , amely a Creative Commons Hozzárendelési/Megosztási Alice Licenc alapján licencelt .
Források
- Osterwalder, K .; Schrader, R. (1973). "Axiómák az Euklideszi Green funkcióihoz". Kommunikáció a matematikai fizikában . 31. (2): 83–112. Bibcode : 1973CMaPh..31 ... 83O . doi : 10.1007/BF01645738 . S2CID 189829853 .
- Osterwalder, K .; Schrader, R. (1975). "Axiómák az Euklideszi Green függvényeihez II". Kommunikáció a matematikai fizikában . 42 (3): 281–305. Bibcode : 1975CMaPh..42..281O . doi : 10.1007/BF01608978 . S2CID 119389461 .
- Streater, R .; Wightman, A. (1964). PCT, pörgetés és statisztika, meg minden . WA Benjamin.
További irodalom
- Carlson, James; Jaffe, Arthur ; Wiles, Andrew , szerk. (2006). A millenniumi díj problémái . Providence, RI: Amerikai Matematikai Társaság és Clay Mathematics Institute . ISBN 978-0-8218-3679-8.
- Devlin, Keith J. (2003) [2002]. A millenniumi problémák: korunk hét legnagyobb megoldatlan matematikai rejtvénye . New York: Alapkönyvek. ISBN 0-465-01729-0.